Simplifier et factoriser une expression

Un parcours à ton rythme

Ce que tu vas savoir faire

Distribuer un facteur sur tous les termes d'une parenthèse.
Réduire des termes semblables et reconnaître les identités remarquables.
Factoriser en choisissant une forme utile pour la question posée.
Simplifier des fractions en distinguant facteurs et termes d'une somme.
Conserver les valeurs interdites et contrôler une identité par un développement.

Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.

Les bases utiles avant de commencer

Connaître les priorités opératoires et le calcul des nombres relatifs.
Distinguer une addition, une multiplication et un carré.
Savoir qu'une division par zéro n'est pas définie.

Changer la forme sans changer les valeurs

Une expression algébrique est une manière de calculer un nombre à partir de lettres. Par exemple, $$2(x+3)$$ et $$2x+6$$ donnent la même valeur pour chaque réel $$x$$ . Ce sont deux écritures d'une même expression. Une transformation correcte garde les valeurs pour toutes les valeurs autorisées des lettres, et pas seulement pour un exemple particulier.

Il n'existe pas une forme « la plus simple » pour toutes les questions. La forme développée aide à regrouper des termes ou à lire des coefficients. La forme factorisée aide à repérer des zéros ou à étudier un signe. Une forme avec un carré peut rendre un minimum visible. Avant de calculer, demande-toi ce que la question cherche à faire apparaître.

Développer transforme un produit en somme. Réduire regroupe les termes de même nature. Factoriser transforme une somme en produit. Ces opérations ne sont pas des objectifs concurrents : on les utilise selon le besoin. Pour résoudre $$(x-2)(x+3)=0$$ , conserver le produit est utile ; pour calculer la somme de deux polynômes, développer et réduire peut l'être davantage.

Faire agir un facteur sur toute la parenthèse

La distributivité s'écrit $$a(b+c)=ab+ac$$ . Le facteur extérieur multiplie chacun des termes intérieurs. Pour une soustraction, on peut penser $$b-c=b+(-c)$$ , ce qui conserve la même règle. Un signe moins devant une parenthèse correspond au facteur $$-1$$ : chaque terme change de signe.

Exemple 1 — Deux parenthèses avec des signes différents

Développons puis réduisons $$A(x)=2(3x-4)-(x-5)$$ . Le $$2$$ agit sur $$3x$$ et sur $$-4$$ . Le signe moins agit sur $$x$$ et sur $$-5$$ .

\begin{aligned}A(x)&=6x-8-x+5\\[.4em]&=(6x-x)+(-8+5)\\[.4em]&=5x-3.\end{aligned}

Les termes en $$x$$ se regroupent entre eux, puis les constantes entre elles. Pour $$x=0$$ , l'expression initiale vaut $$-8-(-5)=-3$$ , comme la forme finale. Ce test permet de détecter certains signes perdus ; la distributivité justifie l'identité pour tout $$x$$ .

On peut réduire $$2x+3x$$ en $$5x$$ , car on additionne deux fois et trois fois le même nombre $$x$$ . En revanche, $$2x+3$$ ne devient pas $$5x$$ , et $$x+x^2$$ ne devient pas $$2x^2$$ . Les puissances différentes représentent des termes de natures différentes. On les conserve séparément, sauf si une factorisation est recherchée.

Reconnaître une structure avant de multiplier

Trois identités permettent de développer ou de factoriser rapidement. Les lettres $$a$$ et $$b$$ peuvent elles-mêmes représenter des expressions entières ; il faut donc identifier les deux blocs avant de remplacer.

\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2,\\[.4em](a-b)^2&=a^2-2ab+b^2,\\[.4em](a-b)(a+b)&=a^2-b^2.\end{aligned}

Le terme $$2ab$$ vient des deux produits croisés dans $$(a+b)(a+b)$$ : $$ab$$ et $$ba$$ . C'est pourquoi un carré d'une somme n'est pas seulement la somme des carrés. Dans la différence de deux carrés, les deux produits croisés s'annulent, ce qui explique l'autre identité.

Exemple 2 — Identifier correctement les deux blocs

Dans $$(2x-3)^2$$ , le premier bloc est $$2x$$ , pas $$x$$ . Son carré vaut donc $$4x^2$$ . Le second bloc est $$3$$ , et le produit croisé utilise les deux blocs entiers.

\begin{aligned}(2x-3)^2&=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2\\[.4em]&=4x^2-12x+9.\end{aligned}

Pour $$x=1$$ , le carré initial vaut $$(-1)^2=1$$ , et la forme obtenue vaut $$4-12+9=1$$ . Le carré est toujours positif ou nul, même si son développement contient un terme négatif. L'égalité des deux formes permet justement de retrouver cette information lorsque l'expression développée la cache.

Chercher ce que les termes ont en commun

Factoriser utilise la distributivité dans l'autre sens : $$ab+ac=a(b+c)$$ . Commence par repérer un facteur commun à tous les termes. Il peut s'agir d'un nombre, d'une lettre, d'une puissance ou d'une parenthèse entière. Après avoir proposé une factorisation, développe-la pour vérifier qu'elle redonne exactement le point de départ.

Exemple 3 — Faire apparaître un facteur commun caché

On veut factoriser $$B(x)=x^2-4+(x-2)(3x+1)$$ . La différence $$x^2-4$$ est une différence de deux carrés. La factoriser fait apparaître $$x-2$$ dans les deux termes :

\begin{aligned}B(x)&=(x-2)(x+2)+(x-2)(3x+1)\\[.4em]&=(x-2)\bigl((x+2)+(3x+1)\bigr)\\[.4em]&=(x-2)(4x+3).\end{aligned}

On a additionné ce qui reste après retrait du facteur commun ; on n'a pas multiplié ces restes. Pour contrôler, le développement final donne $$4x^2-5x-6$$ , comme l'expression initiale développée. La forme factorisée rend immédiatement visible que $$B(2)=0$$ . Elle sera également utile dans une équation ou une étude de signe.

Si aucun facteur commun n'apparaît, cherche une identité remarquable ou un regroupement de termes. Une factorisation n'est pas toujours possible dans le cadre étudié : $$x^2+1$$ , par exemple, ne se factorise pas en deux facteurs linéaires à coefficients réels. Reconnaître cette limite évite de forcer la formule de différence de carrés sur une somme.

Simplifier des facteurs, jamais des morceaux d'une somme

Exemple 4 — Une simplification qui conserve une valeur interdite

Étudions $$C(x)=(x^2-9)/(x-3)$$ . Avant toute transformation, il faut $x\ne3$ . On factorise le numérateur, puis on divise numérateur et dénominateur par leur facteur commun non nul :

\begin{aligned}C(x)&=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\[.4em]&=x+3\qquad(x\ne3).\end{aligned}

La forme finale est définie en $$3$$ , mais l'expression initiale ne l'était pas. La restriction $x\ne3$ doit donc rester annoncée. La simplification affirme une égalité sur le domaine initial ; elle n'ajoute pas automatiquement un nouveau point à la fonction étudiée.

Dans $$(x+3)/x$$ , le $$x$$ du numérateur est un terme d'une somme, pas un facteur de tout le numérateur. On ne le barre pas avec le dénominateur. Pour $x\ne0$ , on peut écrire $$(x+3)/x=1+3/x$$ . Par exemple, en $$x=3$$ , la valeur est $$2$$ , pas $$4$$ .

Pour additionner des fractions, on met au même dénominateur. Avec $x\ne0$ , l'expression $$1/x+2$$ devient $$(1+2x)/x$$ . Chaque terme est transformé sans changer sa valeur : $$2=2x/x$$ . Si deux dénominateurs dépendent de $$x$$ , on conserve les restrictions de chacun, même si la fraction finale se simplifie.

Trois exercices pour choisir et vérifier une transformation

Avant de calculer, nomme le but : obtenir une somme réduite, faire apparaître un produit ou simplifier une fraction. À la fin, vérifie par une transformation inverse. Un test numérique peut compléter le contrôle ; plusieurs tests réussis ne prouvent pas à eux seuls une identité pour toutes les valeurs.

À toi de jouer · à ton rythme

1 — Distribuer un facteur négatif

Développe et réduis $$-2(3x-1)+4(x+2)$$ . Contrôle la forme obtenue en prenant $$x=2$$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Le facteur $$-2$$ multiplie les deux termes $$3x$$ et $$-1$$ . Le produit de deux nombres négatifs est positif.

Indice 2 · avancer d’une étape

Après distribution, tu dois obtenir $$-6x+2+4x+8$$ . Regroupe ensuite les termes en $$x$$ , puis les constantes.

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}-2(3x-1)+4(x+2)&=-6x+2+4x+8\\[.4em]&=-2x+10.\end{aligned}

En $$x=2$$ , l'expression initiale donne $-2\times5+4\times4=6$ , et la forme réduite $$-4+10=6$$ . Le contrôle confirme ce cas ; la distributivité explique l'égalité générale. Réessaie : remplace le premier facteur $$-2$$ par $$2$$ et observe quels signes changent.

À toi de jouer · à ton rythme

2 — Choisir une identité qui évite un long développement

Simplifie $$(x+3)^2-(x-3)^2$$ . Explique pourquoi le résultat n'a finalement pas de terme en $$x^2$$ .

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Il s'agit d'une différence de deux carrés. Prends comme blocs $$a=x+3$$ et $$b=x-3$$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Dans $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ , la différence des blocs vaut $$6$$ , et leur somme vaut $$2x$$ .

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}a-b&=(x+3)-(x-3)\\[.4em]&=6,\\[.4em]a+b&=(x+3)+(x-3)\\[.4em]&=2x,\\[.6em]a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[.4em]&=6\times2x\\[.4em]&=12x.\end{aligned}

En développant séparément les carrés, les deux termes $$x^2$$ se soustraient et s'annulent, comme les deux constantes $$9$$ . Les termes croisés s'ajoutent : $$6x-(-6x)=12x$$ . Réessaie : simplifie $$(x+4)^2-x^2$$ en choisissant tes deux blocs.

À toi de jouer · à ton rythme

3 — Factoriser avant de simplifier

Simplifie $$(x^2+3x)/(x+3)$$ en précisant son domaine. Peut-on utiliser l'expression simplifiée pour attribuer une valeur à la fraction initiale en $$x=-3$$ ?

Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.

Indice 1 · par où commencer

Le dénominateur impose $x\ne-3$ . Au numérateur, les deux termes ont un facteur commun $$x$$ .

Indice 2 · avancer d’une étape

Écris $$x^2+3x=x(x+3)$$ . Tu peux simplifier le facteur $$x+3$$ seulement sur le domaine où il est non nul.

Voir le corrigé entièrement rédigé

\begin{aligned}\frac{x^2+3x}{x+3}&=\frac{x(x+3)}{x+3}\\[.4em]&=x\qquad(x\ne-3).\end{aligned}

Le domaine reste $\mathbb R\setminus\{-3\}$ . En $$-3$$ , la fraction initiale serait $$0/0$$ , ce qui n'est pas défini. L'expression $$x$$ prolonge éventuellement la formule à une nouvelle valeur, mais ne change pas le domaine annoncé. Réessaie : traite $$(x^2-3x)/(x-3)$$ et formule la restriction correspondante.

Relier le calcul à la question suivante

Pour résoudre une équation, une factorisation peut transformer la recherche en produit nul. Pour étudier un signe, elle révèle les facteurs à examiner. Pour résoudre une inéquation, une mise au même dénominateur peut éviter une multiplication de signe inconnu.

Choisis une expression des exemples et explique pourquoi sa forme finale était utile. Refais ensuite une variante sans modèle. Si les deux formes donnent des valeurs différentes lors d'un test, cherche la première ligne où un terme, un signe ou une restriction a changé : cette ligne indique le calcul à reprendre.