Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Identifier l'inconnue, son domaine et l'ensemble des solutions recherché.
- Transformer une équation en conservant exactement ses solutions.
- Traiter des inconnues aux deux membres, des fractions et un produit nul.
- Reconnaître une impossibilité, une identité et une solution interdite.
- Traduire une situation par une équation et contrôler la réponse dans le contexte.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Effectuer des calculs avec des nombres relatifs et des fractions.
- Développer une parenthèse et réduire des termes de même nature.
- Savoir qu'un dénominateur ne peut pas être nul.
Une égalité à tester pour des valeurs précises
Résoudre une équation, c'est chercher toutes les valeurs autorisées de l'inconnue qui rendent une égalité vraie. Dans \(2x+3=11\), la lettre \(x\) désigne le nombre à trouver. En essayant \(x=4\), le membre de gauche donne \(11\), comme celui de droite : \(4\) est une solution. Cette vérification montre qu'une valeur convient ; il reste à expliquer pourquoi on a trouvé toutes les solutions.
Le domaine est l'ensemble dans lequel on cherche. Sans autre restriction, une équation polynomiale peut être étudiée sur \(\mathbb R\). Une fraction impose d'exclure les zéros du dénominateur. Dans un problème concret, l'inconnue peut être une longueur positive ou un nombre entier de billets. Écrire ce cadre au début évite d'accepter une valeur qui vérifie un calcul mais ne correspond pas à la question.
L'ensemble des solutions se note souvent \(S\). Une solution unique s'écrit par exemple \(S=\{4\}\). Deux solutions se placent dans le même ensemble. S'il n'y en a aucune, on écrit \(S=\varnothing\). Dire « aucune solution » est une conclusion mathématique possible ; cela ne signifie pas nécessairement qu'un calcul a échoué.
Faire une opération qui garde les mêmes solutions
Une équivalence, notée \(\Longleftrightarrow\), signifie que les deux équations ont exactement les mêmes solutions dans le domaine annoncé. Ajouter ou soustraire une même expression définie aux deux membres préserve l'égalité. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul le permet aussi. L'opération doit porter sur chaque membre entier.
« Passer de l'autre côté en changeant le signe » résume une soustraction ou une addition. Tu peux revenir à l'opération complète dès qu'un signe devient difficile à suivre. Pour \(2x+3=11\), on soustrait \(3\) aux deux membres, puis on divise par \(2\) :
Diviser par une expression contenant l'inconnue demande davantage d'attention : elle peut être nulle et faire perdre une solution. Dans \(x(x-2)=0\), diviser par \(x\) ferait disparaître la solution \(0\). On conserve plutôt le produit et on utilise la règle du produit nul.
Élever au carré n'est pas toujours une équivalence non plus : \(x=-2\) implique \(x^2=4\), mais cette dernière équation accepte aussi \(2\). Si une étape ajoute potentiellement des solutions, la vérification dans l'équation initiale devient indispensable. Avec les opérations réversibles ci-dessous, on peut justifier à la fois qu'aucune solution n'est perdue et qu'aucune n'est ajoutée.
Trois formes d'équations, trois stratégies
Exemple 1 — L'inconnue apparaît dans les deux membres
Résolvons \(2(3x-4)=5x+7\) sur \(\mathbb R\). On développe d'abord le membre de gauche ; on soustrait ensuite \(5x\) aux deux membres, puis on ajoute \(8\).
Les termes en \(x\) ont été rassemblés, puis l'inconnue isolée. Toutes les étapes sont réversibles, donc \(S=\{15\}\). Contrôlons dans l'énoncé de départ : \(2(3\times15-4)=82\), tandis que \(5\times15+7=82\). Cette vérification détecterait notamment l'oubli de multiplier \(-4\) par \(2\).
Exemple 2 — Un dénominateur dépend de l'inconnue
Résolvons \(\frac{x+1}{x-2}=3\). Le dénominateur impose \(x\ne2\). Sur ce domaine, \(x-2\) est non nul : multiplier les deux membres par cette expression est une opération réversible pour une égalité.
La valeur \(7/2\) est autorisée, car elle diffère de \(2\). Pour la vérifier, le numérateur vaut \(9/2\) et le dénominateur \(3/2\), donc leur quotient vaut \(3\). Ainsi \(S=\{7/2\}\). Le signe de \(x-2\) n'a pas besoin d'être connu pour cette égalité ; c'est sa non-nullité qui compte. Pour une inégalité, son signe deviendrait essentiel.
Exemple 3 — Garder un produit déjà utile
Résolvons \((2x-3)(x+4)=0\) sur \(\mathbb R\). Un produit de nombres réels est nul si et seulement si au moins un facteur est nul. Développer est possible, mais la forme actuelle donne directement deux équations simples :
On obtient \(S=\{-4;3/2\}\). Pour chaque valeur, l'un des facteurs s'annule, donc le produit vaut bien zéro. Il suffit d'un facteur nul : on ne demande pas que les deux s'annulent simultanément. Cette règle ne s'applique pas directement à un produit égal à \(5\), ni à une somme égale à zéro. Si nécessaire, on rassemble d'abord tout dans un même membre, puis on cherche une factorisation.
Quand l'inconnue disparaît du calcul
Considérons \(3x+2=3x+5\). Soustraire \(3x\) laisse \(2=5\), une affirmation fausse quelle que soit la valeur de \(x\). L'équation n'a aucune solution. Au contraire, \(2(x+1)=2x+2\) se réduit à une égalité toujours vraie : toutes les valeurs du domaine sont solutions. Ici, le domaine est \(\mathbb R\), donc \(S=\mathbb R\).
Avec une fraction, « toutes les valeurs » signifie toujours toutes les valeurs autorisées. L'équation \((x^2-4)/(x-2)=x+2\) est vraie pour chaque \(x\ne2\), puisque \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Elle reste non définie en \(2\), même après simplification. Son ensemble de solutions est \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
Dans une modélisation, on commence par nommer ce que compte \(x\). Si deux tarifs valent \(4+2n\) et \(10+n\) euros pour \(n\) séances, leur égalité donne \(n=6\), avec un prix commun de \(16\) euros. Le nombre obtenu est entier et positif : il correspond bien à un nombre de séances. Une solution algébrique négative aurait demandé une conclusion différente dans ce contexte.
Trois essais avec aides progressives
Écris le domaine et l'opération effectuée à chaque étape. Si le calcul bloque, ouvre un indice, puis essaie de reprendre avant de lire la correction. Après chaque réponse, le contrôle porte sur l'équation initiale, qui conserve toutes les conditions du problème.
À toi de jouer · à ton rythme
1 — Une fraction et des inconnues des deux côtés
Résous \((3x-5)/2=x+1\), puis vérifie la valeur trouvée dans les deux membres.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Le dénominateur est le nombre non nul \(2\), donc le domaine est \(\mathbb R\). Multiplie les deux membres entiers par \(2\).
Indice 2 · avancer d’une étape
Tu obtiens \(3x-5=2(x+1)\). Il faut distribuer le \(2\) sur les deux termes de la parenthèse.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Le membre de gauche vaut \((21-5)/2=8\), et celui de droite \(7+1=8\). Les équivalences donnent \(S=\{7\}\). Réessaie : remplace \(-5\) par \(+5\), puis refais la vérification avec ta nouvelle solution.
À toi de jouer · à ton rythme
2 — Une candidate qui ne peut pas être acceptée
Résous \((x+2)/(x-1)=3/(x-1)\). Explique pourquoi isoler une valeur de \(x\) ne suffit pas toujours à conclure qu'elle est solution.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Commence par exclure la valeur qui annule les dénominateurs. Conserve cette restriction pendant tout le calcul.
Indice 2 · avancer d’une étape
Sur le domaine \(x\ne1\), multiplie par \(x-1\). L'équation obtenue est \(x+2=3\).
Voir le corrigé entièrement rédigé
La seule candidate est précisément exclue. Les deux fractions initiales seraient indéfinies en \(1\), donc \(S=\varnothing\). La restriction n'est pas annulée par la multiplication. Réessaie : remplace le numérateur \(3\) du membre de droite par \(4\). La nouvelle candidate appartient-elle au domaine ?
À toi de jouer · à ton rythme
3 — Choisir une inconnue dans un problème
Un rectangle a un périmètre de \(30\) cm. Sa longueur dépasse de \(3\) cm le double de sa largeur. Détermine ses dimensions et contrôle les deux informations de l'énoncé.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Note \(x\) la largeur en centimètres. La longueur vaut alors \(2x+3\), et le périmètre comprend deux largeurs et deux longueurs.
Indice 2 · avancer d’une étape
L'équation est \(2x+2(2x+3)=30\), avec \(x\gt0\). Commence par développer puis regrouper.
Voir le corrigé entièrement rédigé
La largeur vaut \(4\) cm, la longueur \(2\times4+3=11\) cm. Elles sont positives, le périmètre vaut \(2\times4+2\times11=30\) cm, et la relation entre les dimensions est respectée. Réessaie : garde la même relation entre longueur et largeur, mais prends un périmètre de \(42\) cm. Repars de la mise en équation.
Après comparaison, où en es-tu ?
Identifier l'étape à retravailler
Une réponse est complète lorsqu'elle présente le domaine, des transformations justifiées, l'ensemble des solutions et un contrôle. Si une erreur apparaît, localise son origine : traduction de l'énoncé, développement, fraction, opération sur les deux membres ou oubli d'une restriction. Cette localisation donne une tâche précise à reprendre.
Pour travailler les transformations d'expressions, utilise simplifier et factoriser. Pour résoudre une comparaison plutôt qu'une égalité, passe à résoudre une inéquation. Si l'équation se ramène à un trinôme non factorisé, la méthode du second degré détaille les stratégies adaptées.