Géométrie, mesures et volumes · Seconde professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Sur un plan, 1 cm représente 4 m. Que représentent 3 cm ?

7 m12 m0,75 m

2. Deux angles d’un triangle mesurent 35° et 65°. Combien mesure le troisième ?

100°80°90°

3. Combien font 7 groupes de 8 objets ?

641556

4. Quel nombre désigne √49 ?

−7Les deux nombres 7 et −77

5. Un quart de tour représente quel angle ?

90°180°45°

Pourquoi ce chapitre ?

Un projet concret associe longueurs, aires, volumes et échelle. Les dessins guident le raisonnement, mais chaque calcul doit garder sa grandeur et son unité. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Longueurs, périmètres et aires.
Calculer une longueur et vérifier un angle droit.
Utiliser une configuration de Thalès.
Reconnaître des solides et calculer leur volume.
Agrandir une figure ou un solide.

L’idée avant la formule

Une longueur agrandie par k multiplie une aire par k² et un volume par k³. Cette distinction évite de convertir un plan comme s’il représentait directement une quantité de matière.

Le cours formel

Longueurs, périmètres et aires

Intuition · Construire la notion pas à pas

Identifier ce que l'on mesure. Le périmètre mesure un contour : son unité est une longueur. L'aire mesure une surface : son unité est le carré d'une longueur. Une bordure et une peinture de la même plaque demandent donc des calculs différents.

Relier les formules à la figure. Le rectangle contient L fois l unités carrées lorsque ses côtés mesurent L et l dans la même unité, d'où $$A=Ll$$ . Son contour comporte deux côtés de chaque longueur, d'où $$P=2(L+l)$$ . Un triangle a la moitié de l'aire du parallélogramme de même base et de même hauteur : $$A=bh/2$$ .

Choisir les bonnes dimensions. La hauteur d'un triangle est perpendiculaire à la base choisie ; un côté oblique n'est pas forcément une hauteur. Pour un disque, la formule d'aire utilise le rayon, moitié du diamètre : $A=\pi r^2$ .

Décomposer sans chevauchement. Une figure composée peut être partagée en surfaces connues. On ajoute les parties juxtaposées et l'on soustrait les trous. Avant cela, on convertit les longueurs dans une unité commune et l'on conserve les unités d'aire jusqu'au résultat.

Calculer une longueur et vérifier un angle droit

Intuition · Construire la notion pas à pas

Identifier l'angle droit. Le théorème de Pythagore s'applique à un triangle rectangle. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est aussi le plus long. On place ce côté seul dans l'égalité des carrés.

Choisir addition ou soustraction. Pour rechercher l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux petits côtés. Pour rechercher un petit côté, on soustrait son partenaire au carré de l'hypoténuse. On prend ensuite la racine positive parce que la longueur cherchée est positive.

Distinguer calcul et vérification. Si le triangle est déjà connu rectangle, le théorème calcule une longueur. Si l'on connaît les trois côtés et que l'on veut prouver un angle droit, on utilise la réciproque : le carré du plus grand doit égaler la somme des deux autres carrés.

Ne pas faire confiance à la seule apparence. Une perspective ou un dessin imprécis peut suggérer un angle droit sans le prouver. Pour des mesures arrondies, une égalité approximative doit aussi être distinguée d'une preuve exacte sur les longueurs théoriques.

Schéma : Calculer une longueur et vérifier un angle droit

Utiliser une configuration de Thalès

Intuition · Construire la notion pas à pas

Repérer une réduction de triangle. Dans un triangle ABC, des points M et N sur les côtés issus de A et une droite MN parallèle à BC forment un petit triangle de même forme. Les longueurs correspondantes sont alors multipliées par un même coefficient.

Associer les bons côtés. AM correspond à AB, AN à AC et MN à BC. Pour comparer petit sur grand, tous les rapports doivent conserver cet ordre :

\begin{aligned}AM/AB &= AN/AC\\[.35em] &= MN/BC.\end{aligned}

Inverser seulement un rapport détruit la proportionnalité.

Calculer avec un coefficient commun. Une paire de longueurs connue fournit le coefficient k. Une longueur du petit triangle est k fois la longueur correspondante du grand. Si les points sont à l'intérieur des côtés, $0\le k\le1$ et les longueurs réduites ne doivent pas dépasser les grandes.

Utiliser la réciproque dans le bon sens. Si l'on veut prouver le parallélisme, on ne peut pas le supposer pour appliquer directement le théorème. On vérifie les alignements, l'ordre des points et l'égalité des rapports, puis on invoque la réciproque.

Reconnaître des solides et calculer leur volume

Intuition · Construire la notion pas à pas

Identifier la base et la hauteur. Pour un prisme droit, le volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur. Le pavé et le cylindre en sont des exemples. La hauteur est mesurée perpendiculairement aux plans des bases.

Choisir la formule du solide. Un pavé donne $$Llh$$ , un cube $$a^3$$ , un cylindre $\pi r^2h$ . Un cône ou une pyramide de même base et hauteur possède le tiers de ce produit. La forme du solide détermine donc le facteur à utiliser.

Respecter les trois dimensions. Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. Le produit de trois longueurs donne une unité cubique. Comme $1\,\mathrm{dm}=10\,\mathrm{cm}$ , on a $1\,\mathrm{dm}^3=1\,000\,\mathrm{cm}^3$ , ce qui correspond à un litre.

Traiter les solides composés. On ajoute des volumes disjoints et l'on soustrait le volume d'un trou. Il faut identifier la longueur réellement traversée par le trou, pas seulement son rayon. On vérifie enfin que le volume restant est positif et inférieur au volume initial.

Agrandir une figure ou un solide

Intuition · Construire la notion pas à pas

Appliquer le même rapport dans toutes les directions. Un agrandissement de rapport positif k multiplie chaque longueur par k et conserve les angles. Les formules sur les aires et volumes supposent cette similitude ; étirer seulement une dimension n'est pas un agrandissement uniforme.

Comprendre les puissances. Une aire rectangulaire $$Ll$$ devient $$(kL)(kl)=k^2Ll$$ . Un volume $$Llh$$ devient $$(kL)(kl)(kh)=k^3Llh$$ . Les exposants 2 et 3 viennent donc du nombre de dimensions multipliées.

Lire une échelle. À l'échelle 1:s, une longueur sur le plan correspond à s fois cette longueur en réalité, dans la même unité. Pour retrouver une longueur du plan, on divise au contraire la longueur réelle par s.

Retrouver un rapport à partir d'une aire ou d'un volume. Si le volume doit être multiplié par v, on cherche $$k^3=v$$ , donc $k=\sqrt[3]v$ . Le rapport des longueurs n'est pas égal au rapport des volumes. Les conversions d'unités se traitent avec le même soin dimensionnel.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Rectangle ★☆☆

Un rectangle mesure 7 cm sur 4 cm. Calcule son périmètre et son aire.

Exercice 2 : Une diagonale ★☆☆

Un rectangle mesure 6 cm sur 8 cm. Calcule sa diagonale.

Exercice 3 : Un rapport de réduction ★☆☆

Deux triangles semblables ont un coefficient de réduction $$0{,}6$$ . Un côté du grand vaut 12 cm. Combien vaut le côté correspondant du petit ?

Exercice 4 : Pavé droit ★☆☆

Une boîte mesure 30 cm sur 20 cm sur 10 cm. Calcule son volume en $\mathrm{cm}^3$ puis en litres.

Exercice 5 : Lire une échelle ★☆☆

À l’échelle 1:200, un mur mesure 4 cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?

Exercice 6 : Rayon ou diamètre ★★☆

Un disque a un diamètre de 10 cm. Calcule son aire exacte et arrondie au dixième.

Exercice 7 : Un côté manquant ★★☆

Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de 5 cm. Calcule l’autre côté.

Exercice 8 : Une longueur par Thalès ★★☆

Dans ABC, $$AM=3$$ , $$AB=8$$ , $$AC=12$$ , $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ et $MN\parallel BC$ . Calcule AN.

Exercice 9 : Un cône ★★☆

Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm. Avec $V=\pi r^2h/3$ , calcule son volume exact.

Exercice 10 : Réduire une aire ★★☆

Une figure d’aire $120\,\mathrm{cm}^2$ est réduite avec $$k=0{,}5$$ . Quelle est la nouvelle aire ?

Exercice 11 : Surface composée ★★★

Une enseigne est formée d’un rectangle de 6 m sur 2 m surmonté d’un triangle de base 6 m et hauteur 1,5 m, sans chevauchement. Calcule l’aire totale.

Exercice 12 : Contrôler l’équerrage ★★★

Un triangle a des côtés 9, 12 et 15 cm. Est-il rectangle ? Et pour 9, 12 et 16 cm ?

Exercice 13 : Vérifier un parallélisme ★★★

M est sur [AB], N sur [AC], avec $$AM=4$$ , $$AB=10$$ , $$AN=6$$ , $$AC=15$$ . Peut-on prouver $MN\parallel BC$ ?

Exercice 14 : Un volume percé ★★★

Un cube d’arête 6 cm est percé d’un trou cylindrique de rayon 1 cm traversant deux faces opposées perpendiculairement. Calcule le volume restant.

Exercice 15 : Doubler un volume ★★★

On veut doubler le volume d’un cube. Faut-il doubler son arête ? Quel rapport d’arête convient ?

Problème : Pour aller plus loin

Préparer un abri et sa réserve

Un abri a une base rectangulaire de 6 m sur 4 m. Son toit symétrique forme deux triangles rectangles en coupe, de demi-largeur 2 m et de hauteur 1,5 m. Une cuve cylindrique a un rayon de 0,5 m et une hauteur de 1,2 m.

Calcule la longueur inclinée d’un versant du toit.
Calcule l’aire totale des deux rectangles de toiture, hors débords.
Calcule le volume de la cuve en $m^{3}$ puis en litres.
Sur un plan au 1:100, donne les dimensions de la base de l’abri.
Sur un triangle semblable, une demi-largeur de 3 m remplace 2 m. Calcule la hauteur correspondante et justifie.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La longueur inclinée est l’hypoténuse du triangle rectangle de coupe.

Construire la réponse.
1. Les côtés de l’angle droit mesurent 2 m et 1,5 m.
2. Pythagore donne
  $\begin{aligned}\ell^2 &= 2^2+1{,}5^2\\[.35em] &= 4+2{,}25\\[.35em] &= 6{,}25.\end{aligned}$
3. Une longueur étant positive,
  $\begin{aligned}\ell &= \sqrt{6{,}25}\\[.35em] &= 2{,}5\end{aligned}$
  m.
Vérifier. L’hypoténuse 2,5 m est plus longue que chacun des côtés 2 m et 1,5 m.

Conclure. La longueur inclinée d’un versant est de 2,5 m.
Comprendre la question. La toiture possède deux rectangles dont la largeur réelle suit la pente.

Construire la réponse.
1. Chaque versant a pour dimensions 6 m et 2,5 m.
2. Son aire vaut $6\times2{,}5=15$ $m^{2}$ .
3. Les deux versants donnent $2\times15=30$ $m^{2}$ , hors débords.
Vérifier. Employer la demi-largeur horizontale 2 m donnerait seulement une projection du toit, pas sa surface inclinée.

Conclure. L’aire totale de toiture est de 30 $m^{2}$ .
Comprendre la question. La cuve est un cylindre : son volume est l’aire du disque de base multipliée par la hauteur.

Construire la réponse.
1. Le rayon est 0,5 m, donc l’aire de base vaut $\pi(0{,}5)^2=0{,}25\pi$ $m^{2}$ .
2. Le volume vaut $0{,}25\pi\times1{,}2=0{,}3\pi$ $m^{3}$ .
3. Un mètre cube vaut 1000 litres : le volume est donc $300\pi\approx942{,}48$ litres.
Vérifier. La conversion multiplie par 1000 et non par 100. Le rayon fourni est déjà la moitié du diamètre : on ne le divise pas encore par deux.

Conclure. La cuve contient $0{,}3\pi$ $m^{3}$ , soit environ 942,48 litres.
Comprendre la question. L’échelle 1:100 divise les longueurs réelles par 100 dans une même unité.

Construire la réponse.
1. 6 m valent 600 cm et 4 m valent 400 cm.
2. Les longueurs sur le plan sont $$600/100=6$$ cm et $$400/100=4$$ cm.
Vérifier. Une longueur de 1 cm sur ce plan correspond à 100 cm, soit 1 m réel.

Conclure. La base se dessine comme un rectangle de 6 cm sur 4 cm.
Comprendre la question. Des triangles semblables ont des côtés correspondants proportionnels.

Construire la réponse.
1. La demi-largeur passe de 2 à 3 m : le coefficient est
  $\begin{aligned}k &= 3/2\\[.35em] &= 1{,}5.\end{aligned}$
2. La hauteur est multipliée par le même coefficient : $1{,}5\times1{,}5=2{,}25$ m.
Vérifier. Le rapport hauteur sur demi-largeur reste

\[\begin{aligned}1{,}5/2 &= 2{,}25/3\\[.35em] &= 0{,}75.\end{aligned}\]

Conclure. La hauteur correspondante est 2,25 m, sous l’hypothèse de similitude donnée.

Variante autonome et bilan

Un cylindre de rayon 0,4 m et hauteur 1 m est agrandi avec un coefficient 2. Compare les volumes.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Un agrandissement multiplie les trois dimensions, donc le volume par le cube du coefficient.

Construire la réponse.

Le volume initial est
$\begin{aligned}V &= \pi(0{,}4)^2\times1\\[.35em] &= 0{,}16\pi\end{aligned}$
$m^{3}$ .
Après agrandissement, le rayon est 0,8 m et la hauteur 2 m.
Le nouveau volume vaut $\pi(0{,}8)^2\times2=1{,}28\pi$ $m^{3}$ .

Vérifier. Le quotient des volumes est

\begin{aligned}1{,}28/0{,}16 &= 8\\[.35em] &= 2^3.\end{aligned}

Conclure. Le volume est multiplié par 8, passant de 0,16 pi à 1,28 pi $m^{3}$ .

Je peux expliquer : longueurs, périmètres et aires.
Je peux expliquer : calculer une longueur et vérifier un angle droit.
Je peux expliquer : utiliser une configuration de thalès.
Je peux expliquer : reconnaître des solides et calculer leur volume.
Je peux expliquer : agrandir une figure ou un solide.

Fiche-mémoire

Longueurs, périmètres et aires.

Précise si la question porte sur une longueur de contour ou une aire.
Identifie les formes et les dimensions utiles, notamment rayon et hauteur perpendiculaire.
Convertis les longueurs dans une même unité.
Calcule chaque partie, puis additionne ou soustrais selon la figure.
Garde une valeur exacte si possible et contrôle l’unité ainsi que l’ordre de grandeur.

Calculer une longueur et vérifier un angle droit.

Justifie que le triangle est rectangle, ou annonce que tu testes la réciproque.
Identifie l’hypoténuse ou le plus grand côté.
Écris l’égalité symbolique des carrés avant les calculs.
Isole le carré recherché puis prends la racine positive.
Vérifie l’égalité obtenue, l’unité et la cohérence avec le plus grand côté.

Utiliser une configuration de Thalès.

Vérifie les alignements, l’ordre des points et le parallélisme donné ou recherché.
Associe les côtés correspondants des deux triangles.
Écris tous les rapports dans le même sens.
Calcule le coefficient ou la longueur par proportionnalité.
Contrôle l’ordre de grandeur ; pour une preuve de parallélisme, cite la réciproque après vérification des hypothèses.

Reconnaître des solides et calculer leur volume.

Identifie le solide et sa formule de volume.
Repère rayon ou diamètre, aire de base et hauteur perpendiculaire.
Convertis toutes les longueurs dans une même unité avant le produit.
Additionne ou soustrais les volumes utiles, en conservant une valeur exacte si possible.
Convertis l’unité cubique ou la capacité et contrôle la taille du résultat.

Agrandir une figure ou un solide.

Identifie le rapport dans le sens départ vers arrivée et vérifie qu’il est uniforme.
Distingue longueur, aire et volume.
Utilise respectivement k, $$k^2$$ ou $$k^3$$ .
Si le rapport de surface ou de volume est donné, retrouve k avec la racine adaptée.
Contrôle les unités et le sens agrandissement ou réduction.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Longueurs, périmètres et aires

Calculer une longueur et vérifier un angle droit

Utiliser une configuration de Thalès

Reconnaître des solides et calculer leur volume

Agrandir une figure ou un solide

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Rectangle ★☆☆

Exercice 2 : Une diagonale ★☆☆

Exercice 3 : Un rapport de réduction ★☆☆

Exercice 4 : Pavé droit ★☆☆

Exercice 5 : Lire une échelle ★☆☆

Exercice 6 : Rayon ou diamètre ★★☆

Exercice 7 : Un côté manquant ★★☆

Exercice 8 : Une longueur par Thalès ★★☆

Exercice 9 : Un cône ★★☆

Exercice 10 : Réduire une aire ★★☆

Exercice 11 : Surface composée ★★★

Exercice 12 : Contrôler l’équerrage ★★★

Exercice 13 : Vérifier un parallélisme ★★★

Exercice 14 : Un volume percé ★★★

Exercice 15 : Doubler un volume ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Préparer un abri et sa réserve

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions