Variations et extrémums · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Le point A(2 ; 5) est sur la courbe de f. Quelle égalité cela signifie-t-il ?

f(5)=2f(2)=5f(2)=2

2. On lit f(1)=−2 et f(3)=−5. Quelle comparaison est vraie ?

f(1) < f(3)f(1) = f(3)f(1) > f(3)

3. On sait A − B = −4. Quelle conclusion est correcte ?

A > BA = BA < B

4. L’écriture 1 ≤ x < 5 correspond à quel intervalle ?

[1 ; 5[]1 ; 5][1 ; 5]

5. Pour x < 0, quel est le signe de 1/x ?

PositifNulNégatif

Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les variations ?

Une valeur ne raconte pas toute l'histoire

Savoir que $$f(2)=5$$ donne une photographie. Savoir que $$f$$ est croissante autour de $$2$$ raconte un mouvement : lorsque l'entrée augmente, la sortie augmente aussi. Les variations permettent de comparer sans calculer toutes les images, de prévoir l'allure d'une courbe et de chercher la meilleure valeur possible.

Trois usages essentiels

Comparer : de $$a<b$$ , déduire l'ordre de $$f(a)$$ et $$f(b)$$ .
Encadrer : déterminer toutes les valeurs possibles de $$f(x)$$ sur un intervalle.
Optimiser : choisir une longueur, un prix ou une durée qui rend une grandeur maximale ou minimale.

Croissance et décroissance

Définitions rigoureuses

Une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle est dite monotone sur cet intervalle.

À toi d’essayer

Une sortie négative peut augmenter

La fonction $$f(x)=2x-10$$ est étudiée sur $$[0;4]$$ . Calcule $$f(1)$$ et $$f(3)$$ , puis choisis et justifie deux descriptions indépendantes : ses valeurs sont-elles positives ou négatives ? La fonction est-elle croissante ou décroissante ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sur la droite des nombres, $$-4$$ est plus grand que $$-8$$ , même si sa distance à zéro est plus petite.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour prouver la variation sur tout l'intervalle, compare $$f(b)-f(a)$$ pour des nombres quelconques $$a<b$$ .

Voir l’explication

On calcule $$f(1)=-8$$ et $$f(3)=-4$$ : les deux sorties sont négatives et la seconde est plus grande. Pour tous $$a<b$$ , on a

\begin{aligned}f(b)-f(a)&=(2b-10)-(2a-10)\\[.35em]&=2(b-a)\\[.35em]&>0.\end{aligned}

La fonction est donc strictement croissante sur $$[0;4]$$ . Par ailleurs, ses sorties vont de $$f(0)=-10$$ à $$f(4)=-2$$ et restent toutes négatives. La montée de la courbe ne signifie pas qu'elle passe au-dessus de l'axe horizontal. Réessaie : sur $$[0;2]$$ , décris le signe et les variations de $$g(x)=5-x$$ . Attendu : positive et strictement décroissante.

Le signe d'une différence

Pour prouver une variation, on choisit $$a<b$$ et on étudie

\[f(b)-f(a).\]

Si cette différence est toujours positive ou nulle, $$f$$ est croissante.
Si elle est toujours négative ou nulle, $$f$$ est décroissante.

Courbe et tableau de variations

Lire la courbe de gauche à droite

Considérons la fonction $$f$$ représentée ci-dessous sur $$[-4;5]$$ .

On lit successivement :

\begin{array}{c|ccccccccc} x&-4&&-2&&1&&3&&5\\ \hline f(x)&1&\nearrow&4&\searrow&-1&\nearrow&3&\searrow&2 \end{array}

Construire un tableau de variations

Le tableau précédent dit que $$f$$ est croissante sur $$[-4;-2]$$ , décroissante sur $$[-2;1]$$ , croissante sur $$[1;3]$$ , puis décroissante sur $$[3;5]$$ .

À toi d’essayer

Une flèche relie deux sorties, pas deux points en ligne droite

Utilise le tableau de $$f$$ ci-dessus. Donne l'encadrement de $$f(x)$$ pour $x\in[1;3]$ , puis compare $$f(1{,}5)$$ et $$f(2{,}5)$$ . Peut-on déduire la valeur exacte de $$f(2)$$ du tableau seul ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sur $$[1;3]$$ , la sortie augmente de $$-1$$ à $$3$$ . Les nombres $$1$$ et $$3$$ de la ligne du haut sont des entrées.

Indice 2 · Un pas de plus

Le tableau décrit un sens et des bornes, sans imposer une progression régulière. Ici, la courbe fournie en plus est polygonale ; elle contient une information supplémentaire.

Voir l’explication

Sur $$[1;3]$$ , $-1\leq f(x)\leq3$ . La portion de courbe donnée est strictement croissante, donc $$f(1{,}5)<f(2{,}5)$$ . Le tableau seul ne fixe pas $$f(2)$$ : différentes courbes croissantes peuvent relier $$(1;-1)$$ à $$(3;3)$$ et passer à différentes hauteurs en $$x=2$$ . Avec la courbe explicitement formée de segments, $$2$$ est au milieu des entrées et $$f(2)=1$$ est au milieu des sorties ; c'est la linéarité du segment qui autorise ce calcul supplémentaire. Réessaie : sur $$[-2;1]$$ , encadre $$f(x)$$ et compare $$f(-1)$$ à $$f(0)$$ . Attendus : $$[-1;4]$$ et $$f(-1)>f(0)$$ pour la courbe donnée.

Exploiter un tableau

Sur $$[-2;1]$$ , la courbe donnée est strictement décroissante. Comme $$-1<0$$ , on peut écrire

\[f(-1)>f(0).\]

En revanche, le tableau seul ne permet pas de comparer directement $$f(-3)$$ et $$f(2)$$ : les deux entrées appartiennent à des intervalles de monotonie différents.

Maximum et minimum

Définitions

Pour la courbe précédente sur $$[-4;5]$$ , le maximum vaut $$4$$ , atteint en $$x=-2$$ , et le minimum vaut $$-1$$ , atteint en $$x=1$$ .

À toi d’essayer

Une borne supérieure n'est pas toujours un maximum

Compare la fonction $$g(x)=x$$ sur $$[0;1]$$ puis sur $$[0;1[$$ . Dans chaque cas, $g(x)\leq1$ est-il vrai ? Existe-t-il un maximum ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour être un maximum, $$1$$ doit être une sortie effectivement obtenue par une entrée autorisée.

Indice 2 · Un pas de plus

Si $$x<1$$ , le nombre $$(x+1)/2$$ est encore plus grand que $$x$$ tout en restant strictement inférieur à $$1$$ .

Voir l’explication

Sur $$[0;1]$$ , toutes les sorties sont au plus $$1$$ , et $$g(1)=1$$ : le maximum vaut $$1$$ , atteint en $$1$$ . Sur $$[0;1[$$ , les sorties sont aussi au plus $$1$$ , mais l'entrée $$1$$ est exclue. Aucune autre sortie ne peut être maximale : pour tout $$x<1$$ , la nouvelle entrée $$y=(x+1)/2$$ vérifie

y-x=\frac{1-x}{2}>0,\qquad 1-y=\frac{1-x}{2}>0.

Ainsi $$x<y<1$$ et $$g(y)>g(x)$$ . On peut toujours améliorer la sortie ; il n'y a donc pas de maximum. Le nombre $$1$$ reste une borne supérieure, sans être atteint. Réessaie : pour $$x^2$$ sur $$]0;2]$$ , cherche le maximum et le minimum. Attendu : maximum $$4$$ en $$2$$ ; aucun minimum, même si toutes les sorties dépassent zéro.

L'intervalle change la réponse

Sur $$[-4;5]$$ , le maximum de $$f$$ vaut $$4$$ . Mais sur $$[1;5]$$ , le maximum vaut $$3$$ , atteint en $$x=3$$ . Un extremum dépend toujours de l'intervalle étudié.

Variations d'une fonction affine

Le coefficient directeur mesure un changement

Pour $$f(x)=mx+p$$ et $a\neq b$ ,

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m.

Le coefficient directeur $$m$$ est le taux d'accroissement : lorsque l'entrée augmente de $$1$$ , la sortie varie de $$m$$ .

Une preuve à construire

Relier le taux d'accroissement au sens de variation

Soit $$f(x)=mx+p$$ avec $m,p\in\R$ . Pour deux entrées $$a<b$$ , justifie $$f(b)-f(a)=m(b-a)$$ , puis déduis le sens de variation dans les trois cas $$m>0$$ , $$m<0$$ et $$m=0$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe la différence en gardant les parenthèses autour de $$f(a)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le déplacement horizontal $$b-a$$ est strictement positif. Multiplier par $$m$$ donne le déplacement vertical.

Voir la preuve expliquée

On a

\begin{aligned}f(b)-f(a)&=(mb+p)-(ma+p)\\[.35em]&=mb-ma\\[.35em]&=m(b-a).\end{aligned}

Comme $$b-a>0$$ , la différence des sorties a le signe de $$m$$ . Un coefficient positif donne une croissance stricte ; un coefficient négatif donne une décroissance stricte ; un coefficient nul donne une fonction constante. En divisant l'égalité par $b-a\neq0$ , on obtient le taux $$(f(b)-f(a))/(b-a)=m$$ : c'est une variation de sortie par unité d'entrée. À refaire : si une température suit $$T(t)=8-0{,}4t$$ , justifie la variation entre $$t=2$$ et $$t=7$$ sans calculer séparément les deux températures. Attendu : $$-2$$ degrés.

Variations des fonctions de référence

Les tableaux à connaître

Fonction	Domaine et variations	Extremum
$$x^2$$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $$0$$ en $$0$$
$$\|x\|$$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $$0$$ en $$0$$
$$1/x$$	décroît sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$	aucun sur son domaine entier
$\sqrt{x}$	croît sur $[0;+\infty[$	minimum $$0$$ en $$0$$
$$x^3$$	croît sur $\R$	aucun sur $\R$

Démonstration pour le carré

Si $0\leq a<b$ , alors

\[b^2-a^2=(b-a)(b+a)>0,\]

donc la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ .

Si $a<b\leq0$ , les nombres $$a-b$$ et $$a+b$$ sont négatifs, donc

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0.\]

Ainsi $$a^2>b^2$$ : la fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ .

Démonstration pour l'inverse

Si $$a<b$$ sont dans un même intervalle de son domaine, alors $$ab>0$$ et

\frac1b-\frac1a=\frac{a-b}{ab}<0.

Ainsi $$1/b<1/a$$ : l'inverse est décroissante sur chacune des deux parties de son domaine.

Démonstrations pour la racine et le cube

Pour $0\leq a<b$ ,

\sqrt b-\sqrt a=\frac{b-a}{\sqrt b+\sqrt a}>0,

Le dénominateur est strictement positif puisque $$b>0$$ , et le numérateur aussi. La racine carrée est donc strictement croissante.

Pour $$a<b$$ ,

\[b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)>0,\]

car $$b-a>0$$ et

a^2+ab+b^2=\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34b^2>0.

Le second facteur ne peut être nul : la somme de carrés s'annulerait seulement pour

\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

incompatible avec $$a<b$$ . La fonction cube est donc strictement croissante sur $\R$ .

Démontrer avec l'algèbre

La forme centrée d'un carré

Une preuve à construire

Une borne, puis une valeur qui l'atteint

Soient $a\neq0$ , $\alpha,\beta\in\R$ et $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ sur $\R$ . Prouve l'extremum annoncé, puis explique pourquoi il est atteint uniquement en $\alpha$ . Que faut-il vérifier si le domaine est un intervalle $$I$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un carré est positif ou nul. Le sens de l'inégalité change si on le multiplie par un nombre négatif.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour atteindre exactement $\beta$ , il faut $a(x-\alpha)^2=0$ . Utilise $a\neq0$ , puis vérifie que $x=\alpha$ appartient au domaine.

Voir la preuve expliquée

Si $$a>0$$ , alors $a(x-\alpha)^2\geq0$ , donc $f(x)\geq\beta$ pour tout réel $$x$$ . De plus, $f(\alpha)=\beta$ : la borne inférieure est atteinte, c'est donc un minimum. Si $$a<0$$ , la multiplication inverse l'ordre et donne $f(x)\leq\beta$ ; la même vérification en $\alpha$ donne un maximum. Dans les deux cas,

\begin{aligned}&f(x)=\beta\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad (x-\alpha)^2=0\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad x=\alpha,\end{aligned}

car $$a$$ est non nul. L'extremum est donc atteint une seule fois. Sur $$I$$ , si $\alpha\notin I$ , la borne $\beta$ n'est pas atteinte : il faut étudier la restriction, souvent en comparant les bornes et les variations. Si $$a=0$$ , la fonction serait constante et toute entrée autorisée donnerait $\beta$ . À refaire : étudie le maximum de $$7-2(x-3)^2$$ sur $$[0;2]$$ . Attendu : $$5$$ , atteint en $$2$$ ; $$7$$ n'est pas atteint dans ce domaine.

À toi d’essayer

Le sommet peut être hors de la zone étudiée

Pour $$g(x)=7-2(x-3)^2$$ , cherche le maximum sur $$[0;2]$$ , sur $$[0;5]$$ , puis sur $$]0;3[$$ . Commence par placer la valeur $$3$$ par rapport à chaque domaine.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le sommet est $$(3;7)$$ . Avant $$3$$ , la distance à $$3$$ diminue, donc le carré diminue et la sortie augmente.

Indice 2 · Un pas de plus

Sur $$[0;2]$$ , la plus grande entrée autorisée est $$2$$ . Sur $$]0;3[$$ , on peut s'approcher de $$3$$ , mais jamais le choisir.

Voir l’explication

Sur $$[0;2]$$ , $$g$$ croît strictement : son maximum est

\begin{aligned}g(2) &= 7-2\\[.35em] &= 5,\end{aligned}

atteint en $$2$$ . Sur $$[0;5]$$ , le centre $$3$$ est autorisé : le maximum vaut $$7$$ , atteint uniquement en $$3$$ . Sur $$]0;3[$$ , la fonction est strictement croissante sans dernière entrée : elle reste inférieure à $$7$$ et n'a pas de maximum. Le sommet de la parabole complète ne suffit donc pas à répondre ; le domaine fait partie du problème. Réessaie : pour $$h(x)=(x+1)^2+2$$ , cherche le minimum sur $$[0;4]$$ puis sur $$[-2;4]$$ . Vérification : $$3$$ en $$0$$ , puis $$2$$ en $$-1$$ .

Relier une parabole à sa formule

Pour f(x) = a(x − α)² + β, prévois ce qui change lorsque tu modifies seulement β. Essaie ensuite α, puis a.

Courbe bleue : f. S : sommet si a ≠ 0. Les intersections visibles avec l’axe horizontal sont marquées par des cercles.

Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.

Lire les valeurs et les coordonnées

Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.

Trouve successivement une courbe avec deux racines, une racine et aucune racine réelle. Justifie à partir du signe de −β/a.

Transformer sans changer ou en inversant les variations

Somme de fonctions croissantes

Si $$f$$ et $$g$$ sont croissantes sur le même intervalle $$I$$ , alors $$f+g$$ est croissante sur $$I$$ . En effet, pour $$a<b$$ ,

f(a)\leq f(b) \quad\text{et}\quad g(a)\leq g(b).

En additionnant,

f(a)+g(a)\leq f(b)+g(b).

Résoudre un problème d'optimisation

Le protocole complet

Exemple : un rectangle de périmètre fixé

Un rectangle a un périmètre de $$40$$ m. Si un côté mesure $$x$$ m, l'autre mesure $$20-x$$ m. Pour un véritable rectangle, $x\in]0;20[$ . On peut aussi étudier le modèle sur $$[0;20]$$ en incluant les deux formes aplaties d'aire nulle. Dans les deux cas, l'aire vaut

\begin{aligned}A(x) &= x(20-x)\\[.35em]&= 20x-x^2.\end{aligned}

Complétons le carré :

\[A(x)=100-(x-10)^2.\]

Comme $(x-10)^2\geq0$ ,

A(x)\leq100.

L'aire maximale vaut donc $$100$$ m $$^2$$ , atteinte pour $$x=10$$ . Le rectangle optimal est un carré de côté $$10$$ m.

À toi d’essayer

Comprendre la perte lorsque les côtés sont déséquilibrés

Pour le rectangle de périmètre $$40$$ m, compare les aires obtenues pour $$x=8$$ , $$x=10$$ et $$x=12$$ . Explique ensuite sans tester tous les rectangles pourquoi le carré est optimal.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

L'autre côté mesure $$20-x$$ : les choix $$8$$ et $$12$$ échangent simplement les côtés.

Indice 2 · Un pas de plus

Dans $$A(x)=100-(x-10)^2$$ , le terme soustrait mesure la perte par rapport à $$100$$ .

Voir l’explication

Les aires sont

\begin{aligned}A(8) &= 8\times12\\[.35em] &= 96,\end{aligned}

$$A(10)=100$$ et

\begin{aligned}A(12) &= 12\times8\\[.35em] &= 96,\end{aligned}

en m $$^2$$ . L'identité

\begin{aligned}100-(x-10)^2&=100-(x^2-20x+100)\\[.35em]&=20x-x^2\\[.35em]&=x(20-x)\end{aligned}

montre que $100-A(x)=(x-10)^2\geq0$ pour toutes les dimensions autorisées. L'égalité se produit seulement en $$x=10$$ : le carré de côté $$10$$ m atteint bien $$100$$ m $$^2$$ . Un écart de $$2$$ m par rapport au côté optimal coûte $$2^2=4$$ m $$^2$$ , ce qui explique les deux aires de $$96$$ . Réessaie : pour un périmètre de $$28$$ m, écris $$A(x)=49-(x-7)^2$$ et déduis l'optimum. Vérification : carré de côté $$7$$ m, aire $$49$$ m $$^2$$ .

Schéma : Exemple : un rectangle de périmètre fixé

Les deux figures sont dessinées à la même échelle. Leur périmètre est identique ; leur aire ne l'est pas. La preuve par le carré justifie ce que le dessin suggère.

Exploiter les variations

Comparer des images

Nombre de solutions de $$f(x)=k$$

Graphiquement, les solutions de $$f(x)=k$$ sont les abscisses des intersections avec la droite horizontale $$y=k$$ . Un tableau de variations permet souvent de prévoir zéro, une ou plusieurs intersections.

À toi d’essayer

Une courbe connue, puis un domaine réduit

Pour $$f(x)=5-(x-2)^2$$ , résous $$f(x)=1$$ sur $\R$ , puis sur $$[1;4]$$ . Explique pourquoi « deux branches » ne signifie pas automatiquement « deux solutions dans le domaine choisi ».

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Isole le carré : il doit valoir $$4$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux candidats sont symétriques par rapport à $$2$$ . Vérifie leur appartenance à $$[1;4]$$ .

Voir l’explication

On obtient successivement

\begin{aligned}5-(x-2)^2&=1\\[.35em](x-2)^2&=4\\[.35em]x-2&=-2\quad\text{ou}\quad x-2=2.\end{aligned}

Sur $\R$ , les solutions sont $$0$$ et $$4$$ . Sur $$[1;4]$$ , seule $$4$$ est autorisée. La branche de gauche existe sur la courbe entière, mais son intersection avec $$y=1$$ est hors de l'intervalle retenu. Réessaie : résous $$f(x)=4$$ sur $$[2;5]$$ . Les candidats sont $$1$$ et $$3$$ ; seule la solution $$3$$ appartient au domaine.

Encadrer sans calculer exactement

Si $$f$$ est croissante sur $$[a;b]$$ et $x\in[a;b]$ , alors

f(a)\leq f(x)\leq f(b).

Si $$f$$ est décroissante, les bornes sont inversées :

f(b)\leq f(x)\leq f(a).

Approcher un extremum avec Python

Le balayage

On évalue la fonction sur une grille régulière et on conserve la meilleure valeur rencontrée.

def f(x):
    return -(x - 1.73)**2 + 5.2

meilleur_x = 0
meilleur_y = f(0)

for k in range(51):
    x = k/10
    if f(x) > meilleur_y:
        meilleur_x = x
        meilleur_y = f(x)

print(meilleur_x, meilleur_y)

Avec un pas de $$0{,}1$$ , le programme affiche $$1{,}7$$ et $$5{,}1991$$ . Le maximum exact vaut $$5{,}2$$ en $$x=1{,}73$$ .

À toi d’essayer

La meilleure case de la grille n'est pas le sommet exact

Le programme précédent trouve $$x=1{,}7$$ pour $f(x)=5{,}2-(x-1{,}73)^2$ . Calcule l'écart entre l'entrée trouvée et le sommet exact, puis la perte sur la sortie. Peut-on certifier la même perte pour n'importe quelle fonction avec ce seul pas ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

L'erreur horizontale est $$|1{,}7-1{,}73|$$ . La forme centrée donne directement la perte verticale.

Indice 2 · Un pas de plus

Ici, $5{,}2-f(x)=(x-1{,}73)^2$ . Cette relation particulière relie les deux erreurs.

Voir l’explication

L'écart sur l'entrée vaut $$0{,}03$$ et la perte sur la sortie vaut $(0{,}03)^2=0{,}0009$ . Ainsi $$f(1{,}7)=5{,}1991$$ , tandis que le maximum exact est $$5{,}2$$ . On peut même garantir, pour cette parabole et une grille contenant les bornes, qu'un point de la grille est à distance au plus $$0{,}05$$ du sommet ; sa perte est donc au plus $$0{,}0025$$ . Cette garantie utilise la formule et ne vaut pas pour une fonction quelconque qui pourrait présenter un pic très étroit entre deux points testés. Réessaie : si le pas devient $$0{,}01$$ , quel est le plus grand écart possible au point de grille le plus proche, puis la perte maximale pour cette même parabole ? Attendus : $$0{,}005$$ et $$0{,}000025$$ .

Précision et coût

Sur un intervalle de longueur $$L$$ , un pas $$h$$ demande environ $$L/h$$ évaluations. Diviser le pas par $$10$$ donne environ dix fois plus de calculs. Il faut annoncer le pas utilisé et distinguer valeur exacte et valeur approchée.

Diviser l'intervalle en deux en conservant le sommet

Supposons que l'on sache, grâce à l'étude de la fonction, qu'elle est strictement croissante jusqu'à un maximum unique puis strictement décroissante. On connaît un intervalle $$[a;b]$$ contenant l'abscisse de ce maximum. Cette hypothèse, parfois appelée une seule bosse, est indispensable à la méthode suivante.

Une preuve à construire

Pourquoi la recherche ne perd pas le sommet

Avec les hypothèses et les trois points ci-dessus, justifie chacune des trois restrictions. La seule comparaison de trois valeurs suffirait-elle pour une fonction ayant plusieurs sommets ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Si le maximum était à droite de $$m$$ , la fonction serait encore croissante entre $$q_1$$ et $$m$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Dans le troisième cas, un maximum strictement à gauche de $$q_1$$ imposerait $$f(q_1)>f(m)$$ . Raisonne de façon symétrique à droite.

Voir la preuve expliquée

Si $$f(q_1)>f(m)$$ , le sommet ne peut être à droite de $$m$$ : la croissance stricte avant le sommet imposerait alors $$f(q_1)<f(m)$$ . Le maximum reste donc dans $$[a;m]$$ . Le raisonnement symétrique conserve $$[m;b]$$ si $$f(q_3)>f(m)$$ . Dans le dernier cas, on sait $f(q_1)\leq f(m)$ et $f(q_3)\leq f(m)$ . Un sommet à gauche de $$q_1$$ placerait $$q_1,m$$ dans la partie strictement décroissante, contradiction ; un sommet à droite de $$q_3$$ placerait $$m,q_3$$ dans la partie strictement croissante, contradiction. Le sommet appartient donc à $$[q_1;q_3]$$ . Les bornes sont conservées pour ne pas exclure une égalité éventuelle. Avec plusieurs bosses, un pic plus haut pourrait se cacher dans une partie retirée : la méthode ne serait plus garantie. À reconstruire : pour $f(x)=5{,}2-(x-1{,}73)^2$ sur $$[0;5]$$ , justifie la première restriction $$[0;2{,}5]$$ en comparant $$f(1{,}25)$$ et $$f(2{,}5)$$ .

def encadrer_maximum(f, a, b, precision):
    # Hypotheses : a < b, precision > 0,
    # croissance stricte puis decroissance stricte.
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        q1 = (a + m) / 2
        q3 = (m + b) / 2
        if f(q1) > f(m):
            b = m
        elif f(q3) > f(m):
            a = m
        else:
            a, b = q1, q3
    return a, b

Pour la parabole précédente, les trois premiers intervalles conservés sont :

\begin{aligned}I_1&=[0;2{,}5],\\[.35em]I_2&=[1{,}25;2{,}5],\\[.35em]I_3&=[1{,}5625;2{,}1875].\end{aligned}

Ils contiennent tous $$1{,}73$$ . Avec une précision $$0{,}01$$ , neuf étapes suffisent puisque $5/2^9<0{,}01$ . Le milieu de l'intervalle final approche l'abscisse du maximum à moins de $$0{,}005$$ . Cela encadre une entrée ; une précision sur la sortie exige une information supplémentaire sur $$f$$ . Le raisonnement décrit des comparaisons exactes ; les calculs en machine sont approchés et ne constituent pas une certification pour des précisions arbitrairement petites.

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Cette partie dépasse le socle strict de la fiche, mais elle ne cache aucun prérequis. Elle prolonge la notion de composition rencontrée dans la fiche 06.

Composer deux fonctions monotones

Théorème · Règle des deux sens

Supposons que $$f$$ soit monotone sur $$I$$ et que $$g$$ soit monotone sur les valeurs produites par $$f$$ .

	$$g$$ croissante	$$g$$ décroissante
$$f$$ croissante	$g\circ f$ croissante	$g\circ f$ décroissante
$$f$$ décroissante	$g\circ f$ décroissante	$g\circ f$ croissante

Deux inversions de l'ordre se compensent.

Mesurer la perte près d'un optimum

Si

F(x)=M-a(x-\alpha)^2 \qquad(a>0),

alors

M-F(x)=a(x-\alpha)^2.

La perte par rapport au maximum dépend du carré de l'erreur sur $$x$$ . Une petite imprécision autour de $\alpha$ peut donc avoir un effet très limité.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, justifie les comparaisons et précise les intervalles. Les étoiles indiquent une progression : elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Le vocabulaire

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.

Une fonction croissante est toujours positive.
Si $$f$$ est décroissante et $$2<5$$ , alors $f(2)\geq f(5)$ .
Le maximum d'une fonction est une abscisse.
Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre.

Exercice 2 ★☆☆ : Lire un tableau

On donne :

\begin{array}{c|ccccccc} x&-3&&0&&2&&6\\ \hline f(x)&1&\nearrow&5&\searrow&-2&\nearrow&4 \end{array}

Donne les intervalles de croissance et de décroissance.
Donne le maximum et le minimum sur $$[-3;6]$$ .
Compare $$f(1)$$ et $$f(2)$$ , puis $$f(3)$$ et $$f(5)$$ .
Encadre $$f(x)$$ lorsque $x\in[0;2]$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Comparer des images

Sans calculatrice, compare :

\text{a) }(-5)^2\ \text{et}\ (-3)^2,\qquad \text{b) }\sqrt7\ \text{et}\ \sqrt{11},

\text{c) }\frac1{-6}\ \text{et}\ \frac1{-2},\qquad \text{d) }(-4)^3\ \text{et}\ 2^3.

Pour chaque comparaison, nomme l'intervalle de monotonie utilisé.

Exercice 4 ★☆☆ : De la courbe au tableau

La courbe polygonale passe par

A(-3;-1),\quad B(-1;2),\quad C(2;-2),\quad D(4;1)

et relie ces points dans cet ordre.

Trace un repère et la courbe.
Construis le tableau de variations.
Donne les extremums sur $$[-3;4]$$ .
Donne les extremums sur $$[0;4]$$ .

Exercice 5 ★☆☆ : Une fonction affine

Soit $$f(x)=7-2x$$ .

Calcule son taux d'accroissement entre $$1$$ et $$4$$ .
Démontre que $$f$$ est strictement décroissante sur $\R$ .
Encadre $$f(x)$$ si $x\in[-2;3]$ .
Détermine le maximum et le minimum de $$f$$ sur $$[-2;3]$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Une forme centrée

On pose $$g(x)=3(x-2)^2-5$$ .

Détermine son minimum sur $\R$ .
Compare $$g(3)$$ et $$g(5)$$ en utilisant la fonction carré.
Donne les variations de $$g$$ .
Résous $g(x)\leq7$ .

Exercice 7 ★★☆ : Transformer les variations

On sait que $$f$$ est croissante sur $$[-1;4]$$ . Donne, en justifiant, les variations sur cet intervalle de

\begin{aligned}u(x) &=f(x)+3,\\v(x) &=5f(x),\\w(x) &=-2f(x),\\z(x) &=7-f(x).\end{aligned}

Exercice 8 ★★☆ : Un extremum selon l'intervalle

Soit $$h(x)=9-(x+1)^2$$ .

Donne son maximum sur $\R$ .
Donne ses variations sur $\R$ .
Détermine ses extremums sur $$[-4;0]$$ .
Détermine ses extremums sur $$[1;5]$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Encadrer une image

Si $x\in[2;5]$ , encadre $$x^2$$ , $\sqrt{x}$ et $$1/x$$ .
Si $x\in[-5;-2]$ , encadre $$x^2$$ et $$1/x$$ .
Explique pourquoi le sens de variation de $$1/x$$ sur chaque intervalle est indispensable.

Exercice 10 ★★☆ : Aire sous contrainte

Un rectangle a un périmètre de $$60$$ cm. Un côté mesure $$x$$ cm. Pour étudier le modèle sur un intervalle fermé, on inclut les configurations aplaties d'aire nulle aux bornes.

Donne le domaine de $$x$$ et exprime l'aire $$A(x)$$ .
Montre que $$A(x)=225-(x-15)^2$$ .
Détermine l'aire maximale et les dimensions correspondantes.
Résous $A(x)\geq200$ .

Exercice 11 ★★☆ : Exploiter un tableau

Une fonction $$p$$ est strictement décroissante de $$6$$ à $$-1$$ sur $$[-2;1]$$ , puis strictement croissante de $$-1$$ à $$5$$ sur $$[1;4]$$ . On précise que chaque branche prend toutes les valeurs comprises entre ses deux valeurs aux bornes : il n'y a pas de hauteur intermédiaire sautée.

Construis son tableau de variations.
Combien l'équation $$p(x)=-1$$ possède-t-elle de solutions ?
Pour quelles valeurs de $$k$$ la droite $$y=k$$ peut-elle couper les deux branches ?
Encadre $$p(x)$$ sur $$[-2;4]$$ .

Exercice 12 ★★☆ : Balayage Python

On veut approcher le maximum de

f(x)=4-(x-2{,}37)^2

sur $$[0;5]$$ .

Complète un programme de balayage avec un pas de $$0{,}1$$ .
Quelle abscisse sera retenue ? Donne la valeur correspondante.
Quel est le maximum exact ?
Explique la différence entre les réponses aux questions 2 et 3.

Exercice 13 ★★★ : Prouver une variation par factorisation

Soit $$f(x)=x^2-4x+7$$ .

Montre que $$f(x)=(x-2)^2+3$$ .
Pour $2\leq a<b$ , factorise $$f(b)-f(a)$$ et prouve que $$f$$ est croissante sur $[2;+\infty[$ .
Pour $a<b\leq2$ , prouve que $$f$$ est décroissante sur $]-\infty;2]$ .
Donne le minimum de $$f$$ .

Exercice 14 ★★★ : Composer - pour aller plus loin

Sur $[0;+\infty[$ , pose

F(x)=\frac1{x^2+4}.

Décompose $$F$$ comme une succession de fonctions simples.
Démontre que $$F$$ est décroissante sur $[0;+\infty[$ .
Encadre $$F(x)$$ si $x\in[1;3]$ .
Résous $F(x)\geq1/8$ sur $[0;+\infty[$ .

Exercice 15 ★★★ : Une fonction à quatre phases

On définit sur $\R$

F(x)=5-\bigl(|x-2|-1\bigr)^2.

Calcule $$F(1)$$ , $$F(2)$$ et $$F(3)$$ .
Étudie successivement $$F$$ sur
$]-\infty;1],\quad[1;2],\quad[2;3],\quad[3;+\infty[.$
Construis le tableau de variations complet.
Donne le maximum de $$F$$ sur $\R$ .
Donne le minimum et le maximum de $$F$$ sur $$[0;4]$$ .

Problème : Le jardin au bord de la rivière ★★★

On note $$x$$ la largeur, en mètres, perpendiculaire à la rivière, et $$L$$ la longueur parallèle à la rivière. Pour étudier les modèles sur des intervalles fermés, on autorise les configurations limites où une dimension ou une zone cultivable devient nulle. Les optimums recherchés correspondent bien à des dimensions strictement positives.

Partie A - Le jardin sans allée

Explique pourquoi $$2x+L=80$$ et exprime $$L$$ en fonction de $$x$$ .
Détermine le domaine physique de $$x$$ .
Montre que l'aire totale est
$\[A(x)=x(80-2x).\]$
Vérifie l'identité
$\[A(x)=800-2(x-20)^2.\]$
Déduis l'aire maximale et les dimensions du jardin correspondant.

Partie B - Ajouter une allée intérieure

Une allée de sécurité de $$2$$ m de large longe les quatre côtés à l'intérieur du rectangle. La zone cultivable restante est donc un rectangle de dimensions $$x-4$$ et $$L-4$$ .

Justifie que le nouveau domaine est $x\in[4;38]$ .
Montre que l'aire cultivable vaut
$\[U(x)=(x-4)(76-2x).\]$
Développe $$U(x)$$ , puis montre que
$\[U(x)=578-2(x-21)^2.\]$
Détermine l'aire cultivable maximale et les dimensions extérieures correspondantes.
Compare ces dimensions avec celles qui maximisaient l'aire totale sans allée.

Partie C - Une surface minimale exigée

L'association souhaite au moins $$550$$ m $$^2$$ de zone cultivable.

Montre que $U(x)\geq550$ équivaut à
$(x-21)^2\leq14.$
Donne l'intervalle exact des largeurs possibles.
Donne l'intervalle correspondant pour la longueur $$L$$ .
Fournis des valeurs approchées au centimètre près.

Partie D - Robustesse de la construction

On vise la largeur optimale $$21$$ m, mais la réalisation peut produire une erreur $$t$$ :

\[x=21+t.\]

Montre que
$\[U(21+t)=578-2t^2.\]$
Si $|t|\leq0{,}5$ , prouve que l'aire cultivable reste au moins égale à $$577{,}5$$ m $$^2$$ .
Interprète : pourquoi dit-on que l'optimum est robuste à une petite erreur ?

Partie E - Vérification numérique

def utile(x):
    return (x - 4)*(76 - 2*x)

meilleur_x = 4
meilleure_aire = utile(4)

for k in range(341):
    x = 4 + k/10
    if utile(x) > meilleure_aire:
        meilleur_x = x
        meilleure_aire = utile(x)

print(meilleur_x, meilleure_aire)

Explique pourquoi la boucle teste exactement les largeurs de $$4$$ à $$38$$ par pas de $$0{,}1$$ .
Prévois l'affichage du programme.
Compare la force de la vérification numérique et celle de l'identité démontrée à la question 8.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Démonstration · Du graphique au tableau

La ligne brisée monte de $$A(-3;-1)$$ à $$B(-1;2)$$ , descend jusqu'à $$C(2;-2)$$ , puis remonte jusqu'à $$D(4;1)$$ . Son tableau de variations est donc :

\begin{array}{c|ccccccc} x&-3&&-1&&2&&4\\ \hline f(x)&-1&\nearrow&2&\searrow&-2&\nearrow&1 \end{array}

Sur $$[-3;4]$$ , le maximum est $$2$$ , atteint en $$-1$$ , et le minimum est $$-2$$ , atteint en $$2$$ .

Pour étudier $$[0;4]$$ , il faut aussi connaître la valeur au bord $$x=0$$ . Entre $$B$$ et $$C$$ , la pente vaut

\frac{-2-2}{2-(-1)}=-\frac43,

donc

\begin{aligned}f(0) &= 2-\frac43\\[.35em] &= \frac23.\end{aligned}

Sur $$[0;2]$$ , la fonction décroît de $\frac23$ à $$-2$$ , puis elle croît de $$-2$$ à $$1$$ sur $$[2;4]$$ . Ainsi, sur $$[0;4]$$ :

\boxed{\max f=1\text{ en }x=4} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\min f=-2\text{ en }x=2}.

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Variations et nombre de solutions

Le tableau montre que $$p$$ décroît strictement de $$6$$ à $$-1$$ sur $$[-2;1]$$ , puis croît strictement de $$-1$$ à $$5$$ sur $$[1;4]$$ .

La valeur $$-1$$ est atteinte au point de raccordement $$x=1$$ et nulle part ailleurs d'après les variations strictes indiquées. L'équation

\[p(x)=-1\]

admet donc exactement une solution : $$x=1$$ .

Une droite horizontale $$y=k$$ peut rencontrer chacune des deux branches lorsque $$k$$ appartient aux deux ensembles de valeurs, donc lorsque

k\in[-1;5].

Pour $-1<k\leq5$ , l'hypothèse sur les valeurs intermédiaires garantit une intersection sur chaque branche, et la stricte monotonie garantit son unicité. Sans ces précisions, les seuls sens de variation ne suffiraient pas à annoncer exactement deux solutions. Pour $$k=-1$$ , les deux branches se rejoignent au même point : il n'y a qu'une seule intersection.

Sur $$[-2;4]$$ , toutes les valeurs de $$p$$ sont comprises entre le minimum $$-1$$ et le maximum $$6$$ :

\boxed{-1\leq p(x)\leq6}.

Corrigé 12

Démonstration · Approcher sans confondre avec démontrer

Voici un programme possible :

def f(x):
    return 4 - (x - 2.37)**2

meilleur_x = 0
meilleure_valeur = f(0)

for k in range(51):
    x = k/10
    if f(x) > meilleure_valeur:
        meilleur_x = x
        meilleure_valeur = f(x)

print(meilleur_x, meilleure_valeur)

Les valeurs testées sont $$0$$ , $$0{,}1$$ , $$0{,}2$$ , …, $$5$$ . La plus proche de $$2{,}37$$ est $$2{,}4$$ : sa distance au centre est $$0{,}03$$ , contre $$0{,}07$$ pour $$2{,}3$$ . Le programme affiche donc approximativement

\boxed{2{,}4\quad 3{,}9991}.

En effet,

\begin{aligned}f(2{,}4) &= 4-0{,}03^2\\[.35em]&= 3{,}9991.\end{aligned}

Mais la forme $4-(x-2{,}37)^2$ démontre davantage : le maximum exact vaut $$4$$ et il est atteint exactement pour $$x=2{,}37$$ . Le programme ne donne qu'une approximation dépendant du pas choisi.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Une fonction à quatre phases

On étudie

\[F(x)=5-(|x-2|-1)^2.\]

Les trois valeurs centrales sont

F(1)=5, \qquad F(2)=4, \qquad F(3)=5.

Pour comprendre les variations, on suit successivement la distance $$|x-2|$$ , puis la distance de celle-ci à $$1$$ .

Sur $]-\infty;1]$ , $$F$$ est croissante.
Sur $$[1;2]$$ , $$F$$ est décroissante.
Sur $$[2;3]$$ , $$F$$ est croissante.
Sur $[3;+\infty[$ , $$F$$ est décroissante.

On peut résumer sans attribuer de « valeur en l'infini » :

\begin{array}{c|ccccccccc} x&\cdots&&1&&2&&3&&\cdots\\ \hline F(x)&&\nearrow&5&\searrow&4&\nearrow&5&\searrow& \end{array}

Le maximum sur $\R$ vaut $$5$$ et il est atteint pour $$x=1$$ et $$x=3$$ . La fonction n'a pas de minimum sur $\R$ : en choisissant $$|x-2|$$ de plus en plus grand, $$(|x-2|-1)^2$$ devient aussi grand que l'on veut et $$F(x)$$ devient aussi négatif que l'on veut.

Sur $$[0;4]$$ , on ajoute

F(0)=4 \qquad\text{et}\qquad F(4)=4.

Ainsi, le maximum vaut $$5$$ , atteint en $$1$$ et en $$3$$ , tandis que le minimum vaut $$4$$ , atteint en $$0$$ , en $$2$$ et en $$4$$ .

Corrigé du problème

Partie A - Sans allée

Démonstration · Modéliser puis faire apparaître un carré

La clôture couvre deux largeurs $$x$$ et une longueur $$L$$ . Ainsi,
$2x+L=80, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{L=80-2x}.$
Les longueurs doivent être positives ou nulles : $x\geq0$ et $80-2x\geq0$ . Par conséquent,
$\boxed{x\in[0;40]}.$
L'aire totale du rectangle est
$\begin{aligned}A(x) &= xL\\[.35em]&= x(80-2x)\\[.35em]&= 80x-2x^2.\end{aligned}$
Vérifions l'identité demandée en complétant le carré :
$\begin{aligned}A(x) &=-2(x^2-40x)\\[.35em]&=-2\bigl[(x-20)^2-400\bigr]\\[.35em]&=\boxed{800-2(x-20)^2}.\end{aligned}$
Puisque $(x-20)^2\geq0$ , on a $A(x)\leq800$ . L'égalité est atteinte pour $$x=20$$ . Alors
$\begin{aligned}L &= 80-2\times20\\[.35em]&= 40.\end{aligned}$
L'aire maximale est donc
$\boxed{800\ \text{m}^2}$
pour des dimensions $$20$$ m par $$40$$ m.

Partie B - Ajouter une allée intérieure

Démonstration · Optimiser l'aire réellement cultivable

L'allée retire $$2$$ m sur chacun des deux côtés de chaque dimension. Il faut donc $x-4\geq0$ et $L-4\geq0$ . Or
$\begin{aligned}&L-4=76-2x\geq0\\[.35em]&\ssi x\leq38.\end{aligned}$
D'où le nouveau domaine
$\boxed{x\in[4;38]}.$
Les dimensions cultivables sont $$x-4$$ et
$\begin{aligned}L-4 &= (80-2x)-4\\[.35em]&= 76-2x.\end{aligned}$
Ainsi,
$\boxed{U(x)=(x-4)(76-2x)}.$
Développons, puis complétons le carré :
$\begin{aligned}U(x) &=-2x^2+84x-304\\[.35em]&=-2(x^2-42x)-304\\[.35em]&=-2\bigl[(x-21)^2-441\bigr]-304\\[.35em]&=\boxed{578-2(x-21)^2}.\end{aligned}$
Comme $(x-21)^2\geq0$ , on a $U(x)\leq578$ , avec égalité pour $$x=21$$ . La longueur extérieure vaut alors
$\begin{aligned}L &= 80-2\times21\\[.35em]&= 38.\end{aligned}$
L'aire cultivable maximale est
$\boxed{578\ \text{m}^2}$
pour des dimensions extérieures $$21$$ m par $$38$$ m.
Sans allée, les dimensions optimales étaient $$20$$ m par $$40$$ m. Avec l'allée, elles deviennent $$21$$ m par $$38$$ m. L'allée ne retire pas la même proportion aux deux dimensions : il faut donc refaire l'optimisation, et pas simplement reprendre l'ancien rectangle optimal.

Partie C - Une surface minimale exigée

Démonstration · Transformer une contrainte d'aire en intervalle

À partir de la forme centrée,
$\begin{aligned}U(x) &\geq 550\\[.35em]&\ssi 578 -2(x-21)^2\\[.35em]&\geq 550\\[.35em]&\ssi -2(x-21)^2\geq-28\\[.35em]&\ssi (x-21)^2\leq14.\end{aligned}$
Dans la dernière étape, on divise par $$-2$$ : il faut donc inverser le sens de l'inégalité.
La condition $(x-21)^2\leq14$ signifie
$|x-21|\leq\sqrt{14}.$
Ainsi,
$\boxed{x\in[21-\sqrt{14}\,;\,21+\sqrt{14}]}.$
Cet intervalle est bien inclus dans $$[4;38]$$ .
Comme $$L=80-2x$$ , l'ordre des bornes s'inverse lorsque $$x$$ augmente. On obtient
$\boxed{L\in[38-2\sqrt{14}\,;\,38+2\sqrt{14}]}.$
Avec $\sqrt{14}\approx3{,}741657$ ,
$x\in[17{,}258\ldots;24{,}741\ldots]$
et
$L\in[30{,}516\ldots;45{,}483\ldots].$
Si l'on choisit la largeur par pas d'un centimètre, on doit garder les bornes intérieures suivantes pour respecter la contrainte d'aire :
$\begin{aligned}&\boxed{17{,}26\leq x\leq24{,}74\ \text{(en m)}}\\&\text{et}\quad \boxed{30{,}52\leq L\leq45{,}48\ \text{(en m)}}.\end{aligned}$

Partie D - Robustesse de la construction

Partie E - Vérification numérique

Fiche-mémoire

Capacités à vérifier : lire, justifier, optimiser.

Sans les aides : cherche le maximum de $$9-(x-1)^2$$ sur $$[2;5]$$ , puis explique pourquoi le sommet complet ne suffit pas. Reprends ensuite la pause sur le domaine pour vérifier ta démarche.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Fonction	Domaine et variations	Extremum
$\(x^2\)$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $\(0\)$ en $\(0\)$
$\(\|x\|\)$	décroît sur $]-\infty;0]$ , croît sur $[0;+\infty[$	minimum $\(0\)$ en $\(0\)$
$\(1/x\)$	décroît sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$	aucun sur son domaine entier
$\sqrt{x}$	croît sur $[0;+\infty[$	minimum $\(0\)$ en $\(0\)$
$\(x^3\)$	croît sur $\R$	aucun sur $\R$

	$\(g\)$ croissante	$\(g\)$ décroissante
$\(f\)$ croissante	$g\circ f$ croissante	$g\circ f$ décroissante
$\(f\)$ décroissante	$g\circ f$ décroissante	$g\circ f$ croissante

Avant le cours, vérifie tes bases

Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les variations ?

Une valeur ne raconte pas toute l'histoire

Trois usages essentiels

Croissance et décroissance

Définitions rigoureuses

Le signe d'une différence

Courbe et tableau de variations

Lire la courbe de gauche à droite

Construire un tableau de variations

Exploiter un tableau

Maximum et minimum

Définitions

L'intervalle change la réponse

Variations d'une fonction affine

Le coefficient directeur mesure un changement

Variations des fonctions de référence

Les tableaux à connaître

Démonstration pour le carré

Démonstration pour l'inverse

Démonstrations pour la racine et le cube

Démontrer avec l'algèbre

La forme centrée d'un carré

Transformer sans changer ou en inversant les variations

Somme de fonctions croissantes

Résoudre un problème d'optimisation

Le protocole complet

Exemple : un rectangle de périmètre fixé

Exploiter les variations

Comparer des images

Nombre de solutions de \(f(x)=k\)

Encadrer sans calculer exactement

Approcher un extremum avec Python

Le balayage

Précision et coût

Diviser l'intervalle en deux en conservant le sommet

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Composer deux fonctions monotones

Mesurer la perte près d'un optimum

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Le vocabulaire

Exercice 2 ★☆☆ : Lire un tableau

Exercice 3 ★☆☆ : Comparer des images

Exercice 4 ★☆☆ : De la courbe au tableau

Exercice 5 ★☆☆ : Une fonction affine

Exercice 6 ★★☆ : Une forme centrée

Exercice 7 ★★☆ : Transformer les variations

Exercice 8 ★★☆ : Un extremum selon l'intervalle

Exercice 9 ★★☆ : Encadrer une image

Exercice 10 ★★☆ : Aire sous contrainte

Exercice 11 ★★☆ : Exploiter un tableau

Exercice 12 ★★☆ : Balayage Python

Exercice 13 ★★★ : Prouver une variation par factorisation

Exercice 14 ★★★ : Composer - pour aller plus loin

Exercice 15 ★★★ : Une fonction à quatre phases

Problème : Le jardin au bord de la rivière ★★★

Partie A - Le jardin sans allée

Partie B - Ajouter une allée intérieure

Partie C - Une surface minimale exigée

Partie D - Robustesse de la construction

Partie E - Vérification numérique

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Nombre de solutions de $\(f(x)=k\)$