Proportions, pourcentages et évolutions · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les pourcentages ?

Les pourcentages sont partout : résultats d'un sondage, remise, inflation, taux de réussite, batterie restante, budget, données médicales. Pourtant, une même écriture comme $20\,\%$ peut répondre à deux questions très différentes.

Proportion : quelle part d'un ensemble possède une propriété ?
Évolution : comment une valeur a-t-elle changé entre deux instants ?

Proportion dans une population

Population de référence et sous-population

À toi d’essayer

Un effectif plus grand peut représenter une part plus petite

Dans un groupe A, $$12$$ personnes sur $$30$$ viennent à vélo ; dans un groupe B, $$15$$ sur $$50$$ . Quel groupe compte le plus de cyclistes ? Dans lequel leur proportion est-elle la plus grande ? Termine chaque réponse par « sur ... personnes ».

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les effectifs $$12$$ et $$15$$ répondent à la première question. Pour la seconde, les groupes n'ont pas la même taille : calcule un quotient pour chacun.

Indice 2 · Un pas de plus

Tu peux ramener les deux fractions à un dénominateur $$100$$ : $$12/30=40/100$$ et $$15/50=30/100$$ .

Voir l’explication

B compte davantage de cyclistes : $$15$$ sur $$50$$ , contre $$12$$ sur $$30$$ dans A. Mais les proportions valent

\begin{aligned}p_A &= 12/30\\[.35em]&= 0{,}40\\[.35em]&= 40\,\%,\\[.35em]p_B &= 15/50\\[.35em]&= 0{,}30\\[.35em]&= 30\,\%.\end{aligned}

La part est donc plus élevée dans A. L'effectif et la proportion sont deux comparaisons différentes, toutes deux utiles. Réessaie : compare $$8$$ sur $$20$$ et $$14$$ sur $$40$$ . Repères : $40\,\%$ et $35\,\%$ ; le second effectif est plus grand, la première proportion aussi.

Trois écritures pour la même proportion

Calculer la partie ou retrouver le tout

À toi d’essayer

Choisir l'opération à partir de l'égalité

Un club compte $$45$$ jeunes, qui représentent $30\,\%$ de ses membres. Trouve l'effectif total. Une autre personne calcule $45\times0{,}30=13{,}5$ : quelle question ce calcul aurait-il traitée ? Que peut-on déduire du total si l'on sait seulement que $0\,\%$ de ses membres sont jeunes ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Nomme le total $$N$$ et écris « $30\,\%$ de $$N$$ valent $$45$$ ». Ne choisis pas une division avant d'avoir cette égalité.

Indice 2 · Un pas de plus

On a $$0{,}30N=45$$ . Pour le dernier cas, l'égalité devient $0\times N=0$ pour tout effectif total positif.

Voir l’explication

On résout

\begin{aligned}0{,}30N&=45,\\[.35em]N&=45/0{,}30,\\[.35em]N&=150.\end{aligned}

Le contrôle donne $30\,\%$ de $$150$$ , soit $$45$$ . Le produit $45\times0{,}30$ calculerait $30\,\%$ d'un total de $$45$$ ; il change donc la référence. Ici, $$13{,}5$$ serait en outre incompatible avec un effectif exact de personnes. Si la part vaut $0\,\%$ , son effectif vaut zéro mais le total reste inconnu : on ne peut pas diviser par la proportion nulle. Réessaie : $$24$$ livres constituent $15\,\%$ d'un fonds. Vérification : $$N=160$$ , puis $0{,}15\times160=24$ .

Pourcentage de pourcentage

Des ensembles emboîtés

Supposons que $A\subset B\subset E$ . On connaît la proportion de $$B$$ dans $$E$$ , puis la proportion de $$A$$ dans $$B$$ . Le tout de référence change au milieu du raisonnement.

Une preuve à construire

Pourquoi le changement de référence donne un produit

Soient $A\subset B\subset E$ , avec des effectifs $$n_A$$ , $$n_B>0$$ et $$N>0$$ . Démontre $$p_E(A)=p_E(B)p_B(A)$$ en revenant aux effectifs. Explique pourquoi l'hypothèse $$n_B>0$$ est nécessaire.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris séparément la proportion de $$B$$ dans $$E$$ et celle de $$A$$ dans $$B$$ . Les deux dénominateurs sont différents.

Indice 2 · Un pas de plus

Dans $$(n_B/N)(n_A/n_B)$$ , le nombre $$n_B$$ peut être simplifié parce qu'il est non nul.

Voir la preuve expliquée

Par définition, $$p_E(B)=n_B/N$$ et $$p_B(A)=n_A/n_B$$ . Leur produit vaut

\begin{aligned}p_E(B)p_B(A)&=\frac{n_B}{N}\times\frac{n_A}{n_B}\\[.35em]&=\frac{n_Bn_A}{Nn_B}\\[.35em]&=\frac{n_A}{N}\\[.35em]&=p_E(A).\end{aligned}

L'effectif intermédiaire disparaît du quotient final, mais il joue un rôle dans le changement de référence. Si $$B$$ est vide, $$A$$ est également vide et $$p_E(A)=0$$ ; cependant $$p_B(A)$$ n'est pas défini, car son dénominateur serait zéro. On ne présente donc pas la formule comme un produit impliquant une proportion dans un groupe vide. À reconstruire : avec $$N=200$$ , $$n_B=120$$ et $$n_A=30$$ , retrouve $60\,\%\times25\,\%=15\,\%$ en écrivant les trois fractions.

À toi d’essayer

Les 25 pour cent ne portent pas sur tout le groupe

Dans un établissement de $$200$$ élèves, $60\,\%$ pratiquent un sport. Parmi ces sportifs, $25\,\%$ sont licenciés. Trouve le nombre de sportifs, le nombre de licenciés parmi eux et leur proportion dans l'établissement. Peut-on conclure que $25\,\%$ de tous les élèves sont licenciés ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Suis les deux références : d'abord les $$200$$ élèves, ensuite seulement le sous-groupe des sportifs.

Indice 2 · Un pas de plus

Le premier effectif est $200\times0{,}60=120$ . Le deuxième calcul est $120\times0{,}25$ , et non $200\times0{,}25$ .

Voir l’explication

Il y a $$120$$ sportifs, puis $$30$$ sportifs licenciés. Ils représentent

\begin{aligned}30/200&=0{,}15\\[.35em]&=15\,\%.\end{aligned}

La proportion $25\,\%$ porte sur les $$120$$ sportifs. La prendre sur les $$200$$ élèves donnerait $$50$$ licenciés, ce qui ne répond pas à l'information fournie. On retrouve le bon résultat par $0{,}60\times0{,}25=0{,}15$ . Réessaie : dans un groupe de $$500$$ , $40\,\%$ participent à un atelier ; parmi eux, $30\,\%$ choisissent le dessin. Vérification : $$200$$ , puis $$60$$ , soit $12\,\%$ du groupe entier.

Chaque barre part du même zéro. La dernière représente le quart de la barre des sportifs et $15\,\%$ de la barre totale. Les ellipses d'ensembles indiquent les inclusions ; leurs aires ne servent pas à mesurer les proportions.

Remonter une proportion conditionnelle

Mesurer une évolution

Valeur initiale et valeur finale

On étudie une grandeur qui passe d'une valeur initiale $$V_i$$ à une valeur finale $$V_f$$ . Trois nombres complémentaires décrivent ce changement. Les situations de prix, d'effectifs et de quantités étudiées ici utilisent $$V_i>0$$ et $V_f\geq0$ . Les identités algébriques restent valables pour une valeur initiale négative non nulle, mais le vocabulaire usuel de hausse ou de baisse en pourcentage n'a alors plus la même interprétation.

À toi d’essayer

Douze unités n'ont pas toujours le même poids

Un prix passe de $$80$$ à $$92$$ euros ; un autre de $$200$$ à $$212$$ euros. Compare leurs variations absolues puis relatives. Peut-on annoncer un taux d'évolution usuel pour une grandeur passant de $$0$$ à $$12$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Soustrais valeur finale moins valeur initiale, puis divise chaque changement par sa propre valeur de départ.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux différences valent $$12$$ . Les quotients à comparer sont $$12/80$$ et $$12/200$$ .

Voir l’explication

Les variations absolues sont égales : $$+12$$ euros. Les taux sont

\begin{aligned}t_1 &= 12/80\\[.35em]&= 0{,}15\\[.35em]&= 15\,\%,\\[.35em]t_2 &= 12/200\\[.35em]&= 0{,}06\\[.35em]&= 6\,\%.\end{aligned}

Le même supplément pèse davantage relativement au plus petit prix de départ. De $$0$$ à $$12$$ , la variation absolue vaut $$12$$ , mais le quotient $$12/0$$ n'existe pas : aucun taux usuel n'est défini. Il faut annoncer les valeurs et leur différence. Réessaie : de $$50$$ à $$40$$ , trouve $$-10$$ unités, $-20\,\%$ et le coefficient $$0{,}8$$ . Vérifie que multiplier $$50$$ par $$0{,}8$$ donne $$40$$ .

Le lien fondamental entre taux et coefficient

Une preuve à construire

Retrouver le « 1 plus le taux »

Pour $$V_i>0$$ , on définit $$t=(V_f-V_i)/V_i$$ et $$k=V_f/V_i$$ . Démontre $$k=1+t$$ puis $$V_f=(1+t)V_i$$ . Explique ce que représente le nombre $$1$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sépare la fraction dont le numérateur est une différence, avec le même dénominateur non nul.

Indice 2 · Un pas de plus

Le quotient $$V_i/V_i$$ vaut $$1$$ : c'est la totalité de la valeur de départ, soit $100\,\%$ .

Voir la preuve expliquée

On calcule

\begin{aligned}t&=\frac{V_f-V_i}{V_i}\\[.35em]&=\frac{V_f}{V_i}-\frac{V_i}{V_i}\\[.35em]&=k-1.\end{aligned}

Ajouter $$1$$ donne $$k=1+t$$ . Puis $$V_f/V_i=1+t$$ implique $$V_f=(1+t)V_i$$ en multipliant par $$V_i$$ . Le nombre $$1$$ conserve les $100\,\%$ de départ ; le taux $$t$$ ajoute ou retire la part correspondant au changement. C'est pourquoi une baisse de $15\,\%$ conserve $85\,\%$ et multiplie par $$0{,}85$$ . À reconstruire : pour une hausse de $8\,\%$ , explique $$1{,}08$$ en mots, puis utilise une base de $$50$$ pour contrôler le résultat $$54$$ .

Trouver la grandeur inconnue

À toi d’essayer

Une remise s'applique au prix d'avant

Après une remise de $20\,\%$ , un objet coûte $$72$$ euros. Retrouve le prix initial en écrivant une équation. Une proposition consiste à ajouter $20\,\%$ de $$72$$ : calcule ce résultat et vérifie s'il redonne $$72$$ après la remise.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Il reste $80\,\%$ du prix initial $$P$$ . La relation est donc $$0{,}80P=72$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

L'opération inverse de multiplier par $$0{,}80$$ est diviser par $$0{,}80$$ . Ajouter $20\,\%$ de $$72$$ utilise une autre base.

Voir l’explication

On obtient

\begin{aligned}P&=72/0{,}80\\[.35em]&=90.\end{aligned}

Le contrôle donne $90\times0{,}80=72$ . La proposition erronée donne $72\times1{,}20=86{,}40$ ; après remise, ce prix devient $86{,}40\times0{,}80=69{,}12$ , pas $$72$$ . L'échec du contrôle indique le changement de base à reprendre. Réessaie : après une hausse de $25\,\%$ , un montant vaut $$150$$ . Le montant initial est $$150/1{,}25=120$$ .

Évolutions successives

Multiplier les coefficients

À toi d’essayer

Deux taux opposés, deux bases différentes

Un prix de $$100$$ euros augmente de $20\,\%$ , puis baisse de $20\,\%$ . Prévois s'il revient à $$100$$ , puis calcule les deux prix et le taux global. Le résultat final changerait-il en inversant ces deux évolutions, sans arrondir entre les étapes ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Après la hausse, le prix vaut $$120$$ . La baisse est maintenant calculée sur $$120$$ , pas sur $$100$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les coefficients sont $$1{,}20$$ et $$0{,}80$$ . Leur produit ne change pas quand on inverse leur ordre.

Voir l’explication

La hausse ajoute $$20$$ euros et donne $$120$$ . La baisse retire $20\,\%$ de $$120$$ , soit $$24$$ euros ; le prix final est donc $$96$$ . On retrouve

\begin{aligned}K&=1{,}20\times0{,}80\\[.35em]&=0{,}96,\\[.35em]T&=0{,}96-1\\[.35em]&= -0{,}04\\[.35em]&= -4\,\%.\end{aligned}

En inversant l'ordre, on passe par $$80$$ puis par $$96$$ : le prix intermédiaire change, mais le produit final est le même. Cela vaut pour les deux pourcentages fixés dans ce modèle ; une remise fixe en euros ou des arrondis intermédiaires peuvent modifier la situation. Réessaie : hausse de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$ sur $$200$$ . Vérification : $$220$$ , puis $$198$$ , soit $-1\,\%$ au total.

Répéter la même évolution

Ajouter ou multiplier à chaque étape

Les deux suites partent du même nombre. Prévois leurs trois premiers termes : on ajoute r dans l’une, on multiplie par q dans l’autre.

Cercles bleus : uₙ = u₀ + nr. Carrés corail : vₙ = u₀ × qⁿ. Les points représentent des rangs entiers ; ils ne sont pas reliés.

À partir de 2, ajouter 1 donne 2 ; 3 ; 4 ; 5. Multiplier par 1,25 donne 2 ; 2,5 ; 3,125 ; 3,90625. Un écart constant se distingue d’un facteur constant.

Lire les valeurs et les coordonnées

À partir de 2, ajouter 1 donne 2 ; 3 ; 4 ; 5. Multiplier par 1,25 donne 2 ; 2,5 ; 3,125 ; 3,90625. Un écart constant se distingue d’un facteur constant.

Un facteur 1,25 correspond à une hausse de 25 % à chaque étape. Explique pourquoi cela ne correspond pas à ajouter toujours le même nombre.

Méthode · Comparer un ajout fixe et un pourcentage fixe

Deux réserves contiennent initialement $$2$$ unités. À chaque étape, l'une reçoit $$1$$ unité ; l'autre augmente de $25\,\%$ . Avant de manipuler, prévois les valeurs après trois étapes : « ajouter $$1$$ » et « multiplier par $$1{,}25$$ » décrivent-ils le même changement ?

Étape $$n$$	0	1	2	3
Ajout de $$1$$	2	3	4	5
Hausse de $25\,\%$	2	2,5	3,125	3,90625

Dans le laboratoire, conserve $$u_0=2$$ , $$r=1$$ et $$q=1{,}25$$ . Les mots arithmétique et géométrique désignent ici ces deux règles de calcul. Vérifie ta prédiction, puis observe les étapes suivantes : la hausse en unités du second modèle grandit parce que sa base augmente. Les points représentent des étapes entières, sans imposer de modèle entre deux étapes. Pour réessayer sur papier, remplace $25\,\%$ par $50\,\%$ . Après trois étapes, les valeurs sont $$2$$ , $$3$$ , $$4{,}5$$ , $$6{,}75$$ . Explique pourquoi la troisième augmentation n'est plus $$1$$ unité.

Évolution réciproque

Revenir exactement à la valeur de départ

Une preuve à construire

Trouver l'opération qui ramène au départ

On part de $$V_i>0$$ et l'on multiplie par $$k>0$$ . Quel coefficient $$h$$ permet de revenir de $$V_f=kV_i$$ à $$V_i$$ ? Démontre la formule du taux réciproque, puis explique pourquoi une baisse de $100\,\%$ n'est pas réversible par une hausse en pourcentage.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La condition est $$hV_f=V_i$$ . Remplace $$V_f$$ par $$kV_i$$ , puis utilise $$V_i>0$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

On obtient $$hk=1$$ , donc $$h=1/k$$ . Le taux correspondant est $$h-1$$ , et le coefficient direct est $$k=1+t$$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $$V_i$$ et $$k$$ sont non nuls, les égalités successives donnent

\begin{aligned}h(kV_i)&=V_i,\\[.35em]hk&=1,\\[.35em]h&=\frac1k.\end{aligned}

Le taux réciproque vaut alors

\begin{aligned}t_{\mathrm{réc}}&=\frac1{1+t}-1\\[.35em]&=\frac{1-(1+t)}{1+t}\\[.35em]&=-\frac{t}{1+t}.\end{aligned}

Une baisse de $100\,\%$ correspond à $$k=0$$ et donne $$V_f=0$$ . Multiplier ensuite zéro par un coefficient fini donne toujours zéro : on ne peut pas reconstruire une valeur initiale positive par une hausse relative. C'est la raison concrète de l'exclusion $$t=-1$$ . À reconstruire : après une baisse de $20\,\%$ , calcule

\begin{aligned}h &= 1/0{,}8\\[.35em] &= 1{,}25\end{aligned}

et retrouve la hausse réciproque de $25\,\%$ .

À toi d’essayer

Revenir de 60 à 80

Une quantité passe de $$80$$ à $$60$$ . Calcule le taux direct, puis le taux nécessaire pour revenir de $$60$$ à $$80$$ . Donne d'abord une valeur exacte du taux réciproque ; distingue-la de son écriture arrondie en pourcentage.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux changements valent respectivement $$-20$$ et $$+20$$ , mais les valeurs de référence sont $$80$$ puis $$60$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Calcule $$-20/80$$ et $$20/60$$ . La seconde fraction se simplifie en $$1/3$$ .

Voir l’explication

Le taux direct vaut

\begin{aligned}-20/80 &= -1/4\\[.35em] &= -25\,\%.\end{aligned}

Le taux réciproque vaut $$20/60=1/3$$ , soit exactement $100/3\,\%$ , environ $33{,}33\,\%$ . Le coefficient exact est $$4/3$$ et $60\times4/3=80$ . Utiliser $$1{,}3333$$ donnerait une valeur proche de $$80$$ , pas exactement $$80$$ ; on conserve la fraction pour le contrôle exact. Réessaie : de $$40$$ à $$50$$ , puis retour. Vérification : $+25\,\%$ , puis $-20\,\%$ . Nommer la base à chaque fois explique la différence.

Comparer correctement des pourcentages

Points de pourcentage et évolution relative

À toi d’essayer

Deux annonces qui peuvent être vraies ensemble

Une proportion passe de $20\,\%$ à $25\,\%$ . Une annonce dit « hausse de $$5$$ points » ; une autre dit « hausse de $25\,\%$ ». Explique les deux annonces. Si le groupe conserve $$400$$ personnes, combien de personnes supplémentaires sont concernées ? Peut-on répondre sans connaître la taille finale si le total change ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

L'écart en points compare les nombres $$25$$ et $$20$$ . Le taux relatif compare cet écart à la valeur initiale $$20$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Dans le groupe constant, les effectifs valent $0{,}20\times400$ et $0{,}25\times400$ . Si le total change, le second calcul change aussi.

Voir l’explication

L'écart vaut $$25-20=5$$ points. Le taux relatif vaut

\begin{aligned}\frac{0{,}25-0{,}20}{0{,}20} &= 0{,}25\\[.35em]&= 25\,\%.\end{aligned}

Les annonces répondent donc à deux questions différentes. Avec $$400$$ personnes aux deux dates, les effectifs passent de $$80$$ à $$100$$ , soit $$20$$ personnes de plus. Sans la taille finale, cette différence d'effectifs est indéterminée : $25\,\%$ d'un groupe de $$200$$ ne représente que $$50$$ personnes. Réessaie : de $40\,\%$ à $50\,\%$ , retrouve $$10$$ points et $25\,\%$ de hausse relative.

Indice base 100

Traduire les phrases en calculs

Phrase	Nature	Calcul
$r\,\%$ des élèves	proportion	$n=\dfrac{r}{100}N$
augmente de $r\,\%$	évolution	$V_f=\left(1+\dfrac{r}{100}\right)V_i$
diminue de $r\,\%$	évolution	$V_f=\left(1-\dfrac{r}{100}\right)V_i$
représente $r\,\%$ du total	proportion inverse	$N=\dfrac{n}{r/100}$
revient à sa valeur initiale	évolution réciproque	multiplier par $$1/k$$

Un petit programme de contrôle

def valeur_finale(valeur_initiale, taux_pourcent):
    coefficient = 1 + taux_pourcent / 100
    return valeur_initiale * coefficient

def taux_evolution(valeur_initiale, valeur_finale):
    if valeur_initiale <= 0:
        return None
    return 100 * (valeur_finale / valeur_initiale - 1)

print(valeur_finale(240, -15))  # 204.0
print(round(taux_evolution(80, 92), 2))  # 15.0

Les appels ci-dessus utilisent une valeur initiale positive. La fonction de taux renvoie None si cette hypothèse n'est pas satisfaite ; elle ne tente pas de diviser par zéro. round(..., 2) arrondit le résultat affiché à deux décimales, car les calculs décimaux en machine peuvent donner $14{,}999999\ldots$ au lieu de l'écriture attendue $$15$$ .

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Réunir plusieurs groupes : proportion pondérée

À toi d’essayer

Chaque personne compte une fois

Un groupe de $$10$$ personnes contient $80\,\%$ de cyclistes ; un autre de $$30$$ personnes en contient $40\,\%$ . Quelle est la proportion dans les deux groupes réunis, supposés disjoints ? Pourquoi la moyenne $$(80+40)/2$$ ne répond-elle pas à la question ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Convertis d'abord chaque proportion en effectif, puis additionne les cyclistes et les personnes.

Indice 2 · Un pas de plus

Les effectifs sont $$8$$ et $$12$$ , dans un total de $$40$$ . La moyenne simple donnerait le même poids aux deux groupes malgré leurs tailles différentes.

Voir l’explication

Les groupes comptent $$8$$ et $$12$$ cyclistes. La proportion totale est

\begin{aligned}p&=\frac{8+12}{10+30}\\[.35em]&=\frac{20}{40}\\[.35em]&=50\,\%.\end{aligned}

La moyenne simple donnerait $60\,\%$ et traiterait le groupe de $$10$$ comme celui de $$30$$ . La moyenne pondérée utilise les effectifs pour que chaque personne contribue de la même façon au total. Les groupes sont disjoints : aucune personne ne doit être comptée deux fois. Réessaie : si les deux groupes ont chacun $$20$$ personnes, les proportions $80\,\%$ et $40\,\%$ donnent bien $60\,\%$ au total. Explique ce qui a changé.

Le terme caché dans deux évolutions

Taux moyen sur plusieurs périodes

Quand la partie et le total évoluent tous les deux

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, rédige les étapes, nomme la valeur de référence et contrôle la cohérence du résultat. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Trois écritures d'une proportion

Complète les égalités en donnant, pour chaque nombre, une écriture fractionnaire simplifiée, une écriture décimale et un pourcentage :

0{,}42, \qquad \frac7{20}, \qquad 12{,}5\,\%, \qquad \frac58.

Exercice 2 ★☆☆ : Partie, proportion ou total

Calcule $15\,\%$ de $$840$$ .
Dans une médiathèque, $$126$$ livres représentent $15\,\%$ du fonds. Combien y a-t-il de livres au total ?
Parmi $$480$$ personnes, $$156$$ répondent oui. Calcule la proportion correspondante en pourcentage.

Exercice 3 ★☆☆ : Comparer deux groupes

Dans le groupe A, $$84$$ personnes sur $$240$$ utilisent le vélo. Dans le groupe B, elles sont $$117$$ sur $$360$$ .

Calcule les deux proportions.
Dans quel groupe l'usage du vélo est-il proportionnellement le plus fréquent ?
Donne l'écart en points de pourcentage.

Exercice 4 ★☆☆ : Un pourcentage de pourcentage

Une association compte $1\,000$ membres. $72\,\%$ sont majeurs et, parmi les majeurs, $35\,\%$ sont bénévoles.

Combien y a-t-il de membres majeurs ?
Combien sont à la fois majeurs et bénévoles ?
Quelle proportion de toute l'association représentent-ils ?

Exercice 5 ★★☆ : Retrouver la référence intermédiaire

Dans un lycée, $42\,\%$ des élèves sont demi-pensionnaires. Les élèves de seconde demi-pensionnaires représentent $16{,}8\,\%$ de tous les élèves.

Quelle proportion des demi-pensionnaires est en seconde ?
Si le lycée compte $1\,250$ élèves, donne les deux effectifs concernés.

Exercice 6 ★☆☆ : Décrire deux évolutions

Pour chaque passage, calcule la variation absolue, le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur :

250\longrightarrow285, \qquad 360\longrightarrow306.

Exercice 7 ★☆☆ : Appliquer une hausse ou une baisse

Un abonnement de $$480$$ euros augmente de $12{,}5\,\%$ . Calcule son nouveau prix.
Une réserve de $$75$$ litres diminue de $16\,\%$ . Quelle quantité reste-t-il ?

Exercice 8 ★★☆ : Retrouver la valeur initiale

Après une baisse de $15\,\%$ , une valeur est égale à $$204$$ . Retrouve sa valeur initiale.
Après une hausse de $15\,\%$ , un salaire mensuel est égal à $$575$$ euros dans un modèle simplifié. Retrouve la valeur avant hausse.

Exercice 9 ★★☆ : Deux évolutions successives

Une quantité augmente de $8\,\%$ , puis diminue de $5\,\%$ .

Calcule le coefficient global et le taux global.
Applique ces évolutions à une valeur initiale de $1\,200$ .
Compare le taux exact à la somme $8\,\%-5\,\%$ .

Exercice 10 ★★☆ : Revenir au départ

Une grandeur augmente de $18\,\%$ .

Calcule le coefficient multiplicateur réciproque.
Déduis le taux de baisse nécessaire pour revenir exactement au départ, au centième de pourcentage près.
Vérifie avec une valeur initiale de $$500$$ .

Exercice 11 ★★☆ : Points ou pourcentage ?

Une proportion passe de $24\,\%$ à $30\,\%$ .

Calcule l'écart en points de pourcentage.
Calcule l'évolution relative de cette proportion.
Dans une population constante de $1\,500$ personnes, combien d'individus supplémentaires sont concernés ?

Exercice 12 ★★☆ : Lire des indices base 100

Le prix d'un produit vaut $$75$$ euros à la date de base, d'indice $$100$$ . Plus tard, son indice vaut $$112$$ , puis $$126$$ .

Calcule le prix correspondant à l'indice $$112$$ .
Calcule le prix correspondant à l'indice $$126$$ .
Quel est le taux d'évolution entre les indices $$112$$ et $$126$$ ?

Exercice 13 ★★★ : Mélanger sans moyenner trop vite

Une classe de $$24$$ élèves compte $75\,\%$ de lecteurs réguliers. Une autre classe de $$36$$ élèves en compte $50\,\%$ .

Calcule le nombre de lecteurs réguliers dans chaque classe.
Calcule la proportion dans la réunion des deux classes.
Explique pourquoi la moyenne simple de $75\,\%$ et $50\,\%$ ne convient pas.

Exercice 14 ★★★ : Une évolution répétée

Une population de bactéries, initialement égale à $5\,000$ , augmente de $3\,\%$ à chacune de cinq étapes.

Écris le coefficient global sous forme d'une puissance.
Calcule la population finale à l'unité près.
Calcule le taux d'évolution global au centième de pourcentage près.
Compare avec l'approximation $5\times3\,\%$ .

Exercice 15 ★★★ : Une proportion qui évolue

Une catégorie représente initialement $32\,\%$ d'une population.

L'effectif de la catégorie augmente de $20\,\%$ et l'effectif total de $8\,\%$ . Calcule la nouvelle proportion.
Dans une seconde situation indépendante, on repart de la proportion initiale $32\,\%$ et le total augmente de $10\,\%$ . De quel taux la catégorie doit-elle augmenter pour représenter $40\,\%$ du nouveau total ?
Explique pourquoi on doit comparer deux coefficients multiplicateurs.

Problème : La Cantine solidaire ★★★

Partie A - Une enquête dans le lycée

Le lycée compte $1\,200$ élèves. $65\,\%$ sont demi-pensionnaires, notés $$D$$ . Les autres sont externes, notés $$X$$ . Parmi les demi-pensionnaires, $40\,\%$ déclarent préférer un menu végétarien. Parmi les externes, cette préférence est déclarée par $25\,\%$ .

Calcule le nombre de demi-pensionnaires.
Calcule le nombre d'externes.
Calcule le nombre de demi-pensionnaires préférant un menu végétarien.
Calcule le nombre d'externes préférant ce menu.
Déduis l'effectif total puis la proportion de tous les élèves préférant un menu végétarien.
Retrouve cette proportion avec la formule de moyenne pondérée.

Partie B - Le prix d'un repas

Le prix initial d'un repas est $P_0=4{,}80$ euros. Il augmente d'abord de $12\,\%$ , puis bénéficie d'une réduction de $5\,\%$ . Une subvention réduit ensuite le prix obtenu de $20\,\%$ . On étudie ici des montants théoriques sans arrondi intermédiaire ; un prix payable au centime serait arrondi seulement à la fin.

Donne les coefficients multiplicateurs des deux premières évolutions.
Calcule le prix après la hausse de $12\,\%$ .
Calcule le prix après la réduction de $5\,\%$ .
Calcule le coefficient et le taux globaux des deux premières évolutions.
Calcule le prix final après la subvention.
Calcule le coefficient et le taux globaux entre $$P_0$$ et ce prix final.

Partie C - Ajuster une subvention

Une enveloppe initiale de $50\,000$ euros diminue de $8\,\%$ . Elle doit ensuite augmenter d'un taux $$r$$ pour atteindre $51\,520$ euros.

Calcule l'enveloppe après la diminution.
Écris une équation vérifiée par $$r$$ .
Résous cette équation et exprime $$r$$ en pourcentage.
Quel taux aurait-il fallu appliquer juste après la baisse de $8\,\%$ pour revenir à $50\,000$ euros ?

Partie D - Des indices pour suivre le prix

On attribue l'indice $$100$$ au prix initial $$P_0$$ .

Donne successivement l'indice après la hausse, après la réduction, puis après la subvention.
Calcule le taux d'évolution entre l'indice atteint après la hausse et l'indice final.
L'année suivante, le prix final augmente de $10\,\%$ . Calcule le nouvel indice et compare-le à $$100$$ .
Déduis le nouveau prix exact.

Partie E - Un plan sur trois années

Un second budget de $50\,000$ euros augmente du même taux $$r$$ pendant deux années, puis diminue de $10\,\%$ la troisième année. Il vaut alors exactement $54\,450$ euros.

Traduis la situation par une équation faisant intervenir $$(1+r)^2$$ .
Résous l'équation en sachant que $$1+r>0$$ .
Calcule le taux global exact et explique pourquoi le calcul par addition $r+r-10\,\%$ ne donne pas ce résultat.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie A - Une enquête dans le lycée

Partie B - Le prix d'un repas

Démonstration · Suivre la chaîne des coefficients

La hausse de $12\,\%$ a pour coefficient $$1{,}12$$ . La réduction de $5\,\%$ a pour coefficient $$0{,}95$$ .
Après la hausse,
$\begin{aligned}P_1 &= 4{,}80\times1{,}12\\[.35em]&= \boxed{5{,}376\ \text{euros}}.\end{aligned}$
Après la réduction,
$\begin{aligned}P_2 &= 5{,}376\times0{,}95\\[.35em]&= \boxed{5{,}1072\ \text{euros}}.\end{aligned}$
Pour les deux premières évolutions,
$\begin{aligned}K_2 &= 1{,}12\times0{,}95\\[.35em]&= \boxed{1{,}064}.\end{aligned}$
Le taux global vaut $1{,}064-1=\boxed{6{,}4\,\%}$ .
La subvention correspond au coefficient $$0{,}80$$ . Ainsi
$\begin{aligned}P_3 &= 5{,}1072\times0{,}80\\[.35em]&= \boxed{4{,}08576\ \text{euros}}.\end{aligned}$
Entre $$P_0$$ et $$P_3$$ , le coefficient global est
$\begin{aligned}K &= 1{,}12\times0{,}95\times0{,}80\\[.35em]&= \boxed{0{,}8512}.\end{aligned}$
Le taux global vaut $$0{,}8512-1=-0{,}1488$$ : le prix final est inférieur de $\boxed{14{,}88\,\%}$ au prix initial.

Partie C - Ajuster une subvention

Partie D - Des indices pour suivre le prix

Démonstration · Les indices suivent les mêmes coefficients

En partant de l'indice $$100$$ :
$\begin{aligned}I_1 &= 100\times1{,}12\\[.35em]&= \boxed{112},\end{aligned}$ $\begin{aligned}I_2 &= 112\times0{,}95\\[.35em]&= \boxed{106{,}4}\end{aligned}$ $\begin{aligned}I_3 &= 106{,}4\times0{,}80\\[.35em]&= \boxed{85{,}12}.\end{aligned}$
Entre l'indice $$112$$ et l'indice $$85{,}12$$ ,
$\begin{aligned}k &= \frac{85{,}12}{112}\\[.35em]&= 0{,}76.\end{aligned}$
Il s'agit donc d'une $\boxed{\text{baisse de }24\,\%}$ . On retrouve $0{,}95\times0{,}80=0{,}76$ .
Après une hausse de $10\,\%$ ,
$\begin{aligned}I_4 &= 85{,}12\times1{,}10\\[.35em]&= \boxed{93{,}632}.\end{aligned}$
Cet indice reste inférieur à $$100$$ de $$100-93{,}632=6{,}368$$ points ; le prix reste donc $6{,}368\,\%$ sous le prix de base.
Le nouveau prix exact vaut
$\begin{aligned}P_4 &= 4{,}80\times\frac{93{,}632}{100}\\[.35em]&= \boxed{4{,}494336\ \text{euros}}.\end{aligned}$

Partie E - Un plan sur trois années

Fiche-mémoire

Un pourcentage n'a de sens qu'avec sa référence.

Pour vérifier tes capacités, reprends sans le corrigé : $$18$$ personnes représentent $12\,\%$ d'un groupe ; un montant de $$200$$ augmente de $10\,\%$ puis baisse de $5\,\%$ . Nomme chaque référence et contrôle les résultats. Repères à consulter ensuite : $$150$$ personnes ; $$220$$ puis $$209$$ , soit $4{,}5\,\%$ de hausse globale.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les pourcentages ?

Proportion dans une population

Population de référence et sous-population

Trois écritures pour la même proportion

Calculer la partie ou retrouver le tout

Pourcentage de pourcentage

Des ensembles emboîtés

Remonter une proportion conditionnelle

Mesurer une évolution

Valeur initiale et valeur finale

Le lien fondamental entre taux et coefficient

Trouver la grandeur inconnue

Évolutions successives

Multiplier les coefficients

Répéter la même évolution

Évolution réciproque

Revenir exactement à la valeur de départ

Comparer correctement des pourcentages

Points de pourcentage et évolution relative

Indice base 100

Traduire les phrases en calculs

Un petit programme de contrôle

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Réunir plusieurs groupes : proportion pondérée

Le terme caché dans deux évolutions

Taux moyen sur plusieurs périodes

Quand la partie et le total évoluent tous les deux

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Trois écritures d'une proportion

Exercice 2 ★☆☆ : Partie, proportion ou total

Exercice 3 ★☆☆ : Comparer deux groupes

Exercice 4 ★☆☆ : Un pourcentage de pourcentage

Exercice 5 ★★☆ : Retrouver la référence intermédiaire

Exercice 6 ★☆☆ : Décrire deux évolutions

Exercice 7 ★☆☆ : Appliquer une hausse ou une baisse

Exercice 8 ★★☆ : Retrouver la valeur initiale

Exercice 9 ★★☆ : Deux évolutions successives

Exercice 10 ★★☆ : Revenir au départ

Exercice 11 ★★☆ : Points ou pourcentage ?

Exercice 12 ★★☆ : Lire des indices base 100

Exercice 13 ★★★ : Mélanger sans moyenner trop vite

Exercice 14 ★★★ : Une évolution répétée

Exercice 15 ★★★ : Une proportion qui évolue

Problème : La Cantine solidaire ★★★

Partie A - Une enquête dans le lycée

Partie B - Le prix d'un repas

Partie C - Ajuster une subvention

Partie D - Des indices pour suivre le prix

Partie E - Un plan sur trois années

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

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Partie B - Le prix d'un repas

Partie C - Ajuster une subvention

Partie D - Des indices pour suivre le prix

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