Calculer des pourcentages et des évolutions

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Identifier le total de référence d'une proportion et retrouver une partie ou un total.
Distinguer un écart en points de pourcentage d'une évolution relative.
Passer d'un taux d'évolution à son coefficient multiplicateur.
Composer des évolutions et calculer une évolution réciproque.
Comprendre en complément le taux moyen par période et ses conditions.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Diviser, multiplier et convertir une fraction en écriture décimale.
Lire une égalité et isoler une quantité par une division non nulle.
Pour le complément, connaître le carré et la racine carrée.

Un pourcentage se rapporte toujours à quelque chose

Le symbole pour cent signifie « pour cent unités de référence ». Dire que $30\,\%$ d'un groupe possède une caractéristique signifie que la partie représente la fraction $$30/100=0{,}30$$ du total. Ce n'est pas automatiquement un effectif de trente personnes : tout dépend de la taille du groupe.

Note $$N$$ le total et $$n$$ la partie, avec $N\gt0$ . La proportion est $$p=n/N$$ . Pour une partie de ce total, $$p$$ est entre $$0$$ et $$1$$ . L'écriture en pourcentage vaut $100p\,\%$ . Par exemple, la proportion $$0{,}08$$ correspond à $8\,\%$ , tandis que $$0{,}8$$ correspond à $80\,\%$ .

\begin{aligned}p&=\frac nN,\\[.4em]n&=pN,\\[.4em]N&=\frac np\qquad(p\ne0).\end{aligned}

Choisis la formule à partir de la quantité inconnue. Pour retrouver la partie, multiplie le total par la proportion. Pour retrouver le total à partir d'une partie et d'une proportion non nulle, divise. Si la proportion vaut zéro, une partie nulle ne permet pas de retrouver un total unique.

Exemple 1 — Un effectif plus grand peut représenter une proportion plus petite

On compare deux groupes disjoints : aucune personne n’appartient aux deux. Dans le groupe A, $$12$$ personnes sur $$20$$ viennent à vélo. Dans le groupe B, elles sont $$15$$ sur $$30$$ . On compare les proportions en divisant chaque effectif par le total de son propre groupe :

\begin{aligned}p_A&=\frac{12}{20}\\[.4em]&=0{,}60,\\[.4em]p_B&=\frac{15}{30}\\[.4em]&=0{,}50.\end{aligned}

Le groupe B compte davantage de cyclistes, mais sa proportion est plus faible : $50\,\%$ contre $60\,\%$ . En réunissant les groupes, on compte $$27$$ cyclistes sur $$50$$ , soit $54\,\%$ . La moyenne simple des pourcentages, $55\,\%$ , donnerait le même poids aux deux groupes alors qu'ils n'ont pas le même effectif.

Deux manières différentes de comparer des pourcentages

Un taux d'utilisation passe de $40\,\%$ à $50\,\%$ . L'écart est de $$10$$ points de pourcentage : on soustrait les nombres qui décrivent les deux pourcentages. Pour mesurer l'augmentation relative du taux, on rapporte cet écart à sa valeur initiale :

\begin{aligned}\frac{50-40}{40}&=\frac{10}{40}\\[.4em]&=0{,}25.\end{aligned}

Le taux a donc augmenté de $25\,\%$ , tout en gagnant $$10$$ points. Ces deux annonces sont compatibles, mais elles ne décrivent pas la même mesure. Pour une baisse de $70\,\%$ à $35\,\%$ , l'écart vaut $$-35$$ points, tandis que la variation relative vaut $-50\,\%$ .

Si la valeur initiale est zéro, une évolution relative demanderait de diviser par zéro et n'est pas définie. On peut néanmoins exprimer l'écart en points : passer de $0\,\%$ à $5\,\%$ représente $$+5$$ points. Nommer la référence évite d'utiliser une formule hors de son domaine.

Transformer un taux en opération sur une valeur

Pour une valeur initiale $V_i\gt0$ et une valeur finale $$V_f$$ , le taux d'évolution sous forme décimale est $$r=(V_f-V_i)/V_i$$ . Le dénominateur est la valeur de départ : c'est elle qui sert de référence à la hausse ou à la baisse. Une hausse donne un taux positif, une baisse un taux négatif.

\begin{aligned}V_f&=V_i+rV_i\\[.4em]&=V_i(1+r),\\[.6em]q&=1+r\\[.4em]&=\frac{V_f}{V_i}.\end{aligned}

Le nombre $$q$$ est le coefficient multiplicateur. Une hausse de $15\,\%$ correspond à $$r=0{,}15$$ et $$q=1{,}15$$ . Une baisse de $20\,\%$ correspond à $$r=-0{,}20$$ et $$q=0{,}80$$ . Multiplier par $$0{,}20$$ ne calcule pas la valeur après une baisse de $20\,\%$ : cela calcule le montant de cette baisse.

Pour une quantité positive qui reste positive ou nulle, une baisse ne peut pas dépasser $100\,\%$ . La baisse de $100\,\%$ donne zéro. Une hausse peut dépasser $100\,\%$ : une hausse de $150\,\%$ multiplie par $$2{,}5$$ . Le pourcentage d'évolution n'est pas une proportion de sous-groupe limitée à $100\,\%$ .

Les évolutions successives multiplient leurs coefficients

Exemple 2 — Une hausse suivie d'une baisse

Une quantité vaut $$200$$ , augmente de $15\,\%$ , puis diminue de $20\,\%$ . La deuxième variation porte sur la valeur obtenue après la première, donc sur $$230$$ , et non sur $$200$$ .

\begin{aligned}V_1&=200\times1{,}15\\[.4em]&=230,\\[.4em]V_2&=230\times0{,}80\\[.4em]&=184,\\[.6em]q_{\mathrm{global}}&=1{,}15\times0{,}80\\[.4em]&=0{,}92,\\[.4em]r_{\mathrm{global}}&=0{,}92-1\\[.4em]&=-0{,}08.\end{aligned}

La baisse globale est de $8\,\%$ . Additionner $+15\,\%$ et $-20\,\%$ aurait donné $-5\,\%$ , en oubliant le changement de base. On peut contrôler directement : $$(184-200)/200=-0{,}08$$ . Dans ce modèle de pourcentages purs, inverser l'ordre des deux taux conserve le produit des coefficients et donc la valeur finale ; les valeurs intermédiaires changent.

Exemple 3 — Revenir au départ change encore la référence

Après une baisse de $20\,\%$ , un objet coûte $$80$$ euros. Le prix initial $$V_i$$ vérifie $0{,}80V_i=80$ , donc $$V_i=100$$ euros. Pour revenir de $$80$$ à $$100$$ , on cherche maintenant une hausse calculée sur $$80$$ .

\begin{aligned}q_{\mathrm{retour}}&=\frac{100}{80}\\[.4em]&=1{,}25,\\[.4em]r_{\mathrm{retour}}&=1{,}25-1\\[.4em]&=0{,}25.\end{aligned}

Il faut une hausse de $25\,\%$ , pas de $20\,\%$ . La vérification est $80\times1{,}25=100$ . En général, si le coefficient direct $$q$$ est strictement positif, le retour utilise $$1/q$$ , et son taux vaut $$1/q-1$$ .

Après une baisse de $100\,\%$ , le coefficient est zéro. Multiplier zéro par un coefficient ne permet pas de retrouver une valeur initiale positive. Le retour par une hausse en pourcentage n'existe donc pas dans ce cas ; la formule $$1/q$$ signale cette limite par une division impossible.

Complément : un taux moyen se calcule par les coefficients

Un taux moyen par période est un taux constant qui produirait la même évolution globale sur le même nombre de périodes. Pour $$n$$ périodes de même durée, avec des coefficients strictement positifs $q_1,\ldots,q_n$ , on cherche un coefficient constant $q\gt0$ tel que $q^n=q_1\cdots q_n$ . Son taux est $$q-1$$ . Cette moyenne est géométrique ; on ne moyenne pas simplement les pourcentages.

Sur deux périodes, une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ donne un coefficient global $1{,}1\times0{,}9=0{,}99$ . Le taux moyen $$r$$ vérifie :

\begin{aligned}(1+r)^2&=0{,}99,\\[.4em]1+r&=\sqrt{0{,}99},\\[.4em]r&=\sqrt{0{,}99}-1\\[.4em]&\approx-0{,}005013.\end{aligned}

La baisse moyenne est d'environ $0{,}5013\,\%$ par période. Le taux global est $-1\,\%$ , et le taux moyen n'est pas exactement $-0{,}5\,\%$ . On choisit la racine positive parce que le coefficient recherché est positif. Si les durées des périodes sont différentes, ce calcul ne donne pas directement un taux moyen par unité de temps : il faut d'abord préciser la durée de référence.

Trois problèmes pour retrouver la bonne référence

Avant chaque calcul, écris « pourcentage de quoi ? ». Note ensuite la quantité inconnue. Pour vérifier, effectue l'opération dans l'autre sens : reconstituer la partie à partir du total retrouvé, ou appliquer le coefficient au montant initial.

À toi de jouer · à ton rythme

1 — Retrouver le total à partir d'une partie

Dans une association, $$45$$ adhérents représentent $30\,\%$ de l'effectif. Combien y a-t-il d'adhérents ? Combien représente ensuite une part de $12\,\%$ du même total ?

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Si $$N$$ est le total, l'information donne $$0{,}30N=45$$ . Multiplier $$45$$ par $$0{,}30$$ calculerait une part de la partie déjà connue.

Indice 2 · avancer d’une étape

Divise $$45$$ par $$0{,}30$$ , puis applique $$0{,}12$$ au total obtenu.

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}N&=\frac{45}{0{,}30}\\[.4em]&=150,\\[.4em]n_{12\%}&=0{,}12\times150\\[.4em]&=18.\end{aligned}

Le total est $$150$$ adhérents, et sa part de $12\,\%$ compte $$18$$ personnes. Le contrôle $0{,}30\times150=45$ retrouve la donnée. Réessaie : une partie de $$24$$ personnes représente $15\,\%$ d'un autre groupe. Retrouve son total.

À toi de jouer · à ton rythme

2 — Des taux opposés ne s'annulent pas

Une quantité de $$250$$ augmente de $20\,\%$ , puis diminue de $20\,\%$ . Calcule la valeur finale et le taux global. Donne le coefficient de retour à $$250$$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Les coefficients sont $$1{,}20$$ et $$0{,}80$$ . La baisse porte sur la valeur après hausse.

Indice 2 · avancer d’une étape

Le produit des coefficients vaut $$0{,}96$$ . Le retour doit utiliser son inverse, et non simplement ajouter $4\,\%$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}V_f&=250\times1{,}20\times0{,}80\\[.4em]&=240,\\[.4em]r_{\mathrm{global}}&=0{,}96-1\\[.4em]&=-0{,}04,\\[.4em]q_{\mathrm{retour}}&=\frac1{0{,}96}\\[.4em]&=\frac{25}{24}.\end{aligned}

La baisse globale est de $4\,\%$ . Le retour demande une hausse de $$1/24$$ , soit environ $4{,}167\,\%$ , calculée sur $$240$$ . Le contrôle exact $240\times25/24=250$ évite l'écart dû à un coefficient arrondi. Réessaie : inverse l'ordre des deux évolutions et compare la valeur intermédiaire puis la valeur finale.

À toi de jouer · à ton rythme

3 — Points de pourcentage et évolution réciproque

Un indicateur passe de $25\,\%$ à $30\,\%$ . Donne l'écart en points, son taux d'augmentation relative et le taux de baisse relative qui le ramènerait de $30\,\%$ à $25\,\%$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

L'écart en points est une soustraction. Pour les deux évolutions relatives, les valeurs initiales ne sont pas les mêmes.

Indice 2 · avancer d’une étape

Le taux direct est $$(30-25)/25$$ , le taux de retour $$(25-30)/30$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}\text{écart}&=30-25\\[.4em]&=5\text{ points},\\[.4em]r_{\mathrm{direct}}&=\frac5{25}\\[.4em]&=0{,}20,\\[.4em]r_{\mathrm{retour}}&=\frac{-5}{30}\\[.4em]&=-\frac16.\end{aligned}

L'indicateur gagne $$5$$ points, ce qui représente une hausse relative de $20\,\%$ . Le retour est une baisse relative d'environ $16{,}67\,\%$ . Le coefficient exact de retour vaut $$5/6$$ , et $30\times5/6=25$ . Réessaie : reprends les trois comparaisons pour un passage de $40\,\%$ à $50\,\%$ .

Un résultat à contrôler dans son contexte

Une proportion de sous-groupe doit être compatible avec son effectif total. Une valeur après hausse doit être plus grande que la valeur initiale positive. Un coefficient de retour doit donner un produit égal à $$1$$ avec le coefficient direct. Ces contrôles simples permettent de repérer une mauvaise référence avant d'arrondir le résultat.

Pour isoler une quantité dans une formule, reprends la méthode des équations. Pour une question de budget maximal ou de seuil, utilise la méthode des inéquations. Pour les taux répétés, retrouve aussi la fiche de Seconde sur les pourcentages et ses exercices. Refaire une variante en annonçant la base de chaque taux permet de vérifier la compréhension au-delà du calcul.