Arbres et probabilités conditionnelles · Terminale professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Dans P(A sachant B), sur quel événement conditionne-t-on ?

ABA ∪ B

2. Si P(A) = 0,4 et P(B sachant A) = 0,5, que vaut P(A ∩ B) ?

0,90,20,1

3. Si P(A) = 0,3, que vaut P(non A) ?

0,30,71,3

4. Il y a 40 internes, dont 10 musiciens. Pour calculer la fréquence de musiciens parmi les internes, par quel effectif diviser 10 ?

40Le total des musiciensLe total de l’établissement

5. On choisit uniformément une personne parmi 50 ; 8 sont à la fois sportives et musiciennes. Quelle est la probabilité d’obtenir ces deux caractères ?

50/88/508/100

Pourquoi ce chapitre ?

Un résultat global peut venir de groupes différents. Un arbre permet de suivre les chemins, puis de retrouver l’origine probable d’un résultat observé. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Changer de population avec une probabilité conditionnelle.
Construire et lire un arbre pondéré.
Rassembler des cas avec les probabilités totales.
Reconnaître l’indépendance.
Retrouver une origine après observation.

L’idée avant la formule

Imagine des situations classées par groupe puis par résultat. Multiplier calcule un chemin ; additionner rassemble les chemins disjoints qui aboutissent au même événement.

Le cours formel

Changer de population avec une probabilité conditionnelle

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comprendre le mot « sachant ». Une information connue réduit la population de référence. Pour la probabilité de B sachant A, on ne regarde plus toutes les issues : on se place seulement parmi celles où A est réalisé.

Construire le quotient. Dans ce groupe A, les issues qui satisfont aussi B sont celles de l'intersection $A\cap B$ . Leur part vaut $P_A(B)=P(A\cap B)/P(A)$ , à condition que $$P(A)>0$$ . Avec des effectifs, on divise l'effectif des deux propriétés par l'effectif de A.

Revenir à la population entière. Multiplier la proportion de A par la proportion de B parmi A donne la proportion de A et B dans l'ensemble : $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ . Ce produit correspond à un chemin d'arbre.

Ne pas inverser la condition. $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ ont le même numérateur, mais des dénominateurs différents. « Parmi les abonnés, qui achète ? » et « Parmi les acheteurs, qui est abonné ? » sont donc deux questions distinctes.

Exemple · Exemple commenté

Sur 100 produits, 40 proviennent de la machine A. Parmi ces 40, huit sont défectueux D. La probabilité d'un défaut sachant A est

\begin{aligned}P_A(D) &= 8/40\\[.35em] &= 0{,}20.\end{aligned}

La probabilité de venir de A et d'être défectueux dans tout le lot est

\begin{aligned}P(A\cap D) &= 8/100\\[.35em] &= 0{,}08.\end{aligned}

Supposons maintenant qu'il existe dix produits défectueux au total. Parmi ces dix, huit proviennent de A, donc

\begin{aligned}P_D(A) &= 8/10\\[.35em] &= 0{,}80.\end{aligned}

Les valeurs 0,20 et 0,80 ne se contredisent pas : elles répondent à des questions portant sur deux populations de référence différentes.

Le contrôle

\begin{aligned}P(A)P_A(D) &= 0{,}40\times0{,}20\\[.35em] &= 0{,}08\end{aligned}

retrouve la part commune dans le lot complet.

Construire et lire un arbre pondéré

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire l'arbre comme une succession d'informations. Le premier niveau décrit une première séparation de la population. Le niveau suivant décrit ce qui arrive dans chacun des groupes déjà atteints. Une branche du deuxième niveau se lit donc avec une condition.

Pourquoi multiplier sur un chemin. Si A représente 60 pour cent de la population et que B concerne 20 pour cent des A, la part totale qui est à la fois A et B vaut 20 pour cent de 60 pour cent, soit $0{,}6\times0{,}2=0{,}12$ .

Pourquoi additionner plusieurs chemins. Deux chemins complets distincts décrivent des situations incompatibles. Pour un événement qui peut se produire par plusieurs de ces chemins, on additionne leurs probabilités. On multiplie donc le long d'un chemin et on additionne entre chemins disjoints.

Compléter chaque nœud séparément. Les branches qui partent d'un même nœud couvrent toutes les possibilités dans ce groupe : leur somme vaut 1. Les probabilités issues de nœuds différents n'ont pas à totaliser 1 entre elles et ne sont pas automatiquement identiques.

Schéma : Construire et lire un arbre pondéré

Rassembler des cas avec les probabilités totales

Intuition · Construire la notion pas à pas

Rassembler des origines différentes. Un résultat B peut provenir de plusieurs groupes. Si A et non-A partagent tout l'univers, B est la réunion de « A et B » et de « non-A et B ». Ces deux cas sont incompatibles, donc on additionne leurs probabilités.

Pondérer chaque taux par la taille de son groupe. Dans le premier groupe, la contribution est $$P(A)P_A(B)$$ ; dans le second, $P(\overline A)P_{\overline A}(B)$ . Additionner seulement les taux conditionnels oublierait combien chaque groupe pèse dans l'ensemble.

Comprendre la moyenne pondérée. Le taux global doit se situer entre les taux des groupes. Si l'un des groupes est majoritaire, son taux influence davantage le résultat. La moyenne simple des deux taux convient seulement lorsque les deux groupes ont le même poids.

Étendre ou inverser le calcul. Avec trois fournisseurs, on ajoute trois contributions, à condition que les groupes soient disjoints et couvrent toute la production. Si un taux est inconnu mais le taux global connu, la même formule devient une équation permettant de retrouver cette inconnue.

Reconnaître l’indépendance

Intuition · Construire la notion pas à pas

Interpréter l'absence d'effet d'une information. A et B sont indépendants si apprendre que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Lorsque $$P(A)>0$$ , cela s'écrit $$P_A(B)=P(B)$$ .

Utiliser un critère sans quotient. La définition générale est $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Pour tester l'indépendance, on calcule le produit et on le compare à l'intersection connue. On ne commence pas par supposer cette égalité pour calculer l'intersection si l'indépendance est justement à établir.

Ne pas confondre succession et indépendance. Deux expériences faites l'une après l'autre ne sont pas automatiquement indépendantes. Un tirage sans remise modifie le contenu disponible au second tirage ; la connaissance du premier résultat peut donc modifier la probabilité du second.

Distinguer indépendance et incompatibilité. Des événements incompatibles ne se réalisent jamais ensemble. S'ils ont chacun une probabilité positive, savoir que l'un est arrivé rend l'autre impossible : l'information change sa probabilité. Ils ne sont donc pas indépendants.

Retrouver une origine après observation

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître le sens de la question. Un arbre décrit souvent un résultat à partir d'une origine : le taux de défaut de chaque machine, par exemple. Après avoir observé un défaut, on peut vouloir retrouver son origine. Ce changement de sens impose de changer la population de référence.

Identifier le nouveau dénominateur. Pour la probabilité de A sachant B, on se place parmi tous les B. La part qui vient aussi de A est donc $P_B(A)=P(A\cap B)/P(B)$ , avec $$P(B)>0$$ . Le numérateur compte la bonne origine et le résultat ; le dénominateur compte toutes les origines donnant ce résultat.

Faire les calculs dans le bon ordre. On calcule d'abord le chemin A puis B, puis tous les chemins aboutissant à B. On les additionne pour obtenir le dénominateur. La division finale exprime ensuite la part de l'origine recherchée parmi les résultats observés.

Tenir compte de la fréquence initiale. Un petit groupe peut avoir un taux de défaut élevé sans fournir la majorité des défauts, car un grand groupe à faible taux peut en produire davantage. Les taux conditionnels et les tailles des groupes interviennent ensemble.

Exemple · Exemple commenté

A fournit 20 pour cent des pièces avec un taux de défaut de 10 pour cent ; le reste fournit 80 pour cent avec un taux de 2 pour cent. Les contributions aux défauts sont $0{,}2\times0{,}1=0{,}02$ et $0{,}8\times0{,}02=0{,}016$ .

Le taux global vaut $$0{,}036$$ . Parmi les défauts, la proportion provenant de A est donc

\begin{aligned}0{,}02/0{,}036 &= 5/9\\[.35em] &\approx 0{,}556,\end{aligned}

soit environ 55,6 pour cent.

Une population de référence de 1 000 pièces aide à lire ce résultat : 200 viendraient de A avec 20 défauts, et 800 de l'autre groupe avec 16 défauts. Parmi les 36 défauts, 20 viendraient de A. Le quotient 20/36 retrouve le calcul et distingue clairement 10 pour cent de défauts chez A de 55,6 pour cent de A parmi les défauts.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Parmi un sous-groupe ★☆☆

Parmi 60 adhérents, 15 pratiquent la natation. Calcule la probabilité de pratiquer la natation sachant que la personne choisie est adhérente.

Exercice 2 : Compléter un nœud ★☆☆

Une branche issue d’un nœud a pour probabilité $$0{,}35$$ . Il n’y a que deux branches. Quelle est l’autre ?

Exercice 3 : Deux groupes ★☆☆

$$P(A)=0{,}6$$ , $P_A(B)=0{,}1$ , $P_{\overline A}(B)=0{,}4$ . Calcule $$P(B)$$ .

Exercice 4 : Vérifier un produit ★☆☆

$$P(A)=0{,}2$$ , $$P(B)=0{,}5$$ , $P(A\cap B)=0{,}1$ . Sont-ils indépendants ?

Exercice 5 : Une inversion simple ★☆☆

$P(A\cap B)=0{,}12$ et $$P(B)=0{,}3$$ . Calcule $$P_B(A)$$ .

Exercice 6 : Retrouver une intersection ★★☆

$$P(A)=0{,}3$$ et $P_A(B)=0{,}4$ . Calcule $P(A\cap B)$ .

Exercice 7 : La probabilité d’un chemin ★★☆

$$P(A)=0{,}7$$ et $P_A(B)=0{,}3$ . Calcule le chemin A puis non-B.

Exercice 8 : Trois provenances ★★☆

Trois fournisseurs représentent $50\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ des produits, avec des taux de défaut $1\,\%$ , $2\,\%$ , $4\,\%$ . Calcule le taux global.

Exercice 9 : Une influence visible ★★☆

$$P(B)=0{,}6$$ et $P_A(B)=0{,}8$ , avec $$P(A)>0$$ . Peut-on conclure à l’indépendance ?

Exercice 10 : Deux machines ★★☆

A produit $60\,\%$ des pièces avec $5\,\%$ de défauts ; B le reste avec $10\,\%$ de défauts. Une pièce est défectueuse. Quelle probabilité vient-elle de A ?

Exercice 11 : Deux sens différents ★★★

Sur 100 personnes, 40 ont A, 30 ont B et 12 ont les deux. Calcule $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .

Exercice 12 : Vérifier tout l’arbre ★★★

$$P(A)=0{,}4$$ , $P_A(B)=0{,}25$ , $P_{\overline A}(B)=0{,}5$ . Calcule les quatre chemins et vérifie leur somme.

Exercice 13 : Retrouver un taux inconnu ★★★

Un groupe A représente $40\,\%$ d’une population et a un taux de réussite de $80\,\%$ . Le taux global est $68\,\%$ . Quel est le taux dans le groupe non-A ?

Exercice 14 : Incompatibles ne veut pas dire indépendants ★★★

Au lancer d’un dé équilibré, A = « obtenir 1 » et B = « obtenir 2 ». Sont-ils indépendants ?

Exercice 15 : Une alerte et une rareté ★★★

Un défaut concerne $1\,\%$ des pièces. Une alerte apparaît sur $90\,\%$ des pièces défectueuses et $5\,\%$ des autres. Parmi les alertes, quelle proportion correspond à un défaut ?

Problème : Pour aller plus loin

Qualité d’une livraison

Deux fournisseurs livrent un atelier ; S désigne le respect du délai. A désigne le premier groupe et S le succès. $$P(A)=0{,}7$$ , $P_A(S)=0{,}9$ et $P_{\overline A}(S)=0{,}6$ .

Construis l’arbre complet, y compris les probabilités des contraires.
Calcule $P(A\cap S)$ et $P(\overline A\cap S)$ .
Calcule P(S) puis la probabilité d’échec.
Sachant le succès, calcule la probabilité de provenir de A.
A et S sont-ils indépendants ? Justifie.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La pièce est déjà connue comme défectueuse ; on recherche son origine parmi tous les défauts.

Construire la réponse.

A fournit 60 pour cent de la production :
$\begin{aligned}P(A\cap D) &= 0{,}6\times0{,}05\\[.35em] &= 0{,}03.\end{aligned}$
L’autre origine fournit 40 pour cent :
$\begin{aligned}P(B\cap D) &= 0{,}4\times0{,}10\\[.35em] &= 0{,}04.\end{aligned}$
Le taux global de défaut est
$\begin{aligned}P(D) &= 0{,}03+0{,}04\\[.35em] &= 0{,}07.\end{aligned}$
La probabilité cherchée est
$\begin{aligned}P_D(A) &= 0{,}03/0{,}07\\[.35em] &= 3/7\\[.35em] &\approx 0{,}429.\end{aligned}$

Vérifier. Sur une base de 1 000 pièces aux proportions annoncées, 30 défauts viennent de A et 40 de B. La part 30 sur 70 retrouve $$3/7$$ .

Conclure. La probabilité que la pièce défectueuse vienne de A est $$3/7$$ , soit environ 42,9 pour cent.

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On complète l’arbre, puis on calcule chacune des quatre intersections.

Construire la réponse.

Le premier complément est $P(\overline A)=0{,}6$ . Dans A, le complément de 0,25 est 0,75 ; dans non-A, le complément de 0,5 est 0,5.
$\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0{,}4\times0{,}25\\[.35em] &= 0{,}10\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }P(A\cap\overline B) &= 0{,}4\times0{,}75\\[.35em] &= 0{,}30.\end{aligned}$
$\begin{aligned}P(\overline A\cap B) &= 0{,}6\times0{,}5\\[.35em] &= 0{,}30\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }P(\overline A\cap\overline B) &= 0{,}6\times0{,}5\\[.35em] &= 0{,}30.\end{aligned}$
La somme vaut $$0{,}10+0{,}30+0{,}30+0{,}30=1$$ .

Vérifier. Les deux chemins issus de A totalisent 0,4 ; ceux issus de non-A totalisent 0,6. Ces marges retrouvent les probabilités du premier niveau.

Conclure. Les quatre chemins valent 0,10, 0,30, 0,30 et 0,30 ; ils couvrent bien l’univers.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On recherche les vrais défauts parmi les alertes ; le taux de détection 90 pour cent ne répond pas directement à cette question.

Construire la réponse.

La probabilité d’un défaut accompagné d’une alerte est $0{,}01\times0{,}90=0{,}009$ .
La probabilité d’une alerte sans défaut est $0{,}99\times0{,}05=0{,}0495$ .
Toutes les alertes représentent donc $$0{,}009+0{,}0495=0{,}0585$$ .
La proportion de défauts parmi les alertes vaut
$\begin{aligned}0{,}009/0{,}0585 &= 2/13\\[.35em] &\approx 0{,}153846.\end{aligned}$

Vérifier. Sur une base de 10 000 pièces, les proportions donnent 90 vraies alertes et 495 fausses, soit 585 alertes. Le quotient $$90/585=2/13$$ confirme le résultat. La grande taille du groupe sans défaut explique le nombre de fausses alertes.

Conclure. Environ 15,4 pour cent des alertes correspondent à un défaut dans ce modèle.

Corrigé du problème

Comprendre la question. L’arbre classe d’abord par groupe, puis par succès ou échec à l’intérieur de chaque groupe.

Construire la réponse.
1. La première bifurcation porte $$P(A)=0{,}7$$ et
  $\begin{aligned}P(\overline A) &= 1-0{,}7\\[.35em] &= 0{,}3.\end{aligned}$
2. Sous A, les probabilités sont $$0{,}9$$ pour S et $$1-0{,}9=0{,}1$$ pour son contraire.
3. Sous $\overline A$ , elles sont $$0{,}6$$ pour S et $$1-0{,}6=0{,}4$$ pour son contraire.
Vérifier. À chaque nœud, les deux branches totalisent 1. Les probabilités du deuxième niveau sont conditionnelles : elles concernent le groupe déjà choisi.

Conclure. L’arbre complet possède quatre chemins, un pour chaque combinaison de groupe et de résultat.
Comprendre la question. Chaque intersection correspond à un chemin complet de l’arbre.

Construire la réponse.
1. Pour A puis S, on multiplie :
  $\begin{aligned}P(A\cap S) &= P(A)P_A(S)\\[.35em] &= 0{,}7\times0{,}9\\[.35em] &= 0{,}63.\end{aligned}$
2. Pour $\overline A$ puis S,
  $\begin{aligned}P(\overline A\cap S) &= 0{,}3\times0{,}6\\[.35em] &= 0{,}18.\end{aligned}$
Vérifier. Chaque intersection est au plus égale à la probabilité du groupe de départ. Les résultats concernent la population entière, pas seulement leur groupe.

Conclure. Les deux probabilités sont $$0{,}63$$ et $$0{,}18$$ .
Comprendre la question. Un succès provient soit de A, soit de son contraire : ces deux possibilités sont incompatibles et couvrent tous les succès.

Construire la réponse.
1. Par addition des chemins,
  $\begin{aligned}P(S) &= 0{,}63+0{,}18\\[.35em] &= 0{,}81.\end{aligned}$
2. Le succès et l’échec sont complémentaires, donc
  $\begin{aligned}P(\overline S) &= 1-0{,}81\\[.35em] &= 0{,}19.\end{aligned}$
Vérifier. Le taux global $$0{,}81$$ se situe entre les taux des deux groupes $$0{,}9$$ et $$0{,}6$$ , comme une moyenne pondérée.

Conclure. La probabilité de succès est $$0{,}81$$ , celle d’échec $$0{,}19$$ .
Comprendre la question. L’information connue est maintenant le succès : on change de population de référence.

Construire la réponse.
1. Parmi tous les succès, la part venant de A est $P_S(A)=P(A\cap S)/P(S)$ .
2. On remplace par $0{,}63/0{,}81\approx0{,}7778$ .
Vérifier. Le dénominateur doit compter tous les succès. Diviser par P(A) redonnerait la probabilité du succès sachant A, une autre question.

Conclure. Sachant le succès, la probabilité de provenir de A est d’environ $77{,}78\,\%$ .
Comprendre la question. L’indépendance signifierait que connaître le groupe ne change pas la probabilité du succès.

Construire la réponse.
1. Le taux conditionnel dans A vaut $P_A(S)=0{,}9$ .
2. Le taux global vaut $$P(S)=0{,}81$$ . Ces valeurs sont différentes.
Vérifier. On peut aussi comparer $P(A\cap S)=0{,}63$ à $$P(A)P(S)=0{,}567$$ : les résultats diffèrent.

Conclure. A et S ne sont pas indépendants. Cette dépendance statistique ne prouve pas, à elle seule, un lien de causalité.

Variante autonome et bilan

Deux groupes de même poids ont des taux de succès de 80 % et 60 %. Calcule le taux global et la probabilité du premier groupe sachant le succès.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Les groupes sont de même poids, mais les succès ne se répartissent pas également entre eux.

Construire la réponse.

Notons A le premier groupe. On a
$\begin{aligned}P(A) &= P(\overline A)\\[.35em] &= 0{,}5,\end{aligned}$ $P_A(S)=0{,}8$ $\text{et }P_{\overline A}(S)=0{,}6.$
Les intersections valent $0{,}5\times0{,}8=0{,}4$ et $0{,}5\times0{,}6=0{,}3$ .
Le taux global est
$\begin{aligned}P(S) &= 0{,}4+0{,}3\\[.35em] &= 0{,}7.\end{aligned}$
Sachant le succès,
$\begin{aligned}P_S(A) &= 0{,}4/0{,}7\\[.35em] &= 4/7\\[.35em] &\approx 0{,}5714.\end{aligned}$

Vérifier. Sur 100 cas théoriques, on attend 40 succès dans le premier groupe et 30 dans le second : 40 des 70 succès viennent donc du premier.

Conclure. Le taux global de succès est $70\,\%$ ; parmi les succès, environ $57{,}14\,\%$ proviennent du premier groupe.

Je peux expliquer : changer de population avec une probabilité conditionnelle.
Je peux expliquer : construire et lire un arbre pondéré.
Je peux expliquer : rassembler des cas avec les probabilités totales.
Je peux expliquer : reconnaître l’indépendance.
Je peux expliquer : retrouver une origine après observation.

Fiche-mémoire

Changer de population avec une probabilité conditionnelle.

Repère le groupe qui suit « sachant » ou « parmi » : il fournit le dénominateur.
Identifie l’intersection entre ce groupe et la propriété recherchée.
Divise la probabilité ou l’effectif de l’intersection par celui du groupe connu.
Pour retrouver une intersection, multiplie la part du groupe par la probabilité conditionnelle.
Contrôle le sens de la condition en reformulant la réponse avec une phrase.

Construire et lire un arbre pondéré.

Nomme les événements et construis tous les chemins possibles.
Écris les probabilités conditionnelles au bon nœud.
Complète les branches d’un même nœud pour obtenir une somme de 1.
Multiplie les branches d’un chemin complet pour obtenir son intersection.
Additionne les chemins disjoints utiles et vérifie que tous les chemins totalisent 1.

Rassembler des cas avec les probabilités totales.

Découpe l’univers en groupes disjoints qui couvrent tous les cas.
Note la proportion de chaque groupe et le taux de l’événement dans ce groupe.
Multiplie ces deux quantités pour obtenir chaque contribution à l’univers.
Additionne les contributions ; si un taux est inconnu, résous l’équation correspondante.
Contrôle que les poids totalisent 1 et que le taux global est entre les taux des groupes.

Reconnaître l’indépendance.

Distingue une indépendance donnée comme hypothèse d’une indépendance à vérifier.
Calcule $$P(A)P(B)$$ et compare avec $P(A\cap B)$ .
Ou, lorsque la condition a une probabilité positive, compare $$P_A(B)$$ à $$P(B)$$ .
Conserve les valeurs exactes pour ne pas transformer un arrondi en preuve.
Explique la conclusion en termes d’effet de l’information, sans confondre avec l’incompatibilité.

Retrouver une origine après observation.

Reformule la question « parmi les B, quelle part est A ? ».
Calcule $P(A\cap B)$ par le chemin correspondant.
Calcule $$P(B)$$ en additionnant tous les chemins qui aboutissent à B.
Divise l’intersection par la probabilité du résultat observé.
Contrôle le sens avec un tableau ou une population de référence et arrondis à la fin.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Changer de population avec une probabilité conditionnelle

Construire et lire un arbre pondéré

Rassembler des cas avec les probabilités totales

Reconnaître l’indépendance

Retrouver une origine après observation

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Parmi un sous-groupe ★☆☆

Exercice 2 : Compléter un nœud ★☆☆

Exercice 3 : Deux groupes ★☆☆

Exercice 4 : Vérifier un produit ★☆☆

Exercice 5 : Une inversion simple ★☆☆

Exercice 6 : Retrouver une intersection ★★☆

Exercice 7 : La probabilité d’un chemin ★★☆

Exercice 8 : Trois provenances ★★☆

Exercice 9 : Une influence visible ★★☆

Exercice 10 : Deux machines ★★☆

Exercice 11 : Deux sens différents ★★★

Exercice 12 : Vérifier tout l’arbre ★★★

Exercice 13 : Retrouver un taux inconnu ★★★

Exercice 14 : Incompatibles ne veut pas dire indépendants ★★★

Exercice 15 : Une alerte et une rareté ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Qualité d’une livraison

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions