Ajustements et modèles non linéaires · Terminale professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quelle est la moyenne des valeurs 2, 4 et 9 ?

457,5

2. Une droite passe par A(1 ; 2) et B(3 ; 8). Quelle est sa pente ?

623

3. Pour f(x)=−2x+5, quelle valeur vaut f(0) ?

0−25

4. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

5. Des tailles sont exprimées en cm. Dans quelle unité s’exprime leur écart-type ?

cmcm²Sans unité

Pourquoi ce chapitre ?

Le modèle affine n’est pas toujours adapté. Comparer les écarts et les rapports aide à choisir une courbe qui décrit mieux les données. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Construire un ajustement affine.
Interpolation et extrapolation.
Reconnaître un modèle non linéaire.
Comparer deux modèles sur les mêmes données.
Rédiger une conclusion fondée sur des données.

L’idée avant la formule

Des différences constantes évoquent une droite ; des rapports constants évoquent une exponentielle. Un bon ajustement doit aussi rester plausible dans son contexte.

Le cours formel

Construire un ajustement affine

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remplacer un nuage par une tendance. Un ajustement affine utilise une droite $\widehat y=ax+b$ pour prévoir y à partir de x. Le symbole $\widehat y$ désigne une valeur prévue, tandis que y désigne une observation. Les deux ne coïncident pas nécessairement.

Mesurer ce que la droite manque. Le résidu est $e_i=y_i-\widehat y_i$ . Il est positif lorsque l'observation se situe au-dessus de la droite et négatif lorsqu'elle se situe en dessous. Additionner les résidus signés peut masquer des erreurs par compensation ; les carrés évitent cette compensation.

Distinguer les méthodes. La méthode de Mayer relie les points moyens de deux groupes de points ordonnés. La méthode des moindres carrés cherche la droite qui minimise la somme des carrés des résidus verticaux. Ces critères ne donnent pas nécessairement la même droite.

Évaluer le résultat au-delà de la formule. On observe le nuage avant l'ajustement et les résidus après. Une courbure régulière des résidus suggère qu'une droite est mal adaptée. Une petite erreur sur les observations ne garantit pas une bonne prévision loin de la zone étudiée.

Interpolation et extrapolation

Intuition · Construire la notion pas à pas

Situer la demande par rapport aux observations. Une interpolation utilise le modèle à l'intérieur de l'intervalle des abscisses observées. Une extrapolation le prolonge à l'extérieur. Dans les deux cas, le résultat reste une estimation ; l'extrapolation ajoute l'hypothèse que la tendance continue hors de la zone connue.

Décoder les dates et les unités. Le rang x peut être le nombre d'années après une date de référence, et non l'année du calendrier. Si 2022 porte le rang zéro, 2026 porte le rang 4. Remplacer x par 2026 produirait une erreur de sens, même si le calcul était arithmétiquement exact.

Savoir quelle variable on cherche. Pour prévoir y à partir d'une valeur de x, on remplace x dans la formule. Pour trouver quand un objectif y sera atteint, on résout une équation en x, puis on reconvertit le rang en date si nécessaire.

Appliquer les limites du phénomène. Un effectif ne peut pas être négatif, une proportion reste entre zéro et un, une capacité peut plafonner. Une prévision qui viole ces limites signale que le modèle ne peut pas être prolongé jusque-là. Une valeur admissible ne suffit toutefois pas à garantir sa fiabilité.

Reconnaître un modèle non linéaire

Intuition · Construire la notion pas à pas

Observer la forme avant de choisir une famille. Une droite représente une variation constante de y par unité de x. Si le nuage se courbe régulièrement, ce taux varie et un modèle non linéaire peut être plus pertinent. Il faut examiner tout le nuage, pas seulement deux points.

Comparer différences et rapports. Pour des abscisses régulièrement espacées, des différences constantes suggèrent un modèle affine. Pour des ordonnées positives, des rapports constants suggèrent un modèle exponentiel. Ces tests supposent des pas d'abscisse identiques ; sans cela, leur lecture directe serait trompeuse.

Utiliser les résidus pour voir une structure oubliée. Un résidu positif signifie que le modèle sous-estime l'observation, un résidu négatif qu'il la surestime. Si ces signes s'organisent selon une courbe, les erreurs ne ressemblent pas à de petites fluctuations sans structure : la famille choisie manque peut-être une partie du phénomène.

Ne pas confondre souplesse et pertinence. Un modèle compliqué peut traverser beaucoup de points mais se comporter mal entre eux ou au-delà. On examine sa cohérence avec le contexte, ses domaines de définition et des observations supplémentaires avant de lui faire confiance.

Comparer deux modèles sur les mêmes données

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comparer sur une base commune. Deux modèles doivent être évalués sur les mêmes observations, pour la même variable et dans la même unité. Sinon, une différence d'indicateur peut provenir du changement d'échelle plutôt que de la qualité de prévision.

Choisir un sens à l'erreur. Le résidu signé $y-\widehat y$ indique si le modèle sous-estime ou surestime. La valeur absolue mesure la taille de l'écart ; le carré donne davantage de poids aux grandes erreurs. Le choix du critère dépend de ce que l'on veut pénaliser.

Ne pas compter seulement les points exacts. Un modèle qui tombe juste sur deux observations mais commet une forte erreur sur une troisième peut être moins bon qu'un modèle légèrement imprécis partout. On calcule le critère sur toute la série.

Évaluer aussi la prévision. L'erreur sur les données ayant servi à choisir le modèle peut être optimiste. Quand c'est possible, on vérifie sur d'autres observations. La simplicité, la plausibilité physique et la stabilité du modèle complètent le calcul ; un modèle plus compliqué n'est pas automatiquement préférable.

Rédiger une conclusion fondée sur des données

Intuition · Construire la notion pas à pas

Relier le calcul à la décision. Une valeur numérique ne répond pas seule à une question pratique. On précise ce qu'elle mesure, sa population, son unité et le seuil auquel on la compare : capacité, tolérance, délai ou budget.

Distinguer les statuts des informations. Une observation est une donnée recueillie ; une estimation provient d'un calcul ou d'un modèle ; une hypothèse indique ce qui est supposé. Les présenter séparément évite de transformer une prévision en certitude.

La qualité de l'échantillon compte. Un grand nombre de réponses ne corrige pas automatiquement une sélection qui exclut certaines personnes. On examine qui peut répondre, à quel moment et par quel moyen, puis on limite la conclusion à la population effectivement représentée.

Décider près d'un seuil. Si plusieurs modèles raisonnables donnent des résultats de part et d'autre d'une capacité, le calcul ne permet pas de garantir qu'elle suffira. On étudie alors l'erreur habituelle, les conséquences d'un dépassement et les informations qui pourraient réduire l'incertitude.

Exemple · Exemple commenté

Un modèle prévoit 124,7 commandes et la capacité disponible est 120. On commence par interpréter : le résultat est une estimation, pas un comptage effectué. Pour le présenter, on annonce environ 125 commandes selon le modèle.

La différence calculée avant arrondi est $$124{,}7-120=4{,}7$$ commandes, soit un dépassement estimé d'environ cinq commandes. Cela indique qu'une marge de capacité mérite d'être étudiée.

Une conclusion complète peut être : « Si la tendance se maintient, la demande prévue est d'environ 125 commandes, au-dessus de la capacité de 120. Il faut examiner une marge et les erreurs de prévision avant de garantir la prise en charge. » Elle relie le résultat, la décision et la limite, sans prétendre connaître exactement le nombre futur.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Utiliser une droite fournie ★☆☆

Un ajustement donne $$y=2{,}5x+8$$ . Quelle valeur prévoit-il pour $$x=6$$ ?

Exercice 2 : Identifier la zone ★☆☆

On observe des durées entre 2 et 12 min. Prédire à 8 min est-il une interpolation ? Et à 20 min ?

Exercice 3 : Des rapports constants ★☆☆

Pour les rangs 0, 1, 2, les valeurs sont 5, 15, 45. Propose un modèle exponentiel.

Exercice 4 : Une erreur absolue ★☆☆

Une observation vaut 48 et une prévision 52. Donne le résidu et l’erreur absolue.

Exercice 5 : Arrondir avec sens ★☆☆

Un modèle prévoit $$42{,}73$$ clients. Comment présenter ce résultat ?

Exercice 6 : Un ajustement de Mayer ★★☆

Les deux sous-groupes ont pour points moyens $$G_1(2;7)$$ et $$G_2(6;15)$$ . Détermine la droite de Mayer.

Exercice 7 : Une date codée ★★☆

Le rang 0 correspond à 2022 et le modèle est $$y=6x+50$$ . Quelle prévision donne-t-il pour 2026 ?

Exercice 8 : Une courbure quadratique ★★☆

Les valeurs aux abscisses 0, 1, 2, 3 sont 1, 2, 5, 10. Vérifie le modèle $$y=x^2+1$$ et prévois à 4.

Exercice 9 : Comparer des carrés ★★☆

A donne des résidus 1, $$-1$$ , 2 ; B donne 0, 0, 3. Compare leurs sommes des carrés.

Exercice 10 : Une enquête sélective ★★☆

Un magasin demande uniquement aux clients présents à 10 h en semaine leur préférence d’horaire. Quelle limite faut-il signaler ?

Exercice 11 : Comparer des résidus ★★★

Pour $$(0;1),(1;2),(2;5)$$ , compare les sommes des carrés des résidus des modèles A : $$y=2x$$ et B : $$y=2x+1$$ .

Exercice 12 : Un modèle qui devient impossible ★★★

Un ajustement $$p(x)=110-5x$$ donne un pourcentage. Peut-on l’utiliser pour toute valeur positive de $$x$$ ?

Exercice 13 : Un résidu organisé ★★★

Une droite donne des résidus positifs au début et à la fin, négatifs au milieu. Que suggère cette organisation ?

Exercice 14 : Deux R carrés incomparables ★★★

Un modèle affine sur $$y$$ a $R^2=0{,}96$ ; une droite sur $\log(y)$ a $R^2=0{,}98$ . Peut-on annoncer que le second prédit forcément mieux $$y$$ ?

Exercice 15 : Décider près d’un seuil ★★★

La capacité est 200 unités. Deux modèles raisonnables prévoient 198 et 207. Peut-on garantir qu’elle suffira ?

Problème : Pour aller plus loin

Choisir un modèle pour des mesures

On observe, aux temps x = 0, 1, 2, 3, les valeurs y = 5, 10, 20, 40.

Calcule les différences puis les rapports successifs.
Écris un modèle exponentiel qui reproduit les valeurs.
Détermine la droite passant par les points extrêmes et compare sa prévision en x = 1 à l’observation.
Prévois y en x = 4 avec les deux modèles.
Explique comment examiner la qualité d’un modèle et le risque d’extrapolation.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On cherche quelles personnes sont exclues par le mode de sélection de l’enquête.

Construire la réponse.

Seuls les clients présents à 10 h en semaine peuvent répondre. Les personnes indisponibles à cet horaire n’ont aucune chance d’être interrogées.
La disponibilité à 10 h est liée à la préférence d’horaire que l’on cherche à étudier : la sélection peut donc favoriser cet horaire.
Augmenter seulement le nombre de réponses dans ce même créneau ne supprime pas le biais.
Il faut varier les horaires et les modes de recueil pour atteindre aussi les personnes absentes à 10 h.

Vérifier. Une conclusion sur tous les clients à partir des seuls présents à 10 h dépasserait la population effectivement représentée.

Conclure. L’enquête présente un biais de sélection lié à l’horaire ; elle peut surestimer la préférence pour le créneau de 10 h.

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le résultat représente une proportion exprimée en pourcentage ; il doit être compris entre 0 et 100.

Construire la réponse.

La condition $110-5x\ge0$ donne $-5x\ge-110$ , puis $x\le22$ après division par -5 et inversion du sens.
La condition $110-5x\le100$ donne $-5x\le-10$ , puis $x\ge2$ .
Il faut satisfaire les deux conditions : $2\le x\le22$ .

Vérifier. À x égal à 2, le modèle donne 100 ; à x égal à 22, il donne 0. Avant 2, il dépasse 100, et après 22 il devient négatif. Même dans l’intervalle admissible, la validité statistique dépend des observations ayant servi à l’ajustement.

Conclure. On ne peut pas utiliser ce modèle pour toute valeur positive de x ; son interprétation comme proportion impose au moins $x\in[2;22]$ .

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On traduit les signes des résidus en position de la droite par rapport aux observations.

Construire la réponse.

Au début et à la fin, un résidu positif signifie $y>\widehat y$ : la droite passe sous les observations.
Au milieu, un résidu négatif signifie $y<\widehat y$ : la droite passe au-dessus.
Cette organisation en forme de creux suggère une courbure que la droite ne reproduit pas.
On examine alors une famille non linéaire justifiée par le phénomène et l’on compare ses résidus sur les mêmes données.

Vérifier. Une structure visible ne désigne pas automatiquement une fonction précise. Plusieurs modèles peuvent être courbés ; le contexte et les données doivent permettre de les départager.

Conclure. Les résidus suggèrent que l’ajustement affine est inadapté et qu’un modèle non linéaire mérite d’être étudié.

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les deux indicateurs ne portent pas sur la même variable expliquée.

Construire la réponse.

Le premier $$R^2$$ mesure un ajustement des valeurs y ; le second mesure un ajustement des valeurs $\log(y)$ .
Une différence donnée sur les logarithmes ne correspond pas à une différence constante dans l’unité initiale. Comparer directement 0,96 et 0,98 ne compare donc pas les mêmes erreurs.
Il faut reconstruire les prévisions de y à partir de la droite logarithmique, puis calculer un critère commun dans l’échelle de y.
Pour une conclusion prédictive, on examine aussi des observations réservées et les limites du phénomène.

Vérifier. Un meilleur ajustement en logarithme peut mieux représenter certaines erreurs relatives sans minimiser les erreurs absolues en y. Cela explique pourquoi le classement peut changer d’une échelle à l’autre.

Conclure. Non : on ne peut pas annoncer une meilleure prévision de y sur la seule comparaison de ces deux $$R^2$$ .

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les deux prévisions doivent être comparées à la même capacité de 200 unités.

Construire la réponse.

La première prévision, 198, est inférieure à la capacité de 2 unités.
La seconde, 207, la dépasse de 7 unités.
Les modèles raisonnables conduisent donc à des décisions différentes. On ne peut pas garantir une capacité suffisante sur cette base.
On examine les erreurs passées, les hypothèses qui expliquent l’écart et les conséquences d’un manque pour décider d’une marge éventuelle.

Vérifier. Faire simplement la moyenne des deux prévisions ne supprimerait pas l’incertitude. Leur désaccord autour du seuil est précisément l’information à prendre en compte.

Conclure. La capacité peut être dépassée ; les données fournies ne permettent ni de garantir qu’elle suffira ni d’affirmer qu’un dépassement se produira.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Des écarts constants suggèrent un modèle affine ; des rapports constants suggèrent un modèle exponentiel.

Construire la réponse.
1. Les différences successives valent 10-5=5, 20-10=10 et 40-20=20. Elles ne sont pas constantes.
2. Les rapports valent $$10/5=2$$ , $$20/10=2$$ et $$40/20=2$$ .
Vérifier. Les abscisses sont régulièrement espacées d’une unité, ce qui permet cette comparaison directe des évolutions.

Conclure. Les données indiquent un doublement à chaque unité de temps, compatible avec un modèle exponentiel.
Comprendre la question. La valeur au temps zéro fixe le coefficient initial et le doublement fixe la base.

Construire la réponse.
1. On propose $y=5\times2^x$ .
2. Aux temps 0, 1, 2 et 3, les puissances valent 1, 2, 4 et 8 : les valeurs sont bien 5, 10, 20 et 40.
3. Comme les ordonnées sont positives, on peut aussi écrire $\log y=\log 5+x\log2$ : les données transformées sont alignées.
Vérifier. Le modèle retrouve tous les points, mais cette concordance ne prouve pas que la même loi restera vraie après le dernier temps observé.

Conclure. Le modèle exponentiel proposé est $y=5\times2^x$ .
Comprendre la question. La droite relie les deux extrémités, mais il faut tester sa concordance avec les points intermédiaires.

Construire la réponse.
1. La pente est $$(40-5)/(3-0)=35/3$$ .
2. Le point d’abscisse zéro fixe l’ordonnée à l’origine à 5, donc $$y=(35/3)x+5$$ .
3. En x égal à 1, la droite prédit $$35/3+5=50/3$$ au lieu de 10.
4. La prévision dépasse l’observation de $$50/3-10=20/3$$ .
Vérifier. Passer exactement par les points extrêmes ne garantit pas de passer par les autres observations.

Conclure. Le modèle affine reproduit les extrémités mais surestime sensiblement l’observation en x égal à 1.
Comprendre la question. On évalue les deux modèles au même temps situé au-delà des données.

Construire la réponse.
1. L’exponentielle donne $5\times2^4=80$ .
2. La droite donne $(35/3)\times4+5=155/3$ .
Vérifier. L’exponentielle conserve un rapport constant et la droite un accroissement constant ; leurs extrapolations doivent donc diverger.

Conclure. Les prévisions en 4 sont 80 pour l’exponentielle et $$155/3$$ pour la droite.
Comprendre la question. La qualité d’un modèle se juge sur les observations et sur son usage prévu.

Construire la réponse.
1. On calcule les résidus observation moins prévision pour chaque point, puis on regarde leur taille et leur organisation.
2. Des écarts systématiques, comme une courbure ignorée par une droite, peuvent indiquer un modèle inadapté.
3. On examine aussi si le mécanisme supposé est plausible : une quantité ne double pas forcément indéfiniment.
4. Le temps 4 est hors de la plage observée [0;3] : il faut confronter la prévision à de nouvelles mesures.
Vérifier. Un ajustement exact sur quatre données n’apporte pas de garantie universelle sur toutes les données futures.

Conclure. L’exponentielle décrit mieux ces observations ; son extrapolation reste une hypothèse à vérifier.

Variante autonome et bilan

Les valeurs 12, 18, 27 sont observées aux rangs 0, 1, 2. Propose un modèle et une prévision au rang 3.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Les trois observations sont positives et données à des rangs consécutifs.

Construire la réponse.

Les rapports sont $$18/12=1{,}5$$ et $$27/18=1{,}5$$ , tandis que les différences 6 et 9 ne sont pas constantes.
Le modèle proposé est donc $y=12\times1{,}5^x$ , qui redonne 12 au rang zéro.
Au rang 3, il prévoit
$\begin{aligned}12\times1{,}5^3 &= 12\times3{,}375\\[.35em] &= 40{,}5.\end{aligned}$

Vérifier. On peut également prolonger une fois la dernière valeur : $27\times1{,}5=40{,}5$ .

Conclure. La prévision est 40,5 au rang 3 ; c’est une extrapolation à contrôler par une nouvelle observation.

Je peux expliquer : construire un ajustement affine.
Je peux expliquer : interpolation et extrapolation.
Je peux expliquer : reconnaître un modèle non linéaire.
Je peux expliquer : comparer deux modèles sur les mêmes données.
Je peux expliquer : rédiger une conclusion fondée sur des données.

Fiche-mémoire

Construire un ajustement affine.

Observe le nuage et précise la méthode d’ajustement utilisée.
Calcule ou relève les coefficients a et b avec une précision suffisante.
Calcule les prévisions $\widehat y_i$ , puis les résidus $y_i-\widehat y_i$ .
Compare les carrés des résidus et leur organisation, pas seulement leur somme signée.
Présente les valeurs obtenues comme des prévisions dépendant du modèle.

Interpolation et extrapolation.

Relève l’intervalle observé, le codage de x et les unités.
Convertis la demande en abscisse et distingue interpolation et extrapolation.
Calcule une image ou résous l’équation correspondant à l’objectif.
Reconvertis le résultat en date ou en quantité et arrondis avec une précision justifiée.
Contrôle les limites physiques et indique la dépendance au modèle.

Reconnaître un modèle non linéaire.

Vérifie l’espacement des abscisses et observe la forme générale du nuage.
Calcule différences et, pour des valeurs non nulles adaptées au modèle, rapports successifs.
Propose une famille cohérente avec ces observations et le contexte.
Teste la formule sur tous les points puis examine les résidus.
Présente les valeurs futures comme conditionnelles au maintien de la règle.

Comparer deux modèles sur les mêmes données.

Utilise les mêmes données et reconstruis toutes les prévisions dans la même unité.
Calcule les résidus observation moins prévision.
Applique le même critère à chaque modèle : valeurs absolues ou carrés, selon la question.
Compare les totaux et examine quelles observations contribuent le plus à l’erreur.
Complète la conclusion par les limites du domaine, du modèle et du contrôle prédictif.

Rédiger une conclusion fondée sur des données.

Rappelle la question et la population concernée.
Présente le résultat avec son unité et un arrondi adapté.
Indique s’il s’agit d’une observation ou d’une prévision dépendant d’hypothèses.
Compare le résultat au seuil ou à la contrainte de décision.
Signale précisément le biais ou l’information manquante qui limite la conclusion.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Construire un ajustement affine

Interpolation et extrapolation

Reconnaître un modèle non linéaire

Comparer deux modèles sur les mêmes données

Rédiger une conclusion fondée sur des données

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Utiliser une droite fournie ★☆☆

Exercice 2 : Identifier la zone ★☆☆

Exercice 3 : Des rapports constants ★☆☆

Exercice 4 : Une erreur absolue ★☆☆

Exercice 5 : Arrondir avec sens ★☆☆

Exercice 6 : Un ajustement de Mayer ★★☆

Exercice 7 : Une date codée ★★☆

Exercice 8 : Une courbure quadratique ★★☆

Exercice 9 : Comparer des carrés ★★☆

Exercice 10 : Une enquête sélective ★★☆

Exercice 11 : Comparer des résidus ★★★

Exercice 12 : Un modèle qui devient impossible ★★★

Exercice 13 : Un résidu organisé ★★★

Exercice 14 : Deux R carrés incomparables ★★★

Exercice 15 : Décider près d’un seuil ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Choisir un modèle pour des mesures

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions