Variables aléatoires et simulations · Première STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si P(A) = 0,3, que vaut P(non A) ?

0,30,71,3

2. Si P(A) = 0,4 et P(B sachant A) = 0,5, que vaut P(A ∩ B) ?

0,90,20,1

3. Quelle est la moyenne des valeurs 2, 4 et 9 ?

457,5

4. Avec randint du module random, randint(1, 6) renvoie un entier aléatoire. Quelles valeurs sont possibles ?

Tous les réels entre 1 et 61, 2, 3, 4, 5 seulement1, 2, 3, 4, 5, 6

5. Trois issues possibles ont pour probabilités 0,2 ; p ; 0,5. Quelle valeur de p complète une loi de probabilité ?

0,31,30,7

Pourquoi ce chapitre ?

Une variable aléatoire résume une expérience par un nombre. Son espérance permet de comparer des règles de jeu, tandis que les simulations montrent la fluctuation des résultats. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Associer un nombre au hasard.
L’espérance : une moyenne à long terme.
Coder succès et échec.
Répéter jusqu’à quatre épreuves indépendantes.
Simuler et estimer une probabilité.
Mesurer la dispersion de fréquences simulées.

L’idée avant la formule

Une moyenne théorique n’est pas une promesse pour une partie. C’est la moyenne pondérée des gains par leurs probabilités, à comparer aux moyennes observées sur de nombreuses parties.

Le cours formel

Associer un nombre au hasard

Intuition · Construire la notion pas à pas

Passer de l'issue à un nombre. Une variable aléatoire X associe une valeur numérique à chaque issue. L'issue peut être une face de dé, alors que X est un gain en euros. Deux issues différentes peuvent produire la même valeur de X.

Construire la loi. On liste d'abord toutes les valeurs possibles de X. Pour chacune, on regroupe les issues qui la produisent et on additionne leurs probabilités. La loi associe ainsi chaque valeur à sa probabilité, avec des probabilités positives ou nulles dont la somme vaut 1.

Traduire une condition sur X. L'événement $X\le0$ rassemble toutes les valeurs négatives et la valeur zéro si elle est possible. On additionne leurs probabilités. L'événement $$X>0$$ est son contraire ; aucun résultat ne doit être compté deux fois ou oublié.

Définir précisément la grandeur. Pour un jeu payant, le gain net est le montant reçu moins la mise. Ne rien recevoir donne donc un gain net négatif égal à l'opposé de la mise. Construire la loi de la recette et celle du bénéfice conduit à des valeurs différentes.

L’espérance : une moyenne à long terme

Intuition · Construire la notion pas à pas

Construire une moyenne théorique. L'espérance pondère chaque valeur possible par sa probabilité : $E(X)=\sum x_i p_i$ . Les probabilités jouent le rôle de fréquences prévues par le modèle. L'unité du résultat reste celle de X.

Donner un sens à cette moyenne. Sur de nombreuses répétitions indépendantes suivant le même modèle fini, la moyenne observée tend à se rapprocher de l'espérance. Cela ne fixe pas le résultat d'une partie, ni même celui d'une courte série. L'espérance peut être une valeur qui n'est jamais obtenue isolément.

Travailler sur le bon bilan. Pour évaluer un jeu payant, on calcule le gain net après soustraction de la mise. Une espérance de recette positive ne suffit pas à rendre le jeu avantageux si le prix à payer est encore plus grand.

Interpréter l'équité. Un jeu de gain net d'espérance nulle est équitable au sens de ce critère. Cela ne veut pas dire que chaque joueur termine à zéro. Une espérance négative indique une perte moyenne théorique, avec toujours la possibilité de gains ponctuels.

Coder succès et échec

Intuition · Construire la notion pas à pas

Choisir deux catégories exhaustives. Une épreuve de Bernoulli distingue un événement appelé succès et son contraire appelé échec. Le mot succès est une convention : on peut appeler succès le fait qu'une pièce soit défectueuse si c'est l'événement que l'on compte.

Coder par zéro et un. La variable vaut 1 lorsque le succès se produit et 0 sinon. Ce codage permet ensuite de compter les succès en additionnant les valeurs de plusieurs épreuves. Il ne faut pas le confondre avec une note de qualité.

Décrire la loi avec un seul paramètre. Si p est la probabilité du succès, celle de l'échec vaut $$1-p$$ . L'espérance est $1\times p+0\times(1-p)=p$ . Cette moyenne peut être décimale alors que chaque réalisation vaut seulement zéro ou un.

Simuler par une longueur. Un nombre uniforme U sur l'intervalle unité tombe dans $$[0;p[$$ avec probabilité p. Le test $$U<p$$ peut donc coder le succès. Inverser ce test sélectionne la partie de longueur $$1-p$$ et simule généralement un autre paramètre.

Répéter jusqu’à quatre épreuves indépendantes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Vérifier les hypothèses avant de répéter. Les épreuves doivent avoir la même probabilité p de succès et être indépendantes. Le résultat d'une étape ne change alors pas les probabilités des étapes suivantes : chaque nœud de l'arbre porte p pour succès et $$1-p$$ pour échec.

Distinguer un chemin d'un nombre de succès. Avec trois essais, SSE et SES sont deux chemins différents mais donnent chacun deux succès. Pour la probabilité d'exactement deux succès, il faut réunir tous les chemins correspondants, pas seulement celui où les succès arrivent d'abord.

Calculer le poids d'un chemin. Un chemin de n essais avec k succès contient k facteurs p et $$n-k$$ facteurs $$1-p$$ . Son poids est donc $p^k(1-p)^{n-k}$ . L'ordre ne change pas ce produit, mais le nombre d'ordres possibles compte dans la probabilité totale.

Utiliser un contraire simple. « Au moins un succès » regroupe de nombreux chemins ; son contraire est le seul chemin composé uniquement d'échecs. Sa probabilité est $$1-(1-p)^n$$ . Cette méthode évite de compter plusieurs fois les chemins possédant plusieurs succès.

Simuler et estimer une probabilité

Intuition · Construire la notion pas à pas

Transformer un modèle en procédure. Simuler un dé équilibré signifie produire des entiers de 1 à 6 avec les mêmes probabilités. Le programme ne vérifie pas qu'un dé physique est équilibré : cette propriété est une hypothèse du modèle que l'on a choisi de simuler.

Compter avant de diviser. Pour estimer la probabilité d'un événement sur N essais, on compte ses réalisations puis on divise par N. Le compteur commence à zéro avant les répétitions. Il augmente seulement lorsque l'événement se produit ; il ne doit pas être réinitialisé à chaque essai.

Distinguer fréquence et probabilité. La fréquence est calculée à partir d'une série obtenue. Elle change d'une simulation à l'autre. La probabilité est un paramètre du modèle ; elle ne change pas parce qu'une simulation donne une fréquence légèrement différente.

Comprendre la stabilisation. Avec beaucoup d'essais indépendants suivant le même modèle, les fréquences se concentrent davantage autour de la probabilité. Elles ne deviennent pas nécessairement exactes et ne se rapprochent pas à chaque essai. Fixer une graine permet de reproduire une simulation, sans garantir qu'elle sera plus proche de la valeur théorique.

Exemple · Exemple commenté

Pour estimer la probabilité d'obtenir 6, on peut utiliser :

from random import randint

def frequence(N):
    succes = 0
    for k in range(N):
        if randint(1, 6) == 6:
            succes += 1
    return succes / N

N doit être un entier strictement positif. Le compteur est créé avant la boucle ; chaque appel à randint(1,6) produit un lancer dans le modèle. Le test sélectionne uniquement la face 6 et l'incrément ajoute un succès. La division finale transforme le total en fréquence.

Si 168 succès sont obtenus en 1 000 essais, la fonction renvoie 0,168. Cette fréquence est proche de $1/6\approx0{,}1667$ , mais elle n'est pas la probabilité exacte. Un autre appel peut donner un résultat différent, ce qui est attendu pour une simulation aléatoire.

Mesurer la dispersion de fréquences simulées

Intuition · Construire la notion pas à pas

Observer une série de fréquences. On produit N échantillons de taille n. Chacun donne une fréquence $$f_i$$ , puis on calcule la moyenne $\bar f$ et l'écart-type descriptif s de ces N fréquences. Le diviseur de cette variance descriptive est N, le nombre de fréquences.

Distinguer dispersion et étendue. L'étendue utilise seulement la plus petite et la plus grande fréquence. L'écart-type utilise les carrés des écarts de toutes les fréquences à leur moyenne. Ces deux indicateurs ne sont pas interchangeables.

Construire un intervalle autour de p. Dans $$[p-ks;p+ks]$$ , le centre est la probabilité du modèle p et le rayon est ks. On compte ensuite les fréquences observées qui appartiennent à l'intervalle, bornes incluses. Diviser ce compte par N donne une proportion empirique.

Interpréter ce comptage sans règle automatique. On ne remplace pas le résultat observé par un pourcentage supposé universel. Le nombre de fréquences dans l'intervalle dépend de la simulation, de la taille et du modèle. Si une borne sort de $$[0;1]$$ , les fréquences restent naturellement dans $$[0;1]$$ ; l'intersection ne change pas les observations comptées.

Agir sur la bonne taille. Augmenter n réduit généralement la fluctuation de chaque fréquence. Augmenter N permet d'observer plus précisément cette distribution, mais ne change pas la taille des échantillons.

Définition · Comprendre la notion

Simule N échantillons indépendants de taille n, pour une épreuve de probabilité p. Chaque échantillon fournit une fréquence ; tu obtiens une série de N fréquences $f_1,\ldots,f_N$ . Leur moyenne est $\bar f=\frac1N\sum f_i$ et leur écart-type descriptif est $s=\sqrt{\frac1N\sum(f_i-\bar f)^2}$ . Le tableur ou Python effectue ces calculs. Ne confonds pas s avec l'étendue maximum moins minimum. Compte ensuite les fréquences dans $$[p-ks;p+ks]$$ , pour k = 1, 2 ou 3, et rapporte le nombre obtenu à N. Ces proportions observées décrivent la simulation ; elles ne constituent pas une garantie universelle. À p fixé, la dispersion est de l'ordre de $1/\sqrt n$ . Multiplier n par quatre la divise donc approximativement par deux. Augmenter N permet de mieux observer cette dispersion, sans changer la taille n des échantillons.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 6 consolident les bases ; 7 à 12 demandent plusieurs étapes ; 13 à 18 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Compléter une loi ★☆☆

X prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités $$0{,}2$$ , $$p$$ , $$0{,}5$$ . Trouve $$p$$ .

Exercice 2 : Une espérance simple ★☆☆

X vaut 0 avec probabilité $$0{,}7$$ et 10 avec probabilité $$0{,}3$$ . Calcule $$E(X)$$ .

Exercice 3 : Un paramètre ★☆☆

Une pièce équilibrée donne pile ou face. On code pile par 1. Donne la loi et l’espérance.

Exercice 4 : Deux succès ★☆☆

Deux essais indépendants ont chacun une probabilité de succès $$0{,}6$$ . Calcule la probabilité de deux succès.

Exercice 5 : Calculer une fréquence ★☆☆

Une simulation de 500 lancers donne 87 six. Quelle fréquence a-t-on observée ?

Exercice 6 : Un intervalle ★☆☆

p = 0,3 et s = 0,04. Construis les intervalles pour k = 1 et k = 2.

Exercice 7 : Lire un événement ★★☆

X vaut $$-2$$ , 0, 5 avec probabilités $$0{,}4$$ , $$0{,}3$$ , $$0{,}3$$ . Calcule $P(X\le0)$ et $$P(X>0)$$ .

Exercice 8 : Un jeu équitable ? ★★☆

Un jeu donne un gain net de 6 euros avec probabilité $$1/4$$ et de $$-2$$ euros sinon. Est-il équitable ?

Exercice 9 : Changer le succès ★★☆

La probabilité qu’un produit soit conforme est $$0{,}97$$ . Si le succès est « défectueux », quel est le paramètre ?

Exercice 10 : Exactement deux sur trois ★★☆

On fait trois essais indépendants avec $$p=1/2$$ . Calcule la probabilité d’exactement deux succès.

Exercice 11 : Un compteur mal placé ★★☆

Un programme remet succes = 0 à l’intérieur de chaque tour de boucle. Pourquoi son total est-il faux ?

Exercice 12 : Calculer puis compter ★★☆

Les fréquences sont 0,4 ; 0,5 ; 0,5 ; 0,6, avec p = 0,5. Calcule leur écart-type descriptif et compte celles dans $$[p-s;p+s]$$ .

Exercice 13 : Gain reçu et gain net ★★★

Un ticket coûte 3 euros. Il rapporte 10 euros avec probabilité $$0{,}2$$ et rien sinon. Donne la loi du gain net.

Exercice 14 : Fixer une récompense ★★★

Un jeu coûte 2 euros. On reçoit R euros avec probabilité $$0{,}1$$ et rien sinon. Quelle récompense rend l’espérance nette nulle ?

Exercice 15 : Vérifier une simulation ★★★

Pour simuler une Bernoulli de paramètre $$0{,}3$$ , un code renvoie 1 si random() > 0.3. Quelle est l’erreur ?

Exercice 16 : Au moins un sur quatre ★★★

Quatre essais indépendants ont $$p=0{,}2$$ . Calcule la probabilité d’au moins un succès.

Exercice 17 : Une stabilisation non monotone ★★★

Après 100 essais, une fréquence vaut $$0{,}50$$ ; après 101 essais, $$0{,}505$$ environ. Le modèle de probabilité $$0{,}5$$ est-il contredit parce que la fréquence s’est éloignée ?

Exercice 18 : Changer n ou N ★★★

On utilise N = 1 000 échantillons de taille n = 100. Quel changement vise une dispersion divisée par deux : N = 4 000 ou n = 400 ?

Problème : Pour aller plus loin

Une loterie pédagogique et ses simulations

Une roue équilibrée comporte quatre secteurs : trois rapportent 0 point et un rapporte 8 points. On paie 1 point par partie. X est le gain net.

Donne la loi de X et vérifie la somme des probabilités.
Calcule E(X) et explique son sens.
On joue trois parties indépendantes. Calcule la probabilité d’exactement deux secteurs gagnants et celle d’au moins un.
Décris un programme qui simule N séries de n parties et enregistre la fréquence de secteurs gagnants pour chaque série.
Avec p = 0,25, un écart-type de fréquences s = 0,04 et 940 fréquences sur 1 000 dans [0,17;0,33], interprète l’intervalle et le comptage.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Une initialisation à chaque passage empêche le compteur de conserver l’historique.

Construire la réponse.

Au début d’un tour, l’instruction qui remet le compteur à zéro efface tous les succès des tours précédents.
Après le test de ce tour, le compteur vaut seulement zéro ou un selon son résultat.
À la fin, il ne décrit donc que le dernier essai, pas le total des essais.
La correction consiste à placer l’initialisation avant la boucle et à conserver seulement l’incrément conditionnel à l’intérieur.

Vérifier. Sur trois essais tous réussis, le programme erroné terminerait à 1 ; le compteur correct passerait successivement de 0 à 1, puis 2, puis 3.

Conclure. Il faut initialiser une seule fois avant les répétitions pour accumuler les succès.

Corrigé 12

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On calcule s à partir des quatre fréquences avant de construire l’intervalle centré sur p.

Construire la réponse.

La moyenne est
$\begin{aligned}(0{,}4+0{,}5+0{,}5+0{,}6)/4 &= 2/4\\[.35em] &= 0{,}5.\end{aligned}$
Les écarts à cette moyenne sont -0,1 ; 0 ; 0 ; 0,1. Leurs carrés totalisent $$0{,}01+0+0+0{,}01=0{,}02$$ .
La variance descriptive est $$0{,}02/4=0{,}005$$ ; donc
$\begin{aligned}s &= \sqrt{0{,}005}\\[.35em] &\approx 0{,}07071.\end{aligned}$
L’intervalle $$[p-s;p+s]$$ est environ $$[0{,}42929;0{,}57071]$$ . Les deux valeurs 0,5 y appartiennent, contrairement à 0,4 et 0,6.
La proportion observée est donc $$2/4=0{,}5$$ , soit 50 pour cent.

Vérifier. L’étendue de la série vaut 0,2, bien différente de l’écart-type 0,07071. Le comptage obtenu vient de cette série de quatre valeurs ; il n’impose pas une proportion universelle.

Conclure. $s\approx0{,}07071$ et deux fréquences sur quatre, soit 50 pour cent, sont dans l’intervalle demandé.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Corrigé 18

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le gain net retranche la mise au gain annoncé par la roue.

Construire la réponse.
1. Un secteur perdant rapporte 0 mais coûte 1 : le gain net est $$-1$$ avec probabilité $$3/4$$ .
2. Le secteur gagnant rapporte 8 et coûte 1 : le gain net est 7 avec probabilité $$1/4$$ .
3. La somme des probabilités vaut $$3/4+1/4=1$$ .
Vérifier. La roue possède quatre secteurs équiprobables ; trois conduisent au même gain net, ce qui justifie leur regroupement.

Conclure. La loi est $$P(X=-1)=3/4$$ et $$P(X=7)=1/4$$ .
Comprendre la question. L’espérance est une moyenne pondérée des gains nets.

Construire la réponse.
1. On multiplie chaque gain par sa probabilité : $$E(X)=(-1)(3/4)+7(1/4)$$ .
2. La somme vaut
  $\begin{aligned}-3/4+7/4 &= 4/4\\[.35em] &= 1\end{aligned}$
  point.
3. Sur beaucoup de parties indépendantes, la moyenne observée peut se rapprocher de 1 point par partie. Une partie isolée ne donne pourtant jamais exactement 1.
Vérifier. Le gain brut moyen est $8\times1/4=2$ ; retirer la mise 1 donne aussi 1.

Conclure. Le gain net moyen théorique est 1 point par partie, sans garantie pour une partie ou une courte série.
Comprendre la question. Les parties indépendantes permettent de multiplier les probabilités le long d’un chemin.

Construire la réponse.
1. Notons S un secteur gagnant et E un secteur perdant. Exactement deux succès correspond aux chemins SSE, SES et ESS.
2. Chaque chemin a probabilité $$(1/4)^2(3/4)=3/64$$ ; les trois chemins donnent $$9/64$$ .
3. « Au moins un succès » est le contraire de trois échecs. Sa probabilité vaut
  $\begin{aligned}1-(3/4)^3 &= 1-27/64\\[.35em] &= 37/64.\end{aligned}$
Vérifier. Les chemins du premier événement sont incompatibles, donc leurs probabilités s’additionnent. Le complément du second évite d’énumérer un, deux et trois succès.

Conclure. Les probabilités sont $$9/64$$ pour exactement deux succès et $$37/64$$ pour au moins un.
Comprendre la question. Il faut distinguer une partie, une série de n parties et N répétitions de cette série.

Construire la réponse.
1. ```
from random import random

def frequences(N, n):
    resultats = []
    for _ in range(N):
        succes = 0
        for _ in range(n):
            if random() < 0.25:
                succes += 1
        resultats.append(succes / n)
    return resultats
```
2. On suppose N et n entiers strictement positifs. Le compteur est remis à zéro au début de chaque série.
3. Un tirage uniforme inférieur à 0,25 représente un secteur gagnant. Après n parties, le compteur divisé par n donne une seule fréquence.
4. La liste finale contient N fréquences, produites à partir de N fois n parties simulées.
Vérifier. Chaque fréquence est comprise entre 0 et 1. Si le compteur n’était pas réinitialisé, les séries se mélangeraient et certaines valeurs pourraient dépasser 1.

Conclure. La boucle extérieure produit les N séries, la boucle intérieure les n parties de chacune.
Comprendre la question. L’intervalle est construit autour de la probabilité, avec deux écarts-types de chaque côté.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}p-2s &= 0{,}25-0{,}08\\[.35em] &= 0{,}17\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }p+2s &= 0{,}25+0{,}08\\[.35em] &= 0{,}33.\end{aligned}$
2. Le comptage indique $$940/1000=0{,}94$$ , soit $94\,\%$ des fréquences simulées dans cet intervalle.
3. Ce pourcentage décrit la simulation réalisée. Il ne garantit pas que toute simulation future donnera exactement le même résultat.
4. Pour des séries indépendantes de taille n à probabilité fixe, la dispersion théorique des fréquences est $\sqrt{p(1-p)/n}$ : multiplier n par quatre la divise par deux.
Vérifier. Le nombre N de séries sert à observer la dispersion ; c’est la taille n de chaque série qui détermine principalement la dispersion de sa fréquence.

Conclure. L’intervalle est $$[0{,}17;0{,}33]$$ et la proportion observée est $94\,\%$ , avec fluctuation d’un tirage à l’autre.

Variante autonome et bilan

Une roue donne 0 point avec probabilité 0,8 et 10 points avec probabilité 0,2, pour une mise de 3 points. Calcule le gain net moyen et la probabilité d’au moins un succès en deux parties indépendantes.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On retranche d’abord la mise, puis on traite l’événement sur deux parties par complément.

Construire la réponse.

Les gains nets sont $$0-3=-3$$ avec probabilité 0,8 et $$10-3=7$$ avec probabilité 0,2.
L’espérance vaut
$\begin{aligned}(-3)\times0{,}8+7\times0{,}2 &= -2{,}4+1{,}4\\[.35em] &= -1\end{aligned}$
point.
Sur deux parties indépendantes, aucun succès a probabilité $0{,}8^2=0{,}64$ .
Au moins un succès a donc probabilité $$1-0{,}64=0{,}36$$ .

Vérifier. Le gain brut moyen est $10\times0{,}2=2$ ; après une mise de 3, on retrouve une perte moyenne de 1 point.

Conclure. Le gain net moyen est -1 point par partie et la probabilité d’au moins un succès en deux parties est $36\,\%$ .

Je peux expliquer : associer un nombre au hasard.
Je peux expliquer : l’espérance : une moyenne à long terme.
Je peux expliquer : coder succès et échec.
Je peux expliquer : répéter jusqu’à quatre épreuves indépendantes.
Je peux expliquer : simuler et estimer une probabilité.
Je peux expliquer : mesurer la dispersion de fréquences simulées.

Fiche-mémoire

Associer un nombre au hasard.

Définis X avec son unité, en distinguant recette et gain net.
Liste ses valeurs possibles, sans répéter une valeur obtenue par plusieurs issues.
Associe à chaque valeur la somme des probabilités des issues correspondantes.
Vérifie que les probabilités sont admissibles et totalisent 1.
Pour une condition sur X, sélectionne les valeurs concernées avant d’additionner.

L’espérance : une moyenne à long terme.

Construis la loi de la quantité demandée, en soustrayant la mise si nécessaire.
Multiplie chaque valeur par sa probabilité en conservant les signes.
Additionne tous les produits et indique l’unité.
Pour une valeur inconnue, impose l’espérance souhaitée et résous l’équation.
Interprète le résultat comme une moyenne théorique, puis vérifie la cohérence de la loi et du calcul.

Coder succès et échec.

Définis explicitement le succès et l’échec.
Associe la valeur 1 au succès et 0 à l’échec.
Identifie p puis complète avec $$1-p$$ .
Calcule l’espérance comme moyenne pondérée, ou utilise $$E(X)=p$$ .
Pour une simulation, vérifie que la zone où le code renvoie 1 a bien une probabilité p.

Répéter jusqu’à quatre épreuves indépendantes.

Vérifie le nombre d’essais, leur indépendance et la constance de p.
Liste les chemins acceptés en distinguant « exactement » et « au moins ».
Multiplie les probabilités le long de chaque chemin.
Additionne les chemins disjoints ou calcule le contraire s’il est plus simple.
Contrôle avec l’arbre complet lorsque le nombre d’essais est petit.

Simuler et estimer une probabilité.

Décris le modèle, l’événement recherché et la méthode de tirage simulé.
Initialise le compteur avant la boucle et fixe un nombre entier positif d’essais.
Produis une nouvelle issue à chaque essai et incrémente seulement en cas de succès.
Divise le total des succès par le nombre d’essais après la boucle.
Compare la fréquence à la théorie et répète la simulation pour observer la fluctuation.

Mesurer la dispersion de fréquences simulées.

Calcule une fréquence par échantillon, puis la moyenne et l’écart-type de ces N fréquences.
Identifie p, s et le multiplicateur k sans confondre n et N.
Calcule le rayon ks, puis les bornes $$p-ks$$ et $$p+ks$$ .
Compte les fréquences comprises entre les bornes incluses et divise par N.
Présente la proportion comme observée et précise quel changement de taille est étudié.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Associer un nombre au hasard

L’espérance : une moyenne à long terme

Coder succès et échec

Répéter jusqu’à quatre épreuves indépendantes

Simuler et estimer une probabilité

Mesurer la dispersion de fréquences simulées

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Compléter une loi ★☆☆

Exercice 2 : Une espérance simple ★☆☆

Exercice 3 : Un paramètre ★☆☆

Exercice 4 : Deux succès ★☆☆

Exercice 5 : Calculer une fréquence ★☆☆

Exercice 6 : Un intervalle ★☆☆

Exercice 7 : Lire un événement ★★☆

Exercice 8 : Un jeu équitable ? ★★☆

Exercice 9 : Changer le succès ★★☆

Exercice 10 : Exactement deux sur trois ★★☆

Exercice 11 : Un compteur mal placé ★★☆

Exercice 12 : Calculer puis compter ★★☆

Exercice 13 : Gain reçu et gain net ★★★

Exercice 14 : Fixer une récompense ★★★

Exercice 15 : Vérifier une simulation ★★★

Exercice 16 : Au moins un sur quatre ★★★

Exercice 17 : Une stabilisation non monotone ★★★

Exercice 18 : Changer n ou N ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Une loterie pédagogique et ses simulations

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Corrigé 18

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions