Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Déterminer le signe d'un facteur linéaire en tenant compte de son coefficient.
- Classer les zéros et valeurs interdites dans l'ordre croissant.
- Combiner les signes d'un produit ou d'un quotient sur chaque intervalle.
- Traiter les facteurs au carré et les simplifications avec un trou de domaine.
- Lire un ensemble de solutions en distinguant signe et variations.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Connaître la règle des signes pour un produit et un quotient.
- Résoudre une équation linéaire et comparer des nombres ou des fractions.
- Reconnaître une forme factorisée et les zéros d'un dénominateur.
Une position par rapport à zéro, pas un mouvement
Étudier le signe d'une expression, c'est déterminer où sa valeur est positive, négative ou nulle. Le tableau organise cette information selon les valeurs de \(x\). Il ne donne pas directement les variations : une valeur positive peut augmenter ou diminuer. Par exemple, \(1/x\) est positive sur \(]0;+\infty[\), tout en étant décroissante.
Le signe de \(f\) situe sa courbe au-dessus ou au-dessous de l'axe horizontal. Le signe de \(f'\), quand la dérivée existe, sert à étudier les variations de \(f\). Les tableaux se construisent avec les mêmes règles de signes, mais les conclusions portent sur des objets différents. Écris donc le nom de l'expression étudiée sur la dernière ligne.
Un tableau de signes devient particulièrement utile lorsque l'expression est un produit ou un quotient de facteurs simples. On sait alors déterminer le signe de chaque facteur, puis les combiner. Avec une somme, la règle « deux négatifs donnent un positif » ne s'applique pas : elle concerne la multiplication et la division. Il faut souvent factoriser ou mettre au même dénominateur avant de commencer.
Un facteur linéaire change de signe à sa racine
Pour \(ax+b\) avec \(a\ne0\), la racine est \(-b/a\). On peut écrire l'expression \(a(x-r)\), où \(r=-b/a\). À gauche de \(r\), le facteur \(x-r\) est négatif ; à droite, il est positif. Il reste à tenir compte du signe de \(a\).
| Coefficient | \(x\lt r\) | \(x=r\) | \(x\gt r\) |
|---|---|---|---|
| \(a\gt0\) | Négatif | Zéro | Positif |
| \(a\lt0\) | Positif | Zéro | Négatif |
Par exemple, \(3-x=-(x-3)\) est positif avant \(3\), nul en \(3\), négatif après. Il n'a pas le même signe que \(x-3\). Un test en \(x=0\) aide à vérifier le côté positif : \(3-0=3\). La factorisation justifie ensuite le signe sur tout l'intervalle.
Si \(a=0\), l'expression est constante : elle garde le signe de \(b\). Si \(b=0\) également, elle est nulle partout. On ne calcule donc pas automatiquement \(-b/a\) sans vérifier que \(a\) est non nul.
Placer les événements avant de remplir les signes
- Écrire le domaine : repérer les dénominateurs et exclure leurs zéros.
- Factoriser : conserver des facteurs dont le signe peut être étudié séparément.
- Classer les valeurs importantes : ranger dans l'ordre croissant les zéros des facteurs et les valeurs interdites.
- Compléter chaque facteur : déterminer son signe sur les intervalles ouverts et signaler ses zéros.
- Combiner : appliquer la règle des signes dans chaque intervalle, puis traiter les points séparément.
- Répondre : sélectionner les signes demandés et vérifier les inclusions des bornes.
La dernière étape dépend du symbole : une comparaison stricte à zéro exclut les zéros de l'expression ; une comparaison large les accepte s'ils appartiennent au domaine. Les valeurs interdites sont toujours exclues. Un dénominateur nul ne donne pas un quotient nul, même si son numérateur s'annule aussi.
Produit, quotient et facteur au carré
Exemple 1 — Deux facteurs linéaires
Étudions \(P(x)=(2x-3)(x+1)\). Le domaine est \(\mathbb R\). Les racines des deux facteurs sont \(3/2\) et \(-1\). Il faut les placer dans l'ordre \(-1\), puis \(3/2\), sans garder simplement l'ordre de lecture de la formule.
| Intervalle | \(2x-3\) | \(x+1\) | \(P(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(]-\infty;-1[\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(]-1;3/2[\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(]3/2;+\infty[\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
En \(-1\) et en \(3/2\), un facteur s'annule : le produit vaut zéro. Pour résoudre \(P(x)\lt0\), on retient donc \(]-1;3/2[\). Pour résoudre \(P(x)\leqslant0\), on ajoute les deux zéros et on obtient \([-1;3/2]\). Le test \(x=0\) donne \(-3\), cohérent avec le signe négatif au milieu.
Exemple 2 — Un zéro et une valeur interdite
Considérons \(Q(x)=(3-x)/(x+2)\), défini pour \(x\ne-2\). Le numérateur s'annule en \(3\) et a un coefficient de \(x\) négatif. Le dénominateur s'annule en \(-2\). Ces deux nombres ne jouent pas le même rôle.
| Intervalle | \(3-x\) | \(x+2\) | \(Q(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(]-\infty;-2[\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(]-2;3[\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(]3;+\infty[\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
En \(3\), le quotient vaut \(0/5=0\). En \(-2\), il n'est pas défini. Par conséquent, \(Q(x)\leqslant0\) donne \(]-\infty;-2[\cup[3;+\infty[\). Même avec une inégalité large, on n'inclut pas \(-2\).
Près de \(-2\), le numérateur reste proche de \(5\), tandis que le dénominateur se rapproche de zéro. Les valeurs deviennent non bornées : c'est un pôle de cette fonction rationnelle, associé à une asymptote verticale. Cette interprétation graphique complète l'étude de signe, mais la valeur interdite se repère déjà par le dénominateur.
Exemple 3 — Un zéro sans changement de signe
Étudions \(R(x)=(x-2)^2/(x+1)\), pour \(x\ne-1\). Le carré du numérateur est strictement positif sauf en \(2\), où il vaut zéro. Il ne devient pas négatif lorsque l'on traverse \(2\). Le signe du quotient, en dehors de ce zéro, est donc celui de \(x+1\).
Sur \(]-\infty;-1[\), \(R\) est négatif. Sur \(]-1;2[\) et \(]2;+\infty[\), il est positif. En \(2\), \(R(2)=0/3=0\). En \(-1\), il est indéfini. Ainsi \(R(x)\gt0\) donne \(]-1;2[\cup]2;+\infty[\), tandis que \(R(x)\geqslant0\) donne tout l'intervalle \(]-1;+\infty[\).
On ne doit donc pas alterner mécaniquement les signes à chaque valeur importante. Un facteur au carré s'annule sans changer de signe. Ce sont les signes des facteurs qui déterminent la dernière ligne, et non une alternance supposée à l'avance.
Une simplification ne supprime pas l'interdiction initiale
Pour \((x-1)(x+2)/(x-1)\), le domaine exclut \(1\). On peut simplifier et obtenir \(x+2\) uniquement pour \(x\ne1\). Le signe est celui de \(x+2\) sur ce domaine, mais le tableau doit conserver le trou en \(1\). À cette abscisse, la fraction initiale ne prend aucune valeur.
Ce trou n'est pas un pôle : autour de \(1\), l'expression simplifiée se rapproche de \(3\) au lieu de devenir non bornée. Un zéro de dénominateur impose toujours une exclusion, mais pas toujours une asymptote verticale. Pour l'étude de signe, le réflexe reste le même : noter le domaine avant toute simplification et le conserver jusqu'à la réponse.
Pour comparer deux expressions \(F\) et \(G\), on peut étudier le signe de leur différence : \(F\leqslant G\) équivaut à \(F-G\leqslant0\) sur leur domaine commun. Avec des fractions, la mise au même dénominateur permet ensuite de construire un tableau. La méthode des inéquations développe cette étape sans multiplier par une expression de signe inconnu.
Trois tableaux à construire et à expliquer
Trace les lignes sur papier et écris les valeurs importantes dans l'ordre croissant. Ne remplis la ligne finale qu'après les facteurs. Pour chaque borne, indique séparément si l'expression vaut zéro ou si elle n'existe pas : cette distinction décide de l'écriture de l'ensemble des solutions.
À toi de jouer · à ton rythme
1 — Le coefficient change l'ordre des signes
Étudie le signe de \(4-2x\), puis résous \(4-2x\geqslant0\). Justifie de quel côté de la racine l'expression est positive.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
La racine est \(2\), mais le coefficient de \(x\) est négatif. Le signe n'est donc pas celui de \(x-2\).
Indice 2 · avancer d’une étape
Factorise sous la forme \(-2(x-2)\). À gauche de \(2\), le deuxième facteur est négatif.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Pour \(x\lt2\), les deux facteurs de \(-2(x-2)\) sont négatifs : le produit est positif. En \(2\), il est nul ; après \(2\), il est négatif. La réponse à l'inéquation est \(]-\infty;2]\). Un test en zéro donne \(4\), ce qui confirme le signe du côté gauche. Réessaie : étudie \(2x-4\) et compare les trois signes obtenus.
À toi de jouer · à ton rythme
2 — Ranger les racines avant de combiner
Construis le tableau de signes de \((x-3)(2x+1)\), puis résous \((x-3)(2x+1)\leqslant0\). Vérifie une valeur à l'intérieur de l'ensemble obtenu.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Les racines sont \(3\) et \(-1/2\). Leur ordre dans le tableau est \(-1/2\), puis \(3\).
Indice 2 · avancer d’une étape
Avant \(-1/2\), les deux facteurs sont négatifs. Entre les racines, seul \(x-3\) est négatif. Après \(3\), ils sont positifs.
Voir le corrigé entièrement rédigé
Le produit est positif sur \(]-\infty;-1/2[\), négatif sur \(]-1/2;3[\), positif sur \(]3;+\infty[\), et nul aux deux racines. Le symbole large accepte ces deux zéros : \(S=[-1/2;3]\). En \(x=0\), le produit vaut \((-3)\times1=-3\), qui convient. Réessaie : ajoute un signe moins devant le produit et reconstruis l'ensemble où il est négatif ou nul.
À toi de jouer · à ton rythme
3 — Un facteur commun ne répare pas un dénominateur nul
Étudie le signe de \((x-2)^2/(x-2)\), puis résous \((x-2)^2/(x-2)\geqslant0\). La valeur \(2\) peut-elle être incluse ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Avant de simplifier, annonce le domaine \(x\ne2\). Le carré est le produit de deux facteurs \(x-2\).
Indice 2 · avancer d’une étape
Sur ce domaine, la fraction vaut \(x-2\). La simplification donne le signe, mais ne redéfinit pas la fraction initiale en \(2\).
Voir le corrigé entièrement rédigé
L'expression est négative avant \(2\) et positive après \(2\). Elle ne vaut jamais zéro sur son domaine, car sa seule candidate serait la valeur interdite. La réponse est donc \(S=]2;+\infty[\), même avec \(\geqslant0\). Réessaie : remplace le carré du numérateur par \((x-2)(x+1)\) et cherche quel zéro devient effectivement autorisé.
Après comparaison, où en es-tu ?
Utiliser le résultat sans changer de question
Pour contrôler le tableau, teste une valeur dans chaque intervalle et vérifie les bornes dans l'expression initiale. Si un test contredit une ligne, reprends le signe du facteur concerné. Les tests sont des contrôles ponctuels ; l'explication à partir des facteurs couvre toutes les valeurs des intervalles.
Le tableau permet de résoudre une inéquation ou de comparer une courbe à l'axe horizontal. Si l'expression étudiée est une dérivée, tu peux ensuite passer à la méthode du tableau de variations. Avant ce passage, reformule la dernière ligne : « cette expression est positive sur cet intervalle ». Cette phrase garde visible ce que le calcul a réellement établi.