Variables aléatoires · Première spécialité

Pourquoi les variables aléatoires ?

Du « lancer de dé » au « nombre qui dépend du hasard »

Jusqu'ici, le hasard donnait des événements : « obtenir Pile », « tirer une boule rouge ». Mais dans la vraie vie, ce qui nous intéresse, c'est souvent un nombre : le gain à un jeu, le nombre de clients dans une file, la durée d'attente d'un bus, le score à un QCM répondu au hasard. Une variable aléatoire, c'est exactement ça : un nombre dont la valeur dépend du résultat d'une expérience aléatoire.

Les deux questions clés : « en moyenne ? » et « à quel point ça varie ? »

Dès qu'un nombre dépend du hasard, on veut savoir deux choses. (1) Autour de quelle valeur se situe-t-il en moyenne, si on répète l'expérience un grand nombre de fois ? C'est l'espérance $\E(X)$ . (2) À quel point les résultats sont-ils dispersés autour de cette moyenne, groupés ou éparpillés ? C'est la variance $\V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ .

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Une variable aléatoire, c'est une « machine à transformer le hasard en nombre »

La loi : la « carte d'identité » de la variable

Intuition · Lister les valeurs et leurs chances

Connaître une variable aléatoire, ce n'est pas connaître sa valeur (le hasard ne l'a pas encore décidée !). C'est connaître la liste de ses valeurs possibles, et pour chacune, sa probabilité. Cette liste s'appelle la loi de probabilité. On la range presque toujours dans un tableau :

valeur $$x_i$$	$$x_1$$	$$x_2$$	$\dots$
$$P(X=x_i)$$	$$p_1$$	$$p_2$$	$\dots$

Les valeurs listées sont distinctes, chaque probabilité est entre $$0$$ et $$1$$ , et la somme de toutes les probabilités vaut exactement 1 (l'un des résultats va forcément arriver).

L'espérance : la moyenne « sur le très long terme »

Intuition · Une moyenne théorique, pas le prochain résultat

Une roue donne $$0$$ € avec probabilité $$1/2$$ , $$10$$ € avec probabilité $$1/4$$ et $$40$$ € avec probabilité $$1/4$$ . L'espérance pondère chaque gain par sa probabilité :

\begin{aligned}\E(X)&=0\times\frac12+10\times\frac14+40\times\frac14\\[.35em]&=12{,}5.\end{aligned}

On peut imaginer $$100$$ résultats respectant exactement les proportions : $$50$$ zéros, $$25$$ dix et $$25$$ quarante. Leur moyenne serait $$12{,}5$$ €. Mais $$100$$ parties aléatoires ne fournissent pas nécessairement ces effectifs, et quatre parties ne donnent pas nécessairement « deux zéros, un dix et un quarante ». Sous des répétitions indépendantes de même loi, les moyennes de grands échantillons se concentrent généralement près de l'espérance ; une réalisation reste incertaine.

La variance et l'écart-type : la « largeur » du nuage

Le cours complet

Réactiver la lecture statistique avant les probabilités

À toi d’essayer

Relier des effectifs, des rangs et une boîte

Dix personnes ont lu respectivement $$0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$$ livres pendant un mois. Dresse le tableau des effectifs, puis calcule la moyenne, la médiane, $$Q_1$$ , $$Q_3$$ et l'étendue. Pour les quartiles, on prend les valeurs aux rangs arrondis à l'entier supérieur de $$n/4$$ et $$3n/4$$ . Combien de données sont dans $$[Q_1;Q_3]$$ ? Peut-on affirmer que la prochaine personne lira un livre avec probabilité $$0{,}4$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La moyenne tient compte de toutes les valeurs ; la médiane utilise les deux rangs centraux puisque l'effectif est pair.

Indice 2 · Un pas de plus

Les effectifs de $$0,1,2,3$$ valent $$2,4,3,1$$ . Les rangs centraux sont $$5$$ et $$6$$ , les rangs des quartiles $$3$$ et $$8$$ .

Voir l’explication

Le tableau compte bien $$2+4+3+1=10$$ personnes.

\begin{aligned}\overline x&=\frac{0\times2+1\times4+2\times3+3\times1}{10}\\[.35em]&=\frac{13}{10}\\[.35em]&=1{,}3\text{ livre}.\end{aligned}

La moyenne n'est pas obligatoirement une donnée observée. Les valeurs de rangs $$5$$ et $$6$$ valent $$1$$ : la médiane vaut $$1$$ . Les rangs $$3$$ et $$8$$ donnent $$Q_1=1$$ et $$Q_3=2$$ . L'étendue vaut $$3-0=3$$ livres, l'écart interquartile $$2-1=1$$ livre. Sept données sont dans $$[1;2]$$ : la boîte peut contenir plus de la moitié des observations à cause des répétitions. La fréquence observée de « un livre » vaut $$4/10=0{,}4$$ . C'est aussi la probabilité exacte de choisir une telle personne si l'on tire uniformément une personne parmi ces dix. Cela ne fixe pas la probabilité pour une nouvelle personne : un modèle supplémentaire serait nécessaire. Réessaie : remplace le dernier $$3$$ par $$13$$ . Détermine quels indicateurs changent et lesquels restent identiques, puis explique pourquoi. Pour retrouver les rangs, reprends Seconde, fiche 13, exercices 2, 3 et 6.

Schéma : Réactiver la lecture statistique avant les probabilités

Cette boîte résume la série de dix personnes. L'axe commence à zéro et sa graduation vaut un livre. La médiane coïncide ici avec le bord gauche de la boîte ; les moustaches indiquent le minimum et le maximum. Elle ne permet pas de retrouver à elle seule tous les effectifs. À tracer à ton tour : Seconde, fiche 13, exercice 7 ; pour comparer les indicateurs, exercices 8 et 12.

Lire les axes et les aires avant de comparer des graphiques

Le graphique de gauche décrit des durées ; celui de droite décrit les moyens de transport de $$40$$ personnes. Ce sont deux séries différentes. Observe les unités, l'origine et les graduations avant d'interpréter une hauteur ou un angle.

À toi d’essayer

Une hauteur double signifie-t-elle deux fois plus de personnes ?

Sur l'histogramme, calcule les effectifs des classes $$[0;2[$$ et $$[2;6[$$ . La première rassemble-t-elle deux fois plus de personnes ? Sur le disque, calcule la fréquence et l'effectif des cyclistes. À quoi correspondrait un angle de $90^\circ$ dans un demi-disque ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans un histogramme de densités, l'effectif est l'aire du rectangle : largeur de classe multipliée par hauteur. Dans un diagramme circulaire, compare l'angle au tour complet.

Indice 2 · Un pas de plus

Les largeurs sont $$2$$ et $$4$$ minutes. Un disque correspond à $360^\circ$ , un demi-disque à $180^\circ$ .

Voir l’explication

Les unités confirment le calcul : minutes multipliées par personnes par minute donnent des personnes.

\begin{aligned}n_{[0;2[} &= 2\times3\\[.35em]&= 6,\\[.35em]n_{[2;6[} &= 4\times1{,}5\\[.35em]&= 6.\end{aligned}

Les deux classes regroupent autant de personnes malgré leurs hauteurs différentes. Avec des amplitudes différentes, comparer seulement les hauteurs serait trompeur.

\begin{aligned}f_{\mathrm{vélo}} &= \frac{90}{360}\\[.35em]&= \frac14\\[.35em]&= 25\,\%,\\[.35em]n_{\mathrm{vélo}} &= 40\times\frac14\\[.35em]&= 10.\end{aligned}

Dans un demi-disque, $$90/180=1/2$$ représenterait $50\,\%$ , soit $$20$$ personnes sur $$40$$ . La légende et l'étendue du graphique changent l'interprétation d'un même angle. Réessaie : une classe large de $$5$$ minutes contient $$10$$ personnes : quelle hauteur de densité choisir ? Quel angle représente $30\,\%$ dans un disque ? Pour reconstruire des représentations, reprends Seconde, fiche 13, exercice 11 (histogramme), et l'activité « Le même angle n'a pas toujours la même signification » (diagrammes circulaires).

Variable aléatoire et notations

À toi d’essayer

Une issue, une valeur, un événement

On lance deux dés équilibrés indépendants et $$X$$ est leur somme. Donne $$X(2,5)$$ , puis écris toutes les issues de $\{X=4\}$ et de $\{X\leqslant3\}$ . Les onze valeurs possibles de $$X$$ sont-elles équiprobables ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une issue est un couple ordonné ; $$(1,3)$$ et $$(3,1)$$ sont distincts.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour une somme au plus $$3$$ , traite séparément les sommes $$2$$ et $$3$$ .

Voir l’explication

$$X(2,5)=7$$ . L'événement $\{X=4\}$ contient les issues $$(1,3)$$ , $$(2,2)$$ et $$(3,1)$$ . L'événement $\{X\leqslant3\}$ contient $$(1,1)$$ , $$(1,2)$$ et $$(2,1)$$ . Chaque couple a probabilité $$1/36$$ , mais les sommes ne rassemblent pas toutes le même nombre de couples : $$2$$ en a un, $$4$$ en a trois. Réessaie : décris $\{X\geqslant11\}$ et calcule sa probabilité.

Loi de probabilité

Définition · Loi de probabilité d'une variable aléatoire

La loi de probabilité de $$X$$ est la donnée de toutes les valeurs $$x_i$$ de $X(\Omega)$ et, pour chacune, de la probabilité $$p_i=P(X=x_i)$$ . On la présente dans un tableau :

$$x_i$$	$$x_1$$	$$x_2$$	$\cdots$	$$x_n$$
$$P(X=x_i)$$	$$p_1$$	$$p_2$$	$\cdots$	$$p_n$$

Une preuve à construire

Pourquoi les probabilités d'une loi totalisent-elles 1 ?

Sur un univers fini, $$X$$ prend les valeurs distinctes $x_1,\ldots,x_r$ . Montre que la somme des $$P(X=x_i)$$ vaut $$1$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Toute issue possède une image par la fonction $$X$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Deux valeurs distinctes ne peuvent pas être simultanément l'image de la même issue.

Voir la preuve expliquée

Les événements $\{X=x_i\}$ recouvrent $\Omega$ : aucune issue n'est oubliée. Ils sont deux à deux incompatibles, puisque $X(\omega)$ a une seule valeur. Par additivité,

\begin{aligned}\sum_{i=1}^{r}P(X=x_i)&=P\left(\bigcup_{i=1}^{r}\{X=x_i\}\right)\\[.35em]&=P(\Omega)\\[.35em]&=1.\end{aligned}

Vérifier cette somme détecte certains oublis, mais ne suffit pas à prouver que chaque probabilité a été correctement calculée.

Exemple · Loi complète de la somme de deux dés

En dénombrant les $$36$$ résultats équiprobables, on obtient :

$$k$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$6$$	$$7$$	$$8$$	$$9$$	$$10$$	$$11$$	$$12$$
$$P(X=k)$$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Vérification : $$1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36$$ donc la somme des probabilités vaut $\frac{36}{36}=1$ . La valeur la plus probable est $$7$$ : c'est logique, c'est celle qui se réalise du plus grand nombre de façons.

À toi d’essayer

Construire une loi à partir d'une règle

Un dé équilibré donne une recette de $$0$$ € sur $$1,2,3$$ , de $$4$$ € sur $$4,5$$ et de $$10$$ € sur $$6$$ . La partie coûte $$3$$ €. Construis la loi du gain net $$G$$ . Calcule $$P(G>0)$$ et $P(G\leqslant1)$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La recette et le gain net diffèrent du montant payé, même quand la recette vaut zéro.

Indice 2 · Un pas de plus

Regroupe les faces qui donnent le même gain : il y a trois gains distincts.

Voir l’explication

Les gains sont $$-3,1,7$$ , de probabilités $$1/2,1/3,1/6$$ . Leur somme vaut $$1$$ . Un gain strictement positif correspond à $$1$$ ou $$7$$ :

\begin{aligned}P(G>0) &= 1/3+1/6\\[.35em]&= 1/2.\end{aligned}

Un gain au plus égal à $$1$$ comprend $$-3$$ et $$1$$ :

\begin{aligned}P(G\leqslant1) &= 1/2+1/3\\[.35em]&= 5/6.\end{aligned}

Le signe $\leqslant$ inclut la borne. Réessaie : si la partie coûte $$4$$ €, reconstruis les gains et $$P(G>0)$$ .

Espérance

Exemple · Un jeu de fête foraine

On paie $$3$$ € pour lancer un dé. On reçoit le nombre d'euros indiqué par la face (donc de $$1$$ à $$6$$ €). Soit $$X$$ le gain algébrique (ce qu'on reçoit moins la mise).

gain $$x_i$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$
$$P(X=x_i)$$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$

(Si la face est $$1$$ , on reçoit $$1$$ € pour $$3$$ € payés, gain $$-2$$ , etc.) Alors

\begin{aligned}\E(X) &= \frac16(-2-1+0+1+2+3)\\[.35em]&= \frac{3}{6}\\[.35em]&= 0{,}5.\end{aligned}

$\E(X)=0{,}5>0$ : le jeu est favorable au joueur (en moyenne il gagne $$0{,}50$$ € par partie). L'organisateur a donc intérêt à augmenter la mise : avec une mise de $$3{,}50$$ €, on aurait $\E(X)=0$ , le jeu serait équitable.

À toi d’essayer

Une moyenne positive ne promet pas un bénéfice

Reprends le jeu précédent, de gains $$-3,1,7$$ et de probabilités $$1/2,1/3,1/6$$ . Calcule son espérance. Quelle mise rendrait ce jeu équitable ? Faut-il alors gagner et perdre avec la même probabilité ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par la moyenne pondérée des gains ; garde les fractions jusqu'au bout.

Indice 2 · Un pas de plus

La recette moyenne vaut $0\times1/2+4\times1/3+10\times1/6$ . La mise se retranche à chaque partie.

Voir l’explication

Le gain moyen vaut

\begin{aligned}\E(G)&=-3\times\frac12+1\times\frac13+7\times\frac16\\[.35em]&=\frac{-9+2+7}{6}\\[.35em]&=0.\end{aligned}

La recette moyenne vaut $$3$$ € ; la mise de $$3$$ € rend donc déjà le jeu équitable. L'équité porte sur une espérance nulle. Elle n'exige pas des probabilités identiques de perte et de gain : par exemple, $$-1$$ avec probabilité $$3/4$$ et $$3$$ avec probabilité $$1/4$$ ont aussi une espérance nulle. Réessaie : avec une mise de $$2$$ €, calcule l'espérance et explique pourquoi une partie peut malgré tout faire perdre de l'argent.

Variance et écart-type

Une preuve à construire

Moyenne des carrés moins carré de la moyenne

Pour une loi finie $$(x_i,p_i)$$ , avec $\mu=\E(X)$ , démontre $\V(X)=\E(X^2)-\mu^2$ . Indique à quels moments interviennent les deux sommes connues.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe $(x_i-\mu)^2$ avant de sommer.

Indice 2 · Un pas de plus

On sait $\sum p_i=1$ et $\sum p_ix_i=\mu$ . Le nombre $\mu$ ne dépend pas de l'indice $$i$$ .

Voir la preuve expliquée

Par distributivité,

\begin{aligned}\V(X)&=\sum_i p_i(x_i-\mu)^2\\[.35em]&=\sum_i p_ix_i^2-2\mu\sum_i p_ix_i+\mu^2\sum_i p_i\\[.35em]&=\E(X^2)-2\mu\times\mu+\mu^2\times1\\[.35em]&=\E(X^2)-\mu^2.\end{aligned}

La troisième ligne utilise les deux sommes connues. Le nombre $\E(X^2)$ vient des carrés des valeurs, pondérés par les mêmes probabilités. On ne remplace pas $$X$$ par sa moyenne avant de le mettre au carré.

Exemple · Calcul complet sur un dé équilibré

Soit $$X$$ le résultat d'un dé à six faces. On organise les calculs :

$$x_i$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$6$$	somme
$$p_i$$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$$1$$
$$x_ip_i$$	$\frac16$	$\frac26$	$\frac36$	$\frac46$	$\frac56$	$\frac66$	$\frac{21}{6}$
$$x_i^2p_i$$	$\frac16$	$\frac46$	$\frac96$	$\frac{16}{6}$	$\frac{25}{6}$	$\frac{36}{6}$	$\frac{91}{6}$

On lit directement :

\begin{aligned}\E(X) &= \dfrac{21}{6}\\[.35em]&= 3{,}5\end{aligned}

\begin{aligned}\E(X^2) &= \dfrac{91}{6}\\[.35em]&\approx 15{,}17.\end{aligned}

D'où

\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\\[.35em]&= \frac{91}{6}-\left(\frac{21}{6}\right)^2\\[.35em]&= \frac{91}{6}-\frac{441}{36}\\[.35em]&= \frac{546-441}{36}\\[.35em]&= \frac{105}{36}\\[.35em]&= \frac{35}{12}\\[.35em]&\approx 2{,}92.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{\tfrac{35}{12}}\\[.35em]&\approx 1{,}71.\end{aligned}

Lecture : $$1{,}71$$ est la racine de la moyenne des carrés des écarts à $$3{,}5$$ . Ce n'est pas la moyenne des distances absolues, ni une borne contenant tous les résultats.

À toi d’essayer

Calculer ce que le graphique suggère

Les deux lois dessinées au début sont : $$U$$ vaut $$2,3,4$$ avec probabilités $$0{,}2;0{,}6;0{,}2$$ , et $$V$$ vaut $$0,3,6$$ avec probabilités $$0{,}25;0{,}5;0{,}25$$ . Vérifie leur espérance commune, puis calcule leur variance par les écarts à $$3$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les valeurs sont réparties symétriquement de part et d'autre de $$3$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $$U$$ , les carrés des écarts valent $$1,0,1$$ ; pour $$V$$ , ils valent $$9,0,9$$ .

Voir l’explication

Les moyennes valent $2\times0{,}2+3\times0{,}6+4\times0{,}2=3$ et $0\times0{,}25+3\times0{,}5+6\times0{,}25=3$ . Les variances sont

\begin{aligned}\V(U) &= 0{,}2\times1+0{,}6\times0+0{,}2\times1\\[.35em]&= 0{,}4,\end{aligned}

\begin{aligned}\V(V) &= 0{,}25\times9+0{,}5\times0+0{,}25\times9\\[.35em]&= 4{,}5.\end{aligned}

Les écarts-types valent environ $$0{,}63$$ et $$2{,}12$$ . Même centre, dispersions différentes : aucune de ces deux mesures ne remplace la loi complète. Réessaie : calcule ces deux variances avec König-Huygens et compare les résultats.

Socle : la linéarité de l'espérance

Une preuve à construire

Pourquoi la somme des espérances fonctionne

Sur un univers fini, justifie $\E(aX+bY)=a\E(X)+b\E(Y)$ sans supposer que $$X$$ et $$Y$$ sont indépendantes.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

On peut calculer une espérance en sommant sur les issues $\omega$ , en regroupant ensuite les issues qui donnent la même valeur.

Indice 2 · Un pas de plus

Distribue le produit $(aX(\omega)+bY(\omega))P(\{\omega\})$ .

Voir la preuve expliquée

La formule sur les issues donne

\begin{aligned}\E(aX+bY)&=\sum_{\omega\in\Omega}(aX(\omega)+bY(\omega))P(\{\omega\})\\[.35em]&=a\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\{\omega\})+b\sum_{\omega\in\Omega}Y(\omega)P(\{\omega\})\\[.35em]&=a\E(X)+b\E(Y).\end{aligned}

Chaque somme sur les issues reconstitue la moyenne pondérée des valeurs. On n'a pas remplacé une probabilité d'intersection par un produit ; aucune indépendance n'intervient.

À toi d’essayer

La dépendance ne bloque pas la linéarité

On tire une carte numérotée de $$1$$ à $$5$$ uniformément. $$X$$ est son numéro et $$Y=6-X$$ . Sans dresser la loi jointe, calcule $\E(X+Y)$ . Peut-on dire que $$X$$ et $$Y$$ sont indépendantes ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La somme vaut la même chose pour chaque carte.

Indice 2 · Un pas de plus

Connaître $$X$$ détermine complètement $$Y$$ . Compare par exemple les événements $$X=1$$ et $$Y=5$$ .

Voir l’explication

La somme vaut toujours $$6$$ , donc son espérance vaut $$6$$ . On retrouve $\E(X)=3$ et $\E(Y)=3$ , donc $$3+3=6$$ . Pourtant $$P(X=1,Y=5)=1/5$$ , tandis que $$P(X=1)P(Y=5)=1/25$$ : les variables sont dépendantes. Réessaie : calcule $\E(2X-Y)$ en utilisant les deux moyennes.

Transformation affine : espérance, puis complément sur la variance

Une preuve à construire

Démonstration de $\E(aX+b)=a\E(X)+b$

Montre que transformer chaque valeur en $$ax+b$$ transforme son espérance en $a\E(X)+b$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris la moyenne pondérée des nouvelles valeurs.

Indice 2 · Un pas de plus

Les constantes sortent de la somme et la somme des probabilités vaut $$1$$ .

Voir la preuve expliquée

On travaille sur les issues de l’univers fini, ou sur les valeurs de $$X$$ regroupées avec leurs probabilités. Si $$a=0$$ , toutes les valeurs images se regroupent en $$b$$ : les sommes ci-dessous restent valables. Posons $$Y=aX+b$$ . Les issues pour lesquelles $$X=x_i$$ ont une masse de probabilité $$p_i$$ et contribuent à la valeur $$ax_i+b$$ de $$Y$$ . Si plusieurs images coïncident, on additionne leurs contributions. Ainsi, y compris pour $$a=0$$ ,

\begin{aligned}\E(Y) &= \sum_i (ax_i+b)\,p_i\\[.35em]&= \sum_i\big(ax_ip_i+bp_i\big)\\[.35em]&= a\sum_i x_ip_i+b\sum_i p_i.\end{aligned}

Or $\sum_i x_ip_i=\E(X)$ et $\sum_i p_i=1$ . D'où $\E(Y)=a\E(X)+b$ .

Une preuve à construire

Démonstration de $\V(aX+b)=a^2\V(X)$

Pour une variable finie et des réels $$a,b$$ , montre que $\V(aX+b)=a^2\V(X)$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule la différence entre une valeur de $$Y$$ et sa moyenne.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux termes $$b$$ se simplifient ; le carré donne $$a^2$$ .

Voir la preuve expliquée

\begin{aligned}\V(Y) &= \sum_i p_i\big(\underbrace{(ax_i+b)}_{y_i}-\underbrace{(a\mu+b)}_{\E(Y)}\big)^2\\[.35em]&= \sum_i p_i\big(ax_i-a\mu\big)^2\\[.35em]&= \sum_i p_i\,a^2(x_i-\mu)^2.\end{aligned}

Le $$+b$$ s'est simplifié ( $$b-b=0$$ ). On sort la constante $$a^2$$ :

\begin{aligned}\V(Y) &= a^2\sum_i p_i(x_i-\mu)^2\\[.35em]&= a^2\,\V(X).\end{aligned}

En prenant la racine carrée :

\begin{aligned}\sigma(Y) &= \sqrt{a^2\V(X)}\\[.35em]&= |a|\sqrt{\V(X)}\\[.35em]&= |a|\,\sigma(X).\end{aligned}

À toi d’essayer

Une multiplication négative change-t-elle le signe de la dispersion ?

On sait $\E(X)=4$ et $\sigma(X)=2$ . Calcule l'espérance, la variance et l'écart-type de $$Y=-3X+5$$ , puis de la variable constante $$Z=5$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La variance de $$X$$ est $$2^2$$ . Le facteur d'une variance est un carré.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour l'écart-type, utilise la valeur absolue du coefficient ; pour $$Z$$ , aucun écart à la moyenne n'est possible.

Voir l’explication

\begin{aligned}\E(Y) &= -3\times4+5\\[.35em]&= -7,\end{aligned}

\begin{aligned}\V(Y) &= 9\times4\\[.35em]&= 36\end{aligned}

et $\sigma(Y)=6$ . La moyenne peut être négative, la dispersion reste positive ou nulle. Pour $$Z$$ , l'espérance vaut $$5$$ , la variance et l'écart-type valent $$0$$ . Réessaie : remplace $$-3$$ par $$1/2$$ et compare la largeur des valeurs possibles.

Pour aller plus loin : la meilleure « prévision » (approfondissement)

Une preuve à construire

Approfondissement : choisir une constante de prévision

Pour une variable finie $$X$$ d'espérance $\mu$ , prouve que $f(t)=\E((X-t)^2)$ est minimale pour $t=\mu$ , et précise la valeur du minimum.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe le carré en considérant $$t$$ comme un réel fixé.

Indice 2 · Un pas de plus

Après le calcul de l'espérance, complète le carré en $$t$$ .

Voir la preuve expliquée

En sommant les termes de la loi,

\begin{aligned}f(t)&=\E(X^2)-2t\mu+t^2\\[.35em]&=(t-\mu)^2+\E(X^2)-\mu^2\\[.35em]&=(t-\mu)^2+\V(X).\end{aligned}

Le carré est positif ou nul, et vaut zéro exactement pour $t=\mu$ . Le minimum est donc $\V(X)$ , atteint uniquement en $\mu$ . C'est une propriété de l'erreur quadratique ; elle ne dit pas que la moyenne est la meilleure réponse à toute question de prévision.

Échantillon et simulation : l'espérance se « voit » en répétant

Intuition · Observer une moyenne qui peut aussi s'éloigner

Voici une réalisation possible de six lancers d'un dé équilibré : $$1,6,6,1,1,6$$ . Ce n'est pas une moyenne théorique. À chaque nouveau lancer, on recalcule la somme divisée par le nombre de résultats.

Nombre $$n$$	1	2	3	4	5	6
Somme	1	7	13	14	15	21
Moyenne	1	3,5	$$13/3$$	3,5	3	3,5

Le segment entre deux points guide la lecture ; les moyennes ne sont calculées qu'aux entiers. Entre les deuxième et troisième lancers, la moyenne s'éloigne de

\(3{,}5\)

. La concentration des moyennes pour de grands échantillons indépendants de même loi n'est pas un rapprochement régulier à chaque lancer. La loi des grands nombres sera formalisée en Terminale.

À toi d’essayer

Une mise à jour à prédire

Dans la réalisation précédente, le septième lancer donne $$6$$ . Prédis si la moyenne monte ou descend, puis calcule-la. Est-elle nécessairement plus proche de $$3{,}5$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une nouvelle valeur supérieure à la moyenne courante fait monter cette moyenne.

Indice 2 · Un pas de plus

La somme précédente vaut $$21$$ ; le nouveau nombre de résultats est $$7$$ .

Voir l’explication

La nouvelle moyenne vaut

\begin{aligned}(21+6)/7 &= 27/7\\[.35em]&\approx 3{,}857.\end{aligned}

Elle a augmenté et s'est éloignée de l'espérance. Une simulation est une réalisation possible, pas une obligation de se rapprocher à chaque étape. Réessaie : si le septième lancer avait donné $$2$$ , calcule le sens et l'amplitude du changement.

Expérimentation officielle : plusieurs échantillons

Méthode · Programme complet pour un dé équilibré

On modélise tous les lancers comme indépendants et de même loi uniforme sur $\{1,\ldots,6\}$ . Les entiers $$n$$ et $$N$$ sont strictement positifs. Pour un dé, $\mu=3{,}5$ et $\sigma=\sqrt{35/12}$ .

from random import randint
from math import sqrt

def moyenne_de(n):
    if n < 1:
        raise ValueError('n doit etre positif')
    total = 0
    for k in range(n):
        total = total + randint(1, 6)
    return total / n

Cette première fonction renvoie une moyenne : elle effectue $$n$$ tirages puis divise leur somme par $$n$$ . La fonction suivante l'utilise comme une brique et recommence $$N$$ fois.

Méthode · Deuxième étape : compter les moyennes dans la bande

On conserve les imports et la fonction moyenne_de précédents. Chaque appel produit un nouvel échantillon dans le modèle.

def proportion_proche(N, n):
    if N < 1 or n < 1:
        raise ValueError('N et n doivent etre positifs')
    mu = 3.5
    sigma = sqrt(35/12)
    seuil = 2*sigma/sqrt(n)
    proches = 0
    for repetition in range(N):
        m = moyenne_de(n)
        if abs(m - mu) <= seuil:
            proches = proches + 1
    return proches / N

À toi d’essayer

Deux paramètres, deux rôles

Dans l'expérience de $$N$$ échantillons de taille $$n$$ , prends $\mu=3{,}5$ , $\sigma=\sqrt{35/12}$ et $$n=100$$ . Une moyenne $$3{,}8$$ est-elle dans la bande ? Que devient la largeur si $$n$$ passe à $$400$$ ? Que change seulement une augmentation de $$N$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Compare $$|3{,}8-3{,}5|$$ à $2\sigma/10$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La racine de $$400$$ vaut $$20$$ ; $$N$$ n'apparaît pas dans le rayon de la bande.

Voir l’explication

Le rayon vaut environ $$0{,}342$$ pour $$n=100$$ : l'écart $$0{,}3$$ est dans la bande. Pour $$n=400$$ , le rayon vaut environ $$0{,}171$$ , soit la moitié ; $$3{,}8$$ serait alors hors de la bande. Augmenter $$N$$ donne davantage de moyennes pour estimer une proportion ; cela ne change ni la taille de chaque échantillon ni la bande. On ne déclare pas automatiquement « $95\%$ » : on mesure la proportion et on indique les paramètres et la loi simulée. Réessaie : classe les moyennes $$3{,}2$$ et $$3{,}4$$ pour ces deux tailles.

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Attention · Comprendre les erreurs fréquentes

Oublier les probabilités dans l'espérance : $\E(X)$ n'est PAS la moyenne des valeurs $\frac{x_1+\dots+x_n}{n}$ (sauf si équiprobables). On pondère toujours par les $$p_i$$ .
Confondre $\E(X^2)$ et $\big(\E(X)\big)^2$ : ce sont presque toujours des nombres différents ! $\E(X^2)=\sum x_i^2 p_i$ (on carre les valeurs), $\big(\E(X)\big)^2$ (on carre la moyenne). Leur différence est la variance.
Mettre $$a$$ au lieu de $$a^2$$ dans la variance, ou garder le $$+b$$ : $\V(aX+b)=a^2\V(X)$ , sans $$b$$ .
Variance négative : impossible. Si tu trouves $\V(X)<0$ , tu as une erreur (souvent $\E(X^2)$ et $\big(\E(X)\big)^2$ échangés).
Oublier la mise dans un gain algébrique : le gain, c'est « ce qu'on reçoit moins ce qu'on a payé ».
Somme des probabilités $\neq 1$ : relire la loi, il manque une valeur ou une proba est fausse.

Propriété · Récapitulatif des formules

Objet	Formule
Somme des probabilités	$\displaystyle\sum_{i}p_i=1$
Espérance	$\displaystyle\E(X)=\sum_i x_ip_i$
Moment d'ordre 2	$\displaystyle\E(X^2)=\sum_i x_i^2p_i$
Variance (définition)	$\displaystyle\V(X)=\sum_i p_i(x_i-\mu)^2$
Variance (Kœ nig-Huygens)	$\V(X)=\E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2$
Écart-type	$\sigma(X)=\sqrt{\V(X)}$
Transformation affine	$\E(aX+b)=a\E(X)+b,\ \ \V(aX+b)=a^2\V(X)$

Méthode · Algorithme Python : espérance, variance, écart-type

On fournit deux listes non vides de même longueur : valeurs réelles finies, probabilités positives ou nulles de somme $$1$$ . zip ne contrôle pas cette condition et tronquerait silencieusement des listes de longueurs différentes. Les calculs en flottants sont approchés ; une variance très proche de zéro demande de contrôler les arrondis. La définition par les carrés des écarts fournit un second calcul utile.

from math import sqrt

def esperance(valeurs, probas):
    return sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))

def variance(valeurs, probas):
    E = esperance(valeurs, probas)
    E2 = sum(x**2 * p for x, p in zip(valeurs, probas))  # E(X^2)
    return E2 - E**2                                      # Koenig-Huygens

def ecart_type(valeurs, probas):
    return sqrt(variance(valeurs, probas))

# Exemple : un de a six faces
val = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
pro = [1/6] * 6
print(esperance(val, pro))   # 3.5
print(variance(val, pro))    # 2.9166...
print(ecart_type(val, pro))  # 1.7078...

Méthode · Algorithme Python : estimer $\E(X)$ par simulation

from random import randint

def moyenne_des_lancers(n):
    if n < 1:
        raise ValueError('n doit etre positif')
    total = 0
    for _ in range(n):
        total += randint(1, 6)   # un lancer de de
    return total / n

print(moyenne_des_lancers(100))      # proche de 3.5
print(moyenne_des_lancers(1000000))  # tres proche de 3.5
# Comparer plusieurs executions : aucune trajectoire n'est imposee.

Méthode · Algorithme Python : fréquences des lettres avec des listes

On tire uniformément une position parmi les lettres du texte. Les accents restent distincts, espaces et ponctuation sont exclus. La fonction renvoie une liste de lignes : chacune contient une lettre et sa fréquence. Sans lettre, elle renvoie une liste vide ; aucune loi de tirage d'une lettre n'est alors définie.

def frequences(texte):
    lettres = [c for c in texte.lower() if c.isalpha()]
    n = len(lettres)
    if n == 0:
        return []
    distinctes = []
    for c in lettres:
        if c not in distinctes:
            distinctes.append(c)
    return [[c, lettres.count(c)/n] for c in distinctes]

count(c) compte les occurrences de la lettre. Le premier parcours conserve chaque lettre distincte une seule fois, dans l'ordre de sa première apparition. Cette version convient aux textes courts du cours ; elle sert à comprendre la méthode, pas à traiter efficacement de très gros documents.

À toi d’essayer

Quelle population le programme a-t-il retenue ?

Pour le texte "Aba !", prédis la liste des lettres retenues, puis la sortie de la fonction. Pourquoi ne divise-t-on pas par la longueur du texte initial ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les majuscules sont converties, et le filtre ne garde que les lettres.

Indice 2 · Un pas de plus

La population de tirage contient trois positions : deux portent un a, une porte un b.

Voir l’explication

La liste retenue est ['a', 'b', 'a']. La fonction renvoie deux lignes, associant a à $$2/3$$ et b à $$1/3$$ (valeurs décimales approchées en Python). Le dénominateur est $$3$$ , car les espaces et la ponctuation ne font pas partie de l'expérience de tirage définie. Réessaie : prédis le résultat pour "Baa b", puis pour un texte ne contenant que des espaces.

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Lire une loi

Soit $$X$$ une variable aléatoire de loi :

$$x_i$$	$$-1$$	$$0$$	$$2$$	$$5$$
$$P(X=x_i)$$	$$0{,}3$$	$$0{,}1$$	$$0{,}4$$	$$a$$

1. Déterminer $$a$$ . 2. Calculer $P(X\geqslant 2)$ . 3. Calculer $P(X\leqslant 0)$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Une espérance simple

Une variable $$X$$ prend les valeurs $$10$$ , $$20$$ , $$30$$ avec les probabilités respectives $$0{,}5$$ ; $$0{,}3$$ ; $$0{,}2$$ . Calculer $\E(X)$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Vérifier puis espérer

$$Y$$ prend les valeurs $$0,1,2,3$$ avec $$P(Y=0)=0{,}4$$ , $$P(Y=1)=0{,}3$$ , $$P(Y=2)=0{,}2$$ , $$P(Y=3)=0{,}1$$ . 1. Vérifier que c'est bien une loi. 2. Calculer $\E(Y)$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Variance et écart-type

Reprendre la variable $$Y$$ de l'exercice 3. Calculer $\E(Y^2)$ , puis $\V(Y)$ par Kœ nig-Huygens, puis $\sigma(Y)$ (arrondi au centìeme).

Exercice 5 ★☆☆ : Du français aux symboles

Soit $$X$$ le nombre de bonnes réponses à un QCM de $$4$$ questions. Traduire en événements puis en probabilités les phrases : (a) « avoir au moins $$3$$ bonnes réponses » ; (b) « avoir strictement moins de $$2$$ bonnes réponses » ; (c) « avoir entre $$1$$ et $$3$$ bonnes réponses incluses ».

Exercice 6 ★☆☆ : Un dé truqué

Un dé est truqué : la probabilité d'obtenir chaque face est proportionnelle à sa valeur (la face $$k$$ a une probabilité $\lambda k$ ). 1. Déterminer $\lambda$ . 2. Dresser la loi de $$X$$ (la face obtenue). 3. Calculer $\E(X)$ .

Exercice 7 ★★☆ : Jeu de la roue

Une roue équilibrée comporte $$8$$ secteurs identiques : trois « $$0$$ € », trois « $$5$$ € », un « $$20$$ € » et un « $$50$$ € ». On paie $$10$$ € pour jouer. Soit $$X$$ le gain algébrique. 1. Donner la loi de $$X$$ . 2. Calculer $\E(X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ? 3. Quel prix rendrait le jeu équitable ?

Exercice 8 ★★☆ : Deux dés, le maximum

On lance indépendamment deux dés équilibrés et $$M$$ est le plus grand des deux résultats (le maximum). 1. Déterminer $M(\Omega)$ . 2. Montrer que $P(M=k)=\dfrac{2k-1}{36}$ pour $$k$$ de $$1$$ à $$6$$ . 3. Calculer $\E(M)$ .

Exercice 9 ★★☆ : Transformation affine

$$X$$ vérifie $\E(X)=6$ et $\V(X)=9$ . On pose $$Z=-2X+5$$ . Calculer $\E(Z)$ , $\V(Z)$ et $\sigma(Z)$ .

Exercice 10 ★★☆ : Tirage sans remise

Une urne contient $$3$$ boules rouges et $$2$$ boules vertes. On tire simultanément $$2$$ boules. Soit $$X$$ le nombre de boules rouges tirées. 1. Déterminer la loi de $$X$$ . 2. Calculer $\E(X)$ et $\V(X)$ .

Exercice 11 ★★☆ : Assurance

Une compagnie assure un objet de valeur $$2000$$ €. La probabilité d'un sinistre total (remboursement de $$2000$$ €) dans l'année est $$0{,}03$$ . La compagnie veut que son bénéfice espéré soit de $$25$$ € par contrat. Quel montant de prime annuelle doit-elle demander ? (On note $$p$$ la prime ; le bénéfice de la compagnie est $$p$$ s'il n'y a pas de sinistre, $$p-2000$$ sinon.)

Exercice 12 ★★☆ : Loi à paramètre

Soit $$X$$ de loi $P(X=k)=\dfrac{k}{10}$ pour $k\in\{1,2,3,4\}$ . 1. Vérifier que c'est une loi. 2. Calculer $\E(X)$ et $\sigma(X)$ .

Exercice 13 ★★★ : Jeu de dés à deux étages

On lance un dé. Si on obtient $$6$$ , on gagne $$12$$ €. Sinon, on relance le dé : on gagne alors le double de la nouvelle face en euros. Soit $$G$$ le gain. 1. Déterminer les valeurs possibles de $$G$$ et leur probabilité. 2. Calculer $\E(G)$ .

Exercice 14 ★★★ : Comparer deux stratégies

Deux placements d'un an pour $$1000$$ €. Placement A : gain certain de $$30$$ €. Placement B : gain de $$130$$ € avec probabilité $$0{,}5$$ , perte de $$60$$ € avec probabilité $$0{,}5$$ . 1. Calculer $\E$ et $\sigma$ du gain pour chaque placement. 2. Lequel choisir ? Discuter selon le profil (prudent / joueur).

Exercice 15 ★★★ : Espérance et second degré

Soit $$X$$ de loi : $$P(X=0)=0{,}2$$ , $$P(X=2)=0{,}5$$ , $$P(X=5)=0{,}3$$ . On considère la fonction $f(x)=\E\big((X-x)^2\big)$ . 1. Exprimer $$f(x)$$ en fonction de $$x$$ (forme développée). 2. Pour quelle valeur de $$x$$ est-elle minimale ? Que vaut ce minimum ? Relier aux notions du cours.

Exercice 16 ★★★ : Python, simulation et échantillons

1. On donne la fonction esperance(valeurs, probas) du cours.

Écrire une fonction Python est_equitable qui renvoie True si le jeu est équitable (espérance nulle, à $10^{-9}$ près), et False sinon.

2. Écrire une fonction moyenne_de(n) qui simule $$n$$ lancers d'un dé équilibré et renvoie leur moyenne.

3. Écrire une fonction proportion_proche(N,n) qui simule $$N$$ échantillons de taille $$n$$ et renvoie la proportion des moyennes $$m$$ telles que

|m-3{,}5|\leqslant\frac{2\sqrt{35/12}}{\sqrt n}.

Expliquer pourquoi deux appels successifs peuvent renvoyer des valeurs légèrement différentes.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Démonstration

1. La face $$k$$ a une probabilité $\lambda k$ . La somme doit valoir $$1$$ :

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{6}\lambda k &= \lambda(1+2+3+4+5+6)\\[.35em]&= 21\lambda\\[.35em]&= 1\ \Longrightarrow\ \lambda\\[.35em]&= \frac{1}{21}.\end{aligned}

2. Loi de $$X$$ :

$$k$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$6$$
$$P(X=k)$$	$\frac{1}{21}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{3}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{6}{21}$

3. Espérance :

\begin{aligned}\E(X) &= \sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac{k}{21}\\[.35em]&= \frac{1}{21}\sum_{k=1}^{6}k^2\\[.35em]&= \frac{1+4+9+16+25+36}{21}\\[.35em]&= \frac{91}{21}\\[.35em]&= \frac{13}{3}\\[.35em]&\approx 4{,}33.\end{aligned}

Le dé étant truqué en faveur des grandes faces, son espérance ( $\approx4{,}33$ ) est supérieure à celle d'un dé équilibré ( $$3{,}5$$ ) : cohérent.

Corrigé 7

Démonstration

1. Sur $$8$$ secteurs : trois donnent $$0$$ €, trois donnent $$5$$ €, un donne $$20$$ €, un donne $$50$$ €. Le gain algébrique retranche la mise de $$10$$ € :

gain $$x_i$$	$$-10$$	$$-5$$	$$10$$	$$40$$
$$P(X=x_i)$$	$\frac38$	$\frac38$	$\frac18$	$\frac18$

(Recevoir $$0$$ donne un gain $$-10$$ ; recevoir $$5$$ donne $$-5$$ ; recevoir $$20$$ donne $$10$$ ; recevoir $$50$$ donne $$40$$ .)

2. Espérance :

\begin{aligned}\E(X) &= -10\times\tfrac38-5\times\tfrac38+10\times\tfrac18+40\times\tfrac18\\[.35em]&= \frac{-30-15+10+40}{8}\\[.35em]&= \frac{5}{8}\\[.35em]&= 0{,}625.\end{aligned}

$\E(X)=0{,}625>0$ : le jeu est favorable au joueur (gain moyen de $$0{,}625$$ € par partie). L'organisateur perd de l'argent sur le long terme.

3. Notons $$p$$ le prix. Le gain devient $x_i'=(\text{reçu})-p$ , et

\begin{aligned}\E(\text{gain}) &= \Big(0\times\tfrac38+5\times\tfrac38+20\times\tfrac18+50\times\tfrac18\Big)-p\\[.35em]&= \frac{15+20+50}{8}-p\\[.35em]&= \frac{85}{8}-p.\end{aligned}

Le jeu est équitable quand cette espérance est nulle :

\begin{aligned}p &= \dfrac{85}{8}\\[.35em]&= 10{,}625\end{aligned}

€. Il faudrait donc faire payer $$10{,}625$$ €.

Corrigé 8

Démonstration

1. Le maximum de deux faces va de $$1$$ à $$6$$ : $M(\Omega)=\{1,2,3,4,5,6\}$ .

2. $\{M=k\}$ signifie : les deux dés sont $\leqslant k$ , mais pas tous les deux $\leqslant k-1$ . Le nombre de couples avec les deux faces $\leqslant k$ est $$k^2$$ ; avec les deux $\leqslant k-1$ , c'est $$(k-1)^2$$ . Donc le nombre de couples où le maximum vaut exactement $$k$$ est

\begin{aligned}k^2-(k-1)^2 &= k^2-(k^2-2k+1)\\[.35em]&= 2k-1.\end{aligned}

Comme les $$36$$ couples sont équiprobables, $P(M=k)=\dfrac{2k-1}{36}$ .

Vérification :

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{6}(2k-1) &= 1+3+5+7+9+11\\[.35em]&= 36,\end{aligned}

donc la somme des probabilités vaut $$1$$ . ✓

3. Espérance :

\begin{aligned}\E(M) &= \sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac{2k-1}{36}\\[.35em]&= \frac{1}{36}\sum_{k=1}^{6}(2k^2-k)\\[.35em]&= \frac{1}{36}\Big(2\times91-21\Big)\\[.35em]&= \frac{182-21}{36}\\[.35em]&= \frac{161}{36}\\[.35em]&\approx 4{,}47.\end{aligned}

(On a utilisé $\sum k^2=91$ et $\sum k=21$ pour $$k$$ de $$1$$ à $$6$$ .)

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration

1. On tire $$2$$ boules parmi $$5$$ : il y a $$10$$ paires équiprobables. Pour le voir sans nouvelle notation, numérote les boules de $$1$$ à $$5$$ : on forme $$4$$ paires avec la boule $$1$$ , puis $$3$$ nouvelles avec la boule $$2$$ , puis $$2$$ , puis $$1$$ , soit $$4+3+2+1=10$$ . $$X$$ (nombre de rouges) peut valoir $$0$$ , $$1$$ ou $$2$$ .

$$X=0$$ : les $$2$$ boules sont vertes, $$1$$ façon. $P(X=0)=\frac{1}{10}$ .
$$X=1$$ : une rouge ( $$3$$ choix) et une verte ( $$2$$ choix), soit $3\times2=6$ . $P(X=1)=\frac{6}{10}$ .
$$X=2$$ : les $$2$$ rouges, $$3$$ paires : $$R_1R_2$$ , $$R_1R_3$$ , $$R_2R_3$$ . $P(X=2)=\frac{3}{10}$ .

Vérification : $\frac{1+6+3}{10}=1$ . ✓

$$x_i$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$P(X=x_i)$$	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

2. Espérance :

\begin{aligned}\E(X) &= 0\times\tfrac{1}{10}+1\times\tfrac{6}{10}+2\times\tfrac{3}{10}\\[.35em]&= \frac{0+6+6}{10}\\[.35em]&= \frac{12}{10}\\[.35em]&= 1{,}2.\end{aligned}

Pour la variance,

\begin{aligned}\E(X^2) &= 0^2\times\tfrac{1}{10}+1^2\times\tfrac{6}{10}+2^2\times\tfrac{3}{10}\\[.35em]&= \frac{6+12}{10}\\[.35em]&= \frac{18}{10}\\[.35em]&= 1{,}8.\end{aligned}

Donc

\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\\[.35em]&= 1{,}8-1{,}2^2\\[.35em]&= 1{,}8-1{,}44\\[.35em]&= 0{,}36.\end{aligned}

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration

1. Premier lancer : avec probabilité $\frac16$ on obtient $$6$$ et le gain est $$12$$ €. Avec probabilité $\frac56$ on relance, et on gagne le double de la nouvelle face, soit $$2,4,6,8,10$$ ou $$12$$ € selon la face $$1,2,3,4,5,6$$ .

La valeur $$G=12$$ peut venir de deux façons : soit un $$6$$ au premier lancer ( $P=\frac16$ ), soit un relancer suivi d'un $$6$$ (

\begin{aligned}P &= \frac56\times\frac16\\[.35em]&= \frac{5}{36}\end{aligned}

). Les autres valeurs $$2,4,6,8,10$$ viennent uniquement du second lancer, chacune avec probabilité $\frac56\times\frac16=\frac{5}{36}$ .

$$G$$	$$2$$	$$4$$	$$6$$	$$8$$	$$10$$	$$12$$
$$P$$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}$

Vérification : $5\times5+11=36$ , somme des probabilités

\begin{aligned}&= \frac{36}{36}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}

✓ (Pour $$G=12$$ : on a regroupé $\frac16=\frac{6}{36}$ du « $$6$$ direct » et $\frac{5}{36}$ du « relancer puis $$6$$ ».)

2. Espérance :

\begin{aligned}\E(G) &= \frac{5}{36}(2+4+6+8+10)+12\times\frac{11}{36}\\[.35em]&= \frac{5\times30}{36}+\frac{132}{36}\\[.35em]&= \frac{150+132}{36}\\[.35em]&= \frac{282}{36}\\[.35em]&= \frac{47}{6}\\[.35em]&\approx 7{,}83.\end{aligned}

Corrigé 14

Démonstration

Placement A. Le gain est certain : $$G_A=30$$ avec probabilité $$1$$ . Donc

\E(G_A)=30,\qquad \V(G_A)=0,\qquad \sigma(G_A)=0.

Aucune incertitude.

Placement B. Loi : $$+130$$ avec $$0{,}5$$ et $$-60$$ avec $$0{,}5$$ .

\begin{aligned}\E(G_B) &= 130\times0{,}5+(-60)\times0{,}5\\[.35em]&= 65-30\\[.35em]&= 35.\end{aligned}

\begin{aligned}\E(G_B^2) &= 130^2\times0{,}5+(-60)^2\times0{,}5\\[.35em]&= \frac{16900+3600}{2}\\[.35em]&= \frac{20500}{2}\\[.35em]&= 10250.\end{aligned}

\begin{aligned}\V(G_B) &= 10250-35^2\\[.35em]&= 10250-1225\\[.35em]&= 9025,\\[.35em]\sigma(G_B) &= \sqrt{9025}\\[.35em]&= 95.\end{aligned}

2. Discussion. En moyenne, B rapporte plus ( $$35>30$$ ). Mais B a un écart-type énorme ( $$95$$ €) contre $$0$$ pour A : il comporte un vrai risque de perte ( $$-60$$ € une fois sur deux). Un profil prudent préférera A (gain sûr), un profil joueur préférera B (espérance plus élevée, en acceptant le risque). C'est exactement le rôle de l'écart-type : il chiffre le risque que l'espérance, seule, masque.

Corrigé 15

Démonstration

1. On développe en utilisant la linéarité :

\begin{aligned}f(x) &= \E\big((X-x)^2\big)\\[.35em]&= \E(X^2)-2x\E(X)+x^2.\end{aligned}

Calculons les ingrédients :

\begin{aligned}\E(X) &= 0\times0{,}2+2\times0{,}5+5\times0{,}3\\[.35em]&= 0+1+1{,}5\\[.35em]&= 2{,}5,\end{aligned}

\begin{aligned}\E(X^2) &= 0^2\times0{,}2+2^2\times0{,}5+5^2\times0{,}3\\[.35em]&= 0+2+7{,}5\\[.35em]&= 9{,}5.\end{aligned}

Donc

\begin{aligned}f(x) &= x^2-2\times2{,}5\,x+9{,}5\\[.35em]&= x^2-5x+9{,}5.\end{aligned}

2. C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant $$+1>0$$ : minimum atteint en

\begin{aligned}x &= -\frac{-5}{2\times1}\\[.35em]&= \frac{5}{2}\\[.35em]&= 2{,}5\\[.35em]&= \E(X).\end{aligned}

Le minimum vaut

\begin{aligned}f(2{,}5) &= 2{,}5^2-5\times2{,}5+9{,}5\\[.35em]&= 6{,}25-12{,}5+9{,}5\\[.35em]&= 3{,}25.\end{aligned}

\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\\[.35em]&= 9{,}5-2{,}5^2\\[.35em]&= 9{,}5-6{,}25\\[.35em]&= 3{,}25.\end{aligned}

On retrouve bien : le minimum de $$f$$ est atteint en $x=\E(X)$ et vaut $\V(X)$ . C'est l'illustration du résultat du cours (l'espérance est la meilleure « résumé » au sens des moindres carrés).

Corrigé 16

Démonstration

def esperance(valeurs, probas):
    return sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))

def est_equitable(valeurs, probas):
    return abs(esperance(valeurs, probas)) < 1e-9

# Jeu de l'exemple du cours : gains -2,-1,0,1,2,3 chacun avec proba 1/6
val = [-2, -1, 0, 1, 2, 3]
pro = [1/6] * 6
print(esperance(val, pro))    # 0.5  -> donc PAS equitable
print(est_equitable(val, pro))  # False

1. L'espérance vaut $0{,}5\neq 0$ , donc est_equitable renvoie False : ce jeu est favorable au joueur, pas équitable. Il deviendrait équitable en augmentant la mise de $$0{,}5$$ €.

2 et 3.

from random import randint
from math import sqrt

def moyenne_de(n):
    if n < 1:
        raise ValueError('n doit etre positif')
    total = 0
    for k in range(n):
        total = total + randint(1, 6)
    return total / n

def proportion_proche(N, n):
    if N < 1 or n < 1:
        raise ValueError('N et n doivent etre positifs')
    mu = 3.5
    sigma = sqrt(35/12)
    proches = 0
    for repetition in range(N):
        m = moyenne_de(n)
        if abs(m - mu) <= 2*sigma/sqrt(n):
            proches = proches + 1
    return proches / N

Chaque appel effectue de nouveaux lancers pseudo-aléatoires. Les $$N$$ échantillons ne sont donc pas exactement les mêmes, et la proportion observée fluctue. Lorsque $$N$$ est grand, ces fluctuations sont en général plus petites.

Corrigé du problème guidé

Démonstration · Partie A : loi, espérance et variance de $D=|D_1-D_2|$

1. La différence en valeur absolue de deux faces va de $$0$$ (faces égales) à $$5$$ (par exemple $$6$$ et $$1$$ ) : $D(\Omega)=\{0,1,2,3,4,5\}$ . On compte, parmi les $$36$$ couples $$(D_1,D_2)$$ équiprobables, ceux donnant chaque écart :

$$D=0$$ : $(1,1),\dots,(6,6)$ , soit $$6$$ couples.
$$D=1$$ : $(1,2),(2,1),\dots$ : il y a $$5$$ paires de faces consécutives, chacune dans $$2$$ ordres, soit $2\times5=10$ .
$$D=2$$ : $$4$$ paires possibles $\times 2$ ordres $$=8$$ .
$\[D=3\]$ $3\times2=6.$ $\[D=4\]$ $2\times2=4.$ $\[D=5\]$ $1\times2=2.$

$$k$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$
$$P(D=k)$$	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Vérification : $$6+10+8+6+4+2=36$$ . ✓

2. Espérance :

\begin{aligned}\E(D) &= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot2\big)\\[.35em]&= \frac{0+10+16+18+16+10}{36}\\[.35em]&= \frac{70}{36}\\[.35em]&= \frac{35}{18}\\[.35em]&\approx 1{,}94.\end{aligned}

Moment d'ordre 2 :

\begin{aligned}\E(D^2) &= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+4\cdot8+9\cdot6+16\cdot4+25\cdot2\big)\\[.35em]&= \frac{0+10+32+54+64+50}{36}\\[.35em]&= \frac{210}{36}\\[.35em]&= \frac{35}{6}\\[.35em]&\approx 5{,}83.\end{aligned}

Variance (Kœ nig-Huygens) :

\begin{aligned}\V(D) &= \E(D^2)-\big(\E(D)\big)^2\\[.35em]&= \frac{35}{6}-\left(\frac{35}{18}\right)^2\\[.35em]&= \frac{35}{6}-\frac{1225}{324}.\end{aligned}

On réduit au même dénominateur $$324$$ : $\frac{35}{6}=\frac{1890}{324}$ , donc

\begin{aligned}\V(D) &= \frac{1890-1225}{324}\\[.35em]&= \frac{665}{324}\\[.35em]&\approx 2{,}05.\end{aligned}

Démonstration · Partie B : le jeu d'argent $G=D^2-m$

3. On utilise la transformation affine $$G=D^2-m$$ (ici la « variable » est $$D^2$$ , et on lui retranche la constante $$m$$ ) :

\begin{aligned}\E(G) &= \E(D^2)-m\\[.35em]&= \frac{35}{6}-m.\end{aligned}

4. Jeu équitable : $\E(G)=0$ , donc

m=\E(D^2)=\frac{35}{6}\approx5{,}83\text{\,€}.

Il faut miser environ $$5{,}83$$ € pour que le jeu soit équitable.

5. Comme $$G=D^2-m$$ avec $$m$$ constante, $\V(G)=\V(D^2)$ : retrancher une constante ne change pas la dispersion. Il faut donc la variance de la variable $$D^2$$ . Posons $$W=D^2$$ , de valeurs $$0,1,4,9,16,25$$ avec les mêmes probabilités que $$D$$ . On a déjà

\begin{aligned}\E(W) &= \E(D^2)\\[.35em]&= \frac{35}{6}.\end{aligned}

Calculons $\E(W^2)=\E(D^4)$ :

\begin{aligned}&\E(D^4)\\[.35em]&= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+16\cdot8+81\cdot6+256\cdot4+625\cdot2\big)\\[.35em]&= \frac{2898}{36}\\[.35em]&= \frac{161}{2}\\[.35em]&= 80{,}5.\end{aligned}

Donc

\begin{aligned}\V(G) &= \V(W)\\[.35em]&= \E(D^4)-\big(\E(D^2)\big)^2\\[.35em]&= 80{,}5-\left(\frac{35}{6}\right)^2\\[.35em]&= 80{,}5-\frac{1225}{36}\\[.35em]&\approx 80{,}5-34{,}03\\[.35em]&= 46{,}47.\end{aligned}

\sigma(G)=\sqrt{46{,}47}\approx6{,}82\text{\,€}.

Interprétation (une phrase). Même « équitable » ( $\E(G)=0$ ), le jeu a un écart-type élevé ( $\approx6{,}82$ €, supérieur à la mise) : les résultats sont très dispersés, un joueur prudent sait donc qu'il peut perdre gros sur quelques parties, ce que l'espérance nulle ne dit pas.

Démonstration · Partie C : simulation

6. On simule deux dés, on calcule l'écart au carré, on retranche la mise, et on moyenne :

from random import randint

def simule_gain(n, m):
    total = 0
    for _ in range(n):
        d1 = randint(1, 6)
        d2 = randint(1, 6)
        gain = (abs(d1 - d2))**2 - m   # G = D^2 - m
        total += gain
    return total / n

# Avec la mise equitable m = 35/6 :
print(simule_gain(1000000, 35/6))   # proche de 0

Si $m=\frac{35}{6}$ est la mise équitable, alors $\E(G)=0$ : d'après le principe de la loi des grands nombres, le gain moyen observé sur $$n$$ parties se rapproche de $$0$$ quand $$n$$ devient grand. La simulation permet de comparer une observation au calcul théorique.

$\(x_i\)$	$\(1\)$	$\(2\)$	$\(3\)$	$\(4\)$	$\(5\)$	$\(6\)$	somme
$\(p_i\)$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\(1\)$
$\(x_ip_i\)$	$\frac16$	$\frac26$	$\frac36$	$\frac46$	$\frac56$	$\frac66$	$\frac{21}{6}$
$\(x_i^2p_i\)$	$\frac16$	$\frac46$	$\frac96$	$\frac{16}{6}$	$\frac{25}{6}$	$\frac{36}{6}$	$\frac{91}{6}$

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi les variables aléatoires ?

Du « lancer de dé » au « nombre qui dépend du hasard »

Les deux questions clés : « en moyenne ? » et « à quel point ça varie ? »

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Une variable aléatoire, c'est une « machine à transformer le hasard en nombre »

La loi : la « carte d'identité » de la variable

L'espérance : la moyenne « sur le très long terme »

La variance et l'écart-type : la « largeur » du nuage

Le cours complet

Réactiver la lecture statistique avant les probabilités

Lire les axes et les aires avant de comparer des graphiques

Variable aléatoire et notations

Loi de probabilité

Espérance

Variance et écart-type

Socle : la linéarité de l'espérance

Transformation affine : espérance, puis complément sur la variance

Pour aller plus loin : la meilleure « prévision » (approfondissement)

Échantillon et simulation : l'espérance se « voit » en répétant

Expérimentation officielle : plusieurs échantillons

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Lire une loi

Exercice 2 ★☆☆ : Une espérance simple

Exercice 3 ★☆☆ : Vérifier puis espérer

Exercice 4 ★☆☆ : Variance et écart-type

Exercice 5 ★☆☆ : Du français aux symboles

Exercice 6 ★☆☆ : Un dé truqué

Exercice 7 ★★☆ : Jeu de la roue

Exercice 8 ★★☆ : Deux dés, le maximum

Exercice 9 ★★☆ : Transformation affine

Exercice 10 ★★☆ : Tirage sans remise

Exercice 11 ★★☆ : Assurance

Exercice 12 ★★☆ : Loi à paramètre

Exercice 13 ★★★ : Jeu de dés à deux étages

Exercice 14 ★★★ : Comparer deux stratégies

Exercice 15 ★★★ : Espérance et second degré

Exercice 16 ★★★ : Python, simulation et échantillons

Problème guidé d'approfondissement

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé du problème guidé

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions