Factures, marges et intérêts simples · Seconde professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

2. Parmi 80 objets, 20 sont rouges. Quelle est la proportion d’objets rouges ?

20/80 = 1/480/20 = 420/100 = 1/5

3. Quelle valeur de N vérifie N/4 = 15 ?

3,756011

4. A coûte 9 € pour 3 kg ; B coûte 8 € pour 2 kg. Quel achat coûte le moins par kilogramme ?

Ils coûtent autantAB

5. Que vaut (3/4) × (8/9) ?

2/311/133/2

Pourquoi ce chapitre ?

Une opération commerciale demande de distinguer le prix d’achat, la taxe, la marge et le financement. Les bases doivent rester visibles à chaque étape. Ton parcours. Module destiné aux spécialités de baccalauréat professionnel ne comportant pas d’enseignement de physique-chimie. Vérifie cette condition dans le parcours de ta spécialité.

Lire et construire une facture.
Réductions successives et escompte.
Marge, taux de marge et taux de marque.
Les intérêts simples.
Contrôler un document commercial.

L’idée avant la formule

Un taux de marge porte sur le coût d’achat ; un taux de marque porte sur le prix de vente. La taxe n’est pas une marge et les intérêts représentent encore une autre grandeur.

Le cours formel

Lire et construire une facture

Intuition · Construire la notion pas à pas

Identifier chaque montant. Un prix unitaire concerne un seul article ; le montant d'une ligne multiplie ce prix par la quantité. HT signifie hors taxes et TTC toutes taxes comprises. Avant de calculer, on vérifie que les montants comparés utilisent la même base.

Construire le passage du HT au TTC. Une taxe au taux décimal t représente $t\times\mathrm{HT}$ . En l'ajoutant à la base, on obtient

\begin{aligned}\mathrm{TTC} &= \mathrm{HT}+t\mathrm{HT}\\[.35em] &= \mathrm{HT}(1+t).\end{aligned}

Le coefficient multiplicateur réunit la base entière et sa taxe.

Inverser l'opération correctement. Pour retrouver le HT, on annule la multiplication en divisant par $$1+t$$ . Retrancher t pour cent du TTC utiliserait le TTC comme base du pourcentage, alors que la taxe avait été calculée sur le HT.

Séparer les taux et les arrondis. Si des lignes ont des taux différents, on calcule chaque taxe sur sa base, puis on additionne. Les taux de ces exercices sont des hypothèses données. La règle d'arrondi doit aussi être connue : un arrondi par ligne peut différer d'un arrondi sur le total.

Définition · Comprendre la notion

Le montant brut hors taxes d'une ligne est le prix unitaire HT multiplié par la quantité. Une réduction commerciale s'applique selon les conditions de l'énoncé. La TVA se calcule ensuite sur la base HT concernée : $\mathrm{TVA}=\mathrm{HT}\times t$ , puis $\mathrm{TTC}=\mathrm{HT}(1+t)$ . Pour retrouver le HT à partir du TTC, divise par $$1+t$$ ; soustraire t pour cent du TTC serait un changement de base incorrect. Plusieurs taux de TVA imposent de séparer les bases correspondantes. Les taux donnés dans les exercices sont des hypothèses de calcul. Conserve la précision pendant les étapes puis arrondis les montants monétaires au centime selon la règle annoncée. Sur une facture réelle, vérifie si l'arrondi est fait par ligne ou sur le total.

Réductions successives et escompte

Intuition · Construire la notion pas à pas

Calculer ce qui reste. Une réduction de taux r enlève $$rP$$ à une base P. Le prix final est donc $$P-rP=P(1-r)$$ . Une remise de 15 pour cent laisse 85 pour cent du prix, d'où le coefficient 0,85.

Respecter les bases successives. Deux réductions s'appliquent généralement l'une après l'autre : la seconde porte sur le prix déjà réduit. Le coefficient global est $$(1-r_1)(1-r_2)$$ et la réduction globale vaut un moins ce produit. Additionner les taux compterait la seconde remise sur une base trop grande.

Lire les conditions de règlement. Le net commercial est obtenu après les réductions commerciales prévues. Un escompte éventuel s'applique ensuite à la base et sous les conditions précisées par l'énoncé. On ne suppose pas son existence ni sa base sur un document incomplet.

Comparer des offres complètes. Une remise plus forte ne garantit pas le prix final le plus bas. Il faut aussi prendre en compte le prix de départ, la quantité, la livraison et la base HT ou TTC. Les prestations comparées doivent être identiques.

Marge, taux de marge et taux de marque

Intuition · Construire la notion pas à pas

Définir les montants sur une même base. Dans ce modèle, la marge commerciale M est le prix de vente HT diminué du coût d'achat HT, avec les frais d'achat annoncés : $$M=PV-CA$$ . On ne compare pas directement un coût HT avec un prix TTC.

Comprendre la différence des taux. Le taux de marge mesure la marge par rapport au coût d'achat : $$M/CA$$ . Le taux de marque la mesure par rapport au prix de vente : $$M/PV$$ . Le numérateur est le même, mais les bases diffèrent.

Retrouver un prix avec un taux de marge. Si $M=t\,CA$ , alors

\begin{aligned}PV &= CA+M\\[.35em] &= CA(1+t).\end{aligned}

On ajoute au coût un pourcentage de ce même coût : un coefficient multiplicateur direct convient.

Retrouver un prix avec un taux de marque. Si $M=m\,PV$ , alors

\begin{aligned}CA &= PV-M\\[.35em] &= PV(1-m).\end{aligned}

Le coût connu représente seulement la part $$1-m$$ du prix final. Il faut donc diviser : $$PV=CA/(1-m)$$ pour $$m<1$$ .

Distinguer marge et bénéfice final. La marge peut encore servir à couvrir d'autres charges. Un pourcentage de marge ne suffit pas à connaître la rentabilité globale si ces charges ne sont pas incluses.

Les intérêts simples

Intuition · Construire la notion pas à pas

Conserver la même base. À intérêts simples, chaque période calcule les intérêts sur le capital initial C. Les intérêts déjà obtenus ne produisent pas eux-mêmes d'intérêts. Avec un taux annuel t, une année produit Ct ; deux années produisent 2Ct.

Rendre la durée compatible avec le taux. Pour un taux annuel, la durée d doit être exprimée en années. Six mois donnent

\begin{aligned}d &= 6/12\\[.35em] &= 0{,}5;\end{aligned}

huit mois donnent $$8/12$$ . On obtient alors $$I=Ctd$$ , où I désigne uniquement les intérêts.

Distinguer intérêts et valeur acquise. La somme finale contient aussi le capital de départ :

\begin{aligned}V &= C+I\\[.35em] &= C(1+td).\end{aligned}

Une question portant sur les intérêts ne demande pas cette somme totale, et inversement.

Lire la convention pour les jours. Une durée de 45 jours peut être convertie en $$45/360$$ ou $$45/365$$ année selon le modèle donné. On ne choisit pas cette convention arbitrairement. Les exercices précisent les taux et les hypothèses ; le calcul ne remplace pas les conditions d'un contrat.

Contrôler un document commercial

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire avant de recalculer. Un document peut mêler quantités, prix unitaires, montants HT, montants TTC, remises et frais. On attribue d'abord un rôle et une unité à chaque nombre. Un total n'est contrôlable que si l'on connaît les éléments qu'il comprend.

Reconstituer les égalités simples. Une ligne sans autre correction doit vérifier quantité fois prix unitaire. Un net doit correspondre au brut diminué des réductions prévues. Une taxe doit être calculée sur la base annoncée et le TTC doit être la somme du HT et de la taxe.

Localiser l'incohérence. Si un total ne convient pas, on chiffre l'écart puis on cherche une explication donnée dans le document : remise, frais, quantité différente ou erreur. On ne crée pas une hypothèse cachée pour forcer l'égalité.

Comprendre l'effet des arrondis. Arrondir chaque ligne puis additionner n'est pas toujours identique à additionner les valeurs exactes puis arrondir une seule fois. Un petit écart peut donc venir de la convention. On vérifie cette convention avant de conclure à une erreur, tout en distinguant les écarts trop grands pour être expliqués ainsi.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une ligne de facture ★☆☆

Calcule le TTC de 5 articles à 12 euros HT avec une TVA supposée de $20\,\%$ .

Exercice 2 : Une remise ★☆☆

Un article à 80 euros bénéficie de $15\,\%$ de remise. Calcule le prix réduit.

Exercice 3 : Une marge en euros ★☆☆

Un article coûte 40 euros HT et se vend 55 euros HT. Calcule la marge.

Exercice 4 : Un an ★☆☆

Calcule les intérêts de 1 500 euros à $4\,\%$ annuel pendant un an.

Exercice 5 : Repérer une erreur de quantité ★☆☆

Une ligne indique 7 articles à 15 euros et un total de 95 euros. Quel total faudrait-il sans autre frais ?

Exercice 6 : Retrouver le HT ★★☆

Un montant TTC est de 132 euros avec un taux supposé de $10\,\%$ . Retrouve HT et taxe.

Exercice 7 : Deux remises ★★☆

Un prix de 200 euros subit $20\,\%$ puis $10\,\%$ de remise. Calcule le prix et le taux global.

Exercice 8 : Deux taux ★★☆

Pour un coût de 80 euros HT et un prix de vente de 100 euros HT, calcule taux de marge et taux de marque.

Exercice 9 : Une durée en mois ★★☆

Calcule les intérêts de 3 600 euros à $5\,\%$ annuel pendant 4 mois.

Exercice 10 : Vérifier une taxe ★★☆

Une facture indique HT = 250 euros, taxe supposée = $20\,\%$ , TTC = 290 euros. Corrige.

Exercice 11 : Deux bases distinctes ★★★

Une facture comporte 100 euros HT taxés à $20\,\%$ et 80 euros HT taxés à $10\,\%$ . Calcule la taxe totale et le TTC.

Exercice 12 : Comparer des offres ★★★

A propose 1 000 euros HT avec $15\,\%$ de remise et 40 euros HT de livraison. B propose 920 euros HT avec $5\,\%$ de remise, livraison incluse. Compare.

Exercice 13 : Fixer un prix ★★★

Un coût d’achat vaut 90 euros HT. Quel prix HT permet un taux de marque de $25\,\%$ ?

Exercice 14 : Retrouver une durée ★★★

À intérêts simples de $6\,\%$ annuel, 2 000 euros rapportent 90 euros. Trouve la durée en mois.

Exercice 15 : Analyser un arrondi ★★★

Trois lignes HT de 0,03 euro sont taxées à $20\,\%$ . Compare la taxe arrondie par ligne et celle arrondie sur le HT total.

Problème : Pour aller plus loin

Contrôler un achat puis fixer un prix

Un lot de 20 articles coûte 15 euros HT par article, avec une remise de 10 %. La TVA supposée est de 20 %. Le commerçant vise ensuite un taux de marque de 25 % sur le coût unitaire HT net.

Calcule le brut HT, le net HT, la taxe et le TTC.
Calcule le coût unitaire HT après remise.
Détermine le prix de vente HT pour le taux de marque demandé.
Calcule la marge unitaire et le taux de marge correspondant.
Le net HT est financé à 4 % annuel simple pendant 3 mois. Calcule les intérêts, sans frais supplémentaires.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On compare deux ordres d’arrondi au centime, avec les mêmes bases et le même taux.

Construire la réponse.

Pour une ligne, la taxe exacte est $0{,}03\times0{,}20=0{,}006$ euro. Arrondie au centime, elle vaut 0,01 euro.
En arrondissant chacune des trois lignes, la taxe totale devient $3\times0{,}01=0{,}03$ euro.
En regroupant d’abord le HT, on obtient $3\times0{,}03=0{,}09$ euro. Sa taxe exacte vaut $0{,}09\times0{,}20=0{,}018$ euro.
L’arrondi final de 0,018 donne 0,02 euro.

Vérifier. L’écart entre les méthodes vaut un centime. Les calculs avant arrondi portent sur la même taxe exacte 0,018 ; c’est la répétition des arrondis qui crée la différence.

Conclure. La taxe arrondie vaut 0,03 euro par somme des lignes, contre 0,02 euro par arrondi global ; il faut connaître la convention retenue.

Corrigé du problème

Comprendre la question. On suit les étapes de la facture dans l’ordre : brut, remise, taxe, TTC.

Construire la réponse.
1. Le brut HT vaut $20\times15=300$ euros.
2. La remise de $10\,\%$ conserve 90 % : le net HT vaut $300\times0{,}90=270$ euros.
3. La TVA supposée porte sur ce net : $270\times0{,}20=54$ euros.
4. Le TTC vaut $$270+54=324$$ euros, ou $270\times1{,}20$ .
Vérifier. La remise est de 30 euros. La taxe n’est pas calculée sur le brut de 300 euros, mais sur le net de 270 euros.

Conclure. Brut HT : 300 euros ; net HT : 270 euros ; taxe : 54 euros ; TTC : 324 euros.
Comprendre la question. Le coût net du lot se répartit sur vingt articles identiques.

Construire la réponse.
1. Le coût unitaire est $$270/20=13{,}50$$ euros HT.
2. On retrouve aussi $15\times0{,}90=13{,}50$ euros en appliquant la remise à un article.
Vérifier. $20\times13{,}50=270$ euros HT reconstitue le coût du lot.

Conclure. Le coût unitaire HT net est de 13,50 euros.
Comprendre la question. Le taux de marque utilise le prix de vente comme base, pas le coût d’achat.

Construire la réponse.
1. Notons P le prix de vente HT. La marge vaut $$P-13{,}50$$ .
2. Le taux de marque de 25 % impose $$(P-13{,}50)/P=0{,}25$$ .
3. On obtient $$P-13{,}50=0{,}25P$$ , donc $$0{,}75P=13{,}50$$ et $$P=18$$ euros.
Vérifier. La marge est alors $$18-13{,}50=4{,}50$$ et $$4{,}50/18=0{,}25$$ , conformément à l’objectif.

Conclure. Le prix de vente HT doit être fixé à 18 euros.
Comprendre la question. La même marge donne deux taux différents selon la base retenue.

Construire la réponse.
1. La marge unitaire est $$18-13{,}50=4{,}50$$ euros.
2. Le taux de marge divise par le coût :
  $\begin{aligned}4{,}50/13{,}50 &= 1/3\\[.35em] &\approx 33{,}33\,\%.\end{aligned}$
3. Le taux de marque divise par le prix de vente : $4{,}50/18=25\,\%$ .
Vérifier. Le coût est plus petit que le prix de vente : avec le même numérateur, le taux calculé sur le coût est donc plus grand.

Conclure. La marge est 4,50 euros ; le taux de marge est environ 33,33 %, tandis que le taux de marque est 25 %.
Comprendre la question. Le financement porte sur le net HT et utilise un taux annuel simple.

Construire la réponse.
1. Le capital financé est 270 euros, le taux 0,04 et la durée $$3/12=0{,}25$$ année.
2. Les intérêts simples valent
  $\begin{aligned}I &= 270\times0{,}04\times0{,}25\\[.35em] &= 2{,}70\end{aligned}$
  euros.
Vérifier. Une année entière coûterait $270\times0{,}04=10{,}80$ euros d’intérêts ; un quart d’année coûte bien 2,70 euros.

Conclure. Les intérêts du financement, sans frais supplémentaires, sont de 2,70 euros.

Variante autonome et bilan

Un article coûte 24 euros HT après remise. Fixe le prix HT pour un taux de marge de 25 %, puis calcule le taux de marque.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante impose un taux de marge, donc un pourcentage calculé sur le coût.

Construire la réponse.

La marge voulue vaut $24\times0{,}25=6$ euros.
Le prix de vente HT est $$24+6=30$$ euros, ou $24\times1{,}25$ .
Le taux de marque correspondant est
$\begin{aligned}6/30 &= 0{,}20\\[.35em] &= 20\,\%.\end{aligned}$

Vérifier. Le taux de marge reste $6/24=25\,\%$ . Les deux taux diffèrent parce que leurs dénominateurs diffèrent.

Conclure. Le prix HT est 30 euros et le taux de marque 20 %.

Je peux expliquer : lire et construire une facture.
Je peux expliquer : réductions successives et escompte.
Je peux expliquer : marge, taux de marge et taux de marque.
Je peux expliquer : les intérêts simples.
Je peux expliquer : contrôler un document commercial.

Fiche-mémoire

Lire et construire une facture.

Repère quantité, prix unitaire, base HT ou TTC et taux supposé.
Calcule le brut puis les réductions applicables dans l’ordre annoncé.
Calcule séparément chaque taxe sur sa base HT.
Additionne HT et taxe, ou divise le TTC par $$1+t$$ pour le calcul inverse.
Contrôle les égalités et applique la règle d’arrondi prévue.

Réductions successives et escompte.

Identifie la base de chaque remise et les conditions de son application.
Transforme chaque taux r en coefficient $$1-r$$ .
Applique les coefficients dans l’ordre du document et ajoute les frais à l’étape prévue.
Pour un taux global, calcule un moins le coefficient multiplicatif total.
Compare les prix finaux pour les mêmes quantités, prestations et bases fiscales.

Marge, taux de marge et taux de marque.

Repère le coût d’achat et le prix de vente, tous deux HT et avec les frais précisés.
Calcule la marge par différence.
Choisis le dénominateur selon le taux demandé : achat pour marge, vente pour marque.
Pour un prix à retrouver, écris l’équation du taux avant de la résoudre.
Vérifie le taux obtenu dans sa définition initiale.

Les intérêts simples.

Repère le capital initial, le taux et sa période de référence.
Convertis le taux en décimal et la durée dans la même unité de temps.
Calcule $$I=Ctd$$ , ou résous cette relation si une donnée est inconnue.
Ajoute le capital seulement si la valeur acquise est demandée.
Contrôle les unités, la convention de durée et la proportionnalité du résultat.

Contrôler un document commercial.

Identifie le rôle et la base de chaque montant.
Recalcule les lignes à partir des quantités et des prix unitaires.
Applique uniquement les réductions, frais et taux effectivement indiqués.
Compare les totaux et chiffre l’écart.
Vérifie la règle d’arrondi et énonce clairement toute information manquante.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Lire et construire une facture

Réductions successives et escompte

Marge, taux de marge et taux de marque

Les intérêts simples

Contrôler un document commercial

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une ligne de facture ★☆☆

Exercice 2 : Une remise ★☆☆

Exercice 3 : Une marge en euros ★☆☆

Exercice 4 : Un an ★☆☆

Exercice 5 : Repérer une erreur de quantité ★☆☆

Exercice 6 : Retrouver le HT ★★☆

Exercice 7 : Deux remises ★★☆

Exercice 8 : Deux taux ★★☆

Exercice 9 : Une durée en mois ★★☆

Exercice 10 : Vérifier une taxe ★★☆

Exercice 11 : Deux bases distinctes ★★★

Exercice 12 : Comparer des offres ★★★

Exercice 13 : Fixer un prix ★★★

Exercice 14 : Retrouver une durée ★★★

Exercice 15 : Analyser un arrondi ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Contrôler un achat puis fixer un prix

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions