Dérivation et fonction inverse · Terminale STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quelle valeur est interdite pour f(x) = 1/(x − 2) ?

0−22

2. Quelle est la dérivée de f(x) = x² ?

x2x2

3. Si f′ est strictement positive sur un intervalle, f y est…

Strictement croissanteStrictement décroissanteNécessairement positive

4. Que vaut 1/2 + 1/3 ?

2/55/61/6

5. On sait f′(a)=−2. Que représente ce nombre ?

La hauteur f(a)La pente de la tangente en aL’abscisse où f s’annule

Pourquoi ce chapitre ?

La fonction inverse intervient quand un coût fixe est partagé. La dérivée permet de chercher un compromis entre cette répartition et un coût qui augmente avec la production. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Comprendre la fonction inverse.
Dériver l’inverse et ses applications.
Dériver les polynômes de degré au plus trois.
Du signe de la dérivée aux variations.
Optimiser une grandeur avec la dérivée.

L’idée avant la formule

Produire davantage répartit mieux les frais fixes, mais peut augmenter le coût variable unitaire. La meilleure quantité équilibre ces deux effets.

Le cours formel

Comprendre la fonction inverse

Intuition · Construire la notion pas à pas

Partager une quantité fixe. Si une somme fixe est répartie entre de plus en plus de personnes, chaque part diminue. Ce type de situation conduit à une expression $$k/x$$ , construite à partir de la fonction inverse $$1/x$$ .

Pourquoi zéro est interdit. Chercher $$1/0$$ reviendrait à trouver un nombre dont le produit par zéro vaut 1 : c'est impossible. Le domaine se sépare donc en deux intervalles, l'un négatif et l'autre positif. On ne relie pas les deux branches de la courbe en passant par zéro.

Comparer sans se tromper. Sur chacun des deux intervalles, la fonction est décroissante. Pour deux nombres positifs, augmenter le dénominateur diminue la fraction. Pour deux nombres négatifs, il faut également tenir compte de l'ordre : $$-1/8$$ est plus proche de zéro et plus grand que $$-1/3$$ .

Lire les valeurs approchées. Quand x grandit en valeur absolue, l'inverse se rapproche de zéro sans l'atteindre. Quand x approche zéro, les valeurs deviennent très grandes en valeur absolue. Le signe de l'image est celui de x. Une grandeur physique peut restreindre le modèle aux valeurs positives et même aux entiers.

Dériver l’inverse et ses applications

Intuition · Construire la notion pas à pas

Expliquer les variations par la dérivée. Pour $x\ne0$ , la dérivée de $$1/x$$ est $$-1/x^2$$ . Le carré est strictement positif ; le signe moins placé devant rend donc la dérivée négative sur chacune des deux branches.

Agir sur la fonction inverse. Pour $$f(x)=a/x+b$$ , multiplier par a multiplie aussi la dérivée par a ; ajouter b ne change aucune pente. Ainsi $f^{\prime}(x)=-a/x^2$ . Si a est positif, la fonction décroît ; si a est négatif, elle croît, sur chacun des intervalles de son domaine.

Interpréter un coût. Dans un coût moyen $$a/x+b$$ pour $$x>0$$ , le terme $$a/x$$ peut représenter un coût fixe réparti sur x unités, tandis que b est un coût par unité. Produire davantage répartit mieux la partie fixe, mais ne fait pas disparaître b.

Séparer valeur et pente. Pour une tangente, on calcule la fonction au point choisi, puis sa dérivée en ce même point. La première donne une hauteur ; la seconde donne l'évolution locale. Le domaine physique, souvent $$x>0$$ , reste à respecter.

Dériver les polynômes de degré au plus trois

Intuition · Construire la notion pas à pas

Dériver une expression, puis calculer une pente. La fonction dérivée donne une formule valable pour toutes les abscisses autorisées. On remplace x par une valeur seulement après avoir établi cette formule. Substituer d'abord transformerait la fonction en une constante et ferait perdre l'information de variation.

Traiter les termes séparément. Les règles de dérivation s'appliquent à une somme terme par terme. Le coefficient d'un terme est conservé et multiplie la dérivée de sa puissance. Ainsi $$5x^2$$ donne $5\times2x=10x$ .

Le terme $$bx$$ donne b, puisque la pente d'une droite $$y=bx$$ est constante. Un terme constant c donne zéro : déplacer toute une courbe verticalement ne modifie pas ses pentes. Les signes moins doivent être intégrés aux coefficients.

Manipuler un paramètre. Une lettre comme a peut désigner un nombre fixe alors que x est la variable. On dérive par rapport à x en conservant a. Une condition sur la pente, telle que $f^{\prime}(1)=11$ , devient ensuite une équation pour déterminer a.

Un polynôme et sa dérivée sont définis sur tous les réels. La valeur $$f(a)$$ décrit une hauteur, tandis que $f^{\prime}(a)$ décrit une pente : elles ne sont pas interchangeables.

Du signe de la dérivée aux variations

Intuition · Construire la notion pas à pas

Passer d'une pente locale à une évolution. Sur un intervalle où f est dérivable, le signe de sa dérivée indique le sens de variation. Des pentes positives font monter la fonction quand x augmente ; des pentes négatives la font descendre.

Organiser l'étude. Cherche d'abord où la dérivée s'annule ou cesse d'être définie, puis étudie son signe sur les intervalles obtenus. Le signe d'une expression factorisée se lit facteur par facteur ; il ne suffit pas de calculer la dérivée en quelques points choisis au hasard.

Repérer un changement de sens. Si la dérivée passe de négative à positive, f descend puis remonte : elle atteint un minimum local. Dans l'autre sens, elle atteint un maximum local. Une dérivée nulle sans changement de signe donne seulement une tangente horizontale.

Ne pas oublier les bornes. Sur un intervalle fermé, les valeurs aux extrémités peuvent être les plus grandes ou les plus petites. Complète donc le tableau avec les images des bornes et des points critiques, puis compare-les.

Le signe de f renseigne la position par rapport à l'axe horizontal ; celui de sa dérivée renseigne la montée ou la descente. Une fonction peut être négative tout en étant croissante.

Optimiser une grandeur avec la dérivée

Intuition · Construire la notion pas à pas

Choisir le meilleur résultat parmi les choix possibles. Optimiser une grandeur signifie la rendre aussi grande ou aussi petite que possible tout en respectant des contraintes. Il faut distinguer la variable choisie, par exemple une quantité produite, et la grandeur optimisée, par exemple un bénéfice.

Commencer par les contraintes. Avant de calculer une dérivée, écris l'ensemble des valeurs réalisables : intervalle de longueurs, capacité maximale, nombres entiers d'objets. Un résultat situé hors de cet ensemble n'est pas une solution du problème, même s'il donne le sommet de la courbe.

Justifier le meilleur choix. La dérivée sert à repérer les phases de croissance et de décroissance. Un passage de positif à négatif donne un maximum local ; les bornes du domaine restent des candidats à un maximum global. Compare toutes les valeurs pertinentes.

Revenir à une décision. Une production entière ne peut pas prendre une valeur comme 4,5. Le modèle continu aide à repérer la zone optimale ; on compare ensuite les entiers admissibles voisins. L'arrondi automatique peut manquer une égalité ou retenir le mauvais choix.

La conclusion doit donner à la fois le choix optimal et la valeur obtenue, avec leurs unités si le contexte en fournit.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Images et signes ★☆☆

Calcule $$f(4)$$ et $$f(-2)$$ pour $$f(x)=1/x$$ .

Exercice 2 : Un multiple de l’inverse ★☆☆

Dérive $$f(x)=7/x-2$$ pour $$x>0$$ .

Exercice 3 : Dériver terme à terme ★☆☆

Dérive $$f(x)=2x^3+5x^2-3x+4$$ .

Exercice 4 : Lire un signe ★☆☆

$f^{\prime}(x)>0$ sur $$[1;4]$$ . Que peut-on dire de f sur cet intervalle ?

Exercice 5 : Un maximum quadratique ★☆☆

$$B(x)=-x^2+10x$$ sur $$[0;10]$$ . Trouve son maximum.

Exercice 6 : Comparer des inverses ★★☆

Compare $$1/3$$ et $$1/8$$ , puis $$1/(-8)$$ et $$1/(-3)$$ .

Exercice 7 : Un coefficient négatif ★★☆

Étudie les variations de $$g(x)=-4/x+3$$ sur $]0;+\infty[$ .

Exercice 8 : Une pente en un point ★★☆

Pour $$g(x)=-x^3+6x$$ , calcule la dérivée puis sa valeur en 2.

Exercice 9 : Construire un tableau ★★☆

Étudie $$f(x)=x^2-6x+5$$ sur $$[0;5]$$ .

Exercice 10 : Une contrainte active ★★☆

$$B(x)=-x^2+10x$$ , mais $x\in[0;3]$ . Quel est le maximum autorisé ?

Exercice 11 : Un partage sous plafond ★★★

On partage 180 euros entre n personnes. Combien faut-il de personnes au minimum pour payer au plus 12 euros chacune ?

Exercice 12 : Une tangente à un coût ★★★

$$c(x)=100/x+2$$ pour $$x>0$$ . Donne la tangente en x = 10.

Exercice 13 : Trouver un paramètre ★★★

On a $$h(x)=ax^3+2x$$ et $h^{\prime}(1)=14$ . Détermine a.

Exercice 14 : Une dérivée nulle sans extremum ★★★

Pour $$f(x)=x^3$$ , la dérivée est $$3x^2$$ . Pourquoi x = 0 ne donne-t-il pas un maximum ou minimum ?

Exercice 15 : Une production entière ★★★

$$B(n)=-n^2+9n$$ pour un entier $n\in[0;9]$ . Quelles productions maximisent B ?

Problème : Pour aller plus loin

Répartir un coût fixe

Le coût moyen est $$C(x)=x+144/x$$ euros par unité, pour $2\le x\le24$ .

Explique pourquoi x = 0 est exclu et calcule C(6), C(12), C(24).
Dérive C et mets la dérivée sur un dénominateur unique.
Étudie les variations et trouve le minimum sur le domaine.
Calcule l’équation de la tangente en x = 6.
Le coût total est T(x) = xC(x). Retrouve T et explique pourquoi coût total et coût moyen ne sont pas le même objectif.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La division par x représente une répartition de coût et exige une quantité non nulle.

Construire la réponse.
1. En zéro, le terme $$144/x$$ n’est pas défini. Le domaine professionnel retenu [2;24] évite cette valeur.
2. $\begin{aligned}C(6) &= 6+144/6\\[.35em] &= 6+24\\[.35em] &= 30\end{aligned}$
  euros par unité.
3. $\begin{aligned}C(12) &= 12+144/12\\[.35em] &= 12+12\\[.35em] &= 24\end{aligned}$
  euros par unité.
4. $\begin{aligned}C(24) &= 24+144/24\\[.35em] &= 24+6\\[.35em] &= 30\end{aligned}$
  euros par unité.
Vérifier. Le coût moyen baisse entre 6 et 12, puis remonte entre 12 et 24. Ces valeurs suggèrent un minimum, à démontrer par les variations.

Conclure. Les trois coûts moyens sont 30, 24 et 30 euros par unité.
Comprendre la question. On dérive le terme linéaire et le terme inverse séparément.

Construire la réponse.
1. La dérivée de x est 1 ; celle de $$144/x$$ est $$-144/x^2$$ .
2. Ainsi $C^{\prime}(x)=1-144/x^2$ .
3. Pour mettre au même dénominateur, on écrit $$1=x^2/x^2$$ , d’où $C^{\prime}(x)=(x^2-144)/x^2$ .
Vérifier. Le domaine exclut zéro, donc la mise au même dénominateur est permise. La factorisation du numérateur est $$(x-12)(x+12)$$ .

Conclure. $C^{\prime}(x)=(x-12)(x+12)/x^2$ .
Comprendre la question. Sur le domaine positif, deux facteurs ont un signe connu.

Construire la réponse.
1. Pour $2\le x\le24$ , $$x^2>0$$ et $$x+12>0$$ . Le signe de la dérivée est donc celui de $$x-12$$ .
2. C décroît sur [2;12], puis croît sur [12;24].
3. Le minimum vaut $$C(12)=24$$ . Les bornes donnent $$C(2)=74$$ et $$C(24)=30$$ , plus grandes.
Vérifier. On peut contrôler par $C(x)-24=(x-12)^2/x\ge0$ sur le domaine positif, avec égalité en 12 seulement.

Conclure. Le coût moyen minimal est 24 euros par unité, obtenu pour une quantité x égale à 12.
Comprendre la question. La tangente demande le coût au point choisi et sa pente.

Construire la réponse.
1. On connaît $$C(6)=30$$ .
2. La pente vaut
  $\begin{aligned}C^{\prime}(6) &= 1-144/36\\[.35em] &= 1-4\\[.35em] &= -3.\end{aligned}$
3. L’équation est
  $\begin{aligned}y &= -3(x-6)+30\\[.35em] &= 48-3x.\end{aligned}$
Vérifier. En x égal à 6, la droite donne $$48-18=30$$ ; son coefficient directeur est bien -3.

Conclure. La tangente en 6 est $$y=48-3x$$ .
Comprendre la question. Le coût total multiplie le coût par unité par le nombre d’unités.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}T(x) &= xC(x)\\[.35em] &= x(x+144/x)\\[.35em] &= x^2+144,\end{aligned}$
  sur le domaine où x est non nul.
2. La dérivée du coût total est $T^{\prime}(x)=2x>0$ sur [2;24] : T augmente.
3. Le coût moyen diminue d’abord car le coût fixe de 144 est réparti sur davantage d’unités. Le total peut pourtant augmenter puisqu’on fabrique plus d’unités.
Vérifier. Par exemple $$T(6)=180$$ euros et $$T(12)=288$$ euros, tandis que les coûts moyens passent de 30 à 24 euros.

Conclure. Minimiser un coût par unité et minimiser une dépense totale ne sont pas le même objectif. Il faut préciser la quantité souhaitée ou la contrainte de production.

Variante autonome et bilan

Étudie $$D(x)=2x+200/x$$ sur [2;20].

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante met en concurrence un terme croissant et un terme inverse décroissant sur [2;20].

Construire la réponse.

La dérivée est
$\begin{aligned}D^{\prime}(x) &= 2-200/x^2\\[.35em] &= (2x^2-200)/x^2\\[.35em] &= 2(x-10)(x+10)/x^2.\end{aligned}$
Sur le domaine, $$x+10$$ et $$x^2$$ sont positifs. Le signe est donc celui de $$x-10$$ .
D décroît sur [2;10], puis croît sur [10;20].
$\begin{aligned}D(10) &= 20+20\\[.35em] &= 40.\end{aligned}$
Aux bornes,
$\begin{aligned}D(2) &= 4+100\\[.35em] &= 104\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }D(20) &= 40+10\\[.35em] &= 50.\end{aligned}$

Vérifier. Le contrôle $D(x)-40=2(x-10)^2/x\ge0$ confirme le minimum sur le domaine positif.

Conclure. Le minimum est 40, atteint pour x égal à 10.

Je peux expliquer : comprendre la fonction inverse.
Je peux expliquer : dériver l’inverse et ses applications.
Je peux expliquer : dériver les polynômes de degré au plus trois.
Je peux expliquer : du signe de la dérivée aux variations.
Je peux expliquer : optimiser une grandeur avec la dérivée.

Fiche-mémoire

Comprendre la fonction inverse.

Annonce le domaine et les contraintes du contexte.
Pour calculer une image, remplace x par la valeur non nulle donnée.
Pour comparer, identifie d’abord la branche positive ou négative.
Avant de multiplier une inégalité par x, détermine son signe.
Dans un problème de personnes ou d’objets, conclus avec un entier admissible.

Dériver l’inverse et ses applications.

Identifie le coefficient a de l’inverse et la constante b.
Écris $f^{\prime}(x)=-a/x^2$ sur le domaine autorisé.
Utilise $$x^2>0$$ pour étudier le signe.
Pour une tangente, calcule aussi l’image du point.
Interprète les variations et les unités dans le contexte.

Dériver les polynômes de degré au plus trois.

Repère la variable de dérivation et les coefficients constants.
Dérive chaque terme avec son signe.
Réunis les termes pour obtenir la fonction dérivée.
Remplace ensuite la variable par l’abscisse demandée.
Pour un paramètre, traduis la pente imposée en équation et vérifie la valeur trouvée.

Du signe de la dérivée aux variations.

Annonce l’intervalle étudié et calcule la dérivée.
Cherche ses zéros et étudie son signe sur chaque morceau.
Traduis les signes en flèches de variation.
Calcule les images des bornes et des points critiques.
Compare ces valeurs pour identifier les extrema demandés.

Optimiser une grandeur avec la dérivée.

Définis la variable, la grandeur à optimiser et le domaine autorisé.
Calcule la dérivée et ses zéros dans ce domaine.
Étudie son signe pour établir les variations.
Compare les valeurs aux points critiques et aux bornes.
Si la variable est entière, compare les candidats entiers puis formule la décision.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Comprendre la fonction inverse

Dériver l’inverse et ses applications

Dériver les polynômes de degré au plus trois

Du signe de la dérivée aux variations

Optimiser une grandeur avec la dérivée

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Images et signes ★☆☆

Exercice 2 : Un multiple de l’inverse ★☆☆

Exercice 3 : Dériver terme à terme ★☆☆

Exercice 4 : Lire un signe ★☆☆

Exercice 5 : Un maximum quadratique ★☆☆

Exercice 6 : Comparer des inverses ★★☆

Exercice 7 : Un coefficient négatif ★★☆

Exercice 8 : Une pente en un point ★★☆

Exercice 9 : Construire un tableau ★★☆

Exercice 10 : Une contrainte active ★★☆

Exercice 11 : Un partage sous plafond ★★★

Exercice 12 : Une tangente à un coût ★★★

Exercice 13 : Trouver un paramètre ★★★

Exercice 14 : Une dérivée nulle sans extremum ★★★

Exercice 15 : Une production entière ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Répartir un coût fixe

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions