Fonctions, courbes et variations · Seconde professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Où se trouve le point A(−2 ; 3) par rapport à l’origine ?

2 unités à droite et 3 vers le bas2 unités à gauche et 3 vers le haut3 unités à gauche et 2 vers le haut

2. Que vaut 5 − (2 + 4) ?

−137

3. Quel nombre est le plus grand : −7, −2 ou 0 ?

0−7−2

4. Entre 0 et 1, une droite est partagée en 4 intervalles égaux. Quelle est la troisième graduation après 0 ?

1,250,30,75

5. Que vaut 2t² + 3 pour t = −2 ?

−51911

Pourquoi ce chapitre ?

Une fonction associe une valeur à chaque entrée. Les images, les antécédents et les variations servent à répondre à des questions différentes sur un même graphique. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Variable, image et antécédent.
Lire une courbe et un tableau de variations.
La fonction carré.
Décaler et multiplier une courbe.
Résoudre avec des courbes.

L’idée avant la formule

L’image répond à « quelle hauteur à cet instant ? ». Un antécédent répond à « à quel instant cette hauteur est-elle atteinte ? ». Plusieurs instants peuvent donner la même hauteur.

Le cours formel

Variable, image et antécédent

Intuition · Construire la notion pas à pas

Identifier une entrée et une sortie. Une machine de calcul reçoit un nombre, lui applique une règle et produit un résultat. Pour la règle « mettre au carré puis ajouter 1 », l'entrée 2 donne 5. La notation $$f(2)=5$$ signifie exactement cela : 2 est une entrée, 5 est sa sortie.

Une même sortie peut venir de plusieurs entrées. L'entrée -2 donne elle aussi $$(-2)^2+1=5$$ . Il n'y a pas de contradiction : une fonction exige une seule sortie pour chaque entrée autorisée, mais n'exige pas que toutes les sorties soient différentes.

La question fixe le sens du travail. Chercher l'image de 2 signifie que l'entrée est donnée : on calcule. Chercher les antécédents de 5 signifie que la sortie est donnée : on cherche toutes les entrées capables de la produire. On écrit alors une équation.

Le domaine fait partie de la fonction. Pour une durée entre zéro et six heures, on ne peut pas retenir une solution à sept heures. Une formule algébrique peut avoir un sens au-delà du contexte ; la fonction étudiée reste limitée aux entrées autorisées. On contrôle donc le domaine avant de calculer et après avoir résolu.

Exemple · Exemple commenté

Étudions $$f(x)=x^2+1$$ pour $x\in[-3;3]$ .

Pour l'image de -2, on vérifie d'abord que $-2\in[-3;3]$ . On remplace x par -2 avec des parenthèses :
$\begin{aligned}f(-2) &= (-2)^2+1\\[.35em] &= 4+1\\[.35em] &= 5.\end{aligned}$
Pour les antécédents de 5, on écrit $$x^2+1=5$$ . Soustraire 1 donne $$x^2=4$$ . Deux nombres conviennent dans les réels : -2 et 2, car leurs carrés valent 4.
On vérifie le domaine : -2 et 2 appartiennent tous deux à $$[-3;3]$$ . Ils sont donc tous deux des antécédents de 5 pour cette fonction.
Pour les antécédents de 0, l'équation serait $$x^2=-1$$ . Or un carré réel est positif ou nul. Cette équation n'a donc aucune solution réelle.

Traduction sur la courbe. L'égalité $$f(-2)=5$$ signifie que le point $$(-2;5)$$ est sur la courbe. La même sortie 5 correspond aussi au point $$(2;5)$$ . Pour retrouver des antécédents, on cherche les abscisses des points de hauteur 5.

Lire une courbe et un tableau de variations

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire le rôle des deux axes. Sur la courbe d'une fonction, l'axe horizontal porte les entrées et l'axe vertical les sorties. Avant une lecture, relève les graduations et les unités. Une graduation d'un centimètre sur le dessin ne signifie pas nécessairement une unité mathématique.

Suivre un trajet pour une image. Repère l'entrée sur l'axe horizontal, monte ou descends jusqu'à la courbe, puis rejoins horizontalement l'axe vertical. Pour des antécédents, fais le trajet inverse et recherche toutes les intersections possibles à la hauteur demandée.

Lire les variations de gauche à droite. On observe ce que deviennent les images lorsque les abscisses augmentent. Une courbe peut être au-dessous de l'axe et pourtant monter : signe et variation répondent à des questions différentes. « Strictement croissante » signifie que deux entrées distinctes dans cet ordre donnent des images strictement dans le même ordre.

Un extremum possède deux informations. Une hauteur maximale est une valeur de la fonction ; l'instant où elle est atteinte est une entrée. Dire « maximum 3 » lorsqu'on veut dire « maximum atteint en 3 » peut donc changer complètement la réponse. Un tableau de variations permet de contrôler les extrema sur toutes les portions de l'intervalle.

Schéma : Lire une courbe et un tableau de variations

Exemple · Exemple commenté

Une fonction croît de 2 à 7 sur $$[0;3]$$ , puis décroît jusqu'à 1 sur $$[3;5]$$ . Le tableau exprime que $$f(0)=2$$ , $$f(3)=7$$ et $$f(5)=1$$ . Sur la première portion, aucune image ne dépasse 7 puisqu'on monte jusqu'à cette valeur. Sur la seconde, on repart de 7 pour descendre ; aucune image ne dépasse donc 7 non plus.

Le maximum sur tout $$[0;5]$$ est ainsi 7, atteint au moins pour x égal à 3. Pour le minimum, on ne choisit pas automatiquement la première valeur du tableau. La plus petite image sur la première portion est 2 ; sur la seconde, c'est 1. On compare ces deux valeurs : le minimum global est 1, atteint en 5.

Ce que ne dit pas une simple table de valeurs. Si l'on connaissait seulement les trois égalités $$f(0)=2$$ , $$f(3)=7$$ , $$f(5)=1$$ , sans les variations, la courbe pourrait monter au-dessus de 7 entre deux points. Ici, ce sont les informations de croissance et de décroissance sur des intervalles entiers qui permettent la conclusion.

La fonction carré

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comprendre le carré. Le carré d'un nombre est son produit par lui-même : $x^2=x\times x$ . Un nombre et son opposé ont le même carré :

\begin{aligned}(-3)^2 &= 3^2\\[.35em] &= 9.\end{aligned}

Tout carré réel est donc positif ou nul, et il ne vaut zéro que si le nombre vaut zéro.

Le rôle des parenthèses. Dans $$(-3)^2$$ , le signe moins appartient au nombre multiplié. Dans $$-3^2$$ , on calcule d'abord le carré de 3, puis on prend son opposé : le résultat vaut -9. La priorité de l'exposant explique la différence.

Chercher un nombre à partir de son carré. Si $$a>0$$ , $\sqrt a$ désigne le nombre positif dont le carré vaut a. L'équation $$x^2=a$$ a pourtant deux solutions : $\sqrt a$ et $-\sqrt a$ . Si $$a=0$$ , il reste uniquement zéro ; si $$a<0$$ , aucune solution réelle n'est possible.

Passer du calcul au contexte. Une longueur ne peut pas être négative. On élimine donc la racine négative dans un problème de côté d'un carré, mais pas dans une équation purement algébrique. Sur les nombres positifs, augmenter le côté augmente l'aire ; sur les nombres négatifs, se rapprocher de zéro diminue le carré.

Décaler et multiplier une courbe

Intuition · Construire la notion pas à pas

Agir sur les sorties. Si $$g(x)=f(x)+k$$ , on garde la même entrée x et l'on ajoute k à chacune des images. Chaque point de la courbe monte de k si k est positif, ou descend de $$|k|$$ si k est négatif. Les abscisses restent inchangées.

Multiplier les images. Avec $$g(x)=a f(x)$$ , on multiplie chaque ordonnée par a. Si $$a>0$$ , l'ordre entre deux images est conservé. Si $$a<0$$ , cet ordre s'inverse : une portion croissante devient décroissante. Pour $$a=0$$ , toutes les images deviennent nulles.

Composer deux transformations. Dans $$g(x)=-2f(x)+3$$ , on multiplie d'abord l'image par -2, puis on ajoute 3. Le facteur négatif retourne l'ordre des hauteurs ; ajouter 3 ne le change plus. Il faut respecter cet ordre : $$-2(f(x)+3)$$ donnerait une autre fonction.

Les extrema se déplacent aussi. Un maximum de f devient un minimum de $$-f$$ , au même endroit. Pour une fonction construite à partir de $$x^2$$ , le point de changement de variation reste souvent x égal à zéro, mais il faut toujours vérifier que zéro appartient au domaine étudié.

Résoudre avec des courbes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Transformer une équation en rencontre. Résoudre $$f(x)=g(x)$$ signifie chercher les entrées qui produisent la même sortie pour les deux fonctions. Sur un graphique, les points correspondants appartiennent aux deux courbes : ce sont leurs intersections. Les solutions sont leurs abscisses, pas leurs ordonnées.

Transformer une inégalité en position. Pour $$f(x)>g(x)$$ , on retient les abscisses où la courbe de f est au-dessus de celle de g. Aux intersections, les hauteurs sont égales : ces abscisses sont exclues pour une inégalité stricte et incluses pour une inégalité large.

Une lecture a une précision limitée. Une intersection située entre deux graduations ne fournit généralement qu'une valeur approchée. Une fenêtre graphique peut aussi masquer des solutions. Le domaine doit être entièrement examiné avant de conclure qu'on les a toutes.

Affiner par un encadrement. Pour une fonction continue qui change de signe entre a et b, il existe une racine entre ces bornes. Si elle est strictement monotone sur cet intervalle, cette racine est unique. Des essais numériques réduisent ensuite la largeur de l'intervalle ; ils ne transforment pas une approximation décimale en valeur exacte.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Calculer une image ★☆☆

Pour $$f(x)=2x^2-3$$ sur $\R$ , calcule $$f(-2)$$ et $$f(0)$$ .

Exercice 2 : Lire une table ★☆☆

Une table donne $$f(0)=4$$ , $$f(1)=7$$ , $$f(2)=6$$ . Quelle est l’image de 1 ? Quel antécédent de 6 peut-on affirmer ?

Exercice 3 : Deux signes, une image ★☆☆

Calcule $$(-4)^2$$ , $$4^2$$ et $$-4^2$$ .

Exercice 4 : Décaler une image ★☆☆

On sait $$f(2)=5$$ . Pour $$g=f-3$$ , calcule $$g(2)$$ .

Exercice 5 : Lire une intersection donnée ★☆☆

Les courbes de $$f$$ et $$g$$ se coupent aux points $$(1;5)$$ et $$(4;2)$$ . Quelles solutions de $$f(x)=g(x)$$ lit-on ?

Exercice 6 : Plusieurs antécédents ★★☆

Pour $$g(x)=x^2$$ sur $$[-2;4]$$ , trouve les antécédents de 9.

Exercice 7 : Ordonner sans calculer ★★☆

$$f$$ est strictement décroissante sur $$[2;8]$$ . Compare $$f(3)$$ et $$f(7)$$ .

Exercice 8 : Résoudre avec un carré ★★☆

Résous $$2x^2=50$$ dans $\R$ .

Exercice 9 : Inverser les variations ★★☆

$$f$$ croît de 1 à 4 sur $$[0;2]$$ . Décris les variations de $$g=-3f$$ .

Exercice 10 : Au-dessus d’un seuil ★★☆

Résous $$x^2>4$$ dans $$[-5;5]$$ .

Exercice 11 : Vérifier un point et une contrainte ★★★

Une hauteur suit $$h(t)=5t+2$$ pour $t\in[0;6]$ . Le point $$(4;22)$$ appartient-il à sa courbe ? La hauteur 37 est-elle atteinte sur cet intervalle ?

Exercice 12 : Maximum et bornes ★★★

$$f$$ croît sur $$[-1;2]$$ de 0 à 8 puis décroît sur $$[2;6]$$ de 8 à $$-3$$ . Donne ses extrema et leurs positions.

Exercice 13 : Une aire minimale ★★★

Un carré a une aire d’au moins $72\,\mathrm{cm}^2$ . Quelle condition doit vérifier son côté $$c$$ ? Donne une borne au dixième garantissant cette aire.

Exercice 14 : Une courbe transformée ★★★

Étudie les variations et le maximum de $$h(x)=8-2x^2$$ sur $$[-3;2]$$ .

Exercice 15 : Un encadrement numérique ★★★

Pour $$f(x)=x^2-5$$ , on trouve $$f(2{,}23)=-0{,}0271$$ et $$f(2{,}24)=0{,}0176$$ . Explique l’encadrement de la solution positive et une approximation au centième.

Problème : Pour aller plus loin

Lire une courbe de hauteur

Une hauteur est modélisée par $$h(t)=4-(t-2)^2$$ mètres sur [0;4] secondes.

Construis un tableau aux temps 0, 1, 2, 3, 4 et trace la courbe.
Donne l’image de 1 et les antécédents de 3.
Décris les variations et le maximum.
Résous h(t) $\ge$ 3 sur le domaine.
Une seconde courbe vaut k(t) = h(t) + 2. Décris sa transformation et son maximum.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La table fournit des images à trois entrées précises. Elle permet certaines lectures, mais ne décrit pas nécessairement toute la fonction.

Construire la réponse.

La donnée $$f(1)=7$$ signifie directement que l’image de 1 est 7.
La donnée $$f(2)=6$$ signifie que l’entrée 2 a pour sortie 6. Par définition, 2 est donc un antécédent de 6.
Aucune information ne décrit les autres entrées. Une valeur absente de la table pourrait elle aussi avoir pour image 6.

Vérifier. On distingue les deux sens : on lit l’image d’une entrée connue, puis on reconnaît une entrée donnant la sortie demandée. Affirmer « seul antécédent » demanderait une information supplémentaire.

Conclure. L’image de 1 est 7 ; 2 est un antécédent de 6, sans garantie d’unicité.

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Un point de la courbe doit associer une durée autorisée à la hauteur obtenue par la formule. Chercher si 37 est atteinte revient ensuite à chercher un antécédent.

Construire la réponse.

La durée 4 appartient à $$[0;6]$$ . Son image est
$\begin{aligned}h(4) &= 5\times4+2\\[.35em] &= 20+2\\[.35em] &= 22.\end{aligned}$
Le point $$(4;22)$$ est donc sur la courbe.
Pour atteindre 37, on résout $$5t+2=37$$ . Soustraire 2 donne $$5t=35$$ ; diviser par 5 donne $$t=7$$ .
Or 7 n’appartient pas à $$[0;6]$$ . La solution de l’équation est en dehors de la durée étudiée.

Vérifier. La fonction est affine de coefficient positif 5, donc elle augmente sur $$[0;6]$$ . Sa plus grande hauteur sur cet intervalle est

\begin{aligned}h(6) &= 30+2\\[.35em] &= 32,\end{aligned}

bien inférieure à 37.

Conclure. Le point proposé appartient à la courbe ; la hauteur 37 n’est pas atteinte sur l’intervalle étudié.

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. L’aire du carré vaut le carré de son côté c. Il faut une aire au moins égale à 72 et une longueur positive.

Construire la réponse.

La condition est $c^2\ge72$ avec $c\ge0$ . Sur les nombres positifs, le carré est croissant : cela équivaut à $c\ge\sqrt{72}$ .
La calculatrice donne $\sqrt{72}\approx8{,}48528$ cm. Cette valeur est le seuil exact avant arrondi.
Au dixième de centimètre, on choisit 8,5 cm pour rester au-dessus du seuil ; un arrondi vers le bas pourrait rendre l’aire insuffisante.

Vérifier. $8{,}5^2=72{,}25\ge72$ , tandis que $8{,}4^2=70{,}56<72$ . Le choix de 8,5 cm est bien le plus petit dixième qui convient.

Conclure. Le côté doit vérifier $c\ge\sqrt{72}$ cm ; si l’on travaille au dixième, le minimum est 8,5 cm.

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le domaine traverse zéro : on doit distinguer les deux portions de la fonction carré.

Construire la réponse.

Sur $$[-3;0]$$ , $$x^2$$ décroît. Multiplier par -2 inverse le sens, donc $$h(x)=8-2x^2$$ croît.
Sur $$[0;2]$$ , le carré croît, donc h décroît.
Les valeurs utiles sont
$\begin{aligned}h(-3) &= 8-18\\[.35em] &= -10,\end{aligned}$
$$h(0)=8$$ et
$\begin{aligned}h(2) &= 8-8\\[.35em] &= 0.\end{aligned}$
On monte jusqu’à 8, puis on descend : le maximum sur tout l’intervalle vaut 8, atteint en zéro.

Vérifier. Comme $-2x^2\le0$ , on a toujours $h(x)\le8$ . Zéro appartient au domaine et donne l’égalité, ce qui confirme le maximum.

Conclure. h croît de -10 à 8 sur $$[-3;0]$$ , puis décroît de 8 à 0 sur $$[0;2]$$ ; son maximum est 8 en zéro.

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On encadre la racine positive de $$x^2-5$$ et l’on justifie son arrondi au centième.

Construire la réponse.

$\begin{aligned}f(2{,}23) &= 2{,}23^2-5\\[.35em] &= 4{,}9729-5\\[.35em] &= -0{,}0271.\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(2{,}24) &= 2{,}24^2-5\\[.35em] &= 5{,}0176-5\\[.35em] &= 0{,}0176.\end{aligned}$
La fonction est continue et strictement croissante pour x positif : son unique racine positive se trouve entre ces deux nombres.
Pour choisir l’arrondi, on teste le milieu $$2{,}235$$ . Son image vaut $$4{,}995225-5=-0{,}004775<0$$ . La racine est donc supérieure à $$2{,}235$$ et inférieure à $$2{,}24$$ .

Vérifier. La racine est $\sqrt5\approx2{,}2360679$ , bien dans l’intervalle obtenu. Le test du milieu était nécessaire : un simple encadrement entre deux centièmes ne décide pas toujours lequel est le plus proche.

Conclure. $2{,}23<\sqrt5<2{,}24$ et l’arrondi au centième est $$2{,}24$$ .

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le carré porte sur l’écart au temps 2 : on respecte les parenthèses à chaque substitution.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}h(0) &= 4-(-2)^2\\[.35em] &= 0\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }h(1) &= 4-(-1)^2\\[.35em] &= 3.\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}h(2) &= 4-0^2\\[.35em] &= 4,\end{aligned}$ $\begin{aligned}h(3) &= 4-1^2\\[.35em] &= 3\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }h(4) &= 4-2^2\\[.35em] &= 0.\end{aligned}$
3. On place les points (0;0), (1;3), (2;4), (3;3), (4;0), puis on trace une parabole lisse tournée vers le bas.
Vérifier. Les points à la même distance de 2 ont la même hauteur, ce qui donne un axe de symétrie vertical au temps 2.

Conclure. Le tableau de hauteurs est 0, 3, 4, 3, 0 mètres.
Comprendre la question. Une image part d’un temps donné ; un antécédent recherche les temps correspondant à une hauteur.

Construire la réponse.
1. L’image de 1 est $$h(1)=3$$ mètres.
2. Pour les antécédents de 3, on résout $$4-(t-2)^2=3$$ , donc $$(t-2)^2=1$$ .
3. Cela donne $$t-2=-1$$ ou $$t-2=1$$ , soit $$t=1$$ ou $$t=3$$ .
Vérifier. Les deux temps appartiennent à [0;4] et donnent la hauteur 3 dans le tableau.

Conclure. L’image de 1 est 3 ; les antécédents de 3 sont 1 et 3 secondes.
Comprendre la question. La hauteur est maximale quand le carré soustrait est minimal.

Construire la réponse.
1. Le carré $$(t-2)^2$$ est positif ou nul et vaut zéro seulement en 2.
2. Avant 2, l’écart à 2 diminue, donc le carré diminue et h augmente.
3. Après 2, l’écart augmente, donc le carré augmente et h diminue.
Vérifier. Les hauteurs passent de 0 à 4 puis reviennent à 0, conformément au tableau et à la symétrie.

Conclure. h croît sur [0;2], décroît sur [2;4], et atteint son maximum de 4 mètres à 2 secondes.
Comprendre la question. On cherche les instants où la courbe atteint ou dépasse la hauteur 3.

Construire la réponse.
1. $4-(t-2)^2\ge3$ équivaut à $(t-2)^2\le1$ .
2. Un carré est au plus égal à 1 lorsque son argument est entre -1 et 1 : $-1\le t-2\le1$ .
3. En ajoutant 2, on obtient $1\le t\le3$ .
Vérifier. Aux bornes 1 et 3, la hauteur vaut exactement 3 ; au milieu elle vaut 4. L’égalité est autorisée.

Conclure. La hauteur est au moins 3 mètres entre 1 et 3 secondes, bornes incluses.
Comprendre la question. Ajouter une constante à toutes les hauteurs effectue une translation verticale.

Construire la réponse.
1. $$k(t)=h(t)+2$$ augmente chaque hauteur de 2 mètres sans changer les temps.
2. Les variations et le temps du maximum restent identiques.
3. Le maximum devient $$4+2=6$$ mètres en t égal à 2.
Vérifier. Les points aux temps 0 et 4 passent eux aussi de 0 à 2 mètres : toute la courbe est décalée de la même quantité.

Conclure. La courbe est translatée de 2 mètres vers le haut et son maximum est 6 mètres au temps 2.

Variante autonome et bilan

Pour $$g(t)=9-(t-3)^2$$ sur [0;6], donne le maximum et les antécédents de 5.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La forme donnée isole une constante maximale et un carré positif ou nul.

Construire la réponse.

$g(t)=9-(t-3)^2\le9$ , avec égalité pour $$t=3$$ .
Pour les antécédents de 5, $$9-(t-3)^2=5$$ donne $$(t-3)^2=4$$ .
On obtient $$t-3=-2$$ ou $$t-3=2$$ , donc $$t=1$$ ou $$t=5$$ .

Vérifier. Les deux solutions sont dans [0;6]. Elles sont symétriques autour du temps 3 et redonnent bien la hauteur 5.

Conclure. Le maximum est 9 en t égal à 3 ; les antécédents de 5 sont 1 et 5.

Je peux expliquer : variable, image et antécédent.
Je peux expliquer : lire une courbe et un tableau de variations.
Je peux expliquer : la fonction carré.
Je peux expliquer : décaler et multiplier une courbe.
Je peux expliquer : résoudre avec des courbes.

Fiche-mémoire

Variable, image et antécédent.

Distingue l’entrée x, la sortie $$f(x)$$ et le domaine autorisé.
Pour une image, remplace x par le nombre donné, avec des parenthèses s’il est négatif, puis respecte les priorités.
Pour des antécédents, écris $$f(x)=y$$ et résous cette équation pour toutes les valeurs possibles.
Écarte les solutions hors du domaine et vérifie celles qui restent dans la formule initiale.
Pour un point $$(a;b)$$ , contrôle à la fois que a est autorisé et que $$f(a)=b$$ .

Lire une courbe et un tableau de variations.

Lis les axes, les unités et l’échelle avant de relever une coordonnée.
Pour une image, pars de l’abscisse ; pour des antécédents, pars de l’ordonnée et cherche toutes les rencontres.
Pour comparer des images sans formule, vérifie que les entrées sont dans un même intervalle de monotonie.
Pour un extremum global, examine toutes les portions et leurs extrémités, puis distingue valeur et position.
Précise si la lecture est exacte, approchée ou insuffisante pour conclure à l’unicité.

La fonction carré.

Identifie exactement la base élevée au carré ; ajoute des parenthèses pour une substitution négative.
Ramène une équation à $$x^2=a$$ , puis distingue les cas $$a<0$$ , $$a=0$$ et $$a>0$$ .
Pour une inégalité, utilise les variations du carré et les deux bornes opposées.
Applique les contraintes du contexte et vérifie l’effet de tout arrondi.

Décaler et multiplier une courbe.

Écris la relation exacte entre la nouvelle fonction et la fonction connue.
Transforme les images dans l’ordre indiqué, sans changer les entrées.
Pour les variations, regarde le signe du facteur multiplicatif ; une addition seule ne les change pas.
Calcule les images des bornes et du point de changement, puis limite l’étude au domaine.

Résoudre avec des courbes.

Identifie les deux courbes à comparer et vérifie le domaine ainsi que la fenêtre.
Relève les abscisses de toutes les intersections visibles sur ce domaine.
Pour une inégalité, repère les intervalles où la bonne courbe est au-dessus, puis traite les bornes.
Indique la précision de lecture ; si nécessaire, encadre numériquement et justifie l’unicité.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Variable, image et antécédent

Lire une courbe et un tableau de variations

La fonction carré

Décaler et multiplier une courbe

Résoudre avec des courbes

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Calculer une image ★☆☆

Exercice 2 : Lire une table ★☆☆

Exercice 3 : Deux signes, une image ★☆☆

Exercice 4 : Décaler une image ★☆☆

Exercice 5 : Lire une intersection donnée ★☆☆

Exercice 6 : Plusieurs antécédents ★★☆

Exercice 7 : Ordonner sans calculer ★★☆

Exercice 8 : Résoudre avec un carré ★★☆

Exercice 9 : Inverser les variations ★★☆

Exercice 10 : Au-dessus d’un seuil ★★☆

Exercice 11 : Vérifier un point et une contrainte ★★★

Exercice 12 : Maximum et bornes ★★★

Exercice 13 : Une aire minimale ★★★

Exercice 14 : Une courbe transformée ★★★

Exercice 15 : Un encadrement numérique ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Lire une courbe de hauteur

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions