Somme de variables aléatoires et loi des grands nombres · Terminale spécialité

Pourquoi étudier la somme de variables aléatoires ?

De quoi parle-t-on ?

Le total de plusieurs résultats est une somme. Le total divisé par leur nombre est une moyenne. Si les résultats sont indépendants, de même loi et de variance finie, cette moyenne se concentre autour de l'espérance lorsque l'échantillon grandit. Ce sont les hypothèses de la loi des grands nombres étudiée ici.

Pour des résultats 0 ou 1, la moyenne est une fréquence de succès. Pour des températures, elle estime une température moyenne du modèle : ce n'est pas une probabilité.

Les applications concrètes

L'idée directrice

L'idée avant la formule

L'expérience du lancer de dé

Intuition · Une série observée peut s'éloigner puis se rapprocher

Pour un dé équilibré, l'espérance vaut $$3{,}5$$ . Une série possible est $$1,6,6,1,1,6$$ . Ses moyennes successives sont :

$$n$$	1	2	3	4	5	6
Somme $$S_n$$	1	7	13	14	15	21
Moyenne $$S_n/n$$	1	$$3{,}5$$	$$13/3$$	$$3{,}5$$	3	$$3{,}5$$

Entre $$n=2$$ et $$n=3$$ , la moyenne s'éloigne de $$3{,}5$$ . La loi des grands nombres n'affirme pas une amélioration à chaque lancer.

À toi d’essayer

Prédire la moyenne suivante

La moyenne des six valeurs précédentes vaut $$3{,}5$$ . Le septième résultat vaut 6. Calculer la nouvelle moyenne et dire si elle est plus proche de l'espérance.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repartir du total 21, et non de la moyenne 3,5.

Indice 2 · Un pas de plus

La nouvelle somme vaut 27 et le nouveau nombre d'observations vaut 7.

Voir l’explication

La moyenne vaut $27/7\approx3{,}857$ . Elle s'éloigne ici de $$3{,}5$$ , alors même que l'écart-type théorique de la moyenne d'un échantillon est plus petit à taille 7 qu'à taille 6. Une observation et une distribution sont deux objets distincts. À réessayer : choisir un huitième résultat et recalculer à partir du total.

Pourquoi $\sqrt{n}$ et pas $$n$$ ?

Fréquence et probabilité : le pont

Le cours formel

Dans le socle, les variables prennent un nombre fini de valeurs. Les formules s'étendent à des variables de variance finie ; les cas de gain non borné sont étudiés séparément en approfondissement. Toutes les moyennes d'échantillon utilisent $n\geqslant1$ .

Rappels : espérance, variance, écart-type

Somme de deux variables aléatoires

Une preuve à construire

Pourquoi les espérances s'additionnent même avec dépendance

Sur un univers fini $\Omega$ , démontrer $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$ en sommant sur les issues $\omega$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour chaque issue, la valeur de la somme est $X(\omega)+Y(\omega)$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Distribuer le poids $P(\{\omega\})$ sur ces deux valeurs, puis séparer les sommes.

Voir la preuve expliquée

L'espérance se calcule aussi en sommant sur les issues, même si certaines donnent la même valeur : regrouper ces issues retrouve la définition par la loi.

\begin{aligned}E(X+Y)&=\sum_{\omega\in\Omega}(X(\omega)+Y(\omega))P(\{\omega\})\\[.35em]&=\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\{\omega\})+\sum_{\omega\in\Omega}Y(\omega)P(\{\omega\})\\[.35em]&=E(X)+E(Y).\end{aligned}

On a utilisé la distributivité, pas l'indépendance. Le même raisonnement donne $$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$ .

Exemple · Construire la loi d'une somme

Deux pièces équilibrées sont lancées indépendamment. $$X$$ vaut 1 si la première donne Pile, 0 sinon ; $$Y$$ vaut 2 si la seconde donne Pile, 0 sinon.

Issue	FF	FP	PF	PP
Probabilité	$$1/4$$	$$1/4$$	$$1/4$$	$$1/4$$
$$X$$	0	0	1	1
$$Y$$	0	2	0	2
$$X+Y$$	0	2	1	3

La somme prend $$0,1,2,3$$ avec probabilité $$1/4$$ chacune. Ainsi

\begin{aligned}E(X+Y) &= (0+1+2+3)/4\\[.35em]&= 1{,}5.\end{aligned}

On retrouve $$E(X)+E(Y)=0{,}5+1$$ sans avoir besoin de recalculer toute la loi.

À toi d’essayer

Copier un résultat n'est pas refaire l'expérience

Un résultat $$X$$ vaut 0 ou 1 avec probabilité $$1/2$$ . On le copie : $$Y=X$$ . Comparer $$E(X+Y)$$ et $$V(X+Y)$$ aux sommes des espérances et des variances.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La somme est $$2X$$ . Utiliser $$E(aX)=aE(X)$$ et $$V(aX)=a^2V(X)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Ici $$E(X)=1/2$$ et $$V(X)=1/4$$ .

Voir l’explication

La somme vaut 0 ou 2 avec probabilité $$1/2$$ . On obtient

\begin{aligned}E(X+Y) &= 1\\[.35em]&= E(X)+E(Y),\\[.35em]V(X+Y) &=1\neq\tfrac12=V(X)+V(Y).\end{aligned}

L'espérance s'additionne toujours dans notre cadre. La formule de variance indépendante ne s'applique pas à deux copies. À réessayer : prendre $$Y=1-X$$ ; la somme est alors constante et sa variance vaut zéro.

Somme de $$n$$ variables indépendantes de même loi

Une preuve à construire

Où intervient chaque hypothèse de l'échantillon ?

Pour $n\geqslant1$ variables indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et variance finie $\sigma^2$ , démontrer $E(S_n)=n\mu$ et $V(S_n)=n\sigma^2$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La somme contient $$n$$ termes de même espérance et de même variance.

Indice 2 · Un pas de plus

Séparer l'usage de la linéarité et celui de l'indépendance.

Voir la preuve expliquée

Par linéarité,

\begin{aligned}E(S_n) &= E(X_1)+\cdots+E(X_n)\\[.35em] &= n\mu.\end{aligned}

L'égalité des lois a fourni des espérances identiques. L'indépendance permet d'appliquer l'additivité de la variance :

\begin{aligned}V(S_n) &= V(X_1)+\cdots+V(X_n)\\[.35em] &= n\sigma^2.\end{aligned}

En prenant la racine positive, on obtient $\sigma(S_n)=\sigma\sqrt n$ . Les écarts types ne s'additionnent donc pas ; les variables pourraient aussi être de lois différentes, auquel cas on additionnerait leurs moments respectifs.

La moyenne empirique $\overline{X}_n$

Une preuve à construire

Pourquoi diviser la variance par $$n$$ , et non par sa racine ?

Pour un échantillon indépendant de même loi, de taille $n\geqslant1$ , démontrer les moments de $$M_n=S_n/n$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La variance d'un multiple $$aS_n$$ est $$a^2V(S_n)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Remplacer $$a$$ par $$1/n$$ et $$V(S_n)$$ par $n\sigma^2$ .

Voir la preuve expliquée

La linéarité donne

\begin{aligned}E(M_n)&=\frac1nE(S_n)\\[.35em]&=\frac{n\mu}{n}\\[.35em]&=\mu.\end{aligned}

Pour la variance, le coefficient est mis au carré :

\begin{aligned}V(M_n)&=\frac{1}{n^2}V(S_n)\\[.35em]&=\frac{n\sigma^2}{n^2}\\[.35em]&=\frac{\sigma^2}{n}.\end{aligned}

On prend ensuite la racine positive : $\sigma(M_n)=\sigma/\sqrt n$ . L'indépendance a servi dans le calcul de $$V(S_n)$$ ; elle n'est pas nécessaire à la première égalité sur l'espérance.

À toi d’essayer

Quatre fois plus de mesures : quel gain ?

Des mesures indépendantes de même loi ont une espérance de 20 degrés et un écart-type de 2 degrés. Comparer l'écart-type de leur moyenne pour $$n=25$$ puis $$n=100$$ . Une mesure biaisée serait-elle corrigée par cette augmentation ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calculer $2/\sqrt n$ , et distinguer centre et dispersion.

Indice 2 · Un pas de plus

Si chaque mesure a une espérance de 22 au lieu de la valeur recherchée 20, la moyenne a encore une espérance de 22.

Voir l’explication

Les écarts types valent $$2/5=0{,}4$$ puis $$2/10=0{,}2$$ degré. Multiplier la taille par 4 divise la dispersion par 2. Le biais reste inchangé si le centre du modèle est erroné. À réessayer : quelle taille donne un écart-type au plus égal à $$0{,}1$$ degré ?

Un outil pour la preuve : inégalité de Markov

Une preuve à construire

Une grande valeur consomme de la moyenne

Si $X\geqslant0$ prend un nombre fini de valeurs et $$a>0$$ , démontrer $P(X\geqslant a)\leqslant E(X)/a$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans la somme définissant l'espérance, les termes de valeurs inférieures à $$a$$ sont positifs ou nuls.

Indice 2 · Un pas de plus

Dans les termes restants, remplacer chaque valeur par $$a$$ diminue la somme.

Voir la preuve expliquée

On ne garde d'abord que les grandes valeurs, puis on les minore par $$a$$ :

\begin{aligned}E(X)&=\sum_x xP(X=x)\\[.35em]&\geqslant\sum_{x\geqslant a}xP(X=x)\\[.35em]&\geqslant a\sum_{x\geqslant a}P(X=x)\\[.35em]&=aP(X\geqslant a).\end{aligned}

La première inégalité utilise $X\geqslant0$ ; la division finale conserve le sens car $$a>0$$ . Une borne supérieure à 1 est vraie mais n'apporte rien de plus que $P\leqslant1$ .

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Une preuve à construire

Transformer un écart en variable positive

Pour $$X$$ d'espérance $\mu$ et de variance finie $\sigma^2$ , démontrer $P(|X-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\sigma^2/\delta^2$ , où $\delta>0$ , à partir de Markov.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La variable $X-\mu$ peut être négative. Son carré est toujours positif ou nul.

Indice 2 · Un pas de plus

Poser $Y=(X-\mu)^2$ ; son espérance est la variance de $$X$$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $|X-\mu|$ et $\delta$ sont positifs, l'élévation au carré conserve leur ordre :

|X-\mu|\geqslant\delta\iff (X-\mu)^2\geqslant\delta^2.

La variable $Y=(X-\mu)^2$ est positive et $\delta^2>0$ . Markov donne donc

\begin{aligned}P(|X-\mu|\geqslant\delta)&=P(Y\geqslant\delta^2)\\[.35em]&\leqslant\frac{E(Y)}{\delta^2}\\[.35em]&=\frac{\sigma^2}{\delta^2}.\end{aligned}

Chaque hypothèse a servi : variance finie, positivité du carré et seuil strictement positif.

Propriété · Forme avec $k$ écarts-types

Si $\sigma>0$ , en posant $\delta=k\sigma$ avec $$k>0$$ :

\boxed{P\bigl(|X-\mu|\geqslant k\sigma\bigr)\leqslant\frac{1}{k^2}}

$$k$$	$P(\|X-\mu\|\geqslant k\sigma)\leqslant$	$P(\|X-\mu\|<k\sigma)\geqslant$
$$1$$	$$1$$ (trivial)	$0\%$
$$2$$	$\frac{1}{4}=25\%$	$75\%$
$$3$$	$\frac{1}{9}\approx 11\%$	$\frac89\approx88{,}9\%$
$$5$$	$\frac{1}{25}=4\%$	$96\%$
$$10$$	$\frac{1}{100}=1\%$	$99\%$

À toi d’essayer

Dessiner ce que l'on majore

Une variable a pour espérance 10 et variance 4. Traduire $|X-10|\geqslant3$ en deux intervalles. Donner une borne du risque et une borne de la probabilité de rester à moins de 3 de la moyenne.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les valeurs éloignées sont à gauche de 7 ou à droite de 13, bornes incluses.

Indice 2 · Un pas de plus

Tchebychev donne $$4/3^2$$ ; prendre ensuite le complémentaire.

Voir l’explication

L'événement est $X\leqslant7$ ou $X\geqslant13$ . Sa probabilité est au plus $$4/9$$ . Donc

P(7<X<13)\geqslant1-\frac49=\frac59.

Ces nombres sont des bornes : on ne peut pas affirmer que le risque vaut exactement $$4/9$$ . À réessayer : prendre un seuil $\delta=1$ ; remplacer la borne 4 par la borne utile 1.

Schéma : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de concentration

Une preuve à construire

La bonne variable dans Tchebychev

Pour un échantillon indépendant de même loi, de taille $n\geqslant1$ , établir une borne pour $P(|M_n-\mu|\geqslant\delta)$ , où $\delta>0$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Appliquer le théorème à $$M_n$$ , pas à une seule observation $$X_i$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

L'espérance de $$M_n$$ est $\mu$ et sa variance vaut $\sigma^2/n$ .

Voir la preuve expliquée

Tchebychev appliqué à la moyenne donne

\begin{aligned}P(|M_n-\mu|\geqslant\delta)&\leqslant\frac{V(M_n)}{\delta^2}\\[.35em]&=\frac{\sigma^2/n}{\delta^2}\\[.35em]&=\frac{\sigma^2}{n\delta^2}.\end{aligned}

On peut plafonner le résultat à 1. Si $\sigma=0$ , les observations et leur moyenne valent $\mu$ avec probabilité 1 ; tout écart de seuil positif a probabilité nulle.

Comprendre ce que garantit une borne de concentration

Pour une moyenne de n variables indépendantes de même loi, d’espérance m et d’écart-type σ fini, on borne P(|moyenne − m| ≥ ε). Prévois l’effet de multiplier n par quatre en gardant σ et ε fixes.

Chaque point bleu donne min(1 ; σ²/(nε²)), une borne supérieure de probabilité. Le point corail correspond au n choisi. L’axe vertical va de 0 à 1. Aucune probabilité exacte n’est tracée.

Avec σ = 0,5 et ε = 0,2, la borne vaut 0,25 pour n = 25, puis 0,0625 pour n = 100. Cela garantit au plus 25 %, puis au plus 6,25 % de probabilité d’un écart au moins égal à 0,2. La probabilité réelle peut être beaucoup plus faible.

Lire les valeurs et les coordonnées

Si le quotient dépasse 1, la borne 1 est vraie mais n’apporte aucune précision. Diminue ε : une exigence plus stricte demande davantage de variables pour conserver la même garantie. Justifie avec σ²/(nε²).

À toi d’essayer

Choisir la précision, le risque puis la taille

Des observations indépendantes de même loi ont une variance 4. On souhaite une moyenne à moins de $$0{,}5$$ de son espérance avec probabilité au moins $$0{,}95$$ . Quelle taille suffit par concentration ? Est-ce forcément la plus petite taille réellement possible ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le risque complémentaire est au plus $$0{,}05$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Résoudre $4/(n\times0{,}5^2)\leqslant0{,}05$ .

Voir l’explication

On veut

\begin{aligned}\frac{16}{n}\leqslant0{,}05&\iff n\geqslant\frac{16}{0{,}05}\\[.35em]&\iff n\geqslant320.\end{aligned}

La taille 320 est la plus petite satisfaisant cette borne. Une loi connue peut permettre une taille inférieure ; la condition est suffisante, pas nécessaire pour le risque réel. À réessayer : garder le risque et diviser la marge par 2.

Loi (faible) des grands nombres

Une preuve à construire

Ce qui tend vers zéro est une probabilité

Pour une suite d'observations indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance finie $\sigma^2$ , démontrer la loi faible des grands nombres.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Fixer une marge $\delta>0$ avant de faire varier $$n$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Encadrer la probabilité entre 0 et $\sigma^2/(n\delta^2)$ .

Voir la preuve expliquée

Pour toute marge fixée $\delta>0$ ,

0\leqslant P(|M_n-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\delta^2}.

Le numérateur et $\delta$ sont constants ; le membre de droite tend vers 0. Le théorème des gendarmes donne la limite 0 de la probabilité. Cela vaut pour chaque marge positive fixée. On n'a pas affirmé que toutes les suites observées restent à l'intérieur d'un intervalle à partir d'un même rang.

À toi d’essayer

Une marge qui change avec $$n$$

Pour des Bernoulli indépendantes de paramètre $$1/2$$ , la borne de $P(|f_n-1/2|\geqslant\delta)$ vaut $1/(4n\delta^2)$ . Que donne-t-elle pour $\delta=0{,}1$ ? Pour $\delta_n=1/\sqrt n$ ? Peut-on appliquer le même passage à la limite ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans le second cas, la marge se resserre à mesure que l'échantillon augmente.

Indice 2 · Un pas de plus

Remplacer $\delta^2$ par $$0{,}01$$ , puis par $$1/n$$ .

Voir l’explication

À marge fixe, la borne est $$25/n$$ , qui tend vers zéro. À marge variable $1/\sqrt n$ , elle reste $$1/4$$ . La loi des grands nombres porte sur une marge fixée, et ne permet pas de conclure la même chose pour toute marge qui dépend de $$n$$ . À réessayer : tester la borne avec $\delta_n=1/n$ .

Approfondissement : intervalle de fluctuation et estimation

Méthode · Construire une couverture, sans inverser les facteurs

Pour des Bernoulli indépendantes de paramètre inconnu $$p$$ , on utilise $p(1-p)\leqslant1/4$ . Si $0<\alpha<1$ , une condition suffisante est

\begin{aligned}\frac{1}{4n\delta^2}\leqslant\alpha &\iff\delta^2\geqslant\frac{1}{4n\alpha}\\[.35em]&\iff\delta\geqslant\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}.\end{aligned}

Pour un risque $\alpha=0{,}05$ , on obtient $\delta=\sqrt{5/n}$ . Pour $\alpha=0{,}25$ , on obtient $\delta=1/\sqrt n$ . Une garantie plus élevée exige ici un intervalle plus large, à taille égale.

Si $$p$$ est donné, l'intervalle $[p-\delta;p+\delta]$ est fixe et contient la fréquence aléatoire avec probabilité au moins $1-\alpha$ . Si $$p$$ est inconnu, le procédé produit l'intervalle aléatoire

I_n=[f_n-\delta;f_n+\delta]\cap[0;1].

Avant l'observation, $P(p\in I_n)\geqslant1-\alpha$ . Après l'observation, $$p$$ est fixe et l'intervalle réalisé le contient ou non ; on n'attribue pas à $$p$$ une probabilité issue de ce seul raisonnement.

À toi d’essayer

Plus de confiance ou plus de précision ?

À taille fixée, un élève trouve un intervalle plus étroit quand il demande une garantie passant de $75\%$ à $95\%$ . Quel contrôle de cohérence peut-il faire ? Puis calculer la demi-largeur garantie à $95\%$ pour $$n=1000$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Comparer $1/(2\sqrt{n\alpha})$ pour des risques $\alpha=0{,}25$ et $$0{,}05$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le risque diminue ; le dénominateur diminue aussi, donc la demi-largeur augmente.

Voir l’explication

Une exigence de couverture plus forte impose ici un intervalle plus large. Pour $$n=1000$$ ,

\begin{aligned}\delta &= \sqrt{5/1000}\\[.35em]&\approx 0{,}070711.\end{aligned}

On peut prendre $$0{,}071$$ pour un arrondi qui conserve la garantie. À réessayer : déterminer une taille suffisante pour conserver cette garantie avec une demi-largeur $$0{,}01$$ .

Cas particulier : retour sur la loi binomiale

Approfondissement : covariance

Une preuve à construire

Ce que la variance supplémentaire mesure

Pour deux variables de variance finie, démontrer $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Centrer $$X$$ et $$Y$$ , puis développer le carré de leur somme.

Indice 2 · Un pas de plus

La linéarité permet de séparer les trois termes de l'espérance.

Voir la preuve expliquée

Posons $$U=X-E(X)$$ et $$W=Y-E(Y)$$ . Par linéarité, $$X+Y-E(X+Y)=U+W$$ . Ainsi

\begin{aligned}V(X+Y)&=E((U+W)^2)\\[.35em]&=E(U^2)+2E(UW)+E(W^2)\\[.35em]&=V(X)+2\operatorname{Cov}(X,Y)+V(Y).\end{aligned}

Si les variables sont indépendantes, la covariance est nulle. La réciproque est fausse : la covariance ne mesure qu'une composante de leur dépendance.

Somme de VA non identiquement distribuées

Comparaison des inégalités : Markov vs Tchebychev vs exact

Propriété · Une majoration conserve son sens en arrondissant

Pour $X\sim\mathcal B(100;0{,}5)$ ,

\mu=50

\text{et }V(X)=25

Événement	Markov sur $$X$$	Tchebychev	Probabilité
$X\geqslant60$	$$5/6$$	$$1/4$$	$\approx0{,}028444$
$X\geqslant70$	$$5/7$$	$$1/16$$	$\approx0{,}0000393$
$\|X-50\|\geqslant10$	autre variable	$$1/4$$	$\approx0{,}056888$
$\|X-50\|\geqslant20$	autre variable	$$1/16$$	$\approx0{,}0000785$

Pour une seule queue, l'événement est inclus dans l'événement d'écart bilatéral, ce qui permet la borne de Tchebychev. Markov peut aussi être appliqué à une autre variable positive, par exemple au carré de l'écart : on retrouve alors Tchebychev. Les fractions sont des bornes exactes ; les décimaux de la dernière colonne approchent des sommes binomiales.

Théorème central limite (culture : pour la prépa)

Ces diagrammes donnent les lois exactes de la fréquence de Piles pour $$n=4$$ et $$n=16$$ lancers indépendants. Les barres se rapprochent horizontalement de $$1/2$$ . Leur hauteur individuelle n'augmente pas forcément : les valeurs possibles sont aussi plus nombreuses. Cela ne représente pas une densité normale.

Simulation Python de la loi des grands nombres

Méthode · N échantillons de n observations

Le programme utilise seulement des listes et la bibliothèque standard. Contrat : $$N,n$$ entiers strictement positifs, $p\in[0;1]$ . Chaque moyenne provient d'un nouvel échantillon ; $$N$$ et $$n$$ n'ont pas le même rôle.

from random import random
from math import sqrt

def moyennes_bernoulli(N, n, p):
    if N <= 0 or n <= 0 or int(N) != N or int(n) != n:
        raise ValueError("N et n entiers strictement positifs")
    if not 0 <= p <= 1:
        raise ValueError("p dans [0,1]")
    valeurs = []
    for j in range(int(N)):
        succes = 0
        for i in range(int(n)):
            if random() < p:
                succes = succes + 1
        valeurs.append(succes / n)
    return valeurs

Méthode · Comparer dispersion observée et théorique

def bilan_moyennes(valeurs, n, p):
    if len(valeurs) == 0 or n <= 0 or not 0 <= p <= 1:
        raise ValueError("liste non vide, n>0, p dans [0,1]")
    centre = sum(valeurs) / len(valeurs)
    variance = sum((x-centre)**2 for x in valeurs) / len(valeurs)
    ecart_observe = sqrt(variance)
    ecart_theorique = sqrt(p*(1-p)/n)
    proportions = []
    for k in [1, 2, 3]:
        compte = sum(abs(x-p) <= k*ecart_theorique for x in valeurs)
        proportions.append(compte / len(valeurs))
    return [ecart_observe, ecart_theorique, proportions]

L'écart-type observé utilise ici le diviseur $$N$$ , comme celui d'une série statistique. Comparer à $\sqrt{p(1-p)/n}$ , puis comparer les proportions observées pour un, deux et trois écarts types. Refaire avec un autre $$N$$ montre la variabilité de ces estimations. Une simulation ne prouve pas une inégalité pour toutes les expériences.

À toi d’essayer

Quelle boucle remettre à zéro ?

Dans le programme précédent, que se passerait-il si succes = 0 était déplacé avant la boucle sur j ? Tracer avec $$N=2,n=2,p=0{,}5$$ et les tirages $$0{,}1;0{,}8;0{,}2;0{,}3$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La remise à zéro distingue deux échantillons.

Indice 2 · Un pas de plus

Avec le code correct, le premier échantillon a un succès ; le second en a deux.

Voir l’explication

Le programme correct produit $$[0{,}5;1]$$ . Si le compteur n'est pas réinitialisé, il produit $$[0{,}5;1{,}5]$$ : la deuxième prétendue fréquence dépasse 1. Le contrôle $0\leqslant f\leqslant1$ révèle le problème. À réessayer : tracer trois échantillons d'un seul essai chacun.

Méthode · Comparer la borne à une probabilité calculée

Pour $S_n\sim\mathcal B(n,p)$ , l'événement $|S_n-np|>\sqrt n$ porte un seuil strict. Le programme additionne exactement les termes choisis de la loi, à l'arrondi numérique près. Contrat : $$n$$ entier strictement positif, $p\in[0;1]$ .

from math import comb, sqrt

def risque_binomial(n, p):
    if n <= 0 or int(n) != n or not 0 <= p <= 1:
        raise ValueError("n entier positif et p dans [0,1]")
    risque = 0
    for k in range(int(n)+1):
        if abs(k-n*p) > sqrt(n):
            risque += comb(int(n), k)*p**k*(1-p)**(int(n)-k)
    return [risque, p*(1-p)]

La deuxième valeur est la borne de Tchebychev, car $$V(S_n)=np(1-p)$$ et le carré du seuil vaut $$n$$ . Pour $$n=100,p=0{,}5$$ , les valeurs retenues sont $k\leqslant39$ ou $k\geqslant61$ , donnant environ $$0{,}0352002$$ , contre la borne $$0{,}25$$ . Avec un seuil large, les valeurs 40 et 60 seraient aussi incluses et le résultat changerait. Aux frontières, vérifier l'événement mathématique avant de se fier aux comparaisons en virgule flottante.

À toi d’essayer

Une erreur de borne change les valeurs comptées

Dans le dernier exemple, expliquer pourquoi remplacer $$>$$ par $\geqslant$ ajoute exactement deux valeurs. La nouvelle probabilité peut-elle être plus petite ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Résoudre $$|k-50|=10$$ pour des entiers $$k$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les solutions sont 40 et 60, chacune de probabilité strictement positive.

Voir l’explication

On ajoute les valeurs 40 et 60. La nouvelle probabilité est strictement plus grande : environ $$0{,}056888$$ , contre $$0{,}0352002$$ . Les deux restent inférieures à la même borne $$0{,}25$$ . À réessayer : prendre $$n=25,p=0{,}5$$ ; existe-t-il un entier $$k$$ à distance exactement 5 de 12,5 ?

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Les 10 réflexes essentiels

Linéarité de l'espérance : $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$ toujours (indépendance ou non).
Additivité de la variance : $$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$ garantie si indépendantes.
Somme i.i.d. : $E(S_n)=n\mu$ , $V(S_n)=n\sigma^2$ , $\sigma(S_n)=\sigma\sqrt{n}$ .
Moyenne empirique : $E(\overline{X}_n)=\mu$ , $V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$ , $\sigma(\overline{X}_n)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
Tchebychev : $P(|X-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(X)}{\delta^2}$ .
Concentration : $P(|\overline{X}_n-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\to 0$ .
LGN : $\overline{X}_n\xrightarrow{P}\mu$ quand $n\to+\infty$ .
Précision en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ : multiplier $$n$$ par $$4$$ pour diviser l'écart-type par $$2$$ .
L'écart-type ne s'additionne pas : $\sigma(X+Y)=\sqrt{\sigma(X)^2+\sigma(Y)^2}\neq\sigma(X)+\sigma(Y)$ .
Erreur du joueur : la LGN ne dit pas que les résultats futurs compensent les résultats passés.

Méthode · Mots-clés à repérer dans les énoncés

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« on répète $$n$$ fois »	vérifier indépendance et lois des observations
« moyenne observée / empirique »	$\overline{X}_n=\frac{S_n}{n}$
« fréquence »	$f_n=\overline{X}_n$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(p)$
« indépendamment »	variance additive ; autres hypothèses de la LGN à vérifier
« intervalle de confiance »	préciser modèle, risque et demi-largeur
« majorer la probabilité que »	Markov ou Tchebychev
« montrer que $\overline{X}_n$ se concentre »	inégalité de concentration
« en déduire la convergence »	théorème des gendarmes
« combien d'essais pour »	résoudre $\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\leqslant\alpha$
« fluctuation »	intervalle $[p-\delta\,;\,p+\delta]$

Méthode · Récapitulatif complet des formules

Résultat	Formule
Linéarité de $$E$$	$$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$$
Variance (transf. affine)	$$V(aX+b)=a^2 V(X)$$
$$V$$ si indépendantes	$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$
Somme $$S_n$$ (i.i.d.)	$E(S_n)=n\mu,\quad V(S_n)=n\sigma^2$
Moyenne $\overline{X}_n$	$E(\overline{X}_n)=\mu,\quad V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$
Markov	$P(X\geqslant a)\leqslant\frac{E(X)}{a}\quad(X\geqslant 0)$
Tchebychev	$P(\|X-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(X)}{\delta^2}$
Concentration	$P(\|\overline{X}_n-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\delta^2}$
LGN	$\overline{X}_n\xrightarrow[n\to+\infty]{P}\mu$
Couverture au moins $75\%$	$I_n=[f_n-1/\sqrt n;f_n+1/\sqrt n]\cap[0;1]$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Espérance et variance d'une somme

On lance deux dés équilibrés indépendants $$X$$ et $$Y$$ .

Rappeler $$E(X)$$ et $$V(X)$$ .
Calculer $$E(X+Y)$$ et $$V(X+Y)$$ .
Calculer $\sigma(X+Y)$ . Vérifier que $\sigma(X+Y)\neq\sigma(X)+\sigma(Y)$ .
Calculer $$E(3X-2Y+1)$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Somme de Bernoulli

$X_1,\ldots,X_{20}$ sont i.i.d. $\mathcal{B}(0{,}4)$ .

Déterminer la loi de $S_{20}=X_1+\cdots+X_{20}$ .
Calculer $E(S_{20})$ , $V(S_{20})$ et $\sigma(S_{20})$ .
Calculer $E(\overline{X}_{20})$ , $V(\overline{X}_{20})$ et $\sigma(\overline{X}_{20})$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Moyenne empirique

On effectue $$n$$ mesures de température indépendantes de même loi. Chaque mesure $$X_i$$ a pour espérance $\mu=20$ et écart-type $\sigma=2$ .

Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $\sigma(\overline{X}_n)$ pour $$n=10$$ , $$n=100$$ , $$n=1000$$ .
Combien de mesures faut-il pour avoir $\sigma(\overline{X}_n)\leqslant 0{,}1$ ?

Exercice 4 ★★☆ : Tchebychev

$$X$$ est une VA d'espérance $$10$$ et de variance $$4$$ .

Majorer $P(|X-10|\geqslant 3)$ .
Majorer $P(|X-10|\geqslant 6)$ .
Majorer $P(X\leqslant 4\text{ ou }X\geqslant 16)$ .
Déterminer $\delta$ tel que $P(|X-10|\geqslant\delta)\leqslant 0{,}05$ .

Exercice 5 ★★☆ : Concentration de la fréquence

On lance indépendamment $$n$$ fois une pièce équilibrée ( $$p=0{,}5$$ ). $$f_n$$ est la fréquence de Pile.

Exprimer $$V(f_n)$$ en fonction de $$n$$ .
Majorer $P(|f_n-0{,}5|\geqslant 0{,}05)$ en fonction de $$n$$ (Tchebychev).
Déterminer $$n$$ pour que cette borne soit $\leqslant 5\%$ .
Déterminer $$n$$ pour que $P(|f_n-0{,}5|\geqslant 0{,}01)\leqslant 1\%$ .

Exercice 6 ★★☆ : Loi des grands nombres en action

Soit $X_1,X_2,\ldots$ i.i.d. avec $$E(X_i)=7$$ et $$V(X_i)=9$$ .

Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$ .
Pour $\delta=0{,}5$ , majorer $P(|\overline{X}_n-7|\geqslant 0{,}5)$ .
En déduire que $\overline{X}_n\xrightarrow{P}7$ .
Combien de termes faut-il pour que la borne soit $\leqslant 2\%$ ?

Exercice 7 ★★☆ : Intervalle de confiance

Sous un modèle de réponses indépendantes de même loi de Bernoulli, un sondage sur $$n=900$$ personnes donne $54\%$ de réponses favorables.

Donner un intervalle de confiance à $75\%$ pour $$p$$ .
Donner un intervalle de confiance tel que $P(|f_n-p|\geqslant\delta)\leqslant 5\%$ .
Combien de personnes faudrait-il interroger pour un intervalle de confiance à $95\%$ de demi-largeur $$0{,}01$$ ?

Exercice 8 ★★☆ : Gain moyen au casino

À la roulette, le joueur mise 1€ sur le rouge. Il gagne 1€ avec probabilité $\frac{18}{37}$ et perd 1€ avec probabilité $\frac{19}{37}$ .

Calculer $$E(X_i)$$ et $$V(X_i)$$ pour une mise.
Le joueur joue $$n=1000$$ parties supposées indépendantes. Calculer $$E(S_n)$$ et $\sigma(S_n)$ .
Utiliser l'inégalité de Cantelli $P(S_n>0)\leqslant\frac{V(S_n)}{[E(S_n)]^2+V(S_n)}$ (admis) et dire si cette borne suffit à affirmer que la probabilité de gagner est faible.
Par la LGN, que vaut $\frac{S_n}{n}$ quand $$n$$ est grand ? Le casino gagne-t-il toujours ?

Exercice 9 ★★☆ : Démonstrations de cours

Démontrer que $E(\overline{X}_n)=\mu$ et $V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$ .
Démontrer l'inégalité de Markov.
Démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à partir de Markov.
Démontrer l'inégalité de concentration et en déduire la loi faible des grands nombres.

Exercice 10 ★★☆ : Variance d'une somme non indépendante

On effectue des tirages uniformes sans remise. On tire une boule dans une urne contenant $$3$$ rouges et $$2$$ bleues. On pose $$X=1$$ si rouge, $$0$$ sinon. On tire une deuxième boule sans remise. On pose $$Y=1$$ si rouge, $$0$$ sinon.

Calculer $$E(X)$$ , $$E(Y)$$ , $$E(X+Y)$$ .
Calculer $$V(X)$$ et $$V(Y)$$ .
Montrer que $V(X+Y)\neq V(X)+V(Y)$ . (Calculer $$V(X+Y)$$ directement.)
Pourquoi ? (Les tirages ne sont pas indépendants.)

Exercice 11 ★★☆ : Erreur du joueur

On suppose les lancers d'une pièce équilibrée indépendants. Un joueur a obtenu dix Piles d'affilée. Il affirme que « Face est maintenant plus probable pour compenser ».

Peut-on déduire un déséquilibre de cette seule série ? Quelle est $P(\text{Face au lancer }11)$ ?
Expliquer pourquoi l'affirmation du joueur est fausse (indépendance).
Expliquer comment la LGN est compatible avec cette indépendance : ce n'est pas la « compensation » mais la « dilution » des $$10$$ premiers résultats dans un grand nombre de lancers.

Exercice 12 ★★☆ : Assurance

Un assureur couvre $n=10\,000$ clients. Chaque client fait une réclamation (coût $$1000$$ €) avec probabilité $$0{,}05$$ , indépendamment.

Le coût total $$S_n$$ suit quelle loi ? Calculer $$E(S_n)$$ et $\sigma(S_n)$ .
La prime annuelle est fixée à $$60$$ € par client. Le revenu total est $R=600\,000$ €.
Majorer $$P(S_n>R)$$ par Tchebychev. Que garantit cette borne sous le modèle ? Quelles limites a cette conclusion ?

Exercice 13 ★★★ : Vitesse de convergence et taille d'échantillon

Montrer que pour $X_i\sim\mathcal{B}(p)$ i.i.d., $P(|\overline{X}_n-p|\geqslant\delta)\leqslant\frac{1}{4n\delta^2}$ .
En déduire la plus petite taille satisfaisant la borne de concentration pour garantir que $P(|\overline{X}_n-p|\geqslant\delta)\leqslant\alpha$ : $n\geqslant\frac{1}{4\alpha\delta^2}$ .
Application : combien de lancers pour estimer $$p$$ à $\pm 0{,}02$ près avec $99\%$ de confiance ?
Un sondage donne $f_n=0{,}48$ sur $$n=2500$$ personnes, sous le même modèle indépendant. Donner un intervalle de confiance à $95\%$ pour $$p$$ .

Exercice 14 ★★★ : Inégalité de Markov améliorée

Soit $$X$$ une VA positive d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ . Montrer que pour $a>\mu$ : $P(X\geqslant a)\leqslant\frac{\sigma^2}{\sigma^2+(a-\mu)^2}$ . Indication : poser $Z=X-\mu$ et $t=a-\mu>0$ . Pour $b\geqslant0$ , l'événement $Z\geqslant t$ implique $(Z+b)^2\geqslant(t+b)^2$ . Appliquer Markov au carré, puis choisir $b=\sigma^2/t$ .
Application : pour $X\sim\mathcal{B}(100,0{,}5)$ , majorer $P(X\geqslant 70)$ par Markov, Tchebychev, et cette inégalité améliorée. Comparer.

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) Dé équilibré :

\begin{aligned}E(X) &= \frac{1+2+3+4+5+6}{6}\\[.35em]&= \frac{21}{6}\\[.35em]&= \frac{7}{2}\\[.35em]&= 3{,}5.\end{aligned}

\begin{aligned}E(X^2) &= \frac{1+4+9+16+25+36}{6}\\[.35em]&= \frac{91}{6}.\end{aligned}

\begin{aligned}V(X) &= \frac{91}{6}-\bigl(\frac{7}{2}\bigr)^2\\[.35em]&= \frac{91}{6}-\frac{49}{4}\\[.35em]&= \frac{182-147}{12}\\[.35em]&= \frac{35}{12}\\[.35em]&\approx 2{,}92.\end{aligned}

\begin{aligned}E(X+Y) &= E(X)+E(Y)\\[.35em]&= 3{,}5+3{,}5\\[.35em]&= 7.\end{aligned}

\begin{aligned}V(X+Y) &= V(X)+V(Y)\\[.35em]&= \frac{35}{12}+\frac{35}{12}\\[.35em]&= \frac{70}{12}\\[.35em]&= \frac{35}{6}\\[.35em]&\approx 5{,}83\end{aligned}

(indépendance).

\begin{aligned}\sigma(X+Y) &= \sqrt{\frac{35}{6}}\\[.35em]&\approx 2{,}42.\end{aligned}

\sigma(X)+\sigma(Y)=2\sqrt{\frac{35}{12}}\approx 2\times 1{,}71=3{,}42\neq 2{,}42.

✗

\begin{aligned}E(3X-2Y+1) &= 3E(X)-2E(Y)+1\\[.35em]&= 3\times 3{,}5-2\times 3{,}5+1\\[.35em]&= 10{,}5-7+1\\[.35em]&= 4{,}5.\end{aligned}

Exercice 2

a) $S_{20}=\sum X_i$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(0{,}4)$ i.i.d. Donc $S_{20}\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}4)$ .

\begin{aligned}E(S_{20}) &= 20\times 0{,}4\\[.35em]&= 8.\end{aligned}

\begin{aligned}V(S_{20}) &= 20\times 0{,}4\times 0{,}6\\[.35em]&= 4{,}8.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma(S_{20}) &= \sqrt{4{,}8}\\[.35em]&\approx 2{,}19.\end{aligned}

E(\overline{X}_{20})=0{,}4.

\begin{aligned}V(\overline{X}_{20}) &= \frac{0{,}24}{20}\\[.35em]&= 0{,}012.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma(\overline{X}_{20}) &= \sqrt{0{,}012}\\[.35em]&\approx 0{,}110.\end{aligned}

Exercice 3

a) $E(\overline{X}_n)=20$ pour tout $$n$$ .

\sigma(\overline{X}_n)=\frac{2}{\sqrt{n}}

pour

\[n=10\]

$\frac{2}{\sqrt{10}}\approx 0{,}632$ . Pour

\[n=100\]

\frac{2}{10}=0{,}2.

Pour

\[n=1000\]

$\frac{2}{\sqrt{1000}}\approx 0{,}063$ .

\begin{aligned}\frac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0{,}1\\[.35em]&\iff \sqrt{n}\geqslant 20\\[.35em]&\iff n\geqslant 400\end{aligned}

Il faut au moins $\boxed{400}$ mesures.

Exercice 4

\mu=10,

\begin{aligned}\sigma^2 &= V(X)\\[.35em]&= 4.\end{aligned}

a) $P(|X-10|\geqslant 3)\leqslant\frac{4}{9}\approx 0{,}44$ .

P(|X-10|\geqslant 6)\leqslant\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0{,}11.

c) $\{X\leqslant 4\text{ ou }X\geqslant 16\}=\{|X-10|\geqslant 6\}$ . $P\leqslant\frac{1}{9}\approx 0{,}11$ .

\begin{aligned}\frac{4}{\delta^2}\leqslant 0{,}05\\[.35em]&\iff \delta^2\geqslant\frac{4}{0{,}05}=80\\[.35em]&\iff \delta\geqslant\sqrt{80}\approx 8{,}94\end{aligned}

Prendre $\boxed{\delta=\sqrt{80}}$ (ou $$8{,}95$$ en arrondissant vers le haut).

Exercice 5

$f_n=\overline{X}_n$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(0{,}5)$ .

\begin{aligned}V(f_n) &= \frac{p(1-p)}{n}\\[.35em]&= \frac{0{,}25}{n}.\end{aligned}

P(|f_n-0{,}5|\geqslant 0{,}05)\leqslant\frac{0{,}25}{n\times 0{,}0025}=\frac{100}{n}.

c) $\frac{100}{n}\leqslant 0{,}05\iff n\geqslant 2000$ . $\boxed{n=2000}$ .

\begin{aligned}\frac{0{,}25}{n\times 0{,}0001}\leqslant 0{,}01\\[.35em]&\iff \frac{2500}{n}\leqslant 0{,}01\\[.35em]&\iff n\geqslant 250\,000\end{aligned}

$\boxed{n=250\,000}$ .

Exercice 6

\mu=7,

\sigma^2=9.

E(\overline{X}_n)=7,

V(\overline{X}_n)=\frac{9}{n}.

P(|\overline{X}_n-7|\geqslant 0{,}5)\leqslant\frac{9}{n\times 0{,}25}=\frac{36}{n}.

c) Pour tout $\delta>0$ : $P(|\overline{X}_n-7|\geqslant\delta)\leqslant\frac{9}{n\delta^2}\to 0$ . Donc $\overline{X}_n\xrightarrow{P}7$ .

d) $\frac{36}{n}\leqslant 0{,}02\iff n\geqslant 1800$ . $\boxed{n=1800}$ .

Exercice 7

On suppose le modèle de Bernoulli indépendant. L'observation est $f_n=0{,}54$ pour $$n=900$$ .

a) Le procédé à couverture au moins $75\%$ utilise la demi-largeur $1/\sqrt{900}=1/30$ . Il produit l'intervalle

\[I=[0{,}54-1/30;0{,}54+1/30].\]

Un arrondi extérieur est $$[0{,}506;0{,}574]$$ . On n'affirme pas que $$p$$ appartient certainement à cet intervalle observé.

b) Une couverture au moins $95\%$ est assurée avec

\begin{aligned}\delta &= \sqrt{5/900}\\[.35em]&= 1/\sqrt{180}.\end{aligned}

L'intervalle produit est $[0{,}54-1/\sqrt{180};0{,}54+1/\sqrt{180}]$ , contenu dans l'arrondi extérieur $$[0{,}465;0{,}615]$$ .

c) Pour une demi-largeur $$0{,}01$$ , il suffit que

\begin{aligned}\frac{1}{4n(0{,}01)^2}\leqslant0{,}05 &\iff n\geqslant\frac{1}{4\times0{,}05\times0{,}0001}\\[.35em]&\iff n\geqslant50\,000.\end{aligned}

Ce minimum concerne la condition suffisante fournie par Tchebychev, pas nécessairement le risque exact du modèle.

Exercice 8

\[X_i=+1\]

avec

p=\frac{18}{37}

\text{et }X_i=-1

avec

q=\frac{19}{37}.

\begin{aligned}E(X_i) &= \frac{18}{37}-\frac{19}{37}\\[.35em]&= -\frac{1}{37}\\[.35em]&\approx -0{,}027.\end{aligned}

\[E(X_i^2)=1.\]

\begin{aligned}V(X_i) &= 1-\frac{1}{37^2}\\[.35em]&= \frac{1368}{1369}\\[.35em]&\approx 0{,}999.\end{aligned}

\begin{aligned}E(S_{1000}) &= 1000\times(-\frac{1}{37})\\[.35em]&\approx -27{,}0\end{aligned}

€.

\begin{aligned}\sigma(S_{1000}) &= \sqrt{1000\times 0{,}999}\\[.35em]&\approx 31{,}6\end{aligned}

€.

c) L'inégalité donne $P(S_n>0)\leqslant\frac{V(S_n)}{[E(S_n)]^2+V(S_n)}=\frac{1368}{1000+1368}\approx0{,}5777$ . Cette borne dépasse $$1/2$$ : elle ne suffit pas à qualifier la probabilité de gagner de faible.

Cette borne n'est pas très serrée, mais le gain attendu étant négatif, le joueur perd en moyenne.

d) $\frac{S_n}{n}\xrightarrow{P}-\frac{1}{37}\approx -0{,}027$ . Le gain moyen par partie converge vers $$-2{,}7$$ centimes. Le casino gagne en moyenne $2{,}7\%$ de chaque mise : c'est la marge du casino. Dans ce modèle, la probabilité d'un gain total positif du joueur tend vers zéro. Pour toute taille finie, un gain reste possible : on ne peut pas écrire « toujours ».

Exercice 9

\begin{aligned}E(\overline{X}_n) &= E\bigl(\frac{1}{n}\sum X_i\bigr)\\[.35em]&= \frac{1}{n}\sum E(X_i)\\[.35em]&= \frac{n\mu}{n}\\[.35em]&= \mu.\end{aligned}

\begin{aligned}V(\overline{X}_n) &= V\bigl(\frac{1}{n}\sum X_i\bigr)\\[.35em]&= \frac{1}{n^2}\sum V(X_i)\\[.35em]&= \frac{n\sigma^2}{n^2}\\[.35em]&= \frac{\sigma^2}{n}\end{aligned}

(indépendance).

b) Voir la preuve guidée « Une grande valeur consomme de la moyenne ».

c) Poser $Y=(X-\mu)^2\geqslant 0$ . Par Markov : $P(Y\geqslant\delta^2)\leqslant\frac{E(Y)}{\delta^2}=\frac{V(X)}{\delta^2}$ . Or $Y\geqslant\delta^2\iff|X-\mu|\geqslant\delta$ .

d) Appliquer Tchebychev à $\overline{X}_n$ : $P(|\overline{X}_n-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(\overline{X}_n)}{\delta^2}=\frac{\sigma^2}{n\delta^2}$ . Comme $\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\to 0$ , par gendarmes $P(|\overline{X}_n-\mu|\geqslant\delta)\to 0$ . C'est la LGN.

Exercice 10

a) $$E(X)=3/5$$ . Par probabilités totales,

\begin{aligned}P(Y=1) &= \frac35\frac24+\frac25\frac34\\[.35em]&= 3/5,\end{aligned}

donc $$E(Y)=3/5$$ . $E(X+Y)=\frac{6}{5}$ .

\begin{aligned}V(X) &= E(X^2)-[E(X)]^2\\[.35em]&= \frac{3}{5}-\frac{9}{25}\\[.35em]&= \frac{6}{25}.\end{aligned}

De même $V(Y)=\frac{6}{25}$ .

c) $$X+Y$$ est le nombre de rouges en $$2$$ tirages sans remise. Valeurs possibles : $$0,1,2$$ .

\begin{aligned}P(X+Y=0) &= \frac{2}{5}\times\frac{1}{4}\\[.35em]&= \frac{2}{20}\\[.35em]&= \frac{1}{10}.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X+Y=2) &= \frac{3}{5}\times\frac{2}{4}\\[.35em]&= \frac{6}{20}\\[.35em]&= \frac{3}{10}.\end{aligned}

\begin{aligned}P(X+Y=1) &= 1-\frac{1}{10}-\frac{3}{10}\\[.35em]&= \frac{6}{10}.\end{aligned}

\begin{aligned}E(X+Y) &= 0\times\frac{1}{10}+1\times\frac{6}{10}+2\times\frac{3}{10}\\[.35em]&= \frac{12}{10}\\[.35em]&= \frac{6}{5}.\end{aligned}

Vérifié.

\begin{aligned}E[(X+Y)^2] &= 0+\frac{6}{10}+4\times\frac{3}{10}\\[.35em]&= \frac{18}{10}.\end{aligned}

\begin{aligned}V(X+Y) &= \frac{18}{10}-\bigl(\frac{6}{5}\bigr)^2\\[.35em]&= \frac{9}{5}-\frac{36}{25}\\[.35em]&= \frac{45-36}{25}\\[.35em]&= \frac{9}{25}.\end{aligned}

V(X)+V(Y)=\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}\neq\frac{9}{25}=V(X+Y).

d) $$V(X+Y)<V(X)+V(Y)$$ car les variables sont négativement corrélées (si la première est rouge, la deuxième a moins de chance d'être rouge). L'indépendance aurait garanti l'additivité ; dans cet exemple dépendant, le calcul montre qu'elle échoue.

Exercice 11

a) Si la pièce est équilibrée, $P(\text{Face au lancer }11)=\frac{1}{2}$ , indépendamment des lancers précédents.

b) Chaque lancer est indépendant. Les résultats passés n'influencent pas les résultats futurs. L'affirmation du joueur est l'erreur du joueur (gambler's fallacy).

c) Après dix Piles, notons $T_{n-10}$ le nombre de Piles dans les lancers suivants. La fréquence observée vaut $(10+T_{n-10})/n$ , et non $$(10+(n-10)/2)/n$$ exactement.

La dernière expression est son espérance conditionnelle sachant les dix premiers Piles :

\frac{10+(n-10)/2}{n}=\frac12+\frac5n.

Les lancers suivants gardent une probabilité de Pile $$1/2$$ . Le poids des dix résultats connus tend vers zéro ; aucune compensation n'est imposée aux résultats futurs.

Exercice 12

a) Chaque client fait une réclamation ( $$1000$$ €) avec $$p=0{,}05$$ , indépendamment. Le nombre de réclamations $N\sim\mathcal{B}(10000\,;\,0{,}05)$ et $$S_n=1000N$$ .

\[E(N)=500.\]

E(S_n)=500\,000

€.

\begin{aligned}V(N) &= 10000\times 0{,}05\times 0{,}95\\[.35em]&= 475.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma(N) &= \sqrt{475}\\[.35em]&\approx 21{,}8.\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma(S_n) &= 1000\sigma(N)\\[.35em]&\approx 21\,800\end{aligned}

€.

\begin{aligned}R &= 10000\times 60\\[.35em]&= 600\,000\end{aligned}

€.

\begin{aligned}P(S_n>R) &= P(S_n>600\,000)\\[.35em]&= P(S_n-500\,000>100\,000).\end{aligned}

\begin{aligned}&P(|S_n-500\,000|\geqslant 100\,000)\\&\leqslant \frac{V(S_n)}{100\,000^2}\\&= \frac{1000^2\times 475}{10^{10}}\\&= \frac{475\,000\,000}{10^{10}}\\&= 0{,}0475\\&\approx 4{,}8\%.\end{aligned}

Or $P(S_n>600\,000)\leqslant P(|S_n-500\,000|\geqslant 100\,000)\leqslant 4{,}8\%$ .

Sous ce modèle, la probabilité que les seuls remboursements dépassent les primes est au plus $$0{,}0475$$ . Les autres coûts et les sinistres dépendants ne sont pas inclus ; la borne n'est donc pas une garantie générale sur une activité d'assurance.

Exercice 13

a) $V(f_n)=\frac{p(1-p)}{n}\leqslant\frac{1}{4n}$ car $p(1-p)\leqslant\frac{1}{4}$ (maximum en $p=\frac{1}{2}$ ).

Par Tchebychev : $P(|\overline{X}_n-p|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(f_n)}{\delta^2}\leqslant\frac{1}{4n\delta^2}$ .

b) $\frac{1}{4n\delta^2}\leqslant\alpha\iff n\geqslant\frac{1}{4\alpha\delta^2}$ .

\delta=0{,}02,

\alpha=0{,}01

n\geqslant\frac{1}{4\times 0{,}01\times 0{,}0004}=\frac{1}{0{,}000016}=62\,500.

d) $\frac{1}{4\times 2500\times\delta^2}\leqslant 0{,}05\iff\delta\geqslant\frac{1}{\sqrt{500}}\approx 0{,}0447$ .

Le procédé produit l'intervalle exact $[0{,}48-1/\sqrt{500};0{,}48+1/\sqrt{500}]$ . L'arrondi extérieur $$[0{,}435;0{,}525]$$ conserve une couverture d'au moins $95\%$ ; il ne constitue pas une certitude sur $$p$$ après observation.

Exercice 14

a) Posons $Z=X-\mu$ , $t=a-\mu>0$ et $b\geqslant0$ . Si $Z\geqslant t$ , alors $Z+b\geqslant t+b>0$ , donc $(Z+b)^2\geqslant(t+b)^2$ . Markov donne

\begin{aligned}P(Z\geqslant t)&\leqslant P((Z+b)^2\geqslant(t+b)^2)\\[.35em]&\leqslant\frac{E((Z+b)^2)}{(t+b)^2}\\[.35em]&=\frac{\sigma^2+b^2}{(t+b)^2}.\end{aligned}

Le terme croisé est nul car $$E(Z)=0$$ . Pour $\sigma^2>0$ , choisir $b=\sigma^2/t$ donne, après simplification,

P(X\geqslant a)\leqslant\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}.

Si $\sigma^2=0$ , $X=\mu$ avec probabilité 1, donc l'événement est de probabilité nulle. La preuve est complète ; appliquer seulement Tchebychev n'aurait pas donné cette borne.

b) Pour $\mathcal B(100;0{,}5)$ et $$a=70$$ , Markov donne $$5/7$$ , Tchebychev $$1/16$$ et Cantelli $$25/(25+400)=1/17$$ . La probabilité calculée par la loi est environ $$0{,}0000393$$ . Ces trois majorations sont donc larges ; Cantelli est la plus petite des trois dans cet exemple.

Corrigé du problème : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Partie A : La loi géométrique

1. $$T=k$$ signifie : les $$k-1$$ premiers lancers sont Face, le $$k$$ -ème est Pile.

\begin{aligned}P(T=k) &= \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^{k-1}\times\frac{1}{2}\\[.35em]&= \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k.\end{aligned}

\begin{aligned}\sum_{k=1}^{+\infty}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k &= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}

C'est bien une loi de probabilité.

3. $E(T)=\sum_{k=1}^{+\infty}k\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k$ . On utilise $\sum_{k=1}^{+\infty}kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}$ pour $$|x|<1$$ .

Avec $x=\frac{1}{2}$ :

\begin{aligned}E(T) &= \frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2}\\[.35em]&= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

En moyenne, Pile apparaît au $$2$$ ^e lancer.

4. $E(T^2)=\sum_{k=1}^{+\infty}k^2\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k$ . On utilise $\sum k^2x^k=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ .

\begin{aligned}E(T^2) &= \frac{\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}}{\frac{1}{8}}\\[.35em]&= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}\\[.35em]&= 6.\end{aligned}

\begin{aligned}V(T) &= E(T^2)-[E(T)]^2\\[.35em]&= 6-4\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

\sigma(T)=\sqrt{2}.

Partie B : Le paradoxe

\begin{aligned}E(G) &= \sum_{k=1}^{+\infty}2^k\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k\\[.35em]&= \sum_{k=1}^{+\infty}1\\[.35em]&= +\infty.\end{aligned}

Chaque terme de la somme vaut $$1$$ , et il y en a une infinité. L'espérance est donc infinie.

6. Le paradoxe : l'espérance infinie suggère de payer n'importe quel prix pour jouer, mais en pratique :

$\bullet$ Avec probabilité $\frac{1}{2}$ , on gagne $$2$$ € (Pile au $$1$$ ^er lancer).

$\bullet$ Avec probabilité $\frac{3}{4}$ , on gagne au plus $$4$$ €.

$\bullet$ Avec probabilité $\frac{127}{128}\approx 99\%$ , on gagne au plus $$128$$ €.

Les gains énormes ( $2^{20}\approx 1$ million) ont une probabilité infime ( $\approx 10^{-6}$ ). L'espérance infinie est tirée par des événements extrêmement rares. Le joueur réel, lui, ne joue qu'un nombre fini de fois et peut ne pas observer ces gains très rares.

Raisons du paradoxe : l'espérance n'est pas un bon critère de décision quand la distribution est à queue lourde (espérance non finie dans ce jeu), car les événements rares dominent le calcul.

7. La version démontrée ici demande une espérance et une variance finies. Or $E(G)=+\infty$ : la variance usuelle centrée autour d'une espérance finie n'est même pas définie. On ne peut donc pas appliquer ce théorème à $$G$$ .

On peut aller plus loin avec la partie C. Pour toute constante $$A$$ , choisir un entier $$M$$ tel que $$M+1>A$$ . Les gains tronqués $$G_M$$ sont bornés et indépendants de même loi, donc leur moyenne converge en probabilité vers $$M+1$$ . Comme chaque gain complet domine le gain tronqué, la probabilité que la moyenne complète dépasse $$A$$ tend vers 1. Cette conclusion supplémentaire est justifiée par les troncatures, et non par la seule absence d'une hypothèse.

Partie C : Résolution par le gain tronqué

G_M=\min(2^T,2^M).

Pour $k\leqslant M$ :

\[G_M=2^k\]

avec

P(T=k)=(\frac{1}{2})^k.

Pour $$k>M$$ :

\[G_M=2^M.\]

\begin{aligned}E(G_M) &= \sum_{k=1}^{M}2^k\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k+2^M\cdot P(T>M)\\[.35em]&= \sum_{k=1}^M 1+2^M\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^M\\[.35em]&= M+1.\end{aligned}

Car

\begin{aligned}P(T>M) &= \sum_{k=M+1}^{+\infty}(\frac{1}{2})^k\\[.35em]&= (\frac{1}{2})^M.\end{aligned}

9. $E(G_{20})=21$ €. Avec un gain maximal de $2^{20}\approx 1\,048\,576$ €, l'espérance n'est que de $$21$$ €. Une mise de 21 euros annule l'espérance du gain net dans ce modèle. Cela n'impose pas à une personne d'accepter ce risque.

10. (Bonus)

\begin{aligned}E(\ln G) &= E(T\ln 2)\\[.35em]&= (\ln 2)\,E(T)\\[.35em]&= 2\ln 2\\[.35em]&\approx 1{,}39.\end{aligned}

Le gain certain dont le logarithme vaut cette utilité moyenne est $\exp(2\ln2)=4$ euros. Il s'agit d'un équivalent certain du gain brut pour cette transformation, pas d'une mise universellement acceptable. Un modèle de décision sur une mise doit aussi préciser la richesse initiale et l'utilité de la richesse finale.

$\(n\)$	1	2	3	4	5	6
Somme $\(S_n\)$	1	7	13	14	15	21
Moyenne $\(S_n/n\)$	1	$\(3{,}5\)$	$\(13/3\)$	$\(3{,}5\)$	3	$\(3{,}5\)$

Issue	FF	FP	PF	PP
Probabilité	$\(1/4\)$	$\(1/4\)$	$\(1/4\)$	$\(1/4\)$
$\(X\)$	0	0	1	1
$\(Y\)$	0	2	0	2
$\(X+Y\)$	0	2	1	3

$\(k\)$	$P(\|X-\mu\|\geqslant k\sigma)\leqslant$	$P(\|X-\mu\|<k\sigma)\geqslant$
$\(1\)$	$\(1\)$ (trivial)	$0\%$
$\(2\)$	$\frac{1}{4}=25\%$	$75\%$
$\(3\)$	$\frac{1}{9}\approx 11\%$	$\frac89\approx88{,}9\%$
$\(5\)$	$\frac{1}{25}=4\%$	$96\%$
$\(10\)$	$\frac{1}{100}=1\%$	$99\%$

Événement	Markov sur $\(X\)$	Tchebychev	Probabilité
$X\geqslant60$	$\(5/6\)$	$\(1/4\)$	$\approx0{,}028444$
$X\geqslant70$	$\(5/7\)$	$\(1/16\)$	$\approx0{,}0000393$
$\|X-50\|\geqslant10$	autre variable	$\(1/4\)$	$\approx0{,}056888$
$\|X-50\|\geqslant20$	autre variable	$\(1/16\)$	$\approx0{,}0000785$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« on répète $\(n\)$ fois »	vérifier indépendance et lois des observations
« moyenne observée / empirique »	$\overline{X}_n=\frac{S_n}{n}$
« fréquence »	$f_n=\overline{X}_n$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(p)$
« indépendamment »	variance additive ; autres hypothèses de la LGN à vérifier
« intervalle de confiance »	préciser modèle, risque et demi-largeur
« majorer la probabilité que »	Markov ou Tchebychev
« montrer que $\overline{X}_n$ se concentre »	inégalité de concentration
« en déduire la convergence »	théorème des gendarmes
« combien d'essais pour »	résoudre $\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\leqslant\alpha$
« fluctuation »	intervalle $[p-\delta\,;\,p+\delta]$

Résultat	Formule
Linéarité de $\(E\)$	$\(E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c\)$
Variance (transf. affine)	$\(V(aX+b)=a^2 V(X)\)$
$\(V\)$ si indépendantes	$\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)$
Somme $\(S_n\)$ (i.i.d.)	$E(S_n)=n\mu,\quad V(S_n)=n\sigma^2$
Moyenne $\overline{X}_n$	$E(\overline{X}_n)=\mu,\quad V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$
Markov	$P(X\geqslant a)\leqslant\frac{E(X)}{a}\quad(X\geqslant 0)$
Tchebychev	$P(\|X-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(X)}{\delta^2}$
Concentration	$P(\|\overline{X}_n-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\delta^2}$
LGN	$\overline{X}_n\xrightarrow[n\to+\infty]{P}\mu$
Couverture au moins $75\%$	$I_n=[f_n-1/\sqrt n;f_n+1/\sqrt n]\cap[0;1]$

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi étudier la somme de variables aléatoires ?

De quoi parle-t-on ?

Les applications concrètes

L'idée directrice

L'idée avant la formule

L'expérience du lancer de dé

Pourquoi \(\sqrt{n}\) et pas \(n\) ?

Fréquence et probabilité : le pont

Le cours formel

Rappels : espérance, variance, écart-type

Somme de deux variables aléatoires

Somme de \(n\) variables indépendantes de même loi

La moyenne empirique \(\overline{X}_n\)

Un outil pour la preuve : inégalité de Markov

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de concentration

Loi (faible) des grands nombres

Approfondissement : intervalle de fluctuation et estimation

Cas particulier : retour sur la loi binomiale

Approfondissement : covariance

Somme de VA non identiquement distribuées

Comparaison des inégalités : Markov vs Tchebychev vs exact

Théorème central limite (culture : pour la prépa)

Simulation Python de la loi des grands nombres

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Espérance et variance d'une somme

Exercice 2 ★☆☆ : Somme de Bernoulli

Exercice 3 ★☆☆ : Moyenne empirique

Exercice 4 ★★☆ : Tchebychev

Exercice 5 ★★☆ : Concentration de la fréquence

Exercice 6 ★★☆ : Loi des grands nombres en action

Exercice 7 ★★☆ : Intervalle de confiance

Exercice 8 ★★☆ : Gain moyen au casino

Exercice 9 ★★☆ : Démonstrations de cours

Exercice 10 ★★☆ : Variance d'une somme non indépendante

Exercice 11 ★★☆ : Erreur du joueur

Exercice 12 ★★☆ : Assurance

Exercice 13 ★★★ : Vitesse de convergence et taille d'échantillon

Exercice 14 ★★★ : Inégalité de Markov améliorée

Problème : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg ★★★

Corrigés détaillés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Corrigé du problème : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Fiche mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions

Pourquoi $\sqrt{n}$ et pas $\(n\)$ ?

Somme de $\(n\)$ variables indépendantes de même loi

La moyenne empirique $\overline{X}_n$