Le cours complet Réactiver la lecture statistique avant les probabilités
Intuition · Une observation et un modèle répondent à deux questions
Une série décrit des données effectivement recueillies. Une loi de probabilité décrit les issues d'une expérience dans un modèle. Les mêmes calculs pondérés apparaissent dans les deux cas, mais une fréquence observée ne détermine pas à elle seule la probabilité de la prochaine observation. Ces rappels de Seconde permettent de préciser ce que représentent les nombres avant d'utiliser l'espérance.
À toi d’essayer
Relier des effectifs, des rangs et une boîte Dix personnes ont lu respectivement \(0,0,1,1,1,1,2,2,2,3\) livres pendant un mois. Dresse le tableau des effectifs, puis calcule la moyenne, la médiane, \(Q_1\) , \(Q_3\) et l'étendue. Pour les quartiles, on prend les valeurs aux rangs arrondis à l'entier supérieur de \(n/4\) et \(3n/4\) . Combien de données sont dans \([Q_1;Q_3]\) ? Peut-on affirmer que la prochaine personne lira un livre avec probabilité \(0{,}4\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La moyenne tient compte de toutes les valeurs ; la médiane utilise les deux rangs centraux puisque l'effectif est pair.
Indice 2 · Un pas de plus Les effectifs de \(0,1,2,3\) valent \(2,4,3,1\) . Les rangs centraux sont \(5\) et \(6\) , les rangs des quartiles \(3\) et \(8\) .
Voir l’explication Le tableau compte bien \(2+4+3+1=10\) personnes.
\[\begin{aligned}\overline x&=\frac{0\times2+1\times4+2\times3+3\times1}{10}\\[.35em]&=\frac{13}{10}\\[.35em]&=1{,}3\text{ livre}.\end{aligned}\]
La moyenne n'est pas obligatoirement une donnée observée. Les valeurs de rangs \(5\) et \(6\) valent \(1\) : la médiane vaut \(1\) . Les rangs \(3\) et \(8\) donnent \(Q_1=1\) et \(Q_3=2\) . L'étendue vaut \(3-0=3\) livres, l'écart interquartile \(2-1=1\) livre. Sept données sont dans \([1;2]\) : la boîte peut contenir plus de la moitié des observations à cause des répétitions. La fréquence observée de « un livre » vaut \(4/10=0{,}4\) . C'est aussi la probabilité exacte de choisir une telle personne si l'on tire uniformément une personne parmi ces dix . Cela ne fixe pas la probabilité pour une nouvelle personne : un modèle supplémentaire serait nécessaire. Réessaie : remplace le dernier \(3\) par \(13\) . Détermine quels indicateurs changent et lesquels restent identiques, puis explique pourquoi. Pour retrouver les rangs, reprends Seconde, fiche 13, exercices 2, 3 et 6.
Agrandir ↗ Cette boîte résume la série de dix personnes. L'axe commence à zéro et sa graduation vaut un livre. La médiane coïncide ici avec le bord gauche de la boîte ; les moustaches indiquent le minimum et le maximum. Elle ne permet pas de retrouver à elle seule tous les effectifs. À tracer à ton tour : Seconde, fiche 13, exercice 7 ; pour comparer les indicateurs, exercices 8 et 12.
Lire les axes et les aires avant de comparer des graphiques
Le graphique de gauche décrit des durées ; celui de droite décrit les moyens de transport de \(40\) personnes. Ce sont deux séries différentes. Observe les unités, l'origine et les graduations avant d'interpréter une hauteur ou un angle.
Agrandir ↗
À toi d’essayer
Une hauteur double signifie-t-elle deux fois plus de personnes ? Sur l'histogramme, calcule les effectifs des classes \([0;2[\) et \([2;6[\) . La première rassemble-t-elle deux fois plus de personnes ? Sur le disque, calcule la fréquence et l'effectif des cyclistes. À quoi correspondrait un angle de \(90^\circ\) dans un demi-disque ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Dans un histogramme de densités, l'effectif est l'aire du rectangle : largeur de classe multipliée par hauteur. Dans un diagramme circulaire, compare l'angle au tour complet.
Indice 2 · Un pas de plus Les largeurs sont \(2\) et \(4\) minutes. Un disque correspond à \(360^\circ\) , un demi-disque à \(180^\circ\) .
Voir l’explication Les unités confirment le calcul : minutes multipliées par personnes par minute donnent des personnes.
\[\begin{aligned}n_{[0;2[} &= 2\times3\\[.35em]&= 6,\\[.35em]n_{[2;6[} &= 4\times1{,}5\\[.35em]&= 6.\end{aligned}\]
Les deux classes regroupent autant de personnes malgré leurs hauteurs différentes. Avec des amplitudes différentes, comparer seulement les hauteurs serait trompeur.
\[\begin{aligned}f_{\mathrm{vélo}} &= \frac{90}{360}\\[.35em]&= \frac14\\[.35em]&= 25\,\%,\\[.35em]n_{\mathrm{vélo}} &= 40\times\frac14\\[.35em]&= 10.\end{aligned}\]
Dans un demi-disque, \(90/180=1/2\) représenterait \(50\,\%\) , soit \(20\) personnes sur \(40\) . La légende et l'étendue du graphique changent l'interprétation d'un même angle. Réessaie : une classe large de \(5\) minutes contient \(10\) personnes : quelle hauteur de densité choisir ? Quel angle représente \(30\,\%\) dans un disque ? Pour reconstruire des représentations, reprends Seconde, fiche 13, exercice 11 (histogramme), et l'activité « Le même angle n'a pas toujours la même signification » (diagrammes circulaires).
Méthode · Un rappel à réutiliser pendant l'année
Avant un graphique : identifier la population, le caractère, les unités, les bornes des axes et ce que code chaque hauteur, aire ou angle. Avant une comparaison : examiner à la fois le centre et la dispersion. Les exercices de Seconde 13 indiqués ci-dessus servent à réactiver ces automatismes ; on peut revenir au cours de Première après un essai et sa vérification.
Variable aléatoire et notations
Définition · Variable aléatoire réelle
On considère une expérience aléatoire d'univers fini \(\Omega\) (la liste de tous les résultats possibles).
Une variable aléatoire réelle \(X\) est une fonction qui, à chaque résultat \(\omega\) de \(\Omega\) , associe un nombre réel noté \(X(\omega)\) .
L'ensemble des valeurs que peut prendre \(X\) est noté \(X(\Omega)=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\) .
Attention · Le vocabulaire : \(\{X=a\}\) est un événement
\(X\) est une fonction ; \(X(\omega)\) est sa valeur pour l'issue \(\omega\) , mais dès qu'on fixe une valeur \(a\) , l'écriture \(\{X=a\}\) désigne un événement : « l'ensemble des résultats pour lesquels \(X\) vaut \(a\) ». On peut donc lui attribuer une probabilité, notée \(P(X=a)\) . De même :
\(\{X\leqslant a\}\) : l'événement « \(X\) prend une valeur inférieure ou égale à \(a\) », de probabilité \(P(X\leqslant a)\) ;
\(\{X<a\}\) , \(\{X\geqslant a\}\) , \(\{a\leqslant X\leqslant b\}\) : même principe.
Passer du français aux symboles (et inversement) est une capacité attendue au bac : « au moins 2 » s'écrit \(\{X\geqslant 2\}\) , « strictement plus de 3 » s'écrit \(\{X>3\}\) , etc.
Exemple · La somme de deux dés
On lance indépendamment deux dés équilibrés et \(X\) est la somme des deux faces. Alors \(X(\Omega)=\{2,3,4,\dots,12\}\) . Par exemple l'événement \(\{X=4\}\) regroupe les résultats \((1,3),(2,2),(3,1)\) , donc
\[\begin{aligned}P(X=4) &= \frac{3}{36}\\[.35em]&= \frac{1}{12}.\end{aligned}\]
L'événement \(\{X\leqslant 3\}\) regroupe \((1,1),(1,2),(2,1)\) , donc
\[\begin{aligned}P(X\leqslant 3) &= \dfrac{3}{36}\\[.35em]&= \dfrac{1}{12}.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
Une issue, une valeur, un événement On lance deux dés équilibrés indépendants et \(X\) est leur somme. Donne \(X(2,5)\) , puis écris toutes les issues de \(\{X=4\}\) et de \(\{X\leqslant3\}\) . Les onze valeurs possibles de \(X\) sont-elles équiprobables ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une issue est un couple ordonné ; \((1,3)\) et \((3,1)\) sont distincts.
Indice 2 · Un pas de plus Pour une somme au plus \(3\) , traite séparément les sommes \(2\) et \(3\) .
Voir l’explication \(X(2,5)=7\) . L'événement \(\{X=4\}\) contient les issues \((1,3)\) , \((2,2)\) et \((3,1)\) . L'événement \(\{X\leqslant3\}\) contient \((1,1)\) , \((1,2)\) et \((2,1)\) . Chaque couple a probabilité \(1/36\) , mais les sommes ne rassemblent pas toutes le même nombre de couples : \(2\) en a un, \(4\) en a trois. Réessaie : décris \(\{X\geqslant11\}\) et calcule sa probabilité.
Loi de probabilité
Définition · Loi de probabilité d'une variable aléatoire
La loi de probabilité de \(X\) est la donnée de toutes les valeurs \(x_i\) de \(X(\Omega)\) et, pour chacune, de la probabilité \(p_i=P(X=x_i)\) . On la présente dans un tableau :
\(x_i\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_n\) \(P(X=x_i)\) \(p_1\) \(p_2\) \(\cdots\) \(p_n\)
Propriété · La somme des probabilités vaut 1
Pour toute variable aléatoire,
\[\begin{aligned}p_1+p_2+\dots+p_n &= \sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
Une preuve à construire
Pourquoi les probabilités d'une loi totalisent-elles 1 ? Sur un univers fini, \(X\) prend les valeurs distinctes \(x_1,\ldots,x_r\) . Montre que la somme des \(P(X=x_i)\) vaut \(1\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Toute issue possède une image par la fonction \(X\) .
Indice 2 · Un pas de plus Deux valeurs distinctes ne peuvent pas être simultanément l'image de la même issue.
Voir la preuve expliquée Les événements \(\{X=x_i\}\) recouvrent \(\Omega\) : aucune issue n'est oubliée. Ils sont deux à deux incompatibles, puisque \(X(\omega)\) a une seule valeur. Par additivité,
\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^{r}P(X=x_i)&=P\left(\bigcup_{i=1}^{r}\{X=x_i\}\right)\\[.35em]&=P(\Omega)\\[.35em]&=1.\end{aligned}\]
Vérifier cette somme détecte certains oublis, mais ne suffit pas à prouver que chaque probabilité a été correctement calculée.
Exemple · Loi complète de la somme de deux dés
En dénombrant les \(36\) résultats équiprobables, on obtient :
\(k\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\) \(P(X=k)\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{1}{36}\)
Vérification : \(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36\) donc la somme des probabilités vaut \(\frac{36}{36}=1\) . La valeur la plus probable est \(7\) : c'est logique, c'est celle qui se réalise du plus grand nombre de façons.
À toi d’essayer
Construire une loi à partir d'une règle Un dé équilibré donne une recette de \(0\) € sur \(1,2,3\) , de \(4\) € sur \(4,5\) et de \(10\) € sur \(6\) . La partie coûte \(3\) €. Construis la loi du gain net \(G\) . Calcule \(P(G>0)\) et \(P(G\leqslant1)\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La recette et le gain net diffèrent du montant payé, même quand la recette vaut zéro.
Indice 2 · Un pas de plus Regroupe les faces qui donnent le même gain : il y a trois gains distincts.
Voir l’explication Les gains sont \(-3,1,7\) , de probabilités \(1/2,1/3,1/6\) . Leur somme vaut \(1\) . Un gain strictement positif correspond à \(1\) ou \(7\) :
\[\begin{aligned}P(G>0) &= 1/3+1/6\\[.35em]&= 1/2.\end{aligned}\]
Un gain au plus égal à \(1\) comprend \(-3\) et \(1\) :
\[\begin{aligned}P(G\leqslant1) &= 1/2+1/3\\[.35em]&= 5/6.\end{aligned}\]
Le signe \(\leqslant\) inclut la borne. Réessaie : si la partie coûte \(4\) €, reconstruis les gains et \(P(G>0)\) .
Espérance
Définition · Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance de \(X\) , notée \(\E(X)\) (parfois \(\mu\) ), est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités :
\[\boxed{\;\E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n=\sum_{i=1}^{n}x_i\,P(X=x_i)\;}\]
Intuition · Lire la formule comme une moyenne de classe
C'est exactement le calcul d'une moyenne pondérée . Si dans une classe \(10\%\) ont \(8\) , \(60\%\) ont \(12\) et \(30\%\) ont \(16\) , la moyenne est \(8\times0{,}10+12\times0{,}60+16\times0{,}30=12{,}8\) . Pour une variable aléatoire, on remplace juste les « pourcentages d'élèves » par des « probabilités » : la formule est la même.
Attention · L'espérance n'est pas toujours une valeur atteinte
L'espérance de la somme de deux dés vaut \(7\) (heureusement, \(7\) est possible). Mais l'espérance d'un dé à six faces vaut \(\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5\) … et on n'obtient jamais \(3{,}5\) ! L'espérance est une moyenne théorique , pas une prédiction du prochain résultat. Elle dit ce qui se passe « en moyenne sur un grand nombre de répétitions ».
Définition · Jeu équitable
Dans un jeu où \(X\) désigne le gain algébrique du joueur (gains comptés positivement, pertes négativement, mise comprise ), le jeu est dit :
équitable si \(\E(X)=0\) (ni avantage, ni désavantage sur le long terme) ;
favorable au joueur si \(\E(X)>0\) , défavorable si \(\E(X)<0\) .
Exemple · Un jeu de fête foraine
On paie \(3\) € pour lancer un dé. On reçoit le nombre d'euros indiqué par la face (donc de \(1\) à \(6\) €). Soit \(X\) le gain algébrique (ce qu'on reçoit moins la mise).
gain \(x_i\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(P(X=x_i)\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\)
(Si la face est \(1\) , on reçoit \(1\) € pour \(3\) € payés, gain \(-2\) , etc.) Alors
\[\begin{aligned}\E(X) &= \frac16(-2-1+0+1+2+3)\\[.35em]&= \frac{3}{6}\\[.35em]&= 0{,}5.\end{aligned}\]
\(\E(X)=0{,}5>0\) : le jeu est favorable au joueur (en moyenne il gagne \(0{,}50\) € par partie). L'organisateur a donc intérêt à augmenter la mise : avec une mise de \(3{,}50\) €, on aurait \(\E(X)=0\) , le jeu serait équitable .
À toi d’essayer
Une moyenne positive ne promet pas un bénéfice Reprends le jeu précédent, de gains \(-3,1,7\) et de probabilités \(1/2,1/3,1/6\) . Calcule son espérance. Quelle mise rendrait ce jeu équitable ? Faut-il alors gagner et perdre avec la même probabilité ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Commence par la moyenne pondérée des gains ; garde les fractions jusqu'au bout.
Indice 2 · Un pas de plus La recette moyenne vaut \(0\times1/2+4\times1/3+10\times1/6\) . La mise se retranche à chaque partie.
Voir l’explication Le gain moyen vaut
\[\begin{aligned}\E(G)&=-3\times\frac12+1\times\frac13+7\times\frac16\\[.35em]&=\frac{-9+2+7}{6}\\[.35em]&=0.\end{aligned}\]
La recette moyenne vaut \(3\) € ; la mise de \(3\) € rend donc déjà le jeu équitable. L'équité porte sur une espérance nulle . Elle n'exige pas des probabilités identiques de perte et de gain : par exemple, \(-1\) avec probabilité \(3/4\) et \(3\) avec probabilité \(1/4\) ont aussi une espérance nulle. Réessaie : avec une mise de \(2\) €, calcule l'espérance et explique pourquoi une partie peut malgré tout faire perdre de l'argent.
Variance et écart-type
Définition · Variance et écart-type
Soit \(\mu=\E(X)\) . La variance de \(X\) est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance :
\[\begin{aligned}\V(X) &= \sum_{i=1}^{n}p_i\,(x_i-\mu)^2\\[.35em]&= (x_1-\mu)^2p_1+\dots+(x_n-\mu)^2p_n.\end{aligned}\]
L'écart-type de \(X\) est la racine carrée de la variance :
\[\sigma(X)=\sqrt{\V(X)}.\]
La variance est positive ou nulle , car chaque carré et chaque probabilité sont positifs ou nuls.
Intuition · Pourquoi mesurer des carrés d'écarts ?
Les écarts signés à la moyenne se compensent ; leur moyenne est nulle, même pour une loi très dispersée. Les carrés évitent cette compensation et donnent plus de poids aux grands écarts. Si \(X\) est en euros, la variance est en euros carrés ; l'écart-type retrouve les euros. Il ne signifie pas que tous les résultats sont dans \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\) .
Théorème · Formule de Kœ nig-Huygens
Pour toute variable aléatoire \(X\) d'espérance \(\mu=\E(X)\) :
\[\begin{aligned}&\boxed{\;\V(X)=\E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\;}\\[.35em]\text{où}\quad \E(X^2) &=\sum_{i=1}^{n}x_i^2\,p_i.\end{aligned}\]
Intuition · La formule qui fait gagner un temps fou
La définition demande de calculer d'abord \(\mu\) , puis tous les écarts \((x_i-\mu)^2\) : long et source d'erreurs (surtout si \(\mu\) n'est pas un entier). La formule de Kœ nig-Huygens dit : calcule plutôt \(\E(X^2)\) (moyenne des carrés des valeurs ), puis retranche \(\mu^2\) . Beaucoup plus rapide. Retiens-la comme « moyenne des carrés moins carré de la moyenne ».
Une preuve à construire
Moyenne des carrés moins carré de la moyenne Pour une loi finie \((x_i,p_i)\) , avec \(\mu=\E(X)\) , démontre \(\V(X)=\E(X^2)-\mu^2\) . Indique à quels moments interviennent les deux sommes connues.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Développe \((x_i-\mu)^2\) avant de sommer.
Indice 2 · Un pas de plus On sait \(\sum p_i=1\) et \(\sum p_ix_i=\mu\) . Le nombre \(\mu\) ne dépend pas de l'indice \(i\) .
Voir la preuve expliquée Par distributivité,
\[\begin{aligned}\V(X)&=\sum_i p_i(x_i-\mu)^2\\[.35em]&=\sum_i p_ix_i^2-2\mu\sum_i p_ix_i+\mu^2\sum_i p_i\\[.35em]&=\E(X^2)-2\mu\times\mu+\mu^2\times1\\[.35em]&=\E(X^2)-\mu^2.\end{aligned}\]
La troisième ligne utilise les deux sommes connues. Le nombre \(\E(X^2)\) vient des carrés des valeurs , pondérés par les mêmes probabilités. On ne remplace pas \(X\) par sa moyenne avant de le mettre au carré.
Méthode · Calculer \(\E\), \(\V\) et \(\sigma\) à partir d'une loi
Calculer \(\E(X)=\sum x_ip_i\) .
Calculer \(\E(X^2)=\sum x_i^2p_i\) (mêmes probabilités, mais on met les valeurs au carré ).
En déduire \(\V(X)=\E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\) (Kœ nig-Huygens).
Calculer \(\sigma(X)=\sqrt{\V(X)}\) .
Astuce pratique : pose un tableau à lignes \(x_i\) , \(p_i\) , \(x_ip_i\) , \(x_i^2p_i\) et somme les deux dernières lignes.
Exemple · Calcul complet sur un dé équilibré
Soit \(X\) le résultat d'un dé à six faces. On organise les calculs :
\(x_i\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) somme \(p_i\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(1\) \(x_ip_i\) \(\frac16\) \(\frac26\) \(\frac36\) \(\frac46\) \(\frac56\) \(\frac66\) \(\frac{21}{6}\) \(x_i^2p_i\) \(\frac16\) \(\frac46\) \(\frac96\) \(\frac{16}{6}\) \(\frac{25}{6}\) \(\frac{36}{6}\) \(\frac{91}{6}\)
On lit directement :
\[\begin{aligned}\E(X) &= \dfrac{21}{6}\\[.35em]&= 3{,}5\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}\E(X^2) &= \dfrac{91}{6}\\[.35em]&\approx 15{,}17.\end{aligned}\]
D'où
\[\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\\[.35em]&= \frac{91}{6}-\left(\frac{21}{6}\right)^2\\[.35em]&= \frac{91}{6}-\frac{441}{36}\\[.35em]&= \frac{546-441}{36}\\[.35em]&= \frac{105}{36}\\[.35em]&= \frac{35}{12}\\[.35em]&\approx 2{,}92.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{\tfrac{35}{12}}\\[.35em]&\approx 1{,}71.\end{aligned}\]
Lecture : \(1{,}71\) est la racine de la moyenne des carrés des écarts à \(3{,}5\) . Ce n'est pas la moyenne des distances absolues, ni une borne contenant tous les résultats.
À toi d’essayer
Calculer ce que le graphique suggère Les deux lois dessinées au début sont : \(U\) vaut \(2,3,4\) avec probabilités \(0{,}2;0{,}6;0{,}2\) , et \(V\) vaut \(0,3,6\) avec probabilités \(0{,}25;0{,}5;0{,}25\) . Vérifie leur espérance commune, puis calcule leur variance par les écarts à \(3\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les valeurs sont réparties symétriquement de part et d'autre de \(3\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pour \(U\) , les carrés des écarts valent \(1,0,1\) ; pour \(V\) , ils valent \(9,0,9\) .
Voir l’explication Les moyennes valent \(2\times0{,}2+3\times0{,}6+4\times0{,}2=3\) et \(0\times0{,}25+3\times0{,}5+6\times0{,}25=3\) . Les variances sont
\[\begin{aligned}\V(U) &= 0{,}2\times1+0{,}6\times0+0{,}2\times1\\[.35em]&= 0{,}4,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\V(V) &= 0{,}25\times9+0{,}5\times0+0{,}25\times9\\[.35em]&= 4{,}5.\end{aligned}\]
Les écarts-types valent environ \(0{,}63\) et \(2{,}12\) . Même centre, dispersions différentes : aucune de ces deux mesures ne remplace la loi complète. Réessaie : calcule ces deux variances avec König-Huygens et compare les résultats.
À toi d’essayer
Un contrôle qui explique l'erreur \(X\) vaut \(-2\) ou \(2\) avec probabilités \(1/2\) et \(1/2\) . Quel calcul faut-il corriger dans « \(\E(X)=0\) , donc \(\E(X^2)=0\) , donc \(\V(X)=0\) » ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La variable \(X^2\) vaut toujours \(4\) , quel que soit le signe de \(X\) .
Indice 2 · Un pas de plus Calcule séparément \(\E(X^2)\) et \((\E(X))^2\) .
Voir l’explication \(\E(X)=0\) est correct. Mais \(\E(X^2)=4\) alors que \((\E(X))^2=0\) . Ainsi \(\V(X)=4\) et \(\sigma(X)=2\) . Le calcul erroné a interverti deux opérations : faire une moyenne et mettre au carré. Réessaie : remplace les valeurs par \(-5\) et \(5\) , puis explique le résultat sans formule longue.
Socle : la linéarité de l'espérance
Propriété · Additionner des gains, même dépendants
Pour deux variables \(X,Y\) sur le même univers fini et des réels \(a,b\) ,
\[\E(aX+bY)=a\E(X)+b\E(Y).\]
Cette propriété ne demande aucune indépendance . On ne dispose pas d'une propriété analogue pour multiplier les espérances ou additionner automatiquement les variances.
Une preuve à construire
Pourquoi la somme des espérances fonctionne Sur un univers fini, justifie \(\E(aX+bY)=a\E(X)+b\E(Y)\) sans supposer que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste On peut calculer une espérance en sommant sur les issues \(\omega\) , en regroupant ensuite les issues qui donnent la même valeur.
Indice 2 · Un pas de plus Distribue le produit \((aX(\omega)+bY(\omega))P(\{\omega\})\) .
Voir la preuve expliquée La formule sur les issues donne
\[\begin{aligned}\E(aX+bY)&=\sum_{\omega\in\Omega}(aX(\omega)+bY(\omega))P(\{\omega\})\\[.35em]&=a\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\{\omega\})+b\sum_{\omega\in\Omega}Y(\omega)P(\{\omega\})\\[.35em]&=a\E(X)+b\E(Y).\end{aligned}\]
Chaque somme sur les issues reconstitue la moyenne pondérée des valeurs. On n'a pas remplacé une probabilité d'intersection par un produit ; aucune indépendance n'intervient.
À toi d’essayer
La dépendance ne bloque pas la linéarité On tire une carte numérotée de \(1\) à \(5\) uniformément. \(X\) est son numéro et \(Y=6-X\) . Sans dresser la loi jointe, calcule \(\E(X+Y)\) . Peut-on dire que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La somme vaut la même chose pour chaque carte.
Indice 2 · Un pas de plus Connaître \(X\) détermine complètement \(Y\) . Compare par exemple les événements \(X=1\) et \(Y=5\) .
Voir l’explication La somme vaut toujours \(6\) , donc son espérance vaut \(6\) . On retrouve \(\E(X)=3\) et \(\E(Y)=3\) , donc \(3+3=6\) . Pourtant \(P(X=1,Y=5)=1/5\) , tandis que \(P(X=1)P(Y=5)=1/25\) : les variables sont dépendantes. Réessaie : calcule \(\E(2X-Y)\) en utilisant les deux moyennes.
Intuition · Changer d'échelle ou d'origine
Très souvent, on transforme une variable de façon affine : \(Y=aX+b\) . Exemples : convertir une température, ajouter une prime fixe à un gain (\(+b\) ), doubler tous les gains (\(\times a\) ). On voudrait \(\E(Y)\) et \(\V(Y)\) sans refaire toute la loi. Bonne nouvelle : il existe des formules directes, et elles sont très intuitives.
Propriété · Espérance et variance d'une transformation affine
Pour tous réels \(a\) et \(b\) , si \(Y=aX+b\) alors :
\[\begin{aligned}&\boxed{\;\E(aX+b)=a\,\E(X)+b\;}\\[.35em]&\boxed{\;\V(aX+b)=a^2\,\V(X)\;}\\[.35em]\sigma(aX+b) &=|a|\,\sigma(X).\end{aligned}\]
Intuition · Pourquoi le \(+b\) disparaît dans la variance
Pour l'espérance , tout se comporte comme une moyenne : si on double tout puis qu'on ajoute \(b\) à chacun, la moyenne double puis augmente de \(b\) . Normal. Pour la variance , le \(+b\) translate tout le nuage de points sans changer sa « largeur » : la dispersion ne bouge pas, donc \(b\) disparaît. Le facteur \(a\) , lui, étire le nuage : les écarts sont multipliés par \(a\) , donc leurs carrés par \(a^2\) . D'où \(a^2\) dans la variance, et \(|a|\) (valeur absolue, car un écart-type est positif) dans l'écart-type.
Une preuve à construire
Démonstration de \(\E(aX+b)=a\E(X)+b\) Montre que transformer chaque valeur en \(ax+b\) transforme son espérance en \(a\E(X)+b\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Écris la moyenne pondérée des nouvelles valeurs.
Indice 2 · Un pas de plus Les constantes sortent de la somme et la somme des probabilités vaut \(1\) .
Voir la preuve expliquée On travaille sur les issues de l’univers fini, ou sur les valeurs de \(X\) regroupées avec leurs probabilités. Si \(a=0\) , toutes les valeurs images se regroupent en \(b\) : les sommes ci-dessous restent valables. Posons \(Y=aX+b\) . Les issues pour lesquelles \(X=x_i\) ont une masse de probabilité \(p_i\) et contribuent à la valeur \(ax_i+b\) de \(Y\) . Si plusieurs images coïncident, on additionne leurs contributions. Ainsi, y compris pour \(a=0\) ,
\[\begin{aligned}\E(Y) &= \sum_i (ax_i+b)\,p_i\\[.35em]&= \sum_i\big(ax_ip_i+bp_i\big)\\[.35em]&= a\sum_i x_ip_i+b\sum_i p_i.\end{aligned}\]
Or \(\sum_i x_ip_i=\E(X)\) et \(\sum_i p_i=1\) . D'où \(\E(Y)=a\E(X)+b\) .
Une preuve à construire
Démonstration de \(\V(aX+b)=a^2\V(X)\) Pour une variable finie et des réels \(a,b\) , montre que \(\V(aX+b)=a^2\V(X)\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule la différence entre une valeur de \(Y\) et sa moyenne.
Indice 2 · Un pas de plus Les deux termes \(b\) se simplifient ; le carré donne \(a^2\) .
Voir la preuve expliquée On travaille sur les issues de l’univers fini, ou sur les valeurs de \(X\) regroupées avec leurs probabilités. Si \(a=0\) , toutes les valeurs images se regroupent en \(b\) : les sommes ci-dessous restent valables. On utilise la définition avec \(\E(Y)=a\mu+b\) (où \(\mu=\E(X)\) ) :
\[\begin{aligned}\V(Y) &= \sum_i p_i\big(\underbrace{(ax_i+b)}_{y_i}-\underbrace{(a\mu+b)}_{\E(Y)}\big)^2\\[.35em]&= \sum_i p_i\big(ax_i-a\mu\big)^2\\[.35em]&= \sum_i p_i\,a^2(x_i-\mu)^2.\end{aligned}\]
Le \(+b\) s'est simplifié (\(b-b=0\) ). On sort la constante \(a^2\) :
\[\begin{aligned}\V(Y) &= a^2\sum_i p_i(x_i-\mu)^2\\[.35em]&= a^2\,\V(X).\end{aligned}\]
En prenant la racine carrée :
\[\begin{aligned}\sigma(Y) &= \sqrt{a^2\V(X)}\\[.35em]&= |a|\sqrt{\V(X)}\\[.35em]&= |a|\,\sigma(X).\end{aligned}\]
Exemple · Une prime et un bonus
Un jeu donne un gain \(X\) avec \(\E(X)=4\) et \(\sigma(X)=2\) (donc \(\V(X)=4\) ). Le casino propose une nouvelle règle : il double le gain et ajoute \(5\) €. Le nouveau gain est \(Y=2X+5\) . Alors
\[\begin{aligned}\E(Y) &= 2\E(X)+5\\[.35em]&= 2\times4+5\\[.35em]&= 13,\\[.35em]\V(Y) &= 2^2\V(X)\\[.35em]&= 4\times4\\[.35em]&= 16,\\[.35em]\sigma(Y) &= |2|\times2\\[.35em]&= 4.\end{aligned}\]
La moyenne passe de \(4\) à \(13\) ; la dispersion (écart-type) double de \(2\) à \(4\) à cause du facteur \(2\) , mais le \(+5\) n'y change rien.
À toi d’essayer
Une multiplication négative change-t-elle le signe de la dispersion ? On sait \(\E(X)=4\) et \(\sigma(X)=2\) . Calcule l'espérance, la variance et l'écart-type de \(Y=-3X+5\) , puis de la variable constante \(Z=5\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La variance de \(X\) est \(2^2\) . Le facteur d'une variance est un carré.
Indice 2 · Un pas de plus Pour l'écart-type, utilise la valeur absolue du coefficient ; pour \(Z\) , aucun écart à la moyenne n'est possible.
Voir l’explication \[\begin{aligned}\E(Y) &= -3\times4+5\\[.35em]&= -7,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\V(Y) &= 9\times4\\[.35em]&= 36\end{aligned}\]
et \(\sigma(Y)=6\) . La moyenne peut être négative, la dispersion reste positive ou nulle. Pour \(Z\) , l'espérance vaut \(5\) , la variance et l'écart-type valent \(0\) . Réessaie : remplace \(-3\) par \(1/2\) et compare la largeur des valeurs possibles.
Pour aller plus loin : la meilleure « prévision » (approfondissement)
Intuition · L'espérance minimise l'erreur quadratique
Si tu devais résumer \(X\) par un seul nombre \(x\) et qu'on mesurait ton erreur par la moyenne des carrés \(f(x)=\E\big((X-x)^2\big)\) , quel \(x\) choisir ? Réponse : \(x=\E(X)\) . Autrement dit, l'espérance est la valeur qui « colle le mieux » à \(X\) au sens des moindres carrés. C'est pour ça qu'elle est partout en statistique (et en intelligence artificielle).
Une preuve à construire
Approfondissement : choisir une constante de prévision Pour une variable finie \(X\) d'espérance \(\mu\) , prouve que \(f(t)=\E((X-t)^2)\) est minimale pour \(t=\mu\) , et précise la valeur du minimum.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Développe le carré en considérant \(t\) comme un réel fixé.
Indice 2 · Un pas de plus Après le calcul de l'espérance, complète le carré en \(t\) .
Voir la preuve expliquée En sommant les termes de la loi,
\[\begin{aligned}f(t)&=\E(X^2)-2t\mu+t^2\\[.35em]&=(t-\mu)^2+\E(X^2)-\mu^2\\[.35em]&=(t-\mu)^2+\V(X).\end{aligned}\]
Le carré est positif ou nul, et vaut zéro exactement pour \(t=\mu\) . Le minimum est donc \(\V(X)\) , atteint uniquement en \(\mu\) . C'est une propriété de l'erreur quadratique ; elle ne dit pas que la moyenne est la meilleure réponse à toute question de prévision.
Échantillon et simulation : l'espérance se « voit » en répétant
Intuition · Observer une moyenne qui peut aussi s'éloigner
Voici une réalisation possible de six lancers d'un dé équilibré : \(1,6,6,1,1,6\) . Ce n'est pas une moyenne théorique. À chaque nouveau lancer, on recalcule la somme divisée par le nombre de résultats.
Nombre \(n\) 1 2 3 4 5 6 Somme 1 7 13 14 15 21 Moyenne 1 3,5 \(13/3\) 3,5 3 3,5
Agrandir ↗ s'éloigne de \(3{,}5\) . La concentration des moyennes pour de grands échantillons indépendants de même loi n'est pas un rapprochement régulier à chaque lancer. La loi des grands nombres sera formalisée en Terminale.
À toi d’essayer
Une mise à jour à prédire Dans la réalisation précédente, le septième lancer donne \(6\) . Prédis si la moyenne monte ou descend, puis calcule-la. Est-elle nécessairement plus proche de \(3{,}5\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une nouvelle valeur supérieure à la moyenne courante fait monter cette moyenne.
Indice 2 · Un pas de plus La somme précédente vaut \(21\) ; le nouveau nombre de résultats est \(7\) .
Voir l’explication La nouvelle moyenne vaut
\[\begin{aligned}(21+6)/7 &= 27/7\\[.35em]&\approx 3{,}857.\end{aligned}\]
Elle a augmenté et s'est éloignée de l'espérance. Une simulation est une réalisation possible, pas une obligation de se rapprocher à chaque étape. Réessaie : si le septième lancer avait donné \(2\) , calcule le sens et l'amplitude du changement.
Expérimentation officielle : plusieurs échantillons
Définition · Les trois tailles à ne pas confondre
On simule une variable aléatoire \(X\) d'espérance \(\mu\) et d'écart-type \(\sigma\) .
Un échantillon contient \(n\) valeurs de \(X\) ; sa moyenne est notée \(m\) .
On répète cette fabrication \(N\) fois : on obtient \(N\) moyennes différentes.
On calcule la proportion des moyennes qui vérifient
\[\boxed{|m-\mu|\leqslant\frac{2\sigma}{\sqrt n}.}\]
Le nombre \(n\) mesure la taille de chaque échantillon ; le nombre \(N\) mesure le nombre de répétitions de l'expérience.
Méthode · Programme complet pour un dé équilibré
On modélise tous les lancers comme indépendants et de même loi uniforme sur \(\{1,\ldots,6\}\) . Les entiers \(n\) et \(N\) sont strictement positifs. Pour un dé, \(\mu=3{,}5\) et \(\sigma=\sqrt{35/12}\) .
from random import randint
from math import sqrt
def moyenne_de(n):
if n < 1:
raise ValueError('n doit etre positif')
total = 0
for k in range(n):
total = total + randint(1, 6)
return total / nCette première fonction renvoie une moyenne : elle effectue \(n\) tirages puis divise leur somme par \(n\) . La fonction suivante l'utilise comme une brique et recommence \(N\) fois.
Méthode · Deuxième étape : compter les moyennes dans la bande
On conserve les imports et la fonction moyenne_de précédents. Chaque appel produit un nouvel échantillon dans le modèle.
def proportion_proche(N, n):
if N < 1 or n < 1:
raise ValueError('N et n doivent etre positifs')
mu = 3.5
sigma = sqrt(35/12)
seuil = 2*sigma/sqrt(n)
proches = 0
for repetition in range(N):
m = moyenne_de(n)
if abs(m - mu) <= seuil:
proches = proches + 1
return proches / NIntuition · Pourquoi la bande se resserre
Le rayon \(\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\) diminue lorsque \(n\) augmente : une moyenne calculée sur beaucoup de valeurs fluctue moins qu'une moyenne calculée sur quelques valeurs. En relançant le programme, la proportion change un peu, car elle est elle-même issue d'une simulation.
Attention · Ce que la simulation prouve, et ce qu'elle ne prouve pas
Une simulation permet d'observer, de conjecturer et de contrôler un calcul. Elle ne transforme pas une observation numérique en théorème. Il faut toujours indiquer les valeurs de \(N\) et de \(n\) et interpréter les fluctuations d'une exécution à l'autre.
À toi d’essayer
Deux paramètres, deux rôles Dans l'expérience de \(N\) échantillons de taille \(n\) , prends \(\mu=3{,}5\) , \(\sigma=\sqrt{35/12}\) et \(n=100\) . Une moyenne \(3{,}8\) est-elle dans la bande ? Que devient la largeur si \(n\) passe à \(400\) ? Que change seulement une augmentation de \(N\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Compare \(|3{,}8-3{,}5|\) à \(2\sigma/10\) .
Indice 2 · Un pas de plus La racine de \(400\) vaut \(20\) ; \(N\) n'apparaît pas dans le rayon de la bande.
Voir l’explication Le rayon vaut environ \(0{,}342\) pour \(n=100\) : l'écart \(0{,}3\) est dans la bande. Pour \(n=400\) , le rayon vaut environ \(0{,}171\) , soit la moitié ; \(3{,}8\) serait alors hors de la bande. Augmenter \(N\) donne davantage de moyennes pour estimer une proportion ; cela ne change ni la taille de chaque échantillon ni la bande. On ne déclare pas automatiquement « \(95\%\) » : on mesure la proportion et on indique les paramètres et la loi simulée. Réessaie : classe les moyennes \(3{,}2\) et \(3{,}4\) pour ces deux tailles.
Exercices Exercice 1 ★☆☆ : Lire une loi
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi :
\(x_i\) \(-1\) \(0\) \(2\) \(5\) \(P(X=x_i)\) \(0{,}3\) \(0{,}1\) \(0{,}4\) \(a\)
1. Déterminer \(a\) . 2. Calculer \(P(X\geqslant 2)\) . 3. Calculer \(P(X\leqslant 0)\) .
Exercice 2 ★☆☆ : Une espérance simple
Une variable \(X\) prend les valeurs \(10\) , \(20\) , \(30\) avec les probabilités respectives \(0{,}5\) ; \(0{,}3\) ; \(0{,}2\) . Calculer \(\E(X)\) .
Exercice 3 ★☆☆ : Vérifier puis espérer
\(Y\) prend les valeurs \(0,1,2,3\) avec \(P(Y=0)=0{,}4\) , \(P(Y=1)=0{,}3\) , \(P(Y=2)=0{,}2\) , \(P(Y=3)=0{,}1\) . 1. Vérifier que c'est bien une loi. 2. Calculer \(\E(Y)\) .
Exercice 4 ★☆☆ : Variance et écart-type
Reprendre la variable \(Y\) de l'exercice 3. Calculer \(\E(Y^2)\) , puis \(\V(Y)\) par Kœ nig-Huygens, puis \(\sigma(Y)\) (arrondi au centìeme).
Exercice 5 ★☆☆ : Du français aux symboles
Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses à un QCM de \(4\) questions. Traduire en événements puis en probabilités les phrases : (a) « avoir au moins \(3\) bonnes réponses » ; (b) « avoir strictement moins de \(2\) bonnes réponses » ; (c) « avoir entre \(1\) et \(3\) bonnes réponses incluses ».
Exercice 6 ★☆☆ : Un dé truqué
Un dé est truqué : la probabilité d'obtenir chaque face est proportionnelle à sa valeur (la face \(k\) a une probabilité \(\lambda k\) ). 1. Déterminer \(\lambda\) . 2. Dresser la loi de \(X\) (la face obtenue). 3. Calculer \(\E(X)\) .
Exercice 7 ★★☆ : Jeu de la roue
Une roue équilibrée comporte \(8\) secteurs identiques : trois « \(0\) € », trois « \(5\) € », un « \(20\) € » et un « \(50\) € ». On paie \(10\) € pour jouer. Soit \(X\) le gain algébrique. 1. Donner la loi de \(X\) . 2. Calculer \(\E(X)\) . Le jeu est-il favorable au joueur ? 3. Quel prix rendrait le jeu équitable ?
Exercice 8 ★★☆ : Deux dés, le maximum
On lance indépendamment deux dés équilibrés et \(M\) est le plus grand des deux résultats (le maximum). 1. Déterminer \(M(\Omega)\) . 2. Montrer que \(P(M=k)=\dfrac{2k-1}{36}\) pour \(k\) de \(1\) à \(6\) . 3. Calculer \(\E(M)\) .
\(X\) vérifie \(\E(X)=6\) et \(\V(X)=9\) . On pose \(Z=-2X+5\) . Calculer \(\E(Z)\) , \(\V(Z)\) et \(\sigma(Z)\) .
Exercice 10 ★★☆ : Tirage sans remise
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules vertes. On tire simultanément \(2\) boules. Soit \(X\) le nombre de boules rouges tirées. 1. Déterminer la loi de \(X\) . 2. Calculer \(\E(X)\) et \(\V(X)\) .
Exercice 11 ★★☆ : Assurance
Une compagnie assure un objet de valeur \(2000\) €. La probabilité d'un sinistre total (remboursement de \(2000\) €) dans l'année est \(0{,}03\) . La compagnie veut que son bénéfice espéré soit de \(25\) € par contrat. Quel montant de prime annuelle doit-elle demander ? (On note \(p\) la prime ; le bénéfice de la compagnie est \(p\) s'il n'y a pas de sinistre, \(p-2000\) sinon.)
Exercice 12 ★★☆ : Loi à paramètre
Soit \(X\) de loi \(P(X=k)=\dfrac{k}{10}\) pour \(k\in\{1,2,3,4\}\) . 1. Vérifier que c'est une loi. 2. Calculer \(\E(X)\) et \(\sigma(X)\) .
Exercice 13 ★★★ : Jeu de dés à deux étages
On lance un dé. Si on obtient \(6\) , on gagne \(12\) €. Sinon, on relance le dé : on gagne alors le double de la nouvelle face en euros. Soit \(G\) le gain. 1. Déterminer les valeurs possibles de \(G\) et leur probabilité. 2. Calculer \(\E(G)\) .
Exercice 14 ★★★ : Comparer deux stratégies
Deux placements d'un an pour \(1000\) €. Placement A : gain certain de \(30\) €. Placement B : gain de \(130\) € avec probabilité \(0{,}5\) , perte de \(60\) € avec probabilité \(0{,}5\) . 1. Calculer \(\E\) et \(\sigma\) du gain pour chaque placement. 2. Lequel choisir ? Discuter selon le profil (prudent / joueur).
Exercice 15 ★★★ : Espérance et second degré
Soit \(X\) de loi : \(P(X=0)=0{,}2\) , \(P(X=2)=0{,}5\) , \(P(X=5)=0{,}3\) . On considère la fonction \(f(x)=\E\big((X-x)^2\big)\) . 1. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\) (forme développée). 2. Pour quelle valeur de \(x\) est-elle minimale ? Que vaut ce minimum ? Relier aux notions du cours.
Exercice 16 ★★★ : Python, simulation et échantillons
1. On donne la fonction esperance(valeurs, probas) du cours.
Écrire une fonction Python est_equitable qui renvoie True si le jeu est équitable (espérance nulle, à \(10^{-9}\) près), et False sinon.
2. Écrire une fonction moyenne_de(n) qui simule \(n\) lancers d'un dé équilibré et renvoie leur moyenne.
3. Écrire une fonction proportion_proche(N,n) qui simule \(N\) échantillons de taille \(n\) et renvoie la proportion des moyennes \(m\) telles que
\[|m-3{,}5|\leqslant\frac{2\sqrt{35/12}}{\sqrt n}.\]
Expliquer pourquoi deux appels successifs peuvent renvoyer des valeurs légèrement différentes.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration
1. La somme des probabilités vaut \(1\) :
\[\begin{aligned}0{,}3+0{,}1+0{,}4+a &= 1\ \Longrightarrow\ 0{,}8+a\\[.35em] &= 1\ \Longrightarrow\ a\\[.35em] &= 0{,}2.\end{aligned}\]
2. \(\{X\geqslant 2\}\) regroupe les valeurs \(2\) et \(5\) :
\[\begin{aligned}P(X\geqslant 2) &= P(X=2)+P(X=5)\\[.35em]&= 0{,}4+0{,}2\\[.35em]&= 0{,}6.\end{aligned}\]
3. \(\{X\leqslant 0\}\) regroupe les valeurs \(-1\) et \(0\) :
\[\begin{aligned}P(X\leqslant 0) &= P(X=-1)+P(X=0)\\[.35em]&= 0{,}3+0{,}1\\[.35em]&= 0{,}4.\end{aligned}\]
Corrigé 2
Démonstration
On applique la définition \(\E(X)=\sum x_ip_i\) :
\[\begin{aligned}\E(X) &= 10\times0{,}5+20\times0{,}3+30\times0{,}2\\[.35em]&= 5+6+6\\[.35em]&= 17.\end{aligned}\]
En moyenne, sur un grand nombre de répétitions, \(X\) vaut \(17\) .
Corrigé 3
Démonstration
1. Somme : \(0{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1=1\) . Toutes les probabilités sont positives : c'est bien une loi de probabilité.
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(Y) &= 0\times0{,}4+1\times0{,}3+2\times0{,}2+3\times0{,}1\\[.35em]&= 0+0{,}3+0{,}4+0{,}3\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
Corrigé 4
Démonstration
On reprend \(\E(Y)=1\) . Calculons \(\E(Y^2)\) : on garde les mêmes probabilités mais on carre les valeurs :
\[\begin{aligned}\E(Y^2) &= 0^2\times0{,}4+1^2\times0{,}3+2^2\times0{,}2+3^2\times0{,}1\\[.35em]&= 0+0{,}3+0{,}8+0{,}9\\[.35em]&= 2.\end{aligned}\]
Par Kœ nig-Huygens :
\[\begin{aligned}\V(Y) &= \E(Y^2)-\big(\E(Y)\big)^2\\[.35em]&= 2-1^2\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
Écart-type :
\[\begin{aligned}\sigma(Y) &= \sqrt{\V(Y)}\\[.35em]&= \sqrt{1}\\[.35em]&= 1{,}00.\end{aligned}\]
Corrigé 5
Démonstration
(a) « au moins \(3\) » signifie \(3\) ou plus : événement \(\{X\geqslant 3\}\) , probabilité \(P(X\geqslant 3)=P(X=3)+P(X=4)\) .
(b) « strictement moins de \(2\) » signifie \(0\) ou \(1\) : événement \(\{X<2\}=\{X\leqslant 1\}\) , probabilité \(P(X=0)+P(X=1)\) .
(c) « entre \(1\) et \(3\) inclus » : événement \(\{1\leqslant X\leqslant 3\}\) , probabilité \(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\) .
Corrigé 6
Démonstration
1. La face \(k\) a une probabilité \(\lambda k\) . La somme doit valoir \(1\) :
\[\begin{aligned}\sum_{k=1}^{6}\lambda k &= \lambda(1+2+3+4+5+6)\\[.35em]&= 21\lambda\\[.35em]&= 1\ \Longrightarrow\ \lambda\\[.35em]&= \frac{1}{21}.\end{aligned}\]
2. Loi de \(X\) :
\(k\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(P(X=k)\) \(\frac{1}{21}\) \(\frac{2}{21}\) \(\frac{3}{21}\) \(\frac{4}{21}\) \(\frac{5}{21}\) \(\frac{6}{21}\)
3. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(X) &= \sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac{k}{21}\\[.35em]&= \frac{1}{21}\sum_{k=1}^{6}k^2\\[.35em]&= \frac{1+4+9+16+25+36}{21}\\[.35em]&= \frac{91}{21}\\[.35em]&= \frac{13}{3}\\[.35em]&\approx 4{,}33.\end{aligned}\]
Le dé étant truqué en faveur des grandes faces, son espérance (\(\approx4{,}33\) ) est supérieure à celle d'un dé équilibré (\(3{,}5\) ) : cohérent.
Corrigé 7
Démonstration
1. Sur \(8\) secteurs : trois donnent \(0\) €, trois donnent \(5\) €, un donne \(20\) €, un donne \(50\) €. Le gain algébrique retranche la mise de \(10\) € :
gain \(x_i\) \(-10\) \(-5\) \(10\) \(40\) \(P(X=x_i)\) \(\frac38\) \(\frac38\) \(\frac18\) \(\frac18\)
(Recevoir \(0\) donne un gain \(-10\) ; recevoir \(5\) donne \(-5\) ; recevoir \(20\) donne \(10\) ; recevoir \(50\) donne \(40\) .)
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(X) &= -10\times\tfrac38-5\times\tfrac38+10\times\tfrac18+40\times\tfrac18\\[.35em]&= \frac{-30-15+10+40}{8}\\[.35em]&= \frac{5}{8}\\[.35em]&= 0{,}625.\end{aligned}\]
\(\E(X)=0{,}625>0\) : le jeu est favorable au joueur (gain moyen de \(0{,}625\) € par partie). L'organisateur perd de l'argent sur le long terme.
3. Notons \(p\) le prix. Le gain devient \(x_i'=(\text{reçu})-p\) , et
\[\begin{aligned}\E(\text{gain}) &= \Big(0\times\tfrac38+5\times\tfrac38+20\times\tfrac18+50\times\tfrac18\Big)-p\\[.35em]&= \frac{15+20+50}{8}-p\\[.35em]&= \frac{85}{8}-p.\end{aligned}\]
Le jeu est équitable quand cette espérance est nulle :
\[\begin{aligned}p &= \dfrac{85}{8}\\[.35em]&= 10{,}625\end{aligned}\]
€. Il faudrait donc faire payer \(10{,}625\) €.
Corrigé 8
Démonstration
1. Le maximum de deux faces va de \(1\) à \(6\) : \(M(\Omega)=\{1,2,3,4,5,6\}\) .
2. \(\{M=k\}\) signifie : les deux dés sont \(\leqslant k\) , mais pas tous les deux \(\leqslant k-1\) . Le nombre de couples avec les deux faces \(\leqslant k\) est \(k^2\) ; avec les deux \(\leqslant k-1\) , c'est \((k-1)^2\) . Donc le nombre de couples où le maximum vaut exactement \(k\) est
\[\begin{aligned}k^2-(k-1)^2 &= k^2-(k^2-2k+1)\\[.35em]&= 2k-1.\end{aligned}\]
Comme les \(36\) couples sont équiprobables, \(P(M=k)=\dfrac{2k-1}{36}\) .
Vérification :
\[\begin{aligned}\sum_{k=1}^{6}(2k-1) &= 1+3+5+7+9+11\\[.35em]&= 36,\end{aligned}\]
donc la somme des probabilités vaut \(1\) . ✓
3. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(M) &= \sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac{2k-1}{36}\\[.35em]&= \frac{1}{36}\sum_{k=1}^{6}(2k^2-k)\\[.35em]&= \frac{1}{36}\Big(2\times91-21\Big)\\[.35em]&= \frac{182-21}{36}\\[.35em]&= \frac{161}{36}\\[.35em]&\approx 4{,}47.\end{aligned}\]
(On a utilisé \(\sum k^2=91\) et \(\sum k=21\) pour \(k\) de \(1\) à \(6\) .)
Corrigé 9
Démonstration
On applique les formules affines avec \(a=-2\) et \(b=5\) :
\[\begin{aligned}\E(Z) &= \E(-2X+5)\\[.35em]&= -2\E(X)+5\\[.35em]&= -2\times6+5\\[.35em]&= -7.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\V(Z) &= \V(-2X+5)\\[.35em]&= (-2)^2\V(X)\\[.35em]&= 4\times9\\[.35em]&= 36.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sigma(Z) &= |-2|\,\sigma(X)\\[.35em]&= 2\sqrt{9}\\[.35em]&= 2\times3\\[.35em]&= 6.\end{aligned}\]
Remarque : le signe de \(a\) change l'espérance mais pas la variance (le carré efface le signe), et le \(+5\) ne change que l'espérance.
Corrigé 10
Démonstration
1. On tire \(2\) boules parmi \(5\) : il y a \(10\) paires équiprobables. Pour le voir sans nouvelle notation, numérote les boules de \(1\) à \(5\) : on forme \(4\) paires avec la boule \(1\) , puis \(3\) nouvelles avec la boule \(2\) , puis \(2\) , puis \(1\) , soit \(4+3+2+1=10\) . \(X\) (nombre de rouges) peut valoir \(0\) , \(1\) ou \(2\) .
\(X=0\) : les \(2\) boules sont vertes, \(1\) façon. \(P(X=0)=\frac{1}{10}\) .
\(X=1\) : une rouge (\(3\) choix) et une verte (\(2\) choix), soit \(3\times2=6\) . \(P(X=1)=\frac{6}{10}\) .
\(X=2\) : les \(2\) rouges, \(3\) paires : \(R_1R_2\) , \(R_1R_3\) , \(R_2R_3\) . \(P(X=2)=\frac{3}{10}\) .
Vérification : \(\frac{1+6+3}{10}=1\) . ✓
\(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(P(X=x_i)\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{6}{10}\) \(\frac{3}{10}\)
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(X) &= 0\times\tfrac{1}{10}+1\times\tfrac{6}{10}+2\times\tfrac{3}{10}\\[.35em]&= \frac{0+6+6}{10}\\[.35em]&= \frac{12}{10}\\[.35em]&= 1{,}2.\end{aligned}\]
Pour la variance,
\[\begin{aligned}\E(X^2) &= 0^2\times\tfrac{1}{10}+1^2\times\tfrac{6}{10}+2^2\times\tfrac{3}{10}\\[.35em]&= \frac{6+12}{10}\\[.35em]&= \frac{18}{10}\\[.35em]&= 1{,}8.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\\[.35em]&= 1{,}8-1{,}2^2\\[.35em]&= 1{,}8-1{,}44\\[.35em]&= 0{,}36.\end{aligned}\]
Corrigé 11
Démonstration
Soit \(B\) le bénéfice de la compagnie. Avec probabilité \(0{,}97\) (pas de sinistre) il vaut \(p\) ; avec probabilité \(0{,}03\) (sinistre) il vaut \(p-2000\) :
\[\begin{aligned}\E(B) &= p\times0{,}97+(p-2000)\times0{,}03\\[.35em]&= p(0{,}97+0{,}03)-2000\times0{,}03\\[.35em]&= p-60.\end{aligned}\]
On veut \(\E(B)=25\) :
\[\begin{aligned}p-60 &= 25\ \Longrightarrow\ p\\[.35em]&= 85.\end{aligned}\]
La compagnie doit demander une prime de \(\boxed{85\text{\,€}}\) . (Interprétation : \(60\) € couvrent le coût moyen des sinistres, \(25\) € sont le bénéfice visé.)
Corrigé 12
Démonstration
1. Somme :
\[\begin{aligned}\sum_{k=1}^{4}\frac{k}{10} &= \frac{1+2+3+4}{10}\\[.35em]&= \frac{10}{10}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
C'est bien une loi.
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(X) &= \sum_{k=1}^{4}k\cdot\frac{k}{10}\\[.35em]&= \frac{1+4+9+16}{10}\\[.35em]&= \frac{30}{10}\\[.35em]&= 3.\end{aligned}\]
Moment d'ordre 2 :
\[\begin{aligned}\E(X^2) &= \sum_{k=1}^{4}k^2\cdot\frac{k}{10}\\[.35em]&= \frac{1^3+2^3+3^3+4^3}{10}\\[.35em]&= \frac{1+8+27+64}{10}\\[.35em]&= \frac{100}{10}\\[.35em]&= 10.\end{aligned}\]
Variance et écart-type :
\[\V(X)=10-3^2=10-9=1,\qquad \sigma(X)=\sqrt{1}=1.\]
Corrigé 13
Démonstration
1. Premier lancer : avec probabilité \(\frac16\) on obtient \(6\) et le gain est \(12\) €. Avec probabilité \(\frac56\) on relance, et on gagne le double de la nouvelle face, soit \(2,4,6,8,10\) ou \(12\) € selon la face \(1,2,3,4,5,6\) .
La valeur \(G=12\) peut venir de deux façons : soit un \(6\) au premier lancer (\(P=\frac16\) ), soit un relancer suivi d'un \(6\) (
\[\begin{aligned}P &= \frac56\times\frac16\\[.35em]&= \frac{5}{36}\end{aligned}\]
). Les autres valeurs \(2,4,6,8,10\) viennent uniquement du second lancer, chacune avec probabilité \(\frac56\times\frac16=\frac{5}{36}\) .
\(G\) \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\) \(12\) \(P\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}\)
Vérification : \(5\times5+11=36\) , somme des probabilités
\[\begin{aligned}&= \frac{36}{36}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
✓ (Pour \(G=12\) : on a regroupé \(\frac16=\frac{6}{36}\) du « \(6\) direct » et \(\frac{5}{36}\) du « relancer puis \(6\) ».)
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(G) &= \frac{5}{36}(2+4+6+8+10)+12\times\frac{11}{36}\\[.35em]&= \frac{5\times30}{36}+\frac{132}{36}\\[.35em]&= \frac{150+132}{36}\\[.35em]&= \frac{282}{36}\\[.35em]&= \frac{47}{6}\\[.35em]&\approx 7{,}83.\end{aligned}\]
Corrigé 14
Démonstration
Placement A. Le gain est certain : \(G_A=30\) avec probabilité \(1\) . Donc
\[\E(G_A)=30,\qquad \V(G_A)=0,\qquad \sigma(G_A)=0.\]
Aucune incertitude.
Placement B. Loi : \(+130\) avec \(0{,}5\) et \(-60\) avec \(0{,}5\) .
\[\begin{aligned}\E(G_B) &= 130\times0{,}5+(-60)\times0{,}5\\[.35em]&= 65-30\\[.35em]&= 35.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\E(G_B^2) &= 130^2\times0{,}5+(-60)^2\times0{,}5\\[.35em]&= \frac{16900+3600}{2}\\[.35em]&= \frac{20500}{2}\\[.35em]&= 10250.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\V(G_B) &= 10250-35^2\\[.35em]&= 10250-1225\\[.35em]&= 9025,\\[.35em]\sigma(G_B) &= \sqrt{9025}\\[.35em]&= 95.\end{aligned}\]
2. Discussion. En moyenne , B rapporte plus (\(35>30\) ). Mais B a un écart-type énorme (\(95\) €) contre \(0\) pour A : il comporte un vrai risque de perte (\(-60\) € une fois sur deux). Un profil prudent préférera A (gain sûr), un profil joueur préférera B (espérance plus élevée, en acceptant le risque). C'est exactement le rôle de l'écart-type : il chiffre le risque que l'espérance, seule, masque.
Corrigé 15
Démonstration
1. On développe en utilisant la linéarité :
\[\begin{aligned}f(x) &= \E\big((X-x)^2\big)\\[.35em]&= \E(X^2)-2x\E(X)+x^2.\end{aligned}\]
Calculons les ingrédients :
\[\begin{aligned}\E(X) &= 0\times0{,}2+2\times0{,}5+5\times0{,}3\\[.35em]&= 0+1+1{,}5\\[.35em]&= 2{,}5,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\E(X^2) &= 0^2\times0{,}2+2^2\times0{,}5+5^2\times0{,}3\\[.35em]&= 0+2+7{,}5\\[.35em]&= 9{,}5.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}f(x) &= x^2-2\times2{,}5\,x+9{,}5\\[.35em]&= x^2-5x+9{,}5.\end{aligned}\]
2. C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant \(+1>0\) : minimum atteint en
\[\begin{aligned}x &= -\frac{-5}{2\times1}\\[.35em]&= \frac{5}{2}\\[.35em]&= 2{,}5\\[.35em]&= \E(X).\end{aligned}\]
Le minimum vaut
\[\begin{aligned}f(2{,}5) &= 2{,}5^2-5\times2{,}5+9{,}5\\[.35em]&= 6{,}25-12{,}5+9{,}5\\[.35em]&= 3{,}25.\end{aligned}\]
Or
\[\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\\[.35em]&= 9{,}5-2{,}5^2\\[.35em]&= 9{,}5-6{,}25\\[.35em]&= 3{,}25.\end{aligned}\]
On retrouve bien : le minimum de \(f\) est atteint en \(x=\E(X)\) et vaut \(\V(X)\) . C'est l'illustration du résultat du cours (l'espérance est la meilleure « résumé » au sens des moindres carrés).
Corrigé 16
Démonstration
def esperance(valeurs, probas):
return sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))
def est_equitable(valeurs, probas):
return abs(esperance(valeurs, probas)) < 1e-9
# Jeu de l'exemple du cours : gains -2,-1,0,1,2,3 chacun avec proba 1/6
val = [-2, -1, 0, 1, 2, 3]
pro = [1/6] * 6
print(esperance(val, pro)) # 0.5 -> donc PAS equitable
print(est_equitable(val, pro)) # False1. L'espérance vaut \(0{,}5\neq 0\) , donc est_equitable renvoie False : ce jeu est favorable au joueur, pas équitable. Il deviendrait équitable en augmentant la mise de \(0{,}5\) €.
2 et 3.
from random import randint
from math import sqrt
def moyenne_de(n):
if n < 1:
raise ValueError('n doit etre positif')
total = 0
for k in range(n):
total = total + randint(1, 6)
return total / n
def proportion_proche(N, n):
if N < 1 or n < 1:
raise ValueError('N et n doivent etre positifs')
mu = 3.5
sigma = sqrt(35/12)
proches = 0
for repetition in range(N):
m = moyenne_de(n)
if abs(m - mu) <= 2*sigma/sqrt(n):
proches = proches + 1
return proches / NChaque appel effectue de nouveaux lancers pseudo-aléatoires. Les \(N\) échantillons ne sont donc pas exactement les mêmes, et la proportion observée fluctue. Lorsque \(N\) est grand, ces fluctuations sont en général plus petites.
Corrigé du problème guidé
Démonstration · Partie A : loi, espérance et variance de \(D=|D_1-D_2|\)
1. La différence en valeur absolue de deux faces va de \(0\) (faces égales) à \(5\) (par exemple \(6\) et \(1\) ) : \(D(\Omega)=\{0,1,2,3,4,5\}\) . On compte, parmi les \(36\) couples \((D_1,D_2)\) équiprobables, ceux donnant chaque écart :
\(D=0\) : \((1,1),\dots,(6,6)\) , soit \(6\) couples.
\(D=1\) : \((1,2),(2,1),\dots\) : il y a \(5\) paires de faces consécutives, chacune dans \(2\) ordres, soit \(2\times5=10\) .
\(D=2\) : \(4\) paires possibles \(\times 2\) ordres \(=8\) .
\[D=3\]
\[3\times2=6.\]
\[D=4\]
\[2\times2=4.\]
\[D=5\]
\[1\times2=2.\]
\(k\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(P(D=k)\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{2}{36}\)
Vérification : \(6+10+8+6+4+2=36\) . ✓
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(D) &= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot2\big)\\[.35em]&= \frac{0+10+16+18+16+10}{36}\\[.35em]&= \frac{70}{36}\\[.35em]&= \frac{35}{18}\\[.35em]&\approx 1{,}94.\end{aligned}\]
Moment d'ordre 2 :
\[\begin{aligned}\E(D^2) &= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+4\cdot8+9\cdot6+16\cdot4+25\cdot2\big)\\[.35em]&= \frac{0+10+32+54+64+50}{36}\\[.35em]&= \frac{210}{36}\\[.35em]&= \frac{35}{6}\\[.35em]&\approx 5{,}83.\end{aligned}\]
Variance (Kœ nig-Huygens) :
\[\begin{aligned}\V(D) &= \E(D^2)-\big(\E(D)\big)^2\\[.35em]&= \frac{35}{6}-\left(\frac{35}{18}\right)^2\\[.35em]&= \frac{35}{6}-\frac{1225}{324}.\end{aligned}\]
On réduit au même dénominateur \(324\) : \(\frac{35}{6}=\frac{1890}{324}\) , donc
\[\begin{aligned}\V(D) &= \frac{1890-1225}{324}\\[.35em]&= \frac{665}{324}\\[.35em]&\approx 2{,}05.\end{aligned}\]
Démonstration · Partie B : le jeu d'argent \(G=D^2-m\)
3. On utilise la transformation affine \(G=D^2-m\) (ici la « variable » est \(D^2\) , et on lui retranche la constante \(m\) ) :
\[\begin{aligned}\E(G) &= \E(D^2)-m\\[.35em]&= \frac{35}{6}-m.\end{aligned}\]
4. Jeu équitable : \(\E(G)=0\) , donc
\[m=\E(D^2)=\frac{35}{6}\approx5{,}83\text{\,€}.\]
Il faut miser environ \(5{,}83\) € pour que le jeu soit équitable.
5. Comme \(G=D^2-m\) avec \(m\) constante, \(\V(G)=\V(D^2)\) : retrancher une constante ne change pas la dispersion. Il faut donc la variance de la variable \(D^2\) . Posons \(W=D^2\) , de valeurs \(0,1,4,9,16,25\) avec les mêmes probabilités que \(D\) . On a déjà
\[\begin{aligned}\E(W) &= \E(D^2)\\[.35em]&= \frac{35}{6}.\end{aligned}\]
Calculons \(\E(W^2)=\E(D^4)\) :
\[\begin{aligned}&\E(D^4)\\[.35em]&= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+16\cdot8+81\cdot6+256\cdot4+625\cdot2\big)\\[.35em]&= \frac{2898}{36}\\[.35em]&= \frac{161}{2}\\[.35em]&= 80{,}5.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}\V(G) &= \V(W)\\[.35em]&= \E(D^4)-\big(\E(D^2)\big)^2\\[.35em]&= 80{,}5-\left(\frac{35}{6}\right)^2\\[.35em]&= 80{,}5-\frac{1225}{36}\\[.35em]&\approx 80{,}5-34{,}03\\[.35em]&= 46{,}47.\end{aligned}\]
\[\sigma(G)=\sqrt{46{,}47}\approx6{,}82\text{\,€}.\]
Interprétation (une phrase). Même « équitable » (\(\E(G)=0\) ), le jeu a un écart-type élevé (\(\approx6{,}82\) €, supérieur à la mise) : les résultats sont très dispersés, un joueur prudent sait donc qu'il peut perdre gros sur quelques parties, ce que l'espérance nulle ne dit pas.
Démonstration · Partie C : simulation
6. On simule deux dés, on calcule l'écart au carré, on retranche la mise, et on moyenne :
from random import randint
def simule_gain(n, m):
total = 0
for _ in range(n):
d1 = randint(1, 6)
d2 = randint(1, 6)
gain = (abs(d1 - d2))**2 - m # G = D^2 - m
total += gain
return total / n
# Avec la mise equitable m = 35/6 :
print(simule_gain(1000000, 35/6)) # proche de 0Si \(m=\frac{35}{6}\) est la mise équitable, alors \(\E(G)=0\) : d'après le principe de la loi des grands nombres, le gain moyen observé sur \(n\) parties se rapproche de \(0\) quand \(n\) devient grand. La simulation permet de comparer une observation au calcul théorique.
