Logarithme népérien · Terminale spécialité

Pourquoi étudier le logarithme ?

Méthode · Construire les outils dans un ordre utile

Objectifs : retrouver un exposant, lire les courbes réciproques, déterminer un domaine avant un calcul, transformer une expression, dériver une composée, résoudre une équation et justifier une limite ou un seuil entier.

Prérequis à réactiver : $\e^{a+b}=\e^a\e^b$ , positivité et croissance de l'exponentielle (fiche 10), signe d'un quotient, dérivées de produit et de composée (fiche 07), TVI (fiche 09). La racine carrée est positive : $\sqrt{x^2}=|x|$ , pas toujours $$x$$ .

Socle : définition par l'exponentielle, propriétés, dérivée, limites, équations, étude de fonctions et algorithme de Briggs. Les deux démonstrations mises en avant dans le programme sont la formule de la dérivée (dérivabilité admise) et la limite de $x\ln x$ en $$0^+$$ . Les autres preuves expliquent les méthodes et peuvent être cherchées avec les indices.

Approfondissements : bases logarithmiques, fonction $$x^x$$ , intégrales et série harmonique. L'exercice 9 et le problème se reprennent après les règles d'intégration de la fiche 13. Tu peux travailler une section, faire sa pause, puis revenir plus tard : une lecture continue n'est pas un objectif en soi.

Le problème fondamental

Tu sais résoudre $$x^2=5$$ (racine carrée) et $$2x+3=7$$ (équation affine). Mais comment résoudre $\e^x=5$ ? Ou $$2^x=1000$$ ? Il te faut une opération qui « défait » l'exponentielle, comme la racine carrée permet de retrouver un nombre positif à partir de son carré. Cette opération, c'est le logarithme népérien.

Dans un modèle de décroissance : si $N(t)=N_0\e^{-\lambda t}$ avec $$N_0>0$$ , $\lambda>0$ et $t\geqslant0$ , une proportion $r=N(t)/N_0\in]0,1]$ conduit à $t=-\ln r/\lambda$ . Le logarithme transforme une proportion mesurée en un temps prévu par le modèle.

Dans une recherche par divisions successives : après $$p$$ divisions par deux, une largeur initiale de 1 devient $2^{-p}$ . Trouver un nombre d'étapes suffisant revient à résoudre une inégalité dont l'inconnue est en exposant. Le compte exact des comparaisons d'un programme dépend de son implémentation ; ce modèle compte les divisions de largeur.

Dans une échelle logarithmique : multiplier une valeur par dix ajoute une unité à son logarithme décimal. On peut ainsi représenter des valeurs dont les rapports sont grands, tout en indiquant clairement l'échelle utilisée.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La question fondatrice

Le logarithme transforme les produits en sommes

Graphiquement : le miroir de l'exponentielle

Intuition · Symétrie par rapport à $y=x$

Comme $\ln$ est la réciproque de $\exp$ , les courbes $y=\e^x$ et $y=\ln x$ sont symétriques par rapport à la droite $$y=x$$ . Pour obtenir le graphe de $\ln$ , il suffit de « replier » celui de $\exp$ autour de cette droite.

Quelques repères utiles :

$$x$$	$\frac{1}{\e}$	$$1$$	$\e$	$\e^2$	$$10$$	$$100$$
$\ln x$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$\approx 2{,}30$	$\approx 4{,}60$

Le logarithme croît très lentement : $\ln(100)\approx 4{,}6$ seulement.

Le cours formel

Définition du logarithme népérien

À toi d’essayer

Retrouver la question posée au logarithme

Calcule $\ln(\e^{-3})$ , $\e^{\ln(1/4)}$ et $\ln1$ . Les expressions $\ln(-3)$ et $\ln(\e^{-3})$ ont-elles le même sens ? Puis déduis de $(a,\e^a)$ un point de la courbe du logarithme.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le logarithme prend en entrée un nombre positif et renvoie l'exposant qui le produit.

Indice 2 · Un pas de plus

La quantité $\e^{-3}$ est positive ; son logarithme peut être négatif. Les coordonnées s'échangent pour la fonction réciproque.

Voir l’explication

On obtient respectivement $$-3$$ , $$1/4$$ et 0. Le logarithme réel de $$-3$$ n'est pas défini, tandis que $\ln(\e^{-3})=-3$ est défini : l'argument et le résultat n'ont pas la même contrainte de signe. Si $\e^a=b$ , alors $\ln b=a$ ; le point $$(a,b)$$ devient $$(b,a)$$ . Réessaie avec $$a=0$$ , $$a=1$$ , puis $$a=-1$$ .

Schéma : Définition du logarithme népérien

Même unité sur les deux axes : le segment pointillé entre les deux points est perpendiculaire à $$y=x$$ , qui le coupe en son milieu. Le dessin montre l'échange des coordonnées ; il ne prouve pas à lui seul les limites.

Exemple · Un domaine qui possède deux morceaux

Pour $F(x)=\ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)$ , il faut un quotient défini et strictement positif. Les valeurs critiques sont $$-1$$ (numérateur nul) et 2 (dénominateur nul).

$$x$$	$]-\infty,-1[$	$$-1$$	$$]-1,2[$$	$$2$$	$]2,+\infty[$
$$x+1$$	$$-$$	0	$$+$$	$$+$$	$$+$$
$$x-2$$	$$-$$	$$-$$	$$-$$	0	$$+$$
quotient	$$+$$	0	$$-$$	non défini	$$+$$

Ainsi $D_F=]-\infty,-1[\cup]2,+\infty[$ . Deux facteurs négatifs peuvent donner un quotient positif : imposer séparément $$x+1>0$$ et $$x-2>0$$ ferait perdre tout le premier intervalle.

À toi d’essayer

Un logarithme défini ne peut pas toujours se décomposer

Compare les domaines de $F(x)=\ln(x^2-1)$ et $G(x)=\ln(x-1)+\ln(x+1)$ . Calcule le sens de chacune des expressions en $$x=-2$$ . Sur quel domaine peut-on les identifier ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le produit $$(x-1)(x+1)$$ peut être positif avec deux facteurs négatifs. Deux logarithmes séparés exigent deux arguments positifs.

Indice 2 · Un pas de plus

Le domaine de $$F$$ est $]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$ ; celui de $$G$$ exige $$x>1$$ .

Voir l’explication

En $$x=-2$$ , $F(-2)=\ln3$ existe, mais $$G(-2)$$ demanderait $\ln(-3)$ et $\ln(-1)$ , non définis dans $\R$ . On a $$F=G$$ sur $]1,+\infty[$ seulement. La formule produit s'applique quand chaque facteur est positif, pas seulement leur produit. Sur tout le domaine de $$F$$ , on peut écrire $F(x)=\ln|x-1|+\ln|x+1|$ , car les deux valeurs absolues sont positives et leur produit vaut $$x^2-1$$ . Réessaie avec $\ln(x^2)$ et $2\ln x$ .

Propriétés algébriques

Une preuve à construire

Pourquoi un produit devient-il une somme ?

Pour $$a>0$$ et $$b>0$$ , démontre $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ à partir de l'exponentielle. Énonce les conditions avant le calcul.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pose $\alpha=\ln a$ et $\beta=\ln b$ , puis calcule l'exponentielle de $\alpha+\beta$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les relations inverses donnent $\e^\alpha=a$ et $\e^\beta=b$ .

Voir la preuve expliquée

Les hypothèses rendent $\ln a$ , $\ln b$ et $\ln(ab)$ définis. La relation fonctionnelle de l'exponentielle donne

\begin{aligned}\e^{\alpha+\beta} &= \e^\alpha\e^\beta\\[.35em]&= ab.\end{aligned}

Par définition, $\ln(ab)$ est l'unique exposant dont l'exponentielle vaut $$ab$$ ; donc

\begin{aligned}\ln(ab) &= \alpha+\beta\\[.35em]&= \ln a+\ln b .\end{aligned}

Réessaie avec $$b=1/a$$ et déduis la formule du logarithme de l'inverse.

Démonstration · Des propriétés 2 à 5

2. $b\cdot\frac{1}{b}=1$ , donc

\begin{aligned}\ln b+\ln(\frac{1}{b}) &= \ln 1\\[.35em]&= 0 ,\end{aligned}

d'où $\ln(\frac{1}{b})=-\ln b$ .

\begin{aligned}\ln(\frac{a}{b}) &= \ln(a\cdot\frac{1}{b})\\[.35em]&= \ln a+\ln(\frac{1}{b})\\[.35em]&= \ln a-\ln b .\end{aligned}

4. Pour $n\in\N^*$ :

\begin{aligned}\ln(a^n) &= \ln(\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n})\\[.35em]&= \underbrace{\ln a+\cdots+\ln a}_{n}\\[.35em]&= n\ln a .\end{aligned}

Pour $$n=0$$ :

\begin{aligned}\ln(a^0) &= \ln 1\\[.35em]&= 0\\[.35em]&= 0\cdot\ln a .\end{aligned}

Pour $$n<0$$ :

\begin{aligned}\ln(a^n) &= \ln(\frac{1}{a^{-n}})\\[.35em]&= -\ln(a^{-n})\\[.35em]&= -(-n)\ln a\\[.35em]&= n\ln a .\end{aligned}

5. Puisque $$a>0$$ , la racine $\sqrt a$ est positive. La formule du produit appliquée à $\sqrt a\times\sqrt a=a$ donne

2\ln(\sqrt a)=\ln a, \qquad \ln(\sqrt a)=\frac12\ln a.

On utilise ainsi la formule du carré déjà établie pour un exposant entier, sans supposer une extension encore non démontrée.

À toi d’essayer

Simplifier en conservant les conditions

Pour $$x>0$$ , simplifie $A(x)=\ln(4x^2)-2\ln(2x)$ . Peut-on conserver ce calcul à $$x=-1$$ ? Compare avec $B(x)=\ln(4x^2)-2\ln|2x|$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Décompose les produits uniquement lorsque leurs facteurs sont positifs.

Indice 2 · Un pas de plus

Sur $$x>0$$ , $\ln(4x^2)=2\ln2+2\ln x$ et $2\ln(2x)=2\ln2+2\ln x$ .

Voir l’explication

Les deux développements sont égaux, donc $$A(x)=0$$ pour tout $$x>0$$ . En $$x=-1$$ , le premier terme existe mais $\ln(2x)$ n'existe pas : la simplification ne prolonge pas automatiquement la fonction initiale. Pour $$B$$ , $$|2x|>0$$ dès que $x\ne0$ et $$4x^2=|2x|^2$$ , donc $$B(x)=0$$ sur $\R\setminus\{0\}$ . Réessaie avec $\ln(9x^2)-2\ln|3x|$ .

Signe du logarithme

Étude complète de la fonction $\ln$

Une preuve à construire

Démonstration du programme : dérivée du logarithme

En admettant la dérivabilité de $\ln$ sur $]0,+\infty[$ , démontre $(\ln)'(x)=1/x$ . Ne confonds pas l'existence de la dérivée et le calcul de sa valeur.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dérive l'identité $\e^{\ln x}=x$ par composition.

Indice 2 · Un pas de plus

La dérivée du membre de gauche est $\e^{\ln x}(\ln)'(x)$ .

Voir la preuve expliquée

Sur $]0,+\infty[$ , les deux fonctions sont dérivables par l'hypothèse admise et la règle de composition. En dérivant l'identité,

\e^{\ln x}(\ln)'(x)=1.

Comme $\e^{\ln x}=x>0$ , on divise par $$x$$ et on obtient $(\ln)'(x)=1/x$ . La limite $\ln(1+h)/h\to1$ sera une conséquence de cette dérivée ; l'utiliser ici sans preuve préalable rendrait le raisonnement circulaire. Réessaie pour déterminer la pente et l'équation de la tangente au point d'abscisse 2.

Propriété · Variations et tableau

$\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ (car $(\ln x)'=\frac{1}{x}>0$ ).

$\ln$ est concave sur $]0,+\infty[$ (car $(\ln x)''=-\frac{1}{x^2}<0$ ).

$$x$$	$$0^+$$		$+\infty$
$\frac{1}{x}$		$$+$$
$\ln x$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

À toi d’essayer

Croître de moins en moins vite ne signifie pas décroître

Compare les pentes de $\ln$ en $$1/2$$ , 1 et 2. La fonction finit-elle par décroître ? Écris sa tangente en 2 puis compare, à $$x=1$$ , la courbe et cette tangente.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les pentes valent $$1/x$$ : elles diminuent mais restent positives. La concavité place la courbe sous ses tangentes.

Indice 2 · Un pas de plus

La tangente en 2 a pour équation $T(x)=\ln2+(x-2)/2$ . En 1, sa valeur est $\ln2-1/2$ .

Voir l’explication

Les pentes valent 2, 1 et $$1/2$$ : la fonction reste strictement croissante puisque chaque pente est positive. Elle est concave car sa dérivée décroît. La tangente est $T(x)=\ln2+(x-2)/2$ ; au point $$x=1$$ , la courbe vaut 0 et se trouve sous la tangente, donc $0\leqslant\ln2-1/2$ . La lenteur de la croissance n'implique pas une limite finie. Réessaie avec la tangente en $$a=1/2$$ .

Une preuve à construire

Encadrer le logarithme autour de 1

Prouve, pour $$x>0$$ , $\ln x\leqslant x-1$ , avec égalité seulement en 1. Déduis-en $1-1/x\leqslant\ln x\leqslant x-1$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Étudie le minimum de $g(x)=x-1-\ln x$ . Pour la borne inférieure, applique la borne supérieure à $$1/x$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

On a $$g'(x)=(x-1)/x$$ . Et $\ln(1/x)=-\ln x$ .

Voir la preuve expliquée

Le dénominateur de $$g'$$ est positif ; $$g$$ décroît strictement sur $$]0,1]$$ puis croît strictement sur $[1,+\infty[$ . Son minimum est $$g(1)=0$$ , atteint uniquement en 1. Donc $\ln x\leqslant x-1$ , avec égalité uniquement en 1. Appliquée à $$1/x>0$$ , cette inégalité donne $-\ln x\leqslant1/x-1$ . Multiplier par $$-1$$ renverse l'ordre et donne $\ln x\geqslant1-1/x$ . Pour $x\ne1$ , les deux bornes sont strictes. Réessaie avec $$x=1{,}1$$ : écris des bornes rationnelles de $\ln(1{,}1)$ .

Limites de référence

À toi d’essayer

Regarder l'argument avant de choisir une limite

Détermine les limites de $\ln(2-x)$ en $x\to2^-$ et de $\ln(x^2+1)$ en $x\to+\infty$ . Peut-on demander une limite réelle de $\ln(2-x)$ en $$2^+$$ ? Puis calcule $\lim_{h\to0}\ln(1+3h)/h$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

L'argument tend respectivement vers $$0^+$$ et $+\infty$ . Pour la dernière limite, crée le dénominateur $$3h$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Au voisinage de 0, $$1+3h>0$$ . Le quotient vaut $3\ln(1+3h)/(3h)$ pour $h\ne0$ .

Voir l’explication

La première limite est $-\infty$ et la seconde $+\infty$ , par composition. La fonction $\ln(2-x)$ n'est pas définie pour $$x>2$$ , donc la limite demandée à droite n'est pas une limite de cette fonction réelle sur son domaine. Enfin le taux d'accroissement en 1 donne une limite égale à 3. Réessaie avec $\ln(1-h)/(2h)$ et justifie son domaine près de 0.

Croissances comparées

Une preuve à construire

Transformer une comparaison logarithmique en comparaison exponentielle

Prouve $\ln x/x\to0$ en $+\infty$ , puis $\ln x/x^n\to0$ pour tout entier $n\geqslant1$ . Explique aussi pourquoi $(\ln x)^m/x\to0$ pour tout entier $m\geqslant1$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pose $t=\ln x$ ; alors $x=\e^t$ et $t\to+\infty$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les quotients deviennent $t/\e^t$ , $t/\e^{nt}$ et $t^m/\e^t$ .

Voir la preuve expliquée

La limite $\ln x\to+\infty$ justifie $t\to+\infty$ . La première expression vaut $t/\e^t$ , qui tend vers 0 par la croissance comparée de la fiche 10. Pour $n\geqslant1$ ,

\frac{\ln x}{x^n}=\frac{t}{\e^{nt}}\longrightarrow0.

Pour $m\geqslant1$ , on obtient

\begin{aligned}(\ln x)^m/x &= t^m/\e^t\\[.35em]&\to 0 .\end{aligned}

Dans chaque cas, les paramètres sont fixés avant de faire tendre la variable vers l'infini. La même substitution fonctionne pour $x^\alpha=\e^{\alpha\ln x}$ , $\alpha>0$ . Réessaie avec $(\ln x)^2/\sqrt x$ .

Une preuve à construire

Démonstration du programme : la limite de $x\ln x$ en zéro

Démontre $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ . Précise le signe de l'expression et explique pourquoi elle n'est pas définie en 0 malgré cette limite.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pose $$t=1/x$$ , qui tend vers $+\infty$ lorsque $x\to0^+$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise $\ln(1/t)=-\ln t$ puis la limite démontrée au-dessus.

Voir la preuve expliquée

Pour $$x>0$$ , la substitution donne

\begin{aligned}x\ln x&=\frac1t\ln\!\left(\frac1t\right)\\[.35em]&=-\frac{\ln t}{t}\longrightarrow0.\end{aligned}

Sur $$]0,1[$$ , $$x>0$$ et $\ln x<0$ : le produit tend vers 0 en restant négatif. Le symbole $0\ln0$ ne définit aucun nombre. On peut définir une nouvelle fonction $$F$$ par $F(x)=x\ln x$ pour $$x>0$$ et $$F(0)=0$$ : c'est son prolongement continu à droite. Réessaie avec $x^2\ln x$ , puis avec $x^\alpha\ln x$ pour $\alpha>0$ .

À toi d’essayer

Résoudre trois formes différentes

Calcule les limites de $A(x)=x-2\ln x$ en $+\infty$ , de $B(x)=\ln(x^2+1)/x$ en $+\infty$ , et de $C(x)=\e^{x\ln x}$ en $$0^+$$ . Justifie les transformations exactes avant de passer à la limite.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Factorise A par $$x$$ . Dans B, écris $$x^2+1=x^2(1+1/x^2)$$ pour $$x>0$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

B devient $2\ln x/x+\ln(1+1/x^2)/x$ . Pour C, son exposant tend vers 0.

Voir l’explication

On a

\begin{aligned}A &= x(1-2\ln x/x)\\[.35em]&\to +\infty ,\end{aligned}

puisque le facteur entre parenthèses tend vers 1. Pour B, la décomposition du logarithme est autorisée car ses deux facteurs sont positifs ; le premier quotient tend vers 0 et le second est le produit de deux quantités tendant vers 0 : $\ln(1+1/x^2)$ et $$1/x$$ . Ainsi $B\to0$ . Enfin la continuité de l'exponentielle donne

\begin{aligned}C &\to \e^0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

Cette dernière limite ne donne pas un sens universel au symbole $$0^0$$ . Réessaie avec $x+\ln x$ en $$0^+$$ : la croissance comparée de $x\ln x$ ne concerne pas cette somme.

Dérivée de $\ln u$

Pour $G(x)=\ln(4-x^2)$ , observe séparément les intersections avec l'axe horizontal et le point où la pente s'annule. Les coordonnées exactes de $$A$$ , $$B$$ et $$S$$ restent à calculer. Les droites en pointillés sont des asymptotes aux bords exclus du domaine.

À toi d’essayer

Domaine, dérivée, signe : trois étapes

Étudie le domaine et les variations de $G(x)=\ln(4-x^2)$ . Compare le signe de $$G$$ avec celui de $$G'$$ ; donnent-ils le même découpage ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Il faut $$4-x^2>0$$ . Sur ce domaine, le dénominateur de $$G'=-2x/(4-x^2)$$ est positif.

Indice 2 · Un pas de plus

Le signe de $$G$$ se trouve en comparant $$4-x^2$$ à 1 ; ses zéros sont $\pm\sqrt3$ .

Voir l’explication

Le domaine est $$]-2,2[$$ . La dérivée $$G'(x)=-2x/(4-x^2)$$ est positive à gauche de 0 et négative à droite : maximum $G(0)=\ln4$ . Le signe de $$G$$ est positif sur $]-\sqrt3,\sqrt3[$ , nul en $\pm\sqrt3$ , négatif dans les deux morceaux restants du domaine. Les zéros de $$G$$ et de $$G'$$ n'ont donc pas le même rôle. Aux deux bords du domaine, $G\to-\infty$ . Réessaie avec $\ln(x^2+1)$ : quel changement de domaine et de variations ?

À toi d’essayer

Le logarithme de la valeur absolue couvre un intervalle négatif

Vérifie qu'une primitive de $$1/(x-2)$$ sur $]-\infty,2[$ est $F(x)=\ln(2-x)$ . Peut-on utiliser la même écriture sur $]2,+\infty[$ ? Propose une écriture commune avec une valeur absolue.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sur le premier intervalle, $$2-x>0$$ . Dériver son logarithme produit le quotient $$-1/(2-x)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Ce quotient est égal à $$1/(x-2)$$ . Sur le second intervalle, utilise $\ln(x-2)$ .

Voir l’explication

Sur $]-\infty,2[$ ,

\begin{aligned}F'(x) &= -1/(2-x)\\[.35em]&= 1/(x-2) .\end{aligned}

L'écriture $\ln(2-x)$ n'est pas définie sur le second intervalle, où l'on prend $\ln(x-2)$ . L'écriture $\ln|x-2|$ permet les deux calculs, à condition d'exclure 2 ; les constantes additives peuvent être différentes sur les deux intervalles. Réessaie avec $$2x/(x^2-1)$$ sur chacun de ses trois intervalles de définition.

Équations et inéquations avec $\ln$

À toi d’essayer

Garder le domaine tout au long de la résolution

Résous $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8$ . Puis résous $(\ln x)^2+\ln x-2=0$ . Compare la contrainte sur $X=\ln x$ avec celle sur $X=\e^x$ de la fiche précédente.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La première équation exige $$x>1$$ . Dans la seconde, $$x>0$$ , mais $$X$$ peut être n'importe quel réel.

Indice 2 · Un pas de plus

La première conduit à $$x^2-1=8$$ . Le polynôme en $$X$$ se factorise en $$(X+2)(X-1)$$ .

Voir l’explication

Pour $$x>1$$ , la première équation équivaut à $$x^2=9$$ . Parmi les candidats $$-3$$ et 3, seul 3 appartient au domaine initial. Pour la seconde, $$X=-2$$ ou $$X=1$$ sont tous deux permis : $\ln x$ peut être négatif. Les deux solutions sont $x=\e^{-2}$ et $x=\e$ . En revanche, une substitution $X=\e^x$ impose $$X>0$$ . Réessaie avec $\ln(x-2)+\ln x=\ln3$ , puis $(\ln x)^2=0$ .

À toi d’essayer

Une borne du domaine reste exclue

Résous $\ln(3-x)\leqslant\ln2$ , puis $\ln x\leqslant-1$ . Peut-on multiplier la seconde inégalité par $\ln x$ sans distinguer de cas ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La première exige $$x<3$$ ; dans la seconde, le domaine est $$x>0$$ . La croissance du logarithme conserve l'ordre entre arguments positifs.

Indice 2 · Un pas de plus

On obtient $3-x\leqslant2$ et $x\leqslant\e^{-1}$ , puis on intersecte avec chaque domaine.

Voir l’explication

Pour la première, $x\geqslant1$ et $$x<3$$ , donc $$S=[1,3[$$ . Pour la seconde, $S=]0,\e^{-1}]$ . Multiplier par $\ln x$ demande de connaître son signe et éventuellement de renverser l'ordre ; il est négatif pour $$0<x<1$$ et nul en 1. La stricte croissance du logarithme ne dispense pas des règles algébriques sur les inégalités. Réessaie avec $\ln(2x-1)>\ln3$ .

À toi d’essayer

Une inégalité stricte change le premier entier

On a $$v_n=80(1/2)^n$$ pour $n\in\N$ . Trouve le premier rang tel que $v_n\leqslant10$ , puis celui tel que $$v_n<10$$ . Vérifie les rangs retenus.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris $$10/80=(1/2)^3$$ et utilise la décroissance de $x\mapsto(1/2)^x$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La première condition est $n\geqslant3$ ; la seconde $$n>3$$ .

Voir l’explication

Le premier rang vaut 3 pour la condition large, car $$v_2=20$$ et $$v_3=10$$ . Pour la condition stricte, 3 ne convient pas ; le premier rang vaut 4 et $$v_4=5$$ . La fonction plafond seule ne traite pas correctement un seuil strict lorsque le quotient logarithmique tombe exactement sur un entier. Réessaie avec $v_n\leqslant5$ puis $$v_n<5$$ .

Logarithme décimal et changement de base

Échelle logarithmique : des distances égales correspondent ici à des facteurs dix, pas à des écarts de valeur égaux.

À toi d’essayer

Au milieu d'une échelle logarithmique

Sur la graduation précédente, quelle valeur se trouve à mi-distance entre 10 et 100 ? Justifie sans prendre leur moyenne arithmétique. Pourquoi la base $$a=1$$ est-elle exclue de $\log_a$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les coordonnées logarithmiques sont 1 et 2 ; leur milieu est $$3/2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Résous $\log_{10}x=3/2$ . La fonction $$1^x$$ est constante.

Voir l’explication

Le milieu correspond à

\begin{aligned}x &= 10^{3/2}\\[.35em]&= 10\sqrt{10}\\[.35em]&\approx 31{,}62 .\end{aligned}

C'est la moyenne géométrique $\sqrt{10\times100}$ , et non 55. La base 1 est exclue car $\ln1=0$ ferait diviser par 0 ; surtout, $$1^x=1$$ ne permet pas de retrouver un exposant unique. Pour $$0<a<1$$ , $\log_a$ existe mais est décroissante, puisque $\ln a<0$ . Réessaie au milieu entre 1 et 1000.

Algorithme de Briggs : se rapprocher de 1 par des racines

$$x=2$$	$$y_n$$ approché	$$L_n$$ approché	$$U_n$$ approché
$$n=0$$	2	0,5	1
$$n=1$$	1,414214	0,585786	0,828427
$$n=2$$	1,189207	0,636414	0,756828
$$n=4$$	1,044274	0,678348	0,708381

Les colonnes décimales sont arrondies ; les formules $$L_n,U_n$$ donnent les véritables bornes exactes.

À toi d’essayer

Prédire une itération et lire l'erreur

Pour $$x=4$$ , calcule exactement $$y_1$$ , $$L_1$$ et $$U_1$$ . Le milieu garantit-il une erreur d'au plus $$1/2$$ ? Fais aussi ce calcul pour $$x=1/4$$ et compare les encadrements obtenus.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Après une racine carrée, $$y_1=2$$ pour 4 et $$y_1=1/2$$ pour $$1/4$$ . Le facteur est $$2^1=2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour 4, les bornes sont 1 et 2. Pour $$1/4$$ , elles sont $$-2$$ et $$-1$$ .

Voir l’explication

Pour 4,

\begin{aligned}L_1 &= 2(2-1)/2\\[.35em]&= 1\end{aligned}

\begin{aligned}U_1 &= 2(2-1)\\[.35em]&= 2\end{aligned}

le milieu $$3/2$$ a donc une erreur d'au plus $$1/2$$ . Pour $$1/4$$ , on obtient

\begin{aligned}L_1 &= 2(-1/2)/(1/2)\\[.35em]&= -2\end{aligned}

\begin{aligned}U_1 &= 2(-1/2)\\[.35em]&= -1 .\end{aligned}

C'est cohérent avec $\ln(1/4)=-\ln4$ . L'ordre des bornes reste valide pour les valeurs négatives du logarithme. Réessaie pour $$x=16$$ après deux racines carrées.

from math import sqrt, isfinite

def briggs(x, n):
    if not isfinite(x) or x <= 0:
        raise ValueError("x doit etre positif et fini")
    if type(n) is not int or not 0 <= n <= 30:
        raise ValueError("n entier entre 0 et 30")
    if x == 1:
        return 0.0, 0.0, 0.0
    y = x
    facteur = 1.0
    for _ in range(n):
        suivant = sqrt(y)
        if suivant == 1.0 or suivant == y:
            raise ArithmeticError("arrondi trop important")
        y = suivant
        facteur = 2 * facteur
    bas = facteur * ((y - 1) / y)
    haut = facteur * (y - 1)
    if not isfinite(bas) or not isfinite(haut):
        raise ArithmeticError("depassement numerique")
    milieu = bas / 2 + haut / 2
    return milieu, bas, haut

Ce code suit un nombre d'itérations fixé et expose les deux valeurs calculées. En machine, les racines et les opérations sont arrondies : les nombres retournés ne constituent pas un encadrement certifié. Le contrôle d'arrêt évite certaines stagnations, sans borner toutes les erreurs d'arrondi. Augmenter $$n$$ sans limite peut dégrader le résultat, car on soustrait deux nombres proches puis on multiplie par $$2^n$$ . Pour des exemples modérés, compare le résultat à la fonction logarithme de la calculatrice et au tableau ; le raisonnement d'encadrement porte sur les formules exactes.

Une preuve à construire

Pourquoi l'approximation exacte converge-t-elle ?

Pour $$x>0$$ fixé, justifie que les bornes exactes de Briggs convergent vers $\ln x$ . Précise le cas $$x=1$$ , puis utilise le taux d'accroissement de l'exponentielle en 0.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pose $t_n=(\ln x)/2^n$ ; alors $y_n=\e^{t_n}$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Si $x\ne1$ , on peut écrire $U_n=\ln x\,(\e^{t_n}-1)/t_n$ .

Voir la preuve expliquée

Si $$x=1$$ ,

\begin{aligned}L_n &= U_n\\[.35em]&= 0\\[.35em]&= \ln1 .\end{aligned}

Si $x\ne1$ , on a $t_n\ne0$ et $t_n\to0$ ; le taux de l'exponentielle donne

U_n=\ln x\frac{\e^{t_n}-1}{t_n}\longrightarrow\ln x.

De plus $$L_n=U_n/y_n$$ et $y_n\to1$ , donc $L_n\to\ln x$ . Leur différence tend vers 0 et leur milieu tend aussi vers $\ln x$ . Cette preuve concerne les suites mathématiques exactes ; elle ne supprime pas les arrondis de la machine. Réessaie en expliquant pourquoi $y_n\to1$ seul n'aurait pas suffi à traiter le facteur croissant $$2^n$$ .

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« résoudre $\e^x=\ldots$ »	passer au $\ln$
« résoudre $\ln x=\ldots$ »	exponentier
« étudier $f(x)=\ln(\ldots)$ »	domaine ( $$>0$$ ) + $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$
« limite de $\frac{\ln x}{\ldots}$ »	croissances comparées
« limite de $x^\alpha\ln x$ en $$0^+$$ »	$\to0$ si $\alpha>0$ (croissance comparée)
« primitive de $\frac{u'}{u}$ »	$\ln\|u\|+C$
« $2^x=\ldots$ , $3^n=\ldots$ »	$\ln$ des deux côtés

Attention · Cinq points à vérifier

Oublier le domaine. $\ln(2x-3)$ n'existe que pour $x>\frac{3}{2}$ . Penser à écrire les conditions de validité.
Confondre $\ln(a+b)$ et $\ln a+\ln b$ . Le $\ln$ transforme les produits en sommes, pas les sommes.
Confondre $(\ln x)^2$ et $\ln(x^2)$ . $\ln(x^2)=2\ln|x|$ pour $x\ne0$ , mais $(\ln x)^2=(\ln x)\times(\ln x)$ .
Préciser l'intervalle pour les primitives. Sur un intervalle inclus dans $]0,+\infty[$ , les primitives de $$1/x$$ s'écrivent $\ln x+C$ . Sur un intervalle inclus dans $]-\infty,0[$ , elles s'écrivent $\ln(-x)+C$ . L'écriture $\ln|x|+C$ réunit les deux cas, avec une constante choisie séparément sur chaque intervalle.
Se tromper de sens dans les croissances comparées. $\frac{\ln x}{x}\to 0$ , pas $+\infty$ . Cette comparaison concerne $x\to+\infty$ et le quotient indiqué.

Méthode · Récapitulatif

Résultat	Formule
Définition	$\ln x=y\iff x=\e^y$ ( $$x>0$$ )
Relation fonctionnelle	$\ln(ab)=\ln a+\ln b$
Dérivée	$(\ln x)'=\frac{1}{x}$ , $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$
Limites	$\lim_{0^+}\ln x=-\infty$ , $\lim_{+\infty}\ln x=+\infty$
Croiss. comparée	$\frac{\ln x}{x}\to 0$ en $+\infty$ , $x\ln x\to 0$ en $$0^+$$
Taux d'accroissement	$\frac{\ln(1+h)}{h}\to 1$ quand $h\to 0$
Changement de base	$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Calcul avec les propriétés

Simplifier sans calculatrice :

$\ln\e^5-2\ln\e$
$\ln 4+\ln 25$
$\ln\frac{\e^3}{\sqrt{\e}}$
$\e^{2\ln 3}$
$\ln\sqrt[3]{\e^6}$
$3\ln 2-\ln 4+\ln 50$

Exercice 2 ★☆☆ : Domaine de définition

Déterminer l'ensemble de définition de :

$f(x)=\ln(3-x)$
$g(x)=\ln(x^2-4)$
$h(x)=\ln(\ln x)$
$k(x)=\ln\!\bigl(\frac{x+1}{x-2}\bigr)$

Exercice 3 ★☆☆ : Équations

Résoudre dans $\R$ :

$\ln(2x-1)=0$
$\ln x+\ln(x-2)=\ln 3$
$\e^{2x}-5\e^x+6=0$
$$2^x=7$$

Exercice 4 ★☆☆ : Inéquations

Résoudre :

$\ln(x-1)>0$
$\ln(3x+2)\leqslant 1$
$\ln x+\ln(x+2)\geqslant\ln 8$

Exercice 5 ★★☆ : Dérivées

Calculer la dérivée et préciser le domaine :

$f(x)=\ln(3x^2-1)$
$g(x)=x\ln x-x$
$h(x)=\ln\!\bigl(\frac{x+1}{x-1}\bigr)$
$k(x)=(\ln x)^2$

Exercice 6 ★★☆ : Limites et croissances comparées

Calculer :

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$
$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\ln x)^2-x$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^2+1)}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}$

Exercice 7 ★★☆ : Étude de fonction

$f(x)=\frac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Calculer les limites en $$0^+$$ et en $+\infty$ .
Calculer $$f'(x)$$ et dresser le tableau de variations.
En déduire que l'équation $\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{3}$ admet exactement deux solutions.

Exercice 8 ★★☆ : Étude de fonction avec paramètre

$f(x)=x-\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

Limites, dérivée, tableau de variations.
Montrer que $f(x)\geqslant 1$ pour tout $$x>0$$ (inégalité $\ln x\leqslant x-1$ ).
En déduire que pour tout $$x>0$$ : $\ln x\leqslant x-1$ .

Exercice 9 ★★☆ : Primitive et intégrale

Calculer $\displaystyle\int_1^\e\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ .
Calculer $\displaystyle\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x$ .
Déterminer une primitive de $f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+3}$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^1\frac{\e^x}{\e^x+1}\,\mathrm{d}x$ .

Exercice 10 ★★☆ : Suite et logarithme

$u_n=\ln\!\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)$ pour $n\geqslant 1$ .

Montrer que $$u_n>0$$ et que $$(u_n)$$ est décroissante.
Calculer $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$ (somme télescopique).
Déterminer $\lim S_n$ .

Exercice 11 ★★★ : Démonstrations

Démontrer que $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .
Démontrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ .
Démontrer que pour tout $$x>0$$ : $\ln x\leqslant x-1$ (avec égalité ssi $$x=1$$ ).

Exercice 12 ★★★ : Fonction $$x^x$$

Soit

\begin{aligned}f(x) &= x^x\\[.35em]&= \e^{x\ln x}\end{aligned}

pour $$x>0$$ .

Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)$ .
Calculer $$f'(x)$$ .
Étudier les variations de $$f$$ et dresser son tableau.
Déterminer le minimum de $$f$$ .

Approfondissement : logarithme, intégrales et série harmonique

On définit pour $$x>0$$ : $L(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t$ .

Partie A : $$L$$ coïncide avec $\ln$

Montrer que $$L$$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et calculer $$L'(x)$$ .
Calculer $$L(1)$$ .
Montrer que pour tous $$a,b>0$$ : $$L(ab)=L(a)+L(b)$$ .

Indication : fixer $$a>0$$ et dériver $$g(b)=L(ab)-L(b)$$ sur $]0,+\infty[$ , puis calculer $$g(1)$$ .
En déduire que $L=\ln$ .

Partie B : Encadrements intégraux

En encadrant $\frac{1}{t}$ sur $$[k,k+1]$$ ( $k\geqslant 1$ entier), montrer :
$\frac{1}{k+1}\leqslant\ln\!\Bigl(\frac{k+1}{k}\Bigr)\leqslant\frac{1}{k}$
Pour $n\geqslant2$ , en sommant pour $k=1,\ldots,n-1$ , montrer :
$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\leqslant\ln n\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$
En déduire que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=+\infty$ (divergence de la série harmonique).
Pour $n\geqslant1$ , montrer que la suite $\gamma_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$ est décroissante et minorée par $$0$$ . En déduire qu'elle converge vers une constante $\gamma$ (constante d'Euler–Mascheroni, $\gamma\approx 0{,}577$ ).

Partie C : Inégalités classiques

Montrer que pour tout $$x>-1$$ , $x\neq 0$ : $\ln(1+x)<x$ .

Indication : étudier $g(x)=x-\ln(1+x)$ .
En déduire que pour tout $$x>-1$$ , $x\neq 0$ : $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$ .
(Bonus) Montrer que pour tout $n\geqslant 1$ : $\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n<\e<\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n+1}$ .

Corrigés détaillés

Exercice 1

\begin{aligned}\ln\e^5-2\ln\e &= 5-2(1)\\[.35em]&= 3 .\end{aligned}

\begin{aligned}\ln 4+\ln 25 &= \ln(4\times 25)\\[.35em]&= \ln 100\\[.35em]&= \ln 10^2\\[.35em]&= 2\ln 10 .\end{aligned}

\begin{aligned}\ln\frac{\e^3}{\sqrt{\e}} &= \ln\e^3-\ln\e^{1/2}\\[.35em]&= 3-\frac{1}{2}\\[.35em]&= \frac{5}{2} .\end{aligned}

\begin{aligned}\e^{2\ln 3} &= \e^{\ln 3^2}\\[.35em]&= \e^{\ln 9}\\[.35em]&= 9 .\end{aligned}

\begin{aligned}\ln\sqrt[3]{\e^6} &= \ln\e^{6/3}\\[.35em]&= \ln\e^2\\[.35em]&= 2 .\end{aligned}

\begin{aligned}3\ln 2-\ln 4+\ln 50 &= \ln 2^3-\ln 4+\ln 50\\[.35em]&= \ln\frac{8\times 50}{4}\\[.35em]&= \ln 100\\[.35em]&= 2\ln 10 .\end{aligned}

Exercice 2

a) $3-x>0\iff x<3$ . $D_f=\;]-\infty,3[$ .

\begin{aligned}x^2-4>0\\[.35em]&\iff (x-2)(x+2)>0\\[.35em]&\iff x\in\;]-\infty,-2[\;\cup\;]2,+\infty[ .\end{aligned}

D_g=\;]-\infty,-2[\;\cup\;]2,+\infty[.

c) Il faut $$x>0$$ (pour que $\ln x$ existe) et $\ln x>0$ (pour que $\ln(\ln x)$ existe). $\ln x>0\iff x>1$ . $D_h=\;]1,+\infty[$ .

d) $\frac{x+1}{x-2}>0$ : tableau de signes. Positif sur $]-\infty,-1[\;\cup\;]2,+\infty[$ . $D_k=\;]-\infty,-1[\;\cup\;]2,+\infty[$ .

Exercice 3

\begin{aligned}\ln(2x-1)=0\\[.35em]&\iff 2x-1=\e^0=1\\[.35em]&\iff x=1 .\end{aligned}

Condition $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$ : OK.

b) Condition : $$x>0$$ et $$x-2>0$$ , soit $$x>2$$ . $\ln[x(x-2)]=\ln 3$ , donc $$x^2-2x=3$$ , $$x^2-2x-3=0$$ , $$(x-3)(x+1)=0$$ . Seul $$x=3>2$$ convient.

c) Posons $X=\e^x$ ( $$X>0$$ ). $$X^2-5X+6=0$$ , $$(X-2)(X-3)=0$$ , $$X=2$$ ou $$X=3$$ . Donc $x=\ln 2$ ou $x=\ln 3$ .

\begin{aligned}2^x=7\\[.35em]&\iff x\ln 2=\ln 7\\[.35em]&\iff x=\frac{\ln 7}{\ln 2}\approx 2{,}807 .\end{aligned}

Exercice 4

a) Condition : $x-1>0\iff x>1$ .

\begin{aligned}\ln(x-1)>0\\[.35em]&\iff x-1>1\\[.35em]&\iff x>2 .\end{aligned}

Solution : $x\in\;]2,+\infty[$ .

b) Condition : $3x+2>0\iff x>-\frac{2}{3}$ .

\begin{aligned}\ln(3x+2)\leqslant 1\\[.35em]&\iff 3x+2\leqslant\e\\[.35em]&\iff x\leqslant\frac{\e-2}{3} .\end{aligned}

Solution : $x\in\;\bigl]-\frac{2}{3},\frac{\e-2}{3}\bigr]$ .

c) Conditions : $$x>0$$ et $$x+2>0$$ , soit $$x>0$$ . $\ln[x(x+2)]\geqslant\ln 8\iff x(x+2)\geqslant 8$ (car $\ln$ croissante). $x^2+2x-8\geqslant 0$ , $(x+4)(x-2)\geqslant 0$ . Comme $$x>0$$ : $x\geqslant 2$ . Solution : $x\in[2,+\infty[$ .

Exercice 5

D_f=\{x\mid 3x^2-1>0\}=\;]-\infty,-\frac{1}{\sqrt{3}}[\;\cup\;]\frac{1}{\sqrt{3}},+\infty[.

f'(x)=\frac{6x}{3x^2-1}.

D_g=\;]0,+\infty[.

\begin{aligned}g'(x) &= \ln x+x\cdot\frac{1}{x}-1\\[.35em]&= \ln x+1-1\\[.35em]&= \ln x .\end{aligned}

Remarque : $g'(x)=\ln x$ , donc $$g'(x)<0$$ pour $$0<x<1$$ , $$g'(x)=0$$ pour $$x=1$$ , $$g'(x)>0$$ pour $$x>1$$ . Le minimum de $$g$$ est $$g(1)=-1$$ .

c) Le quotient $$(x+1)/(x-1)$$ est positif sur $D_h=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$ . Sur les deux intervalles, on peut dériver par composition :

u(x)=\frac{x+1}{x-1},\qquad u'(x)=-\frac2{(x-1)^2}.

Ainsi

\begin{aligned}h'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}\\[.35em]&=-\frac2{(x-1)^2}\frac{x-1}{x+1}\\[.35em]&=-\frac2{x^2-1}.\end{aligned}

La différence $\ln(x+1)-\ln(x-1)$ ne permettait de justifier ce résultat que sur $]1,+\infty[$ . L'écriture $\ln|x+1|-\ln|x-1|$ couvre aussi le premier intervalle.

D_k=\;]0,+\infty[.

k(x)=(\ln x)^2.

\begin{aligned}k'(x) &= 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\\[.35em]&= \frac{2\ln x}{x} .\end{aligned}

Exercice 6

\begin{aligned}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} &= \frac{\ln x}{x^{1/2}}\\[.35em]&\to 0\end{aligned}

par croissance comparée ( $\alpha=\frac{1}{2}$ ).

b) $x^2\ln x\to 0$ en $$0^+$$ par croissance comparée (variante 4 avec $$n=2$$ ).

c) $(\ln x)^2-x=x\Bigl(\frac{(\ln x)^2}{x}-1\Bigr)$ . Or $\frac{(\ln x)^2}{x}\to 0$ (variante 2 avec $$n=2$$ ), donc le facteur tend vers $$-1$$ , et $x\to+\infty$ : $(\ln x)^2-x\to-\infty$ .

d) Pour $$x>0$$ , les facteurs $$x^2$$ et $$1+1/x^2$$ sont positifs. On peut écrire exactement

\begin{aligned}\frac{\ln(x^2+1)}{x}&=\frac{\ln\!\bigl(x^2(1+1/x^2)\bigr)}{x}\\[.35em]&=2\frac{\ln x}{x}+\frac{\ln(1+1/x^2)}{x}.\end{aligned}

En $+\infty$ , le premier terme tend vers 0 par croissance comparée. Dans le second, le numérateur tend vers $\ln1=0$ et $1/x\to0$ , donc le produit tend vers 0. La limite est 0. Cette décomposition évite de supposer une règle générale sur les logarithmes d'expressions équivalentes.

e) $\frac{\ln x}{x-1}$ . Posons

\begin{aligned}h &= x-1\\[.35em]&\to 0 .\end{aligned}

$\frac{\ln(1+h)}{h}\to 1$ (taux d'accroissement de $\ln$ en 1). Donc la limite est $\mathbf{1}$ .

Exercice 7

$f(x)=\frac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

a) En $$0^+$$ : $\ln x\to-\infty$ et $x\to 0^+$ , donc $f(x)\to-\infty$ .

En $+\infty$ : $\frac{\ln x}{x}\to 0$ par croissance comparée.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}\\[.35em]&= \frac{1-\ln x}{x^2} .\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x)=0\\[.35em]&\iff \ln x=1\\[.35em]&\iff x=\e .\end{aligned}

$$f'(x)>0$$ pour $x<\e$ , $$f'(x)<0$$ pour $x>\e$ .

$$x$$	$$0^+$$		$\e$		$+\infty$
$$f'(x)$$		$$+$$	$$0$$	$$-$$
$$f(x)$$	$-\infty$	$\nearrow$	$\frac{1}{\e}$	$\searrow$	$$0$$

Maximum

\begin{aligned}f(\e) &= \frac{\ln\e}{\e}\\[.35em]&= \frac{1}{\e}\\[.35em]&\approx 0{,}368 .\end{aligned}

c) $\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{3}$ , soit $f(x)=\frac{1}{3}$ . Comme $\frac{1}{3}<\frac{1}{\e}\approx 0{,}368$ : la droite $y=\frac{1}{3}$ coupe la courbe en deux points.

Sur $]0,\e]$ : $$f$$ strictement croissante de $-\infty$ à $\frac{1}{\e}$ , et $\frac{1}{3}\in]-\infty,\frac{1}{\e}[$ : unique solution par le corollaire du TVI.

Sur $[\e,+\infty[$ : $$f$$ strictement décroissante de $\frac{1}{\e}$ à $$0$$ , et $\frac{1}{3}\in]0,\frac{1}{\e}[$ : unique solution par le corollaire du TVI.

Total : exactement deux solutions.

Exercice 8

$f(x)=x-\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

a) En $$0^+$$ : $x\to 0$ et $-\ln x\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ .

En $+\infty$ :

\begin{aligned}f(x) &= x(1-\frac{\ln x}{x})\\[.35em]&\to +\infty\cdot(1-0)\\[.35em]&= +\infty .\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{x}\\[.35em]&= \frac{x-1}{x} .\end{aligned}

$f'(x)=0\iff x=1$ . $$f'<0$$ sur $$]0,1[$$ , $$f'>0$$ sur $]1,+\infty[$ .

$$x$$	$$0^+$$		$$1$$		$+\infty$
$$f'(x)$$		$$-$$	$$0$$	$$+$$
$$f(x)$$	$+\infty$	$\searrow$	$$1$$	$\nearrow$	$+\infty$

b) Le minimum de $$f$$ est

\begin{aligned}f(1) &= 1-\ln 1\\[.35em]&= 1-0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

Donc pour tout $$x>0$$ : $f(x)\geqslant 1$ , i.e. $x-\ln x\geqslant 1$ .

c) $x-\ln x\geqslant 1\iff \ln x\leqslant x-1$ pour tout $$x>0$$ .

Égalité quand $$x=1$$ (l'unique minimum). C'est l'inégalité $\boxed{\ln x\leqslant x-1}$ , fondamentale en analyse.

Interprétation géométrique : la courbe $y=\ln x$ est entièrement en dessous de sa tangente en $$(1,0)$$ , qui est $$y=x-1$$ . Cela traduit la concavité de $\ln$ .

Exercice 9

\begin{aligned}\displaystyle\int_1^\e\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x &= [\ln x]_1^\e\\[.35em]&= \ln\e-\ln 1\\[.35em]&= 1-0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

b) $\frac{2x}{x^2+1}=\frac{u'}{u}$ avec $$u(x)=x^2+1$$ . Donc

\begin{aligned}\displaystyle\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x &= [\ln(x^2+1)]_1^2\\[.35em]&= \ln 5-\ln 2\\[.35em]&= \ln\frac{5}{2} .\end{aligned}

\[x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0.\]

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x+1}{x^2+2x+3}\\[.35em]&= \frac{1}{2}\cdot\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}\\[.35em]&= \frac{1}{2}\cdot\frac{u'}{u}\end{aligned}

avec $$u=x^2+2x+3$$ ,

\begin{aligned}u' &= 2x+2\\[.35em]&= 2(x+1) .\end{aligned}

Primitive : $F(x)=\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+3)+C$ .

\frac{\e^x}{\e^x+1}=\frac{u'}{u}

avec

u(x)=\e^x+1.

\begin{aligned}\displaystyle\int_0^1\frac{\e^x}{\e^x+1}\,\mathrm{d}x &= [\ln(\e^x+1)]_0^1\\[.35em]&= \ln(\e+1)-\ln 2\\[.35em]&= \ln\!\Bigl(\frac{\e+1}{2}\Bigr) .\end{aligned}

Exercice 10

a) $u_n=\ln(1+\frac{1}{n})$ . Comme $\frac{1}{n}>0$ , $1+\frac{1}{n}>1$ , donc $u_n=\ln(1+\frac{1}{n})>0$ .

Décroissance :

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \ln(1+\frac{1}{n+1})-\ln(1+\frac{1}{n})\\[.35em]&= \ln\!\Bigl(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\Bigr)\\[.35em]&= \ln\!\Bigl(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\Bigr) .\end{aligned}

Or $$n(n+2)=n^2+2n<n^2+2n+1=(n+1)^2$$ , donc $\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}<1$ et $u_{n+1}-u_n<0$ .

\begin{aligned}S_n &= \sum_{k=1}^n\ln\!\bigl(\frac{k+1}{k}\bigr)\\[.35em]&= \sum_{k=1}^n[\ln(k+1)-\ln k]\end{aligned}

somme télescopique.

\begin{aligned}S_n &= \ln(n+1)-\ln 1\\[.35em]&= \ln(n+1) .\end{aligned}

\begin{aligned}S_n &= \ln(n+1)\\[.35em]&\to +\infty\end{aligned}

quand $n\to+\infty$ .

Exercice 11

a) Posons $\alpha=\ln a$ , $\beta=\ln b$ (i.e. $a=\e^\alpha$ , $b=\e^\beta$ ). Alors

\begin{aligned}ab &= \e^\alpha\cdot\e^\beta\\[.35em]&= \e^{\alpha+\beta} .\end{aligned}

En appliquant $\ln$ :

\begin{aligned}\ln(ab) &= \alpha+\beta\\[.35em]&= \ln a+\ln b .\end{aligned}

b) Pour $$x>0$$ , posons $x=\e^t$ . Quand $x\to+\infty$ , $t\to+\infty$ . $\frac{\ln x}{x}=\frac{t}{\e^t}$ .

Pour $$t>0$$ , l'inégalité de la tangente $\e^{t/2}\geqslant1+t/2\geqslant t/2$ se met au carré entre quantités positives : $\e^t\geqslant t^2/4$ . Donc

0\leqslant\frac{t}{\e^t}\leqslant\frac4t\longrightarrow0.

Cette preuve utilise une inégalité déjà démontrée, sans développement de Taylor.

Par le théorème des gendarmes (car $\frac{t}{\e^t}\geqslant 0$ ) : $\frac{\ln x}{x}\to 0$ .

c) $g(x)=x-1-\ln x$ pour $$x>0$$ .

\begin{aligned}g'(x) &= 1-\frac{1}{x}\\[.35em]&= \frac{x-1}{x} .\end{aligned}

$$g'(x)<0$$ sur $$]0,1[$$ , $$g'(x)=0$$ en $$x=1$$ , $$g'(x)>0$$ sur $]1,+\infty[$ .

Minimum en $$x=1$$ : $$g(1)=0$$ . Donc $g(x)\geqslant 0$ pour tout $$x>0$$ , avec égalité ssi $$x=1$$ .

D'où $\ln x\leqslant x-1$ pour tout $$x>0$$ .

Exercice 12

\begin{aligned}f(x) &= x^x\\[.35em]&= \e^{x\ln x}\end{aligned}

pour $$x>0$$ .

a) $\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$ (croissance comparée). Donc

\begin{aligned}\e^{x\ln x} &\to \e^0\\[.35em]&= 1 .\end{aligned}

\lim_{x\to 0^+}f(x)=1.

b) Posons $\varphi(x)=x\ln x$ , alors $f(x)=\e^{\varphi(x)}$ .

\begin{aligned}\varphi'(x) &= \ln x+x\cdot\frac{1}{x}\\[.35em]&= \ln x+1 .\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= \varphi'(x)\cdot\e^{\varphi(x)}\\[.35em]&= (\ln x+1)\cdot x^x .\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x)=0\\[.35em]&\iff \ln x+1=0\\[.35em]&\iff \ln x=-1\\[.35em]&\iff x=\e^{-1}=\frac{1}{\e}\end{aligned}

(car $$x^x>0$$ toujours).

$$f'(x)<0$$ pour $0<x<\frac{1}{\e}$ (car $\ln x<-1$ ), $$f'(x)>0$$ pour $x>\frac{1}{\e}$ .

$$x$$	$$0^+$$		$\frac{1}{\e}$		$+\infty$
$$f'(x)$$		$$-$$	$$0$$	$$+$$
$$f(x)$$	$$1$$	$\searrow$	$\e^{-1/\e}$	$\nearrow$	$+\infty$

d) Minimum :

\begin{aligned}f\!\bigl(\frac{1}{\e}\bigr) &= \bigl(\frac{1}{\e}\bigr)^{1/\e}\\[.35em]&= \e^{-1/\e}\\[.35em]&\approx 0{,}692 .\end{aligned}

Corrigé du problème

Partie A : $$L$$ coïncide avec $\ln$

1. Par le théorème fondamental de l'analyse, $L(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $L'(x)=\frac{1}{x}$ .

\begin{aligned}L(1) &= \int_1^1\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\\[.35em]&= 0 .\end{aligned}

3. Fixons $$a>0$$ . La fonction $$g(b)=L(ab)-L(b)$$ est définie et dérivable pour $$b>0$$ , car $$ab>0$$ . Par composition,

\begin{aligned}g'(b) &= aL'(ab)-L'(b)\\[.35em]&= \frac a{ab}-\frac1b\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

Elle est constante sur $]0,+\infty[$ , avec valeur

\begin{aligned}g(1) &= L(a)-L(1)\\[.35em]&= L(a) .\end{aligned}

Donc $$L(ab)-L(b)=L(a)$$ , ce qui donne la relation demandée. Cette preuve fonctionne aussi pour $$a<1$$ ou $$b<1$$ , sans changement de variable intégral supplémentaire.

4. On a montré que $$L$$ est dérivable,

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{x}\\[.35em]&= (\ln x)' ,\end{aligned}

\begin{aligned}L(1) &= 0\\[.35em]&= \ln 1 .\end{aligned}

Deux primitives de $\frac{1}{x}$ ne diffèrent que d'une constante : $L(x)=\ln x+C$ . Or

\begin{aligned}L(1) &= \ln 1\\[.35em]&= 0\end{aligned}

donc $$C=0$$ et $L=\ln$ .

Partie B : Encadrements intégraux

Cas $$k=2$$ : la largeur des rectangles vaut 1. L'aire sous la courbe est comprise entre celle du rectangle plein de hauteur $$1/3$$ et celle du rectangle pointillé de hauteur $$1/2$$ .

5. Sur $$[k,k+1]$$ : $\frac{1}{k+1}\leqslant\frac{1}{t}\leqslant\frac{1}{k}$ (car $k\leqslant t\leqslant k+1$ et $t\mapsto\frac{1}{t}$ décroissante). En intégrant sur $$[k,k+1]$$ (intervalle de longueur 1) :

\frac{1}{k+1}\leqslant\int_k^{k+1}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\leqslant\frac{1}{k}

\begin{aligned}\int_k^{k+1}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t &= \ln(k+1)-\ln k\\[.35em]&= \ln\!\bigl(\frac{k+1}{k}\bigr) .\end{aligned}

6. On somme l'encadrement pour $k=1,\ldots,n-1$ :

\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k+1}\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\ln\!\Bigl(\frac{k+1}{k}\Bigr)\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}

Le terme central est télescopique : $\ln n-\ln 1=\ln n$ . À gauche, en reindexant ( $$j=k+1$$ ) : $\sum_{j=2}^n\frac{1}{j}$ . D'où :

\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\leqslant\ln n\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}

7. De l'inégalité de droite : $\ln n\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$ , donc $\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\geqslant\ln n\to+\infty$ . La série harmonique diverge.

8. $\gamma_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$ . Montrons que $(\gamma_n)$ est décroissante :

\begin{aligned}\gamma_n -\gamma_{n+1} &= \Bigl(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\Bigr)\\[.35em]&\quad {}-\Bigl(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\ln(n+1)\Bigr)\\[.35em]&= \ln(n+1)-\ln n-\frac{1}{n+1}\\[.35em]&= \ln\!\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)-\frac{1}{n+1}\end{aligned}

Par l'encadrement de la question 5 avec $$k=n$$ : $\frac{1}{n+1}\leqslant\ln(\frac{n+1}{n})$ , donc $\gamma_n-\gamma_{n+1}\geqslant 0$ .

Pour $n\geqslant2$ , l'inégalité de gauche de la question 6 donne un majorant : $\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\leqslant\ln n$ , donc $\gamma_n=\frac{1}{1}+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}-\ln n\leqslant 1+\ln n-\ln n=1$ . Et par l'inégalité de droite : $\ln n\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ , donc $\gamma_n\geqslant 0$ .

Pour $$n=1$$ , $\gamma_1=1$ , ce qui vérifie aussi les bornes. La suite $(\gamma_n)$ est décroissante et minorée par 0 : elle converge vers $\gamma\approx 0{,}5772$ (constante d'Euler–Mascheroni).

Partie C : Inégalités classiques

9. $g(x)=x-\ln(1+x)$ pour $$x>-1$$ .

\begin{aligned}g'(x) &= 1-\frac{1}{1+x}\\[.35em]&= \frac{x}{1+x} .\end{aligned}

$$g'(x)<0$$ sur $$]-1,0[$$ , $$g'(x)=0$$ en $$x=0$$ , $$g'(x)>0$$ sur $]0,+\infty[$ .

Minimum en $$x=0$$ : $$g(0)=0$$ . Donc $g(x)\geqslant 0$ pour tout $$x>-1$$ , avec égalité ssi $$x=0$$ .

D'où $\ln(1+x)\leqslant x$ pour tout $$x>-1$$ , avec égalité ssi $$x=0$$ .

Pour l'inégalité stricte ( $x\neq 0$ ) : comme le minimum est atteint uniquement en 0, si $x\neq 0$ alors $$g(x)>0$$ , i.e. $\ln(1+x)<x$ .

10. Appliquons l'inégalité $\ln(1+u)<u$ (pour $u\neq 0$ , $$u>-1$$ ) à $u=\frac{-x}{1+x}$ (valide pour $$x>-1$$ , $x\neq 0$ , car $\frac{-x}{1+x}>-1\iff\frac{1}{1+x}>0$ , vrai pour $$x>-1$$ ).

$\ln\!\bigl(1+\frac{-x}{1+x}\bigr)<\frac{-x}{1+x}$ , soit $\ln\!\bigl(\frac{1}{1+x}\bigr)<\frac{-x}{1+x}$ , i.e. $-\ln(1+x)<\frac{-x}{1+x}$ .

En multipliant par $$-1$$ (et renversant l'inégalité) : $\ln(1+x)>\frac{x}{1+x}$ .

Bilan : pour $$x>-1$$ , $x\neq 0$ : $\boxed{\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x}$ .

11. (Bonus) De $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$ avec $x=\frac{1}{n}>0$ :

\frac{1}{n+1}<\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)<\frac{1}{n}

En multipliant par $$n$$ : $\frac{n}{n+1}<n\ln\!\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)<1$ .

L'inégalité de droite donne $n\ln(1+\frac{1}{n})<1$ , donc $\ln\!\bigl((1+1/n)^n\bigr)<1$ , i.e. $(1+\frac{1}{n})^n<\e$ .

On reprend l'inégalité avant multiplication par $$n$$ :

\frac1{n+1}<\ln\!\left(1+\frac1n\right).

En multipliant par $$n+1>0$$ , puis en appliquant l'exponentielle croissante,

1<(n+1)\ln\!\left(1+\frac1n\right), \qquad \e<\left(1+\frac1n\right)^{n+1}.

Bilan : $\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n<\e<\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{n+1}$ .

Pour justifier leur convergence, l'encadrement donne

\frac n{n+1}<n\ln\!\left(1+\frac1n\right)<1.

Les deux bornes tendent vers 1, donc le terme central aussi. Par continuité de l'exponentielle, $(1+1/n)^n\to\e$ . Le second terme est le produit du premier par $1+1/n\to1$ , donc sa limite vaut également $\e$ . Un simple encadrement de $\e$ entre deux suites n'aurait pas suffi à établir ces limites.

À toi d’essayer

Des termes vers zéro, une somme vers l'infini

Dans l'exercice 10, $u_n=\ln(1+1/n)$ tend vers 0. Sa somme $$S_n$$ peut-elle tendre vers $+\infty$ ? Écris les quatre premiers termes sous forme de différences puis explique la limite de leur somme générale.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La limite d'un terme et la limite des sommes partielles sont deux questions différentes.

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise $u_k=\ln(k+1)-\ln k$ ; les termes intermédiaires s'annulent.

Voir l’explication

La somme des quatre premiers termes vaut

(\ln2-\ln1)+(\ln3-\ln2)+(\ln4-\ln3)+(\ln5-\ln4)=\ln5.

Plus généralement,

\begin{aligned}S_n &= \ln(n+1)\\[.35em]&\to +\infty ,\end{aligned}

alors que $u_n\to0$ par continuité du logarithme en 1. De petits termes positifs peuvent donc s'accumuler sans borne. Le problème donne une autre démonstration pour les termes $$1/n$$ . Réessaie avec $v_n=\ln((n+2)/(n+1))$ pour $n\geqslant0$ : écris la somme de $$v_0$$ à $$v_n$$ .

Faire le point par une variante autonome

$\(x\)$	$]-\infty,-1[$	$\(-1\)$	$\(]-1,2[\)$	$\(2\)$	$]2,+\infty[$
$\(x+1\)$	$\(-\)$	0	$\(+\)$	$\(+\)$	$\(+\)$
$\(x-2\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	$\(-\)$	0	$\(+\)$
quotient	$\(+\)$	0	$\(-\)$	non défini	$\(+\)$

$\(x\)$	$\(0^+\)$		$\e$		$+\infty$
$\(f'(x)\)$		$\(+\)$	$\(0\)$	$\(-\)$
$\(f(x)\)$	$-\infty$	$\nearrow$	$\frac{1}{\e}$	$\searrow$	$\(0\)$

$\(x\)$	$\(0^+\)$		$\(1\)$		$+\infty$
$\(f'(x)\)$		$\(-\)$	$\(0\)$	$\(+\)$
$\(f(x)\)$	$+\infty$	$\searrow$	$\(1\)$	$\nearrow$	$+\infty$

$\(x\)$	$\(0^+\)$		$\frac{1}{\e}$		$+\infty$
$\(f'(x)\)$		$\(-\)$	$\(0\)$	$\(+\)$
$\(f(x)\)$	$\(1\)$	$\searrow$	$\e^{-1/\e}$	$\nearrow$	$+\infty$

$\(x=2\)$	$\(y_n\)$ approché	$\(L_n\)$ approché	$\(U_n\)$ approché
$\(n=0\)$	2	0,5	1
$\(n=1\)$	1,414214	0,585786	0,828427
$\(n=2\)$	1,189207	0,636414	0,756828
$\(n=4\)$	1,044274	0,678348	0,708381

Résultat	Formule
Définition	$\ln x=y\iff x=\e^y$ ( $\(x>0\)$ )
Relation fonctionnelle	$\ln(ab)=\ln a+\ln b$
Dérivée	$(\ln x)'=\frac{1}{x}$ , $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$
Limites	$\lim_{0^+}\ln x=-\infty$ , $\lim_{+\infty}\ln x=+\infty$
Croiss. comparée	$\frac{\ln x}{x}\to 0$ en $+\infty$ , $x\ln x\to 0$ en $\(0^+\)$
Taux d'accroissement	$\frac{\ln(1+h)}{h}\to 1$ quand $h\to 0$
Changement de base	$\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi étudier le logarithme ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La question fondatrice

Le logarithme transforme les produits en sommes

Graphiquement : le miroir de l'exponentielle

Le cours formel

Définition du logarithme népérien

Propriétés algébriques

Signe du logarithme

Étude complète de la fonction \(\ln\)

Limites de référence

Croissances comparées

Dérivée de \(\ln u\)

Équations et inéquations avec \(\ln\)

Logarithme décimal et changement de base

Algorithme de Briggs : se rapprocher de 1 par des racines

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Calcul avec les propriétés

Exercice 2 ★☆☆ : Domaine de définition

Exercice 3 ★☆☆ : Équations

Exercice 4 ★☆☆ : Inéquations

Exercice 5 ★★☆ : Dérivées

Exercice 6 ★★☆ : Limites et croissances comparées

Exercice 7 ★★☆ : Étude de fonction

Exercice 8 ★★☆ : Étude de fonction avec paramètre

Exercice 9 ★★☆ : Primitive et intégrale

Exercice 10 ★★☆ : Suite et logarithme

Exercice 11 ★★★ : Démonstrations

Exercice 12 ★★★ : Fonction \(x^x\)

Approfondissement : logarithme, intégrales et série harmonique

Corrigés détaillés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Corrigé du problème

Faire le point par une variante autonome

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions

Étude complète de la fonction $\ln$

Dérivée de $\ln u$

Équations et inéquations avec $\ln$

Exercice 12 ★★★ : Fonction $\(x^x\)$