Loi binomiale et échantillonnage · Terminale STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si P(A) = 0,3, que vaut P(non A) ?

0,30,71,3

2. Si P(A) = 0,4 et P(B sachant A) = 0,5, que vaut P(A ∩ B) ?

0,90,20,1

3. On connaît P(A)=0,4, P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,2. A et B sont-ils indépendants ?

OuiNon, car ils peuvent se produire ensembleOn ne peut rien conclure

4. Une variable X peut valoir −1, 0 ou 2. Quelles valeurs réalisent l’événement {X>0} ?

2 seulement−1 seulement0 et 2

5. X vaut −2 avec probabilité 1/4 et 2 avec probabilité 3/4. Que vaut E(X) ?

120

Pourquoi ce chapitre ?

Un contrôle sur plusieurs pièces demande de compter les défauts possibles, de distinguer un événement exact d’un événement cumulé et d’interpréter une moyenne. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Reconnaître une loi binomiale.
Calculer une probabilité binomiale.
Au plus, au moins et entre deux valeurs.
Interpréter le nombre moyen de succès.
Relier loi théorique et fréquences simulées.

L’idée avant la formule

Un défaut est ici appelé succès au sens de Bernoulli : le mot désigne simplement l’événement compté. La loi binomiale exige des essais indépendants de même probabilité.

Le cours formel

Reconnaître une loi binomiale

Intuition · Construire la notion pas à pas

Identifier ce que compte X. Une loi binomiale décrit le nombre de succès dans un nombre fixé n d'épreuves. Elle ne décrit pas le rang du premier succès, car dans cette autre question le nombre d'essais effectués peut varier.

Vérifier trois conditions. Le nombre n doit être fixé avant l'expérience, les épreuves doivent partager la même probabilité p de succès et elles doivent être indépendantes. Chaque épreuve ne distingue que succès et échec selon la définition choisie.

Lire les paramètres dans le bon ordre. Dans $\mathcal B(n,p)$ , n est un entier positif ou nul qui compte les essais ; p est une probabilité entre 0 et 1. La variable X peut alors prendre les valeurs entières de 0 à n. Un « succès » peut être un défaut si l'on compte les défauts.

Repérer un modèle inexact. Sans remise dans un petit lot, la composition restante dépend du résultat précédent. Les probabilités conditionnelles changent et l'indépendance n'est pas vérifiée. Une approximation éventuelle doit être annoncée et justifiée, jamais présentée comme une loi exacte par simple habitude.

Calculer une probabilité binomiale

Intuition · Construire la notion pas à pas

Commencer par un chemin. Pour n essais indépendants de probabilité de succès p, un chemin contenant k succès et $$n-k$$ échecs a le poids $p^k(1-p)^{n-k}$ . Les exposants comptent combien de fois chaque facteur apparaît.

Compter les placements. L'événement « exactement k succès » réunit plusieurs chemins : les succès peuvent occuper différentes positions. Le coefficient $\binom nk$ compte ces placements. La probabilité totale est donc $\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ .

Comprendre le triangle de Pascal. Pour placer k succès parmi n essais, on distingue les chemins terminés par un succès et ceux terminés par un échec. Les premiers ont k-1 succès parmi les n-1 premières positions ; les seconds en ont k. Leurs nombres s'additionnent : $\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k$ .

Contrôler les cas extrêmes. Zéro succès ne possède qu'un chemin, tous échecs : $$(1-p)^n$$ . Tous les succès ne possèdent aussi qu'un chemin : $$p^n$$ . Un outil numérique peut calculer les autres coefficients, mais il faut toujours identifier n, p et k avant la saisie.

Au plus, au moins et entre deux valeurs

Intuition · Construire la notion pas à pas

Traduire la phrase avant la calculatrice. « Exactement k » sélectionne une seule valeur, « au plus k » toutes les valeurs jusqu'à k inclus, et « au moins k » toutes celles à partir de k inclus. Ces événements ont généralement des probabilités différentes.

Utiliser le fait que X est entière. Le contraire de $X\ge k$ est $$X<k$$ . Pour une variable entière, cela revient à $X\le k-1$ . On a donc $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ ; le décalage d'une unité est essentiel.

Extraire un intervalle d'un cumul. Le cumul jusqu'à b contient aussi toutes les valeurs en dessous de a. Pour conserver $a\le X\le b$ , on retire le cumul jusqu'à $$a-1$$ . Retirer le cumul jusqu'à a supprimerait aussi la borne a que l'on veut garder.

Identifier la commande de l'outil. Certaines commandes calculent $$P(X=k)$$ et d'autres $P(X\le k)$ . Le nom et l'ordre des paramètres varient selon l'outil ; vérifie l'événement calculé plutôt que de te fier au seul nombre affiché.

Interpréter le nombre moyen de succès

Intuition · Construire la notion pas à pas

Additionner les contributions moyennes. Un nombre de succès X peut s'écrire comme la somme de n indicatrices, chacune égale à 1 pour un succès et 0 sinon. Chaque indicatrice a pour moyenne p. Les contributions moyennes s'additionnent, d'où $$E(X)=np$$ .

Ne pas exiger un entier de la moyenne. X prend une valeur entière dans chaque série, mais une moyenne de nombres entiers peut être décimale. Une espérance de 2,1 succès n'annonce donc pas une réalisation de 2,1 ; elle résume la loi.

Distinguer nombre et fréquence. L'espérance du nombre de succès vaut np, tandis que celle de la fréquence $$X/n$$ vaut p lorsque $$n>0$$ . Une campagne plus grande peut produire davantage de succès tout en ayant un taux inférieur.

Donner une interprétation proportionnée. L'espérance décrit le centre théorique de nombreuses répétitions du protocole. Elle ne fournit pas à elle seule la probabilité de dépasser une capacité, la dispersion ou le résultat le plus probable. Ces questions nécessitent d'autres calculs sur la loi.

Relier loi théorique et fréquences simulées

Intuition · Construire la notion pas à pas

Simuler une série, puis plusieurs séries. Un appel au simulateur réalise n épreuves et renvoie leur nombre de succès X. Pour observer la loi, on répète cet appel N fois. On obtient alors N valeurs entières de X, et non une seule série de N essais.

Distinguer trois sorties possibles. Le nombre de succès d'une série est X. Sa fréquence est $$X/n$$ lorsque $$n>0$$ . La moyenne de plusieurs nombres de succès est une troisième quantité, que l'on compare à np. Une fonction doit annoncer clairement laquelle de ces quantités elle renvoie.

Comparer expérience simulée et loi. En comptant combien de fois chaque valeur de 0 à n apparaît, on construit un diagramme de fréquences. Il se compare aux probabilités binomiales, avec des fluctuations aléatoires. Une moyenne empirique différente de np n'est pas automatiquement un défaut du programme.

Comprendre l'effet de la taille sur les fréquences. À p fixé, la dispersion des fréquences est de l'ordre de $1/\sqrt n$ . Pour la réduire d'un facteur c, il faut donc multiplier n par $$c^2$$ . Cette règle concerne la dispersion de $$X/n$$ , pas celle du nombre brut X, et ne garantit pas chaque résultat isolé.

Définition · Comprendre la notion

Pour simuler une variable binomiale, répète n tirages de Bernoulli indépendants et compte les succès. Pour étudier sa loi, recommence N fois et compte les fréquences des valeurs 0 à n. Le diagramme des fréquences ressemble progressivement à celui de la loi, avec des écarts aléatoires. La moyenne des nombres de succès peut être comparée à np ; les fréquences X/n peuvent être étudiées pour observer leur dispersion. En première technologique, la simulation sert aussi à comparer la dispersion des fréquences pour différentes tailles : elle est de l'ordre de $1/\sqrt n$ à paramètre fixé. Diviser cette dispersion par deux demande donc approximativement de multiplier n par quatre ; ce constat ne constitue pas une garantie sur chaque échantillon.

Exemple · Exemple commenté

Le programme suivant renvoie un nombre de succès :

from random import random

def binomiale(n, p):
    s = 0
    for k in range(n):
        if random() < p:
            s += 1
    return s

On suppose n entier positif ou nul et $0\le p\le1$ . Le compteur est remis à zéro au début de chaque série, puis conserve les succès de ses n essais. Pour $$n=10$$ et $$p=0{,}3$$ , un appel renvoie un entier de 0 à 10.

Si quatre appels donnent 2, 4, 3, 1, leur moyenne est 2,5. On la compare à $$np=3$$ , sans exiger l'égalité sur quatre séries seulement. Diviser chaque sortie par 10 donnerait les fréquences 0,2 ; 0,4 ; 0,3 ; 0,1, dont la moyenne 0,25 se compare au paramètre 0,3.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Identifier n et p ★☆☆

On lance 12 fois une pièce équilibrée indépendamment et X compte les piles. Donne la loi.

Exercice 2 : Aucun succès ★☆☆

$X\sim\mathcal B(3;0{,}2)$ . Calcule $$P(X=0)$$ .

Exercice 3 : Au moins un ★☆☆

$X\sim\mathcal B(4;0{,}5)$ . Calcule $P(X\ge1)$ .

Exercice 4 : Un nombre moyen ★☆☆

$X\sim\mathcal B(40;0{,}15)$ . Calcule son espérance.

Exercice 5 : Interpréter une sortie ★☆☆

Un appel à un simulateur de $\mathcal B(10;0{,}3)$ renvoie 5. Que représente 5 ? Est-ce contradictoire avec une espérance de 3 ?

Exercice 6 : Le succès choisi ★★☆

Un produit a $98\,\%$ de chances d’être conforme. Sur 50 contrôles indépendants, X compte les défauts. Identifie la loi.

Exercice 7 : Un coefficient de Pascal ★★☆

La ligne n=4 est 1, 4, 6, 4, 1. Construis la ligne n=5 et donne $\binom52$ .

Exercice 8 : Au plus un ★★☆

$X\sim\mathcal B(3;0{,}2)$ . Calcule $P(X\le1)$ .

Exercice 9 : Une espérance non entière ★★☆

Une loi binomiale a $$n=7$$ et $$p=0{,}3$$ . Son espérance $$2{,}1$$ est-elle possible alors que X est entière ?

Exercice 10 : Moyenne empirique ★★☆

Quatre simulations renvoient 2, 4, 3 et 1 succès. Calcule leur moyenne et compare-la à une espérance théorique de 3.

Exercice 11 : Une hypothèse qui manque ★★★

On tire 5 produits sans remise dans un lot de 10 contenant 2 défauts. X, nombre de défauts, suit-il exactement $\mathcal B(5;0{,}2)$ ?

Exercice 12 : Exactement deux défauts ★★★

$X\sim\mathcal B(5;0{,}1)$ . Calcule $$P(X=2)$$ .

Exercice 13 : Utiliser des valeurs cumulées ★★★

Un outil donne $P(X\le2)=0{,}31$ et $P(X\le5)=0{,}88$ . Calcule $P(3\le X\le5)$ .

Exercice 14 : Comparer volume et taux ★★★

A réalise 100 essais à $$p=0{,}8$$ ; B en réalise 200 à $$p=0{,}5$$ . Compare les nombres moyens de succès et les taux.

Exercice 15 : Changer la taille des échantillons ★★★

On veut approximativement diviser par trois la dispersion des fréquences, à p fixé. Par quel facteur faut-il multiplier n selon l’ordre $1/\sqrt n$ ?

Problème : Pour aller plus loin

Contrôler un lot avec une loi binomiale

Un modèle suppose cinq contrôles indépendants, chaque pièce ayant une probabilité 0,1 de défaut. X compte les pièces défectueuses.

Justifie la loi de X et donne ses valeurs possibles.
Calcule P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2).
Calcule la probabilité d’au moins un défaut et celle d’au plus un défaut.
Calcule E(X). Une moyenne non entière pose-t-elle problème ?
Décris une simulation de 1 000 lots et les comparaisons utiles avec la loi.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On doit vérifier le protocole sans remise avant d’adopter la loi proposée.

Construire la réponse.

Au premier tirage, la probabilité d’un défaut vaut $$2/10=0{,}2$$ .
Après un défaut, il reste un défaut sur neuf produits : la probabilité suivante devient $$1/9$$ . Après un conforme, elle serait $$2/9$$ .
Le résultat précédent influence donc le suivant : les essais ne sont pas indépendants avec un paramètre constant.
En outre, le lot ne contient que deux défauts, donc X ne peut dépasser 2 ; une loi $\mathcal B(5;0{,}2)$ attribuerait pourtant une probabilité positive à 3, 4 ou 5.

Vérifier. Les changements de composition et l’ensemble des valeurs possibles donnent deux raisons concordantes de rejeter l’égalité exacte des lois.

Conclure. Non : X ne suit pas exactement $\mathcal B(5;0{,}2)$ dans ce tirage sans remise.

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La loi binomiale décrit un nombre de succès parmi des essais identiques et indépendants.

Construire la réponse.
1. Chaque contrôle a deux issues : défaut ou absence de défaut. Le « succès » mathématique est ici le défaut compté.
2. Le nombre d’essais est fixé à 5, leur probabilité de défaut est constante à 0,1, et l’indépendance est supposée par le modèle.
3. On a donc $X\sim\mathcal B(5;0{,}1)$ . Les valeurs possibles sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5.
Vérifier. Si les contrôles étaient dépendants ou avaient des probabilités différentes, cette loi ne serait pas automatiquement adaptée.

Conclure. X suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,1.
Comprendre la question. La formule combine la probabilité d’un chemin et le nombre de positions possibles des défauts.

Construire la réponse.
1. Pour zéro défaut, il n’existe qu’un chemin, cinq pièces conformes :
  $\begin{aligned}P(X=0) &= 0{,}9^5\\[.35em] &= 0{,}59049.\end{aligned}$
2. Pour un défaut, il y a 5 positions possibles. Chaque chemin vaut $0{,}1\times0{,}9^4$ , donc
  $\begin{aligned}P(X=1) &= 5\times0{,}1\times0{,}9^4\\[.35em] &= 0{,}32805.\end{aligned}$
3. Pour deux défauts, on choisit deux positions parmi cinq, soit $\binom52=10$ possibilités. Ainsi
  $\begin{aligned}P(X=2) &= 10\times0{,}1^2\times0{,}9^3\\[.35em] &= 0{,}0729.\end{aligned}$
Vérifier. La somme de ces trois valeurs est 0,99144, inférieure à 1 : le reste correspond aux cas de trois, quatre ou cinq défauts.

Conclure. Les probabilités demandées sont 0,59049 ; 0,32805 ; 0,0729.
Comprendre la question. « Au moins un » et « au plus un » ne sélectionnent pas les mêmes valeurs.

Construire la réponse.
1. Au moins un signifie $X\ge1$ . Son contraire est $$X=0$$ , donc la probabilité est $$1-0{,}59049=0{,}40951$$ .
2. Au plus un signifie $X\le1$ . On additionne les cas disjoints 0 et 1 : $$0{,}59049+0{,}32805=0{,}91854$$ .
Vérifier. Les deux événements ne sont pas complémentaires : ils ont en commun le cas d’un seul défaut. Leurs probabilités n’ont donc pas à totaliser 1.

Conclure. Les probabilités sont 0,40951 pour au moins un défaut et 0,91854 pour au plus un défaut.
Comprendre la question. L’espérance est une moyenne théorique, pas un résultat nécessairement observable dans un lot.

Construire la réponse.
1. Pour une loi binomiale,
  $\begin{aligned}E(X) &= np\\[.35em] &= 5\times0{,}1\\[.35em] &= 0{,}5.\end{aligned}$
2. Un lot particulier contient un nombre entier de défauts, mais une moyenne calculée sur plusieurs lots peut être décimale.
3. Sur 1000 lots, l’espérance du nombre total de défauts est 500 ; cela ne signifie pas que chaque simulation en contiendra exactement 500.
Vérifier. La moyenne 0,5 est entre 0 et 5, les bornes possibles de X.

Conclure. Le nombre moyen théorique de défauts est 0,5 par lot ; cette valeur non entière ne pose aucun problème.
Comprendre la question. La simulation doit reproduire cinq essais par lot, puis recommencer pour 1000 lots.

Construire la réponse.
1. ```
from random import random

def simuler_lots():
    lots = []
    for _ in range(1000):
        defauts = 0
        for _ in range(5):
            if random() < 0.1:
                defauts += 1
        lots.append(defauts)
    return lots
```
2. On compte ensuite les lots ayant 0, 1 ou 2 défauts et on divise chaque effectif par 1000 pour obtenir les fréquences.
3. On calcule aussi la somme des défauts divisée par 1000, à comparer à l’espérance 0,5.
4. Les écarts entre fréquences et probabilités théoriques relèvent de la fluctuation à taille finie ; une simulation unique ne les annule pas.
Vérifier. La liste doit contenir exactement 1000 entiers entre 0 et 5. La somme des effectifs des six valeurs possibles doit être 1000.

Conclure. Les comparaisons utiles portent sur les fréquences des événements et sur la moyenne, en conservant leur caractère aléatoire.

Variante autonome et bilan

Avec quatre contrôles indépendants et p = 0,2, calcule la probabilité d’au moins un défaut et le nombre moyen de défauts.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On adapte le complément et l’espérance à quatre essais de probabilité 0,2.

Construire la réponse.

La variable suit $\mathcal B(4;0{,}2)$ sous les hypothèses d’indépendance et de probabilité constante.
Aucun défaut a probabilité
$\begin{aligned}(1-0{,}2)^4 &= 0{,}8^4\\[.35em] &= 0{,}4096.\end{aligned}$
Au moins un défaut a probabilité $$1-0{,}4096=0{,}5904$$ .
L’espérance vaut $4\times0{,}2=0{,}8$ défaut par lot.

Vérifier. 0,5904 est une probabilité entre 0 et 1 ; 0,8 est un nombre moyen de défauts entre 0 et 4. Ces grandeurs ne répondent pas à la même question.

Conclure. La probabilité d’au moins un défaut est $59{,}04\,\%$ et le nombre moyen de défauts est 0,8.

Je peux expliquer : reconnaître une loi binomiale.
Je peux expliquer : calculer une probabilité binomiale.
Je peux expliquer : au plus, au moins et entre deux valeurs.
Je peux expliquer : interpréter le nombre moyen de succès.
Je peux expliquer : relier loi théorique et fréquences simulées.

Fiche-mémoire

Reconnaître une loi binomiale.

Définis le succès et la variable X comme nombre de succès.
Vérifie que le nombre n d’essais est fixé.
Justifie l’identité du paramètre p et l’indépendance.
Écris $X\sim\mathcal B(n,p)$ et les valeurs possibles.
Compare ces valeurs avec les contraintes du contexte pour détecter un modèle incompatible.

Calculer une probabilité binomiale.

Vérifie le modèle binomial et relève n, p et le nombre exact k de succès.
Calcule le nombre de placements $\binom nk$ .
Écris le poids d’un chemin : k facteurs p et n-k facteurs $$1-p$$ .
Multiplie le poids par le nombre de placements et conserve les parenthèses.
Contrôle les cas extrêmes et la cohérence avec une probabilité comprise entre 0 et 1.

Au plus, au moins et entre deux valeurs.

Écris l’événement avec un signe exact, large ou strict.
Liste les entiers acceptés pour vérifier les bornes.
Choisis une somme directe ou un complément selon le nombre de termes.
Pour un intervalle inclusif, utilise les cumuls jusqu’à b et jusqu’à a-1.
Contrôle le mode de calcul de l’outil et compare avec un cas simple si possible.

Interpréter le nombre moyen de succès.

Identifie n et p après avoir vérifié le modèle et le succès choisi.
Calcule $$E(X)=np$$ avec p sous forme décimale.
Annonce le résultat comme un nombre moyen de succès par série de n essais.
Pour comparer des campagnes, distingue le nombre moyen np et le taux p.
Ne déduis pas une garantie ou une probabilité de seuil du seul calcul de l’espérance.

Relier loi théorique et fréquences simulées.

Vérifie le paramètre p, le nombre n d’essais et le codage du succès.
Initialise le compteur à chaque nouvelle série, puis accumule ses n succès.
Répète la série N fois pour observer la loi ou une moyenne empirique.
Distingue nombres de succès et fréquences avant de comparer les dispersions.
Interprète les écarts comme des résultats à examiner, sans imposer l’égalité exacte à la théorie.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Reconnaître une loi binomiale

Calculer une probabilité binomiale

Au plus, au moins et entre deux valeurs

Interpréter le nombre moyen de succès

Relier loi théorique et fréquences simulées

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Identifier n et p ★☆☆

Exercice 2 : Aucun succès ★☆☆

Exercice 3 : Au moins un ★☆☆

Exercice 4 : Un nombre moyen ★☆☆

Exercice 5 : Interpréter une sortie ★☆☆

Exercice 6 : Le succès choisi ★★☆

Exercice 7 : Un coefficient de Pascal ★★☆

Exercice 8 : Au plus un ★★☆

Exercice 9 : Une espérance non entière ★★☆

Exercice 10 : Moyenne empirique ★★☆

Exercice 11 : Une hypothèse qui manque ★★★

Exercice 12 : Exactement deux défauts ★★★

Exercice 13 : Utiliser des valeurs cumulées ★★★

Exercice 14 : Comparer volume et taux ★★★

Exercice 15 : Changer la taille des échantillons ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Contrôler un lot avec une loi binomiale

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions