Résoudre une inéquation

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Justifier le changement de sens lors d'une multiplication ou division négative.
Traduire une réponse par des intervalles avec les bonnes inclusions.
Résoudre une inéquation linéaire, un encadrement et une comparaison rationnelle.
Distinguer un zéro autorisé d'une valeur interdite.
Contrôler une réponse en testant les bornes et une valeur de chaque intervalle.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Calculer avec des nombres relatifs et développer une parenthèse.
Lire les symboles inférieur, supérieur et leurs versions larges.
Repérer les zéros d'un facteur linéaire et d'un dénominateur.

Chercher un ensemble de valeurs

Une équation demande quand deux expressions sont égales. Une inéquation demande quand l'une est plus petite ou plus grande que l'autre. Sa réponse peut être un intervalle entier, plusieurs intervalles, tous les réels autorisés ou aucun. Pour $x+2\leqslant5$ , toutes les valeurs $x\leqslant3$ conviennent, et pas seulement la valeur $$3$$ .

Les mots de l'énoncé précisent l'inclusion des bornes. « Au plus $$5$$ » signifie $\leqslant5$ ; « strictement moins de $$5$$ » signifie $\lt5$ . « Au moins » correspond à $\geqslant$ , tandis que « plus de » peut exprimer une comparaison stricte selon le contexte. Avant de calculer, traduis cette nuance explicitement.

Comme pour une équation, commence par le domaine. Une fraction n'est définie que si son dénominateur est non nul. Une borne interdite restera exclue, même si le symbole demandé est large. Dans un problème de billets, de personnes ou de séances, les solutions réelles devront ensuite être adaptées aux valeurs entières autorisées.

Le signe du nombre par lequel on multiplie compte

Ajouter ou soustraire la même expression définie aux deux membres conserve le sens de la comparaison. Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve aussi le sens. Avec un nombre strictement négatif, le sens s'inverse : $2\lt5$ , mais $-2\gt-5$ . Sur une droite graduée, changer le signe reflète les positions par rapport à zéro ; l'ordre gauche-droite s'inverse.

Le changement de sens n'est donc pas une règle liée au déplacement d'un terme. Dans $-2x+3\leqslant7$ , soustraire $$3$$ ne change pas le sens. C'est la division par $$-2$$ qui le change :

\begin{aligned}-2x+3\leqslant7&\Longleftrightarrow -2x\leqslant4\\[.4em]&\Longleftrightarrow x\geqslant-2.\end{aligned}

On ne divise jamais par zéro. Si la simplification donne $0x\leqslant4$ , tous les réels du domaine conviennent. Si elle donne $0x\gt4$ , aucun ne convient. Dans les deux cas, on examine l'affirmation obtenue au lieu d'essayer d'isoler $$x$$ par une division impossible.

Attention au signe inconnu : multiplier une inéquation par $$x-1$$ sans savoir s'il est positif ou négatif empêche de choisir le bon sens. Il faudrait distinguer les deux cas. Une méthode souvent plus claire consiste à rassembler tout dans un membre, puis à étudier le signe de l'expression obtenue.

Trois stratégies selon la forme de l'expression

Exemple 1 — Un coefficient négatif

Résolvons $-3(2x-1)\leqslant9$ sur $\mathbb R$ . On peut développer, soustraire $$3$$ , puis diviser par $$-6$$ . Le changement de sens intervient seulement à la dernière étape.

\begin{aligned}-3(2x-1)\leqslant9&\Longleftrightarrow -6x+3\leqslant9\\[.4em]&\Longleftrightarrow -6x\leqslant6\\[.4em]&\Longleftrightarrow x\geqslant-1.\end{aligned}

La réponse est $S=[-1;+\infty[$ . La borne $$-1$$ est incluse car l'inégalité accepte l'égalité : le membre de gauche vaut alors $$9$$ . Le nombre $$0$$ convient, puisque $3\leqslant9$ . En revanche, $$-2$$ ne convient pas, puisque le membre de gauche vaut $$15$$ . Ces tests contrôlent le sens de l'intervalle ; les équivalences justifient la réponse complète.

Exemple 2 — Un produit à comparer à zéro

Résolvons $(x-2)(x+1)\geqslant0$ . Les facteurs s'annulent en $$2$$ et en $$-1$$ . Un produit non nul est positif lorsque ses facteurs ont le même signe. On examine les trois intervalles délimités par les zéros :

Signe du produit selon l'abscisse
Intervalle	Signes des facteurs	Produit
$]-\infty;-1[$	Deux négatifs	Positif
$$]-1;2[$$	Signes opposés	Négatif
$]2;+\infty[$	Deux positifs	Positif

Aux abscisses $$-1$$ et $$2$$ , le produit vaut zéro ; ces deux valeurs sont autorisées et acceptées par $\geqslant0$ . Ainsi $S=]-\infty;-1]\cup[2;+\infty[$ . On utilise une union car il suffit d'appartenir à l'un des deux morceaux. Exiger que les deux facteurs soient positifs aurait oublié tout l'intervalle de gauche.

Exemple 3 — Une fraction à comparer à un nombre non nul

Résolvons $(x-1)/(x+2)\lt2$ , avec $x\ne-2$ . Le signe de $$x+2$$ dépend de $$x$$ , donc on ne multiplie pas directement par ce dénominateur. On soustrait $$2$$ , puis on met au même dénominateur :

\begin{aligned}\frac{x-1}{x+2}\lt2&\Longleftrightarrow \frac{x-1}{x+2}-2\lt0\\[.4em]&\Longleftrightarrow \frac{x-1-2(x+2)}{x+2}\lt0\\[.4em]&\Longleftrightarrow \frac{-x-5}{x+2}\lt0.\end{aligned}

Le numérateur s'annule en $$-5$$ , le dénominateur en $$-2$$ . Avant $$-5$$ , les signes sont positif et négatif : le quotient est négatif. Entre $$-5$$ et $$-2$$ , ils sont tous deux négatifs : le quotient est positif. Après $$-2$$ , les signes sont négatif et positif : le quotient est négatif.

On exclut $$-5$$ , où le quotient transformé vaut zéro, car l'inégalité est stricte. On exclut $$-2$$ , où il est indéfini. On obtient $S=]-\infty;-5[\cup]-2;+\infty[$ . Le test $$x=0$$ redonne $-1/2\lt2$ , et le test $$x=-3$$ donne $4\lt2$ , qui est faux : ils confirment les morceaux choisis.

Traduire les bornes sans perdre leur sens

Pour $x\gt a$ , la borne $$a$$ est exclue : on écrit $]a;+\infty[$ . Pour $x\geqslant a$ , elle est incluse : $[a;+\infty[$ . L'infini n'est pas un nombre que l'on pourrait atteindre ; le crochet est toujours ouvert de ce côté. Une représentation sur une droite graduée aide à vérifier que les valeurs retenues sont du bon côté.

Un encadrement comme $-2\leqslant x\lt3$ impose deux conditions simultanées : il correspond à $$[-2;3[$$ . C'est une intersection de conditions, car chacune doit être satisfaite. Au contraire, $x\leqslant-2$ ou $x\geqslant3$ donne une union de deux intervalles. Les mots « et » et « ou » changent donc l'ensemble recherché.

Pour un budget de $$18$$ euros et un tarif $$4+2n$$ , on résout $4+2n\leqslant18$ , soit $n\leqslant7$ . Comme $$n$$ représente un nombre de séances, les réponses possibles sont les entiers de $$0$$ à $$7$$ . Une valeur telle que $$6{,}5$$ satisfait la comparaison réelle, mais ne représente pas ici un nombre entier de séances.

Trois exercices pour contrôler les réflexes

Après le calcul, teste chaque borne finie dans l'expression initiale. Pour un quotient, vérifie d'abord que ce test est autorisé. Prends ensuite une valeur à l'intérieur de chaque intervalle proposé pour contrôler le sens, tout en conservant la justification par les transformations ou le tableau.

À toi de jouer · à ton rythme

1 — Une borne stricte

Résous $5-2x\gt9$ et écris la réponse avec un intervalle. Le nombre $$-2$$ appartient-il à cet ensemble ?

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Soustrais $$5$$ aux deux membres. Le sens ne change pas lors de cette soustraction.

Indice 2 · avancer d’une étape

Tu obtiens $-2x\gt4$ . La division suivante se fait par un nombre négatif.

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}5-2x\gt9&\Longleftrightarrow -2x\gt4\\[.4em]&\Longleftrightarrow x\lt-2.\end{aligned}

Ainsi $S=]-\infty;-2[$ . En $$-2$$ , le membre de gauche vaut $$9$$ , ce qui ne satisfait pas $9\gt9$ . La borne est donc exclue. En $$-3$$ , on obtient $11\gt9$ , ce qui convient. Réessaie : remplace le symbole $\gt$ initial par $\geqslant$ , puis explique ce qui change dans la réponse.

À toi de jouer · à ton rythme

2 — Deux conditions en même temps

Résous l'encadrement $-1\leqslant2x+3\lt7$ . Écris un seul intervalle et explique pourquoi ses deux crochets sont différents.

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

On peut soustraire $$3$$ aux trois membres de l'encadrement, ce qui revient à traiter les deux inégalités simultanément.

Indice 2 · avancer d’une étape

Après soustraction, on obtient $-4\leqslant2x\lt4$ . Diviser les trois membres par $$2$$ conserve les deux sens.

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}-1\leqslant2x+3\lt7&\Longleftrightarrow -4\leqslant2x\lt4\\[.4em]&\Longleftrightarrow -2\leqslant x\lt2.\end{aligned}

La réponse est $$S=[-2;2[$$ . En $$-2$$ , l'expression vaut $$-1$$ , accepté par la première comparaison large. En $$2$$ , elle vaut $$7$$ , refusé par la seconde comparaison stricte. Réessaie : résous $-1\leqslant-2x+3\lt7$ , en traitant séparément les deux comparaisons si cela aide à suivre les changements de sens.

À toi de jouer · à ton rythme

3 — Une égalité permise, un dénominateur interdit

Résous $(x-3)/(x-1)\leqslant0$ . Compare précisément les rôles de $$1$$ et de $$3$$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

La valeur $$1$$ annule le dénominateur et doit être exclue. La valeur $$3$$ annule seulement le numérateur.

Indice 2 · avancer d’une étape

Étudie les signes sur $]-\infty;1[$ , $$]1;3[$$ et $]3;+\infty[$ . Un quotient non nul est négatif quand ses deux signes sont opposés.

Voir le corrigé entièrement rédigé

Avant $$1$$ , le numérateur et le dénominateur sont négatifs : le quotient est positif. Entre $$1$$ et $$3$$ , le numérateur est négatif et le dénominateur positif : le quotient est négatif. Après $$3$$ , les deux sont positifs. En $$3$$ , le quotient vaut $$0/2=0$$ , autorisé par $\leqslant0$ . En $$1$$ , il est indéfini. La réponse est donc $$S=]1;3]$$ . Réessaie : remplace $\leqslant0$ par $\geqslant0$ et explique pourquoi $$1$$ reste exclu.

Choisir la méthode adaptée à la difficulté

Si le calcul est linéaire, garde visibles les opérations et leur effet sur l'ordre. Si un produit ou un quotient apparaît, la méthode du tableau de signes organise l'étude de tous les intervalles. Si la transformation algébrique bloque, reprends simplifier et factoriser.

Pour distinguer les règles communes et les différences, compare avec la résolution d'une équation. Avant de poursuivre, refais une variante sans regarder sa correction : savoir expliquer pourquoi une borne est ouverte ou fermée compte autant que trouver sa valeur.