Ajustements et prévisions · Terminale STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le modèle affine n’est pas toujours adapté. Comparer les écarts et les rapports aide à choisir une courbe qui décrit mieux les données. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Représenter deux variables par un nuage.
Construire un ajustement affine.
Interpolation et extrapolation.
Reconnaître un modèle non linéaire.
Linéariser un modèle exponentiel.

L’idée avant la formule

Des différences constantes évoquent une droite ; des rapports constants évoquent une exponentielle. Un bon ajustement doit aussi rester plausible dans son contexte.

Le cours formel

Représenter deux variables par un nuage

Intuition · Construire la notion pas à pas

Conserver l'association entre deux mesures. Une série à deux variables relève deux informations sur chaque individu : par exemple sa durée de travail et sa production. Le couple $$(x_i;y_i)$$ doit rester associé. Trier les deux colonnes séparément créerait des couples qui n'ont jamais été observés.

Lire un point dans son contexte. La première coordonnée se lit sur l'axe horizontal et la seconde sur l'axe vertical. On indique le nom et l'unité de chaque variable. Le point $$(3;42)$$ peut ainsi signifier « après 3 heures, 42 pièces », ce qui est différent de 42 heures et 3 pièces.

Observer avant de calculer. Le nuage montre une tendance générale, une éventuelle courbure, des regroupements ou des observations atypiques. Une tendance croissante n'exige pas que tous les points montent un à un : les mesures peuvent fluctuer autour de cette tendance.

Évaluer une droite avec les bons écarts. Pour des pas égaux en x, un alignement affine exact exige des différences égales en y. Si les pas en x changent, on compare les quotients $\Delta y/\Delta x$ . Une apparence graphique dépend aussi des échelles ; on complète donc l'observation par quelques calculs.

Schéma : Représenter deux variables par un nuage

Exemple · Exemple commenté

On relève les couples durée/température $$(0;18),(1;22),(2;25),(3;29)$$ . Le temps en minutes est placé horizontalement et la température en degrés Celsius verticalement. Le point $$(2;25)$$ signifie qu'au bout de deux minutes, la température mesurée est 25 degrés.

Pour les trois pas d'une minute, les températures augmentent de 4, puis 3, puis 4 degrés. La tendance est croissante et proche d'une augmentation régulière, mais les quatre points ne sont pas exactement alignés puisque ces accroissements diffèrent.

Une droite pourrait fournir une approximation à examiner. Elle ne doit pas effacer la distinction entre valeurs mesurées et valeurs prévues. Le graphique seul ne prouve pas non plus ce qui cause l'évolution : cette interprétation dépend du protocole et du contexte.

Construire un ajustement affine

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remplacer un nuage par une tendance. Un ajustement affine utilise une droite $\widehat y=ax+b$ pour prévoir y à partir de x. Le symbole $\widehat y$ désigne une valeur prévue, tandis que y désigne une observation. Les deux ne coïncident pas nécessairement.

Mesurer ce que la droite manque. Le résidu est $e_i=y_i-\widehat y_i$ . Il est positif lorsque l'observation se situe au-dessus de la droite et négatif lorsqu'elle se situe en dessous. Additionner les résidus signés peut masquer des erreurs par compensation ; les carrés évitent cette compensation.

Distinguer les méthodes. La méthode de Mayer relie les points moyens de deux groupes de points ordonnés. La méthode des moindres carrés cherche la droite qui minimise la somme des carrés des résidus verticaux. Ces critères ne donnent pas nécessairement la même droite.

Évaluer le résultat au-delà de la formule. On observe le nuage avant l'ajustement et les résidus après. Une courbure régulière des résidus suggère qu'une droite est mal adaptée. Une petite erreur sur les observations ne garantit pas une bonne prévision loin de la zone étudiée.

Interpolation et extrapolation

Intuition · Construire la notion pas à pas

Situer la demande par rapport aux observations. Une interpolation utilise le modèle à l'intérieur de l'intervalle des abscisses observées. Une extrapolation le prolonge à l'extérieur. Dans les deux cas, le résultat reste une estimation ; l'extrapolation ajoute l'hypothèse que la tendance continue hors de la zone connue.

Décoder les dates et les unités. Le rang x peut être le nombre d'années après une date de référence, et non l'année du calendrier. Si 2022 porte le rang zéro, 2026 porte le rang 4. Remplacer x par 2026 produirait une erreur de sens, même si le calcul était arithmétiquement exact.

Savoir quelle variable on cherche. Pour prévoir y à partir d'une valeur de x, on remplace x dans la formule. Pour trouver quand un objectif y sera atteint, on résout une équation en x, puis on reconvertit le rang en date si nécessaire.

Appliquer les limites du phénomène. Un effectif ne peut pas être négatif, une proportion reste entre zéro et un, une capacité peut plafonner. Une prévision qui viole ces limites signale que le modèle ne peut pas être prolongé jusque-là. Une valeur admissible ne suffit toutefois pas à garantir sa fiabilité.

Reconnaître un modèle non linéaire

Intuition · Construire la notion pas à pas

Observer la forme avant de choisir une famille. Une droite représente une variation constante de y par unité de x. Si le nuage se courbe régulièrement, ce taux varie et un modèle non linéaire peut être plus pertinent. Il faut examiner tout le nuage, pas seulement deux points.

Comparer différences et rapports. Pour des abscisses régulièrement espacées, des différences constantes suggèrent un modèle affine. Pour des ordonnées positives, des rapports constants suggèrent un modèle exponentiel. Ces tests supposent des pas d'abscisse identiques ; sans cela, leur lecture directe serait trompeuse.

Utiliser les résidus pour voir une structure oubliée. Un résidu positif signifie que le modèle sous-estime l'observation, un résidu négatif qu'il la surestime. Si ces signes s'organisent selon une courbe, les erreurs ne ressemblent pas à de petites fluctuations sans structure : la famille choisie manque peut-être une partie du phénomène.

Ne pas confondre souplesse et pertinence. Un modèle compliqué peut traverser beaucoup de points mais se comporter mal entre eux ou au-delà. On examine sa cohérence avec le contexte, ses domaines de définition et des observations supplémentaires avant de lui faire confiance.

Linéariser un modèle exponentiel

Intuition · Construire la notion pas à pas

Transformer une multiplication en addition. Pour un modèle exponentiel $$y=Aq^x$$ , avec $$A>0$$ et $$q>0$$ , les règles du logarithme décimal donnent $\log(y)=\log(A)+x\log(q)$ . La variable transformée $z=\log(y)$ dépend alors de x par une relation affine.

Comprendre le changement d'échelle. Les valeurs de y doivent être strictement positives pour que leur logarithme réel existe. L'axe transformé ne mesure plus directement la quantité initiale : il mesure son logarithme. Une droite dans cette nouvelle échelle correspond à une courbe exponentielle dans l'échelle d'origine.

Revenir aux coefficients d'origine. Si l'ajustement donne $$z=ax+b$$ , alors

\begin{aligned}y &= 10^{ax+b}\\[.35em] &= 10^b(10^a)^x.\end{aligned}

Le coefficient initial est donc $$A=10^b$$ et le facteur par unité d'abscisse $$q=10^a$$ . Les coefficients a et b ne sont pas directement q et A.

Contrôler dans les deux échelles. Les moindres carrés appliqués à z minimisent les erreurs sur les logarithmes, pas les erreurs absolues sur y. On reconstruit donc les prévisions dans l'unité initiale et on les compare aux mesures avant d'interpréter la qualité du modèle.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Placer un couple ★☆☆

Un relevé indique 3 heures et 42 pièces produites. Quel point représente-t-il si le temps est en abscisse ?

Exercice 2 : Utiliser une droite fournie ★☆☆

Un ajustement donne $$y=2{,}5x+8$$ . Quelle valeur prévoit-il pour $$x=6$$ ?

Exercice 3 : Identifier la zone ★☆☆

On observe des durées entre 2 et 12 min. Prédire à 8 min est-il une interpolation ? Et à 20 min ?

Exercice 4 : Des rapports constants ★☆☆

Pour les rangs 0, 1, 2, les valeurs sont 5, 15, 45. Propose un modèle exponentiel.

Exercice 5 : Revenir à y ★☆☆

On a $\log(y)=3$ . Trouve $$y$$ .

Exercice 6 : Identifier une tendance ★★☆

Les couples sont $$(1;9),(2;7),(3;6),(4;3)$$ . Décris la tendance et explique pourquoi une droite exacte n’est pas évidente.

Exercice 7 : Un ajustement de Mayer ★★☆

Les deux sous-groupes ont pour points moyens $$G_1(2;7)$$ et $$G_2(6;15)$$ . Détermine la droite de Mayer.

Exercice 8 : Une date codée ★★☆

Le rang 0 correspond à 2022 et le modèle est $$y=6x+50$$ . Quelle prévision donne-t-il pour 2026 ?

Exercice 9 : Une courbure quadratique ★★☆

Les valeurs aux abscisses 0, 1, 2, 3 sont 1, 2, 5, 10. Vérifie le modèle $$y=x^2+1$$ et prévois à 4.

Exercice 10 : Identifier le modèle ★★☆

Un ajustement donne $\log(y)=0{,}3x+1$ . Écris le modèle de $$y$$ sans arrondir les coefficients.

Exercice 11 : Un point atypique ★★★

Une série donne $$(1;12),(2;14),(3;16),(4;50),(5;20)$$ . Peut-on supprimer le quatrième point parce qu’il gêne l’alignement ?

Exercice 12 : Comparer des résidus ★★★

Pour $$(0;1),(1;2),(2;5)$$ , compare les sommes des carrés des résidus des modèles A : $$y=2x$$ et B : $$y=2x+1$$ .

Exercice 13 : Un modèle qui devient impossible ★★★

Un ajustement $$p(x)=110-5x$$ donne un pourcentage. Peut-on l’utiliser pour toute valeur positive de $$x$$ ?

Exercice 14 : Un résidu organisé ★★★

Une droite donne des résidus positifs au début et à la fin, négatifs au milieu. Que suggère cette organisation ?

Exercice 15 : Une transformation impossible ★★★

Une série contient $$y=0$$ et $$y=-2$$ . Peut-on appliquer directement $z=\log(y)$ à toutes les observations ?

Problème : Pour aller plus loin

Comparer deux prévisions de fréquentation

On observe, aux temps x = 0, 1, 2, 3, les valeurs y = 10, 20, 40, 80.

Calcule les différences puis les rapports successifs.
Écris un modèle exponentiel qui reproduit les valeurs.
Détermine la droite passant par les points extrêmes et compare sa prévision en x = 1 à l’observation.
Prévois y en x = 4 avec les deux modèles.
Explique comment examiner la qualité d’un modèle et le risque d’extrapolation.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le quatrième point s’écarte d’une tendance visible ; cela justifie une enquête sur la donnée, pas sa suppression automatique.

Construire la réponse.

Les points de rangs 1, 2, 3 et 5 suivent $$y=2x+10$$ : les images sont 12, 14, 16 et 20.
À x égal à 4, cette tendance donnerait 18, alors que l’observation vaut 50. L’écart est $$50-18=32$$ .
On vérifie la saisie, l’unité, l’appareil et les circonstances de mesure. Une erreur documentée pourrait justifier une correction.
Si la mesure est valide, elle doit être conservée et expliquée : elle peut révéler un événement particulier ou une limite du modèle.

Vérifier. Supprimer le point seulement parce qu’il gêne l’alignement sélectionnerait les données en fonction du résultat souhaité et pourrait masquer un phénomène réel.

Conclure. Le point $$(4;50)$$ est atypique, mais on ne le supprime pas sans justification liée aux données.

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le résultat représente une proportion exprimée en pourcentage ; il doit être compris entre 0 et 100.

Construire la réponse.

La condition $110-5x\ge0$ donne $-5x\ge-110$ , puis $x\le22$ après division par -5 et inversion du sens.
La condition $110-5x\le100$ donne $-5x\le-10$ , puis $x\ge2$ .
Il faut satisfaire les deux conditions : $2\le x\le22$ .

Vérifier. À x égal à 2, le modèle donne 100 ; à x égal à 22, il donne 0. Avant 2, il dépasse 100, et après 22 il devient négatif. Même dans l’intervalle admissible, la validité statistique dépend des observations ayant servi à l’ajustement.

Conclure. On ne peut pas utiliser ce modèle pour toute valeur positive de x ; son interprétation comme proportion impose au moins $x\in[2;22]$ .

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On traduit les signes des résidus en position de la droite par rapport aux observations.

Construire la réponse.

Au début et à la fin, un résidu positif signifie $y>\widehat y$ : la droite passe sous les observations.
Au milieu, un résidu négatif signifie $y<\widehat y$ : la droite passe au-dessus.
Cette organisation en forme de creux suggère une courbure que la droite ne reproduit pas.
On examine alors une famille non linéaire justifiée par le phénomène et l’on compare ses résidus sur les mêmes données.

Vérifier. Une structure visible ne désigne pas automatiquement une fonction précise. Plusieurs modèles peuvent être courbés ; le contexte et les données doivent permettre de les départager.

Conclure. Les résidus suggèrent que l’ajustement affine est inadapté et qu’un modèle non linéaire mérite d’être étudié.

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La transformation doit être définie pour chacune des observations.

Construire la réponse.

Le logarithme réel est défini uniquement lorsque son argument est strictement positif.
Pour y égal à zéro ou à -2, $\log(y)$ n’existe donc pas dans les réels.
Supprimer ces points ou ajouter arbitrairement une constante à toutes les valeurs changerait l’étude. Une autre transformation doit être justifiée par la signification des données.

Vérifier. La condition n’est pas seulement « y différent de zéro » : les nombres négatifs sont également exclus. Une méthode fondée sur $\log(y)$ ne peut pas être appliquée directement à cette série complète.

Conclure. Non : il faut une méthode adaptée ou une transformation justifiée, sans modifier arbitrairement les observations.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Des écarts constants suggèrent un modèle affine ; des rapports constants suggèrent un modèle exponentiel.

Construire la réponse.
1. Les différences successives valent 20-10=10, 40-20=20 et 80-40=40. Elles ne sont pas constantes.
2. Les rapports valent $$20/10=2$$ , $$40/20=2$$ et $$80/40=2$$ .
Vérifier. Les abscisses sont régulièrement espacées d’une unité, ce qui permet cette comparaison directe des évolutions.

Conclure. Les données indiquent un doublement à chaque unité de temps, compatible avec un modèle exponentiel.
Comprendre la question. La valeur au temps zéro fixe le coefficient initial et le doublement fixe la base.

Construire la réponse.
1. On propose $y=10\times2^x$ .
2. Aux temps 0, 1, 2 et 3, les puissances valent 1, 2, 4 et 8 : les valeurs sont bien 10, 20, 40 et 80.
3. Comme les ordonnées sont positives, on peut aussi écrire $\log y=\log 10+x\log2$ : les données transformées sont alignées.
Vérifier. Le modèle retrouve tous les points, mais cette concordance ne prouve pas que la même loi restera vraie après le dernier temps observé.

Conclure. Le modèle exponentiel proposé est $y=10\times2^x$ .
Comprendre la question. La droite relie les deux extrémités, mais il faut tester sa concordance avec les points intermédiaires.

Construire la réponse.
1. La pente est $$(80-10)/(3-0)=70/3$$ .
2. Le point d’abscisse zéro fixe l’ordonnée à l’origine à 10, donc $$y=(70/3)x+10$$ .
3. En x égal à 1, la droite prédit $$70/3+10=100/3$$ au lieu de 20.
4. La prévision dépasse l’observation de $$100/3-20=40/3$$ .
Vérifier. Passer exactement par les points extrêmes ne garantit pas de passer par les autres observations.

Conclure. Le modèle affine reproduit les extrémités mais surestime sensiblement l’observation en x égal à 1.
Comprendre la question. On évalue les deux modèles au même temps situé au-delà des données.

Construire la réponse.
1. L’exponentielle donne $10\times2^4=160$ .
2. La droite donne $(70/3)\times4+10=310/3$ .
Vérifier. L’exponentielle conserve un rapport constant et la droite un accroissement constant ; leurs extrapolations doivent donc diverger.

Conclure. Les prévisions en 4 sont 160 pour l’exponentielle et $$310/3$$ pour la droite.
Comprendre la question. La qualité d’un modèle se juge sur les observations et sur son usage prévu.

Construire la réponse.
1. On calcule les résidus observation moins prévision pour chaque point, puis on regarde leur taille et leur organisation.
2. Des écarts systématiques, comme une courbure ignorée par une droite, peuvent indiquer un modèle inadapté.
3. On examine aussi si le mécanisme supposé est plausible : une quantité ne double pas forcément indéfiniment.
4. Le temps 4 est hors de la plage observée [0;3] : il faut confronter la prévision à de nouvelles mesures.
Vérifier. Un ajustement exact sur quatre données n’apporte pas de garantie universelle sur toutes les données futures.

Conclure. L’exponentielle décrit mieux ces observations ; son extrapolation reste une hypothèse à vérifier.

Variante autonome et bilan

Les valeurs 12, 18, 27 sont observées aux rangs 0, 1, 2. Propose un modèle et une prévision au rang 3.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Les trois observations sont positives et données à des rangs consécutifs.

Construire la réponse.

Les rapports sont $$18/12=1{,}5$$ et $$27/18=1{,}5$$ , tandis que les différences 6 et 9 ne sont pas constantes.
Le modèle proposé est donc $y=12\times1{,}5^x$ , qui redonne 12 au rang zéro.
Au rang 3, il prévoit
$\begin{aligned}12\times1{,}5^3 &= 12\times3{,}375\\[.35em] &= 40{,}5.\end{aligned}$

Vérifier. On peut également prolonger une fois la dernière valeur : $27\times1{,}5=40{,}5$ .

Conclure. La prévision est 40,5 au rang 3 ; c’est une extrapolation à contrôler par une nouvelle observation.

Je peux expliquer : représenter deux variables par un nuage.
Je peux expliquer : construire un ajustement affine.
Je peux expliquer : interpolation et extrapolation.
Je peux expliquer : reconnaître un modèle non linéaire.
Je peux expliquer : linéariser un modèle exponentiel.

Fiche-mémoire

Représenter deux variables par un nuage.

Identifie les deux variables et garde chaque paire de mesures associée.
Place x horizontalement et y verticalement, avec des axes nommés et gradués.
Décris la tendance, la courbure, les groupes et les points atypiques.
Compare des taux de variation si tu recherches un alignement exact.
Vérifie les données atypiques sans les supprimer uniquement pour améliorer l’apparence.

Construire un ajustement affine.

Observe le nuage et précise la méthode d’ajustement utilisée.
Calcule ou relève les coefficients a et b avec une précision suffisante.
Calcule les prévisions $\widehat y_i$ , puis les résidus $y_i-\widehat y_i$ .
Compare les carrés des résidus et leur organisation, pas seulement leur somme signée.
Présente les valeurs obtenues comme des prévisions dépendant du modèle.

Interpolation et extrapolation.

Relève l’intervalle observé, le codage de x et les unités.
Convertis la demande en abscisse et distingue interpolation et extrapolation.
Calcule une image ou résous l’équation correspondant à l’objectif.
Reconvertis le résultat en date ou en quantité et arrondis avec une précision justifiée.
Contrôle les limites physiques et indique la dépendance au modèle.

Reconnaître un modèle non linéaire.

Vérifie l’espacement des abscisses et observe la forme générale du nuage.
Calcule différences et, pour des valeurs non nulles adaptées au modèle, rapports successifs.
Propose une famille cohérente avec ces observations et le contexte.
Teste la formule sur tous les points puis examine les résidus.
Présente les valeurs futures comme conditionnelles au maintien de la règle.

Linéariser un modèle exponentiel.

Vérifie que toutes les ordonnées sont strictement positives et précise la base du logarithme.
Calcule $z=\log(y)$ et ajuste z en fonction de x.
Pour $$z=ax+b$$ , reconstruis $$y=10^b(10^a)^x$$ .
Conserve les puissances exactes jusqu’aux calculs finaux et interprète le facteur q.
Contrôle les prévisions et les erreurs dans l’échelle initiale de y.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Représenter deux variables par un nuage

Construire un ajustement affine

Interpolation et extrapolation

Reconnaître un modèle non linéaire

Linéariser un modèle exponentiel

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Placer un couple ★☆☆

Exercice 2 : Utiliser une droite fournie ★☆☆

Exercice 3 : Identifier la zone ★☆☆

Exercice 4 : Des rapports constants ★☆☆

Exercice 5 : Revenir à y ★☆☆

Exercice 6 : Identifier une tendance ★★☆

Exercice 7 : Un ajustement de Mayer ★★☆

Exercice 8 : Une date codée ★★☆

Exercice 9 : Une courbure quadratique ★★☆

Exercice 10 : Identifier le modèle ★★☆

Exercice 11 : Un point atypique ★★★

Exercice 12 : Comparer des résidus ★★★

Exercice 13 : Un modèle qui devient impossible ★★★

Exercice 14 : Un résidu organisé ★★★

Exercice 15 : Une transformation impossible ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Comparer deux prévisions de fréquentation

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions