Tableaux croisés et fréquences conditionnelles · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Une liste est 2 ; 2 ; 4 ; 5 ; 2. Quel est l’effectif de la valeur 2 ?

352

2. Quel caractère est qualitatif ?

La durée du trajet en minutesLa distance du trajet en kilomètresLe moyen de transport utilisé

3. Un tableau compte 6 élèves avec un résultat donné, sur 30 élèves. Quelle est sa fréquence ?

0,256

4. Quels nombres appartiennent à la fois à [0 ; 4] et à [2 ; 6] ?

[0 ; 6][2 ; 4][4 ; 6]

5. La moitié d’un groupe pratique un sport ; le tiers de ces sportifs nage. Quelle fraction du groupe nage ?

1/61/32/3

Ton parcours dans ce chapitre

Un même tableau peut répondre à plusieurs questions. Pour ne pas les confondre, on nomme d’abord le groupe étudié, puis on choisit son total de référence.

Bases à reprendre : une fréquence est un effectif divisé par celui du groupe choisi. Par exemple, $3/12=25\,\%$ . On travaille avec un effectif total $$N>0$$ ; une fréquence conditionnelle demande aussi un groupe de référence non vide. Chaque pause donne accès librement à deux indices puis à l’explication.

Repères 2026–2027 : tableaux croisés, fréquences marginales et conditionnelles, filtres logiques et interprétation de données. Le fichier Iris donne une enquête réelle à explorer. Les formules générales de pondération, l’indépendance descriptive, le paradoxe de Simpson et la standardisation sont des prolongements guidés.

Pourquoi croiser deux variables ?

Une statistique à une variable répond à une question comme : « quelle proportion d'élèves arrive à l'heure ? ». Croiser deux variables permet d'aller plus loin : cette proportion est-elle la même selon le mode de transport ? Le tableau croisé sert à organiser les couples d'informations observés sur les mêmes individus.

Variables qualitatives et modalités

Nominale ou ordinale

À toi d’essayer

Des nombres peuvent servir d’étiquettes

On relève un code postal et un nombre de trajets hebdomadaires. Pour quelle variable une moyenne a-t-elle un sens ? Peut-on coder « marche », « vélo », « bus » par $$1,2,3$$ sans rendre la variable quantitative ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une opération arithmétique doit conserver un sens dans la situation étudiée.

Indice 2 · Un pas de plus

Changer les codes des transports ne change pas les transports eux-mêmes.

Voir l’explication

Le nombre de trajets est une quantité : sa moyenne décrit un nombre moyen par individu. Les codes postaux et les codes $$1,2,3$$ sont des étiquettes ; les additionner ne donne pas une mesure de transport. À réessayer : explique pourquoi les catégories « pas satisfait, neutre, satisfait » sont ordonnées sans être automatiquement espacées régulièrement.

Un individu fournit un couple

Si l'on observe deux variables $$X$$ et $$Y$$ , chaque individu fournit un couple

\bigl(X(\text{individu}),Y(\text{individu})\bigr).

Par exemple, un élève peut fournir le couple (transports en commun, à l'heure).

Le produit cartésien rassemble les couples possibles

Exemple · Quatre cases possibles ne signifient pas quatre personnes

Prenons $E=\{\text{vélo},\text{bus}\}$ et $F=\{\text{à l'heure},\text{en retard}\}$ . Les quatre couples possibles sont :

	À l'heure	En retard
Vélo	(vélo, à l'heure)	(vélo, en retard)
Bus	(bus, à l'heure)	(bus, en retard)

Chaque choix dans $$E$$ s'associe aux deux choix dans $$F$$ : on compte $2\times2=4$ couples. En général, pour des ensembles finis,

\operatorname{Card}(E\times F)=\operatorname{Card}(E)\,\operatorname{Card}(F).

Si une liste contient trois personnes, deux venues en bus à l'heure et une venue à vélo en retard, elle contient trois individus mais seulement deux couples distincts observés. Les deux autres cases restent possibles ; leur effectif observé vaut zéro. La liste des cases n'impose aucune équiprobabilité.

À toi d’essayer

Séparer les modalités, les couples et les individus

On note un transport dans $E=\{\text{bus},\text{vélo},\text{marche}\}$ et un moment dans $F=\{\text{matin},\text{soir}\}$ . Énumère $E\times F$ . Trois observations donnent (bus, matin), (bus, matin), (vélo, soir). Combien a-t-on de couples possibles, de couples distincts observés et d'individus ? Une case vide est-elle impossible ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour chaque transport, écris les deux moments. Puis compte les observations sans supprimer les répétitions.

Indice 2 · Un pas de plus

Le produit cartésien contient $3\times2$ couples. Une répétition compte comme une nouvelle observation, mais ne crée pas un nouveau couple distinct.

Voir l’explication

Les couples possibles sont (bus, matin), (bus, soir), (vélo, matin), (vélo, soir), (marche, matin), (marche, soir) : il y en a $$6$$ .

La liste contient $$3$$ individus et seulement $$2$$ couples distincts observés. La case (bus, matin) a l'effectif $$2$$ , la case (vélo, soir) a l'effectif $$1$$ , les quatre autres ont l'effectif $$0$$ . Un zéro dans ce fichier ne prouve pas que la combinaison est impossible. À réessayer : ajoute le moment « midi ». Le produit possède désormais $3\times3=9$ couples, même avant toute nouvelle observation. Si l'un des deux ensembles n'a aucune modalité, aucun couple ne peut être formé : le produit est vide.

Construire et lire un tableau croisé

Cases intérieures et marges

Exemple · Transport et ponctualité

	Actif	Transports	Motorisé	Total
À l'heure	42	58	24	124
En retard	8	12	16	36
Total	50	70	40	160

« 42 » signifie : 42 élèves utilisent un transport actif et arrivent à l'heure.

À toi d’essayer

Une case peut-elle être négative ?

Un groupe de $$30$$ personnes contient $$12$$ réponses « oui » et $$20$$ réponses « non ». Chaque personne devait donner une seule réponse. Le tableau est-il possible ? Comment le vérifier sans calculer de pourcentage ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Additionne les deux cases intérieures.

Indice 2 · Un pas de plus

Le total des cases doit être celui du groupe, et chaque effectif est un entier positif ou nul.

Voir l’explication

Les cases totalisent $$32$$ , ce qui contredit $$30$$ . Ce n’est pas une difficulté de pourcentage : le comptage ou la définition des catégories doit être repris. On ne peut pas inventer une correction sans information. À réessayer : si le total $$30$$ et les $$12$$ « oui » sont confirmés, le nombre de « non » est $$18$$ .

Le langage des ensembles

Notons $$A$$ l'ensemble des élèves utilisant un transport actif et $$H$$ l'ensemble des élèves arrivés à l'heure. Alors

\operatorname{Card}(A)=50,\qquad \operatorname{Card}(H)=124,\qquad \operatorname{Card}(A\cap H)=42.

Fréquences globales et marginales

Fréquence d'une case

Dans l'exemple,

\begin{aligned}f(A\cap H) &= \frac{42}{160}\\[.35em]&= 0{,}2625\\[.35em]&= \boxed{26{,}25\,\%}.\end{aligned}

Cela signifie que 26,25 % de tous les élèves sont à la fois utilisateurs d'un transport actif et ponctuels.

Fréquence marginale

Ainsi,

\begin{aligned}f(A) &= \frac{50}{160}\\[.35em]&= 31{,}25\,\%,\\[.35em]f(H) &= \frac{124}{160}\\[.35em]&= 77{,}5\,\%.\end{aligned}

Fréquences conditionnelles

Le dénominateur est le groupe après « parmi »

L'ordre change la question

À toi d’essayer

Le même groupe peut donner deux taux égaux

Dans une population, $$A$$ et $$B$$ contiennent chacun $$20$$ individus, dont $$8$$ communs. Calcule $$f_A(B)$$ et $$f_B(A)$$ . Si $$B$$ contient ensuite $$40$$ individus avec les mêmes $$8$$ communs, que devient chaque taux ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le numérateur reste $$8$$ dans chaque calcul.

Indice 2 · Un pas de plus

Le taux « parmi $$A$$ » garde $$20$$ au dénominateur.

Voir l’explication

Au départ, les deux taux valent $8/20=40\,\%$ , bien que leurs questions diffèrent. Dans la nouvelle population, $f_A(B)=40\,\%$ et

\begin{aligned}f_B(A) &= 8/40\\[.35em]&= 20\,\%\end{aligned}.

À réessayer : si $$A$$ est vide, explique pourquoi $$f_A(B)$$ n’est ni $$0$$ ni $$1$$ , mais non définie.

Tableaux de fréquences conditionnelles

Si l'on conditionne par le mode de transport, chaque colonne devient un groupe de référence et totalise 100 %.

	Actif	Transports	Motorisé
À l'heure	$42/50=84\,\%$	$58/70\approx82{,}9\,\%$	$24/40=60\,\%$
En retard	$8/50=16\,\%$	$12/70\approx17{,}1\,\%$	$16/40=40\,\%$
Total	100 %	100 %	100 %

Attention aux arrondis : des parts affichées à un chiffre après la virgule peuvent totaliser $99{,}9\,\%$ ou $100{,}1\,\%$ . Vérifie les effectifs ou les fractions exactes avant de conclure à une erreur.

Reconstruire une fréquence globale

À toi d’essayer

La taille des groupes compte

Un groupe de $$10$$ personnes compte $$8$$ réponses « oui » ; un groupe de $$90$$ personnes en compte $$18$$ . Calcule le taux global. Pourquoi la moyenne simple de $80\,\%$ et $20\,\%$ ne convient-elle pas ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Réunis les individus avant de diviser.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux groupes ne contribuent pas le même nombre de réponses.

Voir l’explication

On compte $$8+18=26$$ « oui » parmi $$100$$ personnes, soit $26\,\%$ . La moyenne simple $50\,\%$ donnerait un poids égal à deux groupes de tailles très différentes. Les poids corrects sont $$10/100$$ et $$90/100$$ . À réessayer : compare avec deux groupes de $$50$$ personnes aux mêmes taux ; le total devient $50\,\%$ .

Compléter un tableau croisé

À partir des marges

À partir d'une fréquence conditionnelle

À toi d’essayer

Un pourcentage ne suffit pas sans son total

Une enquête porte sur $$200$$ personnes. Le groupe $$A$$ en contient $$80$$ . Parmi $$A$$ , $25\,\%$ vérifient $$B$$ . Au total $$70$$ vérifient $$B$$ . Retrouve les quatre cases.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par $25\,\%$ des $$80$$ personnes de $$A$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Complète le reste de chaque ligne et colonne par soustraction.

Voir l’explication

Les cases de la ligne $$A$$ sont $$20$$ et $$60$$ . Hors $$A$$ , elles sont $$70-20=50$$ et $$120-50=70$$ . Les lignes totalisent $$80$$ et $$120$$ , les colonnes $$70$$ et $$130$$ . À réessayer : si le total de $$B$$ était annoncé égal à $$10$$ , explique l’impossibilité : l’intersection en contient déjà $$20$$ .

Représenter et comparer les groupes

Barres empilées à 100 %

Pour comparer des groupes de tailles différentes, on représente leurs fréquences conditionnelles sur des barres de même longueur.

Manipuler les proportions d’un groupe

La manipulation suivante représente $$100$$ objets fictifs : $$10$$ dans $$A$$ , dont $$8$$ marqués $$B$$ , et $$90$$ hors $$A$$ , dont $$18$$ marqués $$B$$ . On peut vérifier les comptes sur papier : $8/10=80\,\%$ parmi $$A$$ , contre $8/26\approx30{,}77\,\%$ de $$A$$ parmi $$B$$ .

Changer de groupe pour comprendre « sachant que »

Sur 100 objets, 10 sont dans le groupe A. Parmi A, 80 % portent la marque B ; parmi les autres, 20 % portent B. Prévois combien des objets portant B appartiennent à A.

Le rectangle représente exactement 100 objets. À gauche : le groupe A. Les zones bleues portent B ; les zones claires ne portent pas B. Les surfaces sont proportionnelles aux effectifs.

Parmi A, 8 objets sur 10 portent B. Hors A, 18 sur 90 portent B. Parmi les 26 objets portant B, 8 appartiennent donc à A : 8/26 ≈ 30,77 %, tandis que 8/10 = 80 %.

Lire les valeurs et les coordonnées

Parmi A, 8 objets sur 10 portent B. Hors A, 18 sur 90 portent B. Parmi les 26 objets portant B, 8 appartiennent donc à A : 8/26 ≈ 30,77 %, tandis que 8/10 = 80 %.

Garde les deux parts de B fixes et augmente la taille de A. Explique pourquoi la part de A parmi les objets portant B change. Pour calculer une probabilité conditionnelle, quel groupe devient ton total de référence ?

Dans cette expérience, un objet est choisi uniformément : les fréquences du tableau sont aussi les probabilités affichées. Le rectangle entier représente

\(100\)

objets, tandis qu’une barre normalisée à

100\,\%

représente son propre groupe.

Choisir la bonne représentation

À toi d’essayer

Deux barres égales peuvent cacher deux effectifs

Deux barres empilées à $100\,\%$ montrent chacune $60\,\%$ de « oui ». Les groupes contiennent $$10$$ et $$1000$$ personnes. Ont-ils le même nombre de « oui » ? Quelles informations faut-il garder sur le graphique ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La hauteur normalisée compare des proportions.

Indice 2 · Un pas de plus

Applique $60\,\%$ à chacun des deux effectifs.

Voir l’explication

Les nombres de « oui » sont $$6$$ et $$600$$ . Les parts sont identiques mais les effectifs diffèrent d’un facteur $$100$$ . Il faut afficher le total de chaque groupe et annoncer l’axe en pourcentage. À réessayer : explique ce qui changerait avec un diagramme de nombres de réponses « oui » : les hauteurs ne seraient plus égales.

Comparer et interpréter sans se tromper

Écart en points de pourcentage

Dans l'exemple, l'écart de ponctualité entre les transports actifs et motorisés vaut

84\,\%-60\,\%=\boxed{24\ \text{points de pourcentage}}.

Dire « 24 % de plus » serait ambigu : un écart de proportions se formule de préférence en points.

À toi d’essayer

Nommer le point de départ d’une comparaison

Un taux passe de $60\,\%$ à $72\,\%$ . Calcule l’écart en points et l’évolution relative. Puis fais le trajet inverse.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un écart en points est une différence de proportions exprimées en pourcentage.

Indice 2 · Un pas de plus

Le dénominateur de l’évolution relative est le taux de départ ; il change au retour.

Voir l’explication

L’aller représente $$12$$ points et $(72-60)/60=20\,\%$ d’augmentation relative. Au retour, l’écart est $$-12$$ points mais le taux vaut $$(60-72)/72=-1/6$$ , soit environ $-16{,}67\,\%$ . À réessayer : pourquoi l’évolution relative à partir de $0\,\%$ n’est-elle pas définie par cette formule ?

Association et causalité

Filtrer des données avec la logique et Python

ET, OU, NON

Explorer un fichier réel : les iris

Le jeu Iris, version UCI, contient $$150$$ observations et trois espèces de $$50$$ observations chacune. On croise l’espèce avec une catégorie construite à partir de la longueur du pétale : « moins de $$4{,}5$$ cm » ou « $$4{,}5$$ cm et plus ». La mesure est quantitative ; sa classe devient une catégorie ordonnée.

Espèce	$$<4{,}5$$ cm	$\geqslant4{,}5$ cm	Total
setosa	50	0	50
versicolor	29	21	50
virginica	0	50	50
Total	79	71	150

Refaire le comptage : télécharge le fichier CSV des 150 observations. Dans ton tableur, ouvre-le avec le séparateur point-virgule ; chaque ligne est un individu. Filtre l’espèce, puis la classe de longueur, et compte les lignes restantes. Compare les six comptes au tableau, puis change le seuil à $$5$$ cm. Garde ensemble les cellules d’une même ligne lorsque tu tries.

Source : R. Fisher, Iris (1936), UCI Machine Learning Repository, DOI 10.24432/C56C76, licence CC BY 4.0. Le fichier pédagogique sélectionne deux colonnes, ajoute une catégorie et conserve les 150 observations de iris.data. Les précisions de source et d’adaptation sont fournies avec le CSV.

Ces proportions décrivent ce fichier équilibré entre espèces, pas la répartition des iris dans la nature. Les zéros du tableau ne prouvent pas une impossibilité biologique ; le seuil est notre choix de classement.

À toi d’essayer

Une vraie donnée, deux conditionnements

Dans le tableau Iris, quelle part des versicolor a un pétale d’au moins $$4{,}5$$ cm ? Parmi les pétales d’au moins $$4{,}5$$ cm, quelle part appartient à virginica ? Peut-on en conclure que virginica est l’espèce la plus fréquente dans la nature ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le premier groupe de référence contient $$50$$ observations, le second $$71$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les cases cherchées contiennent respectivement $$21$$ et $$50$$ .

Voir l’explication

Les parts sont $21/50=42\,\%$ et $50/71\approx70{,}42\,\%$ . Le fichier comprend volontairement autant d’observations par espèce ; il ne mesure pas leurs abondances naturelles. À réessayer : avec le CSV et un seuil strict $$5$$ cm, les effectifs sous le seuil sont $$50,48,6$$ et au-dessus ou à égalité $$0,2,44$$ . Retrouve une fréquence dans chaque sens.

Construire le tableau à partir de listes

transports = ["actif", "commun", "actif", "motorise"]
ponctuels = [True, True, False, False]

effectif = 0
if len(transports) != len(ponctuels):
    raise ValueError("listes de memes longueurs attendues")

for t, h in zip(transports, ponctuels):
    if t == "actif" and h:
        effectif = effectif + 1

print(effectif)

zip associe les valeurs de même rang. Si les deux listes ont des longueurs différentes, il s’arrête à la plus courte : le contrôle précédent évite de perdre silencieusement des individus. La syntaxe est fournie pour lire le filtrage ; le tableur permet de faire la même exploration sans programmer.

Du tableau statistique au modèle probabiliste

Avec $$A=$$ « transport actif » et $$H=$$ « à l'heure »,

P(A)=\frac{50}{160},\qquad P(A\cap H)=\frac{42}{160},\qquad P_A(H)=\frac{42}{50}.

La même fraction apparaît, mais son statut change : dans l'enquête, elle décrit une fréquence observée ; dans le modèle, elle devient une probabilité.

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Indépendance observée

Exemple · Indépendance parfaite dans un tableau

	$$B$$	$\overline B$	Total
$$A$$	30	20	50
$\overline A$	30	20	50
Total	60	40	100

Dans chaque ligne, la fréquence de $$B$$ vaut 60 %, comme dans toute la population.

Le test du produit en croix pour un tableau $2\times2$

Considérons le tableau

\begin{array}{c|cc} & B & \overline B\\ \hline A & a & b\\ \overline A & c & d \end{array}.

Le paradoxe de Simpson

Exemple · Un renversement surprenant

On compare la réussite avec ou sans tutorat dans deux niveaux initiaux.

	Avec tutorat	Sans tutorat
Groupe initial 1	$18/20=90\,\%$	$80/100=80\,\%$
Groupe initial 2	$60/100=60\,\%$	$5/10=50\,\%$
Ensemble	$78/120=65\,\%$	$85/110\approx77{,}3\,\%$

Le tutorat est associé à un meilleur taux dans chaque niveau, mais à un taux global plus faible. Ce renversement s'explique par la composition des groupes : le groupe tutoré contient beaucoup plus d'élèves du second groupe initial.

À toi d’essayer

Comparer aussi la composition des groupes

Dans l’exemple du tutorat, le taux est plus élevé dans chacun des deux niveaux et plus faible globalement. Est-ce contradictoire ? Que se passe-t-il si les deux taux de chaque niveau sont comparés avec les mêmes poids $$1/2$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les effectifs par niveau ne sont pas les mêmes dans les groupes tutorés et non tutorés.

Indice 2 · Un pas de plus

Compare $\tfrac12(90+60)$ et $\tfrac12(80+50)$ , en pourcentage.

Voir l’explication

On obtient $75\,\%$ et $65\,\%$ . Le résultat global initial ne contredit pas les résultats détaillés : il utilisait des poids différents. La standardisation neutralise ici ce seul facteur ; elle ne prouve pas l’effet causal du tutorat. À réessayer : donne au premier niveau un poids $$1/4$$ dans les deux groupes. Les taux deviennent $67{,}5\,\%$ et $57{,}5\,\%$ , toujours séparés de $$10$$ points.

Standardiser pour comparer avec les mêmes poids

Si l'on donne artificiellement le même poids $$1/2$$ aux deux niveaux, les taux standardisés deviennent

\text{tutorat}:\ \frac12\times90\,\%+\frac12\times60\,\%=75\,\%,

\text{sans tutorat}:\ \frac12\times80\,\%+\frac12\times50\,\%=65\,\%.

Cette comparaison descriptive neutralise la différence de composition. Elle ne prouve toujours pas une causalité, mais elle évite une partie du piège.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices progressifs

Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître les variables

On interroge 80 foyers sur leur type principal de chauffage, leur degré de satisfaction (faible, moyen, élevé) et leur facture mensuelle d'énergie.

Identifier la population, un individu et les trois variables. Pour chacune, préciser si elle est qualitative nominale, qualitative ordinale ou quantitative.

Exercice 2 ★☆☆ : Compléter avec les marges

Compléter le tableau et expliquer chaque soustraction.

	$$B$$	$\overline B$	Total
$$A$$	36	?	60
$\overline A$	24	16	40
Total	60	40	100

Exercice 3 ★☆☆ : Fréquences globales et marginales

Reprendre le tableau « transport et ponctualité » du cours.

Calculer la fréquence des transports actifs.
Calculer la fréquence des élèves à l'heure.
Calculer la fréquence des élèves à la fois actifs et en retard.
Calculer la fréquence des transports motorisés.

Exercice 4 ★☆☆ : Le bon dénominateur

Toujours avec le tableau du cours, calculer et interpréter :

f_A(H),\qquad f_H(A),\qquad f_M(H),

où $$A$$ signifie « transport actif », $$M$$ « transport motorisé » et $$H$$ « à l'heure ».

Exercice 5 ★☆☆ : Traduire en français

Dans le tableau du cours, expliquer précisément ce que représentent les fractions

\frac{12}{70},\qquad \frac{12}{36},\qquad \frac{24}{160}.

Pour chaque fraction, dire s'il s'agit d'une fréquence conditionnelle ou globale.

Exercice 6 ★★☆ : Un tableau conditionnel

Construire le tableau des fréquences de ponctualité conditionnelles au mode de transport. Chaque colonne devra totaliser 100 %. Arrondir au dixième de pourcentage et commenter la principale différence.

Exercice 7 ★★☆ : Retrouver les effectifs

Une plateforme compte 600 clients, dont 240 abonnés. Parmi les abonnés, 35 % choisissent l'option premium. Au total, 150 clients ont choisi cette option.

Construire le tableau croisant abonnement et option premium.
Calculer la fréquence du premium parmi les non-abonnés.
Comparer les deux groupes en points de pourcentage.

Exercice 8 ★★☆ : Points ou pourcentage relatif ?

Dans le groupe X, 72 % des personnes répondent « oui », contre 60 % dans le groupe Y.

Calculer l'écart en points de pourcentage.
Calculer l'augmentation relative de 60 % à 72 %.
Expliquer pourquoi les réponses 12 % et 20 % ne décrivent pas la même comparaison.

Exercice 9 ★★☆ : ET, OU, NON

Parmi 160 élèves, 50 utilisent un transport actif, 124 arrivent à l'heure et 42 vérifient les deux critères.

Combien utilisent un transport actif ou arrivent à l'heure ?
Combien ne vérifient aucun des deux critères ?
Expliquer pourquoi $$50+124$$ ne répond pas directement à la première question.

Exercice 10 ★★☆ : Passer de listes à un tableau

On dispose des listes suivantes, dans lesquelles les éléments de même rang concernent la même personne.

groupe = ["A", "B", "A", "A", "B", "B", "A", "B"]
choix  = ["oui", "non", "oui", "non",
          "oui", "oui", "non", "non"]

Construire le tableau croisé d'effectifs.
Calculer les fréquences de « oui » dans les deux groupes.
Les variables semblent-elles associées dans ces huit données ?

Exercice 11 ★★☆ : Une fréquence conditionnelle impose une case

Une enquête porte sur 400 personnes. Le groupe $$A$$ contient 150 personnes et

f_A(B)=28\,\%.

Au total, 100 personnes vérifient $$B$$ .

Construire entièrement le tableau croisant $A/\overline A$ et $B/\overline B$ .

Exercice 12 ★★☆ : Lire les performances d'un test

Sur 1 000 personnes, 100 sont malades. Le tableau d'observation est :

	Test positif	Test négatif	Total
Malade	90	10	100
Non malade	45	855	900
Total	135	865	1 000

Parmi les malades, quelle est la fréquence des tests positifs ?
Parmi les non-malades, quelle est la fréquence des tests négatifs ?
Parmi les tests positifs, quelle est la fréquence des personnes malades ?
Pourquoi les réponses aux questions 1 et 3 sont-elles différentes ?

Exercice 13 ★★★ : Indépendance dans un tableau

On considère le tableau

\begin{array}{c|cc|c} & B & \overline B & \text{Total}\\ \hline A & 30 & 20 & 50\\ \overline A & x & 40 & x+40 \end{array}.

Déterminer $$x$$ pour que la fréquence de $$B$$ soit la même dans les deux lignes. Vérifier ensuite le critère $$ad=bc$$ .

Exercice 14 ★★★ : Une moyenne pondérée de proportions

Un premier site compte 200 personnes et un taux de réponse de 75 %. Un second site compte 300 personnes et un taux de réponse de 60 %.

Calculer le taux global de réponse de deux façons : avec les effectifs, puis avec une moyenne pondérée. Expliquer pourquoi la moyenne simple de 75 % et 60 % ne convient pas.

Exercice 15 ★★★ : Retrouver une fréquence conditionnelle

La population est partagée entre $$A$$ et $\overline A$ . On sait que

f(B)=0{,}54,\qquad f(A)=0{,}40,\qquad f_A(B)=0{,}75.

Montrer que
$f(B)=f(A)f_A(B)+\bigl(1-f(A)\bigr)f_{\overline A}(B).$
En déduire $f_{\overline A}(B)$ .
Interpréter la différence entre les deux fréquences conditionnelles.

Problème défi : évaluer un programme de tutorat

Un lycée étudie la réussite de 230 élèves à une évaluation. Certains ont suivi un tutorat. Les élèves sont également classés selon leur niveau initial : groupe 1 ou groupe 2.

Groupe initial 1	Réussite	Échec	Total
Avec tutorat	18	2	20
Sans tutorat	80	20	100
Total	98	22	120

Groupe initial 2	Réussite	Échec	Total
Avec tutorat	60	40	100
Sans tutorat	5	5	10
Total	65	45	110

Partie A - Construire la vue d'ensemble

Identifier la population et les trois variables observées. Préciser leur nature.
Vérifier les totaux des deux tableaux.
Construire le tableau croisant seulement tutorat et réussite, sans distinguer le niveau initial.
Calculer les fréquences marginales du tutorat et de la réussite.
Calculer la fréquence de réussite parmi les élèves tutorés.
Calculer la fréquence de réussite parmi les élèves non tutorés.
Quelle conclusion naïve donnerait la seule comparaison globale ?

Partie B - Comparer à niveau initial fixé

Dans le groupe initial 1, calculer les taux de réussite avec et sans tutorat.
Dans le groupe initial 2, calculer les taux de réussite avec et sans tutorat.
Comparer ces résultats avec la conclusion de la question 7.
Nommer le phénomène observé.

Partie C - Comprendre le renversement

Parmi les élèves tutorés, calculer la fréquence du groupe initial 2.
Parmi les élèves non tutorés, calculer la fréquence du groupe initial 2.
Expliquer en quoi la composition des groupes est très différente.
Retrouver le taux global de réussite des tutorés comme moyenne pondérée de 90 % et 60 %.
Faire le même travail pour les non-tutorés avec 80 % et 50 %.

Partie D - Comparer avec les mêmes poids

Calculer le taux standardisé des tutorés en donnant un poids $$1/2$$ à chaque niveau.
Calculer de même le taux standardisé des non-tutorés.
Comparer ces deux taux en points de pourcentage.
Pourquoi cette standardisation est-elle plus équitable pour comparer les groupes ?

Partie E - Généraliser et garder un esprit critique

On note $$S$$ le groupe initial 1, $$F$$ le groupe initial 2, $$T$$ le tutorat et $$R$$ la réussite.

Montrer que
$f_T(R)=f_T(S)f_{T\cap S}(R)+f_T(F)f_{T\cap F}(R).$
Expliquer comment des poids très différents peuvent renverser la comparaison globale.
Peut-on conclure que le tutorat cause une meilleure réussite ? Rédiger une réponse prudente et proposer une information supplémentaire utile.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Démonstration · Soustraire au total

Dans la ligne de $$A$$ , la case manquante vaut

60-36=\boxed{24}.

On contrôle avec la colonne de $\overline B$ :

\[24+16=40.\]

Les deux marges donnent bien $$60+40=100$$ .

	$$B$$	$\overline B$	Total
$$A$$	36	24	60
$\overline A$	24	16	40
Total	60	40	100

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Démonstration · Chaque colonne totalise 100 %

	Actif	Transports	Motorisé
À l'heure	$84{,}0\,\%$	$82{,}9\,\%$	$60{,}0\,\%$
En retard	$16{,}0\,\%$	$17{,}1\,\%$	$40{,}0\,\%$
Total	$100\,\%$	$100\,\%$	$100\,\%$

Dans ces données, le taux de ponctualité du groupe motorisé est inférieur de 24 points à celui du groupe actif et d'environ 22,9 points à celui des transports en commun. Cela décrit une association, pas une cause.

Corrigé 7

Démonstration · Du pourcentage à la case

Parmi les 240 abonnés, l'effectif premium vaut

0{,}35\times240=84.

Comme il y a 150 clients premium au total, $$150-84=66$$ ne sont pas abonnés. On complète par soustraction.

	Premium	Standard	Total
Abonnés	84	156	240
Non-abonnés	66	294	360
Total	150	450	600

Parmi les non-abonnés,

\frac{66}{360}\approx\boxed{18{,}3\,\%}

choisissent le premium. L'écart avec les abonnés vaut

35-18{,}3=\boxed{16{,}7\ \text{points environ}}.

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Compter les couples

Les couples observés donnent :

	Oui	Non	Total
Groupe A	2	2	4
Groupe B	2	2	4
Total	4	4	8

Dans chaque groupe, la fréquence de « oui » vaut $2/4=\boxed{50\,\%}$ . Les distributions conditionnelles sont identiques dans ces huit données : aucune association n'y apparaît. Avec un si petit effectif, cette conclusion reste très fragile.

Corrigé 11

Démonstration · Appliquer 28 % au bon groupe

Le groupe $$A$$ contient 150 personnes. Donc

\begin{aligned}\operatorname{Card}(A\cap B) &= 0{,}28\times150\\[.35em]&= \boxed{42}.\end{aligned}

Il y a alors $$150-42=108$$ personnes de $$A$$ dans $\overline B$ . Comme $$B$$ contient 100 personnes au total, $$100-42=58$$ sont dans $\overline A\cap B$ . Enfin, $\overline A$ contient $$400-150=250$$ personnes, donc $$250-58=192$$ sont dans $\overline A\cap\overline B$ .

	$$B$$	$\overline B$	Total
$$A$$	42	108	150
$\overline A$	58	192	250
Total	100	300	400

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème défi

Partie A - Vue d'ensemble

Démonstration · Questions 1 à 7

1. La population est constituée des 230 élèves. Les trois variables sont le suivi du tutorat (oui/non), le niveau initial (groupe 1/groupe 2) et le résultat (réussite/échec). Elles sont toutes qualitatives ; le niveau initial peut être considéré comme ordinal.

2. Pour le groupe initial 1, $$18+2+80+20=120$$ . Pour le groupe initial 2, $$60+40+5+5=110$$ . On retrouve $$120+110=230$$ élèves.

3. On additionne les deux niveaux case par case.

	Réussite	Échec	Total
Avec tutorat	78	42	120
Sans tutorat	85	25	110
Total	163	67	230

4. Les fréquences marginales principales sont

\begin{aligned}f(T) &= \frac{120}{230}\\[.35em]&\approx \boxed{52{,}2\,\%},\\[.35em]f(R) &= \frac{163}{230}\\[.35em]&\approx \boxed{70{,}9\,\%}.\end{aligned}

5. Parmi les élèves tutorés,

\begin{aligned}f_T(R) &= \frac{78}{120}\\[.35em]&= \boxed{65\,\%}.\end{aligned}

6. Parmi les élèves non tutorés,

\begin{aligned}f_{\overline T}(R) &= \frac{85}{110}\\[.35em]&\approx \boxed{77{,}3\,\%}.\end{aligned}

7. Une lecture globale naïve dirait que le groupe sans tutorat réussit davantage, avec environ 12,3 points de plus. Cette phrase décrit le tableau global mais ne tient pas compte du niveau initial.

Partie B - Comparaison à niveau fixé

Démonstration · Questions 8 à 11

8. Dans le groupe initial 1,

\begin{aligned}f_{T\cap S}(R) &= \frac{18}{20}\\[.35em]&= \boxed{90\,\%},\\[.35em]f_{\overline T\cap S}(R) &= \frac{80}{100}\\[.35em]&= \boxed{80\,\%}.\end{aligned}

Le taux tutoré est supérieur de 10 points.

9. Dans le groupe initial 2,

\begin{aligned}f_{T\cap F}(R) &= \frac{60}{100}\\[.35em]&= \boxed{60\,\%},\\[.35em]f_{\overline T\cap F}(R) &= \frac5{10}\\[.35em]&= \boxed{50\,\%}.\end{aligned}

Le taux tutoré est encore supérieur de 10 points.

10. Dans chaque niveau, le tutorat est associé à un taux supérieur ; pourtant, dans l'ensemble, son taux est inférieur. La comparaison globale est donc renversée.

11. Ce phénomène s'appelle le paradoxe de Simpson. Il ne s'agit pas d'une contradiction : les groupes globaux n'ont pas la même composition.

Partie C - Composition et pondération

Démonstration · Questions 12 à 16

12. Parmi les tutorés,

\begin{aligned}f_T(F) &= \frac{100}{120}\\[.35em]&\approx \boxed{83{,}3\,\%}.\end{aligned}

13. Parmi les non-tutorés,

\begin{aligned}f_{\overline T}(F) &= \frac{10}{110}\\[.35em]&\approx \boxed{9{,}1\,\%}.\end{aligned}

14. Le groupe tutoré est composé en très grande majorité d'élèves du second groupe initial, dont les taux de réussite sont plus faibles dans les deux situations. Le groupe non tutoré contient surtout des élèves de groupe initial 1. Cette différence de composition pèse fortement sur les taux globaux.

15. Pour les tutorés,

\begin{aligned}\frac{20}{120}\times90\,\%+\frac{100}{120}\times60\,\% &= 15\,\%+50\,\%\\[.35em]&= \boxed{65\,\%}.\end{aligned}

16. Pour les non-tutorés,

\begin{aligned}\frac{100}{110}\times80\,\%+\frac{10}{110}\times50\,\% &= \frac{80+5}{110}\\[.35em]&\approx \boxed{77{,}3\,\%}.\end{aligned}

Les poids associés aux niveaux standard et fragile sont presque inversés entre les deux groupes.

Partie D - Standardisation

Partie E - Généralisation et prudence

Démonstration · Questions 21 à 23

21. Les tutorés sont partagés entre $T\cap S$ et $T\cap F$ . La formule de décomposition donne

f_T(R) =f_T(S)f_{T\cap S}(R)+f_T(F)f_{T\cap F}(R).

Numériquement,

\begin{aligned}\frac{20}{120}\times\frac{18}{20} +\frac{100}{120}\times\frac{60}{100} &= \frac{18+60}{120}\\[.35em]&= \frac{78}{120}.\end{aligned}

22. Un taux global est une moyenne pondérée. Même si chacun des deux taux tutorés est supérieur au taux non tutoré correspondant, un poids très fort sur le groupe initial 2 peut faire baisser la moyenne tutorée sous l'autre moyenne globale.

23. On ne peut pas conclure à une causalité : les élèves n'ont peut-être pas été répartis au hasard, et le tutorat a pu être proposé prioritairement aux élèves les plus en difficulté. Il serait utile de disposer de scores initiaux plus précis, d'autres caractéristiques pertinentes ou, si le cadre le permet, d'une comparaison construite avec des groupes initialement comparables.

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi croiser deux variables ?

Variables qualitatives et modalités

Nominale ou ordinale

Un individu fournit un couple

Le produit cartésien rassemble les couples possibles

Construire et lire un tableau croisé

Cases intérieures et marges

Le langage des ensembles

Fréquences globales et marginales

Fréquence d'une case

Fréquence marginale

Fréquences conditionnelles

Le dénominateur est le groupe après « parmi »

L'ordre change la question

Tableaux de fréquences conditionnelles

Reconstruire une fréquence globale

Compléter un tableau croisé

À partir des marges

À partir d'une fréquence conditionnelle

Représenter et comparer les groupes

Barres empilées à 100 %

Manipuler les proportions d’un groupe

Choisir la bonne représentation

Comparer et interpréter sans se tromper

Écart en points de pourcentage

Association et causalité

Filtrer des données avec la logique et Python

ET, OU, NON

Explorer un fichier réel : les iris

Construire le tableau à partir de listes

Du tableau statistique au modèle probabiliste

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Indépendance observée

Le test du produit en croix pour un tableau \(2\times2\)

Le paradoxe de Simpson

Standardiser pour comparer avec les mêmes poids

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices progressifs

Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître les variables

Exercice 2 ★☆☆ : Compléter avec les marges

Exercice 3 ★☆☆ : Fréquences globales et marginales

Exercice 4 ★☆☆ : Le bon dénominateur

Exercice 5 ★☆☆ : Traduire en français

Exercice 6 ★★☆ : Un tableau conditionnel

Exercice 7 ★★☆ : Retrouver les effectifs

Exercice 8 ★★☆ : Points ou pourcentage relatif ?

Exercice 9 ★★☆ : ET, OU, NON

Exercice 10 ★★☆ : Passer de listes à un tableau

Exercice 11 ★★☆ : Une fréquence conditionnelle impose une case

Exercice 12 ★★☆ : Lire les performances d'un test

Exercice 13 ★★★ : Indépendance dans un tableau

Exercice 14 ★★★ : Une moyenne pondérée de proportions

Exercice 15 ★★★ : Retrouver une fréquence conditionnelle

Problème défi : évaluer un programme de tutorat

Partie A - Construire la vue d'ensemble

Partie B - Comparer à niveau initial fixé

Partie C - Comprendre le renversement

Partie D - Comparer avec les mêmes poids

Partie E - Généraliser et garder un esprit critique

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème défi

Partie A - Vue d'ensemble

Le test du produit en croix pour un tableau $2\times2$