Géométrie complexe et racines de l’unité · Terminale maths expertes

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : transformer un dessin en preuve

Une figure peut faire soupçonner que trois points sont alignés ou qu'un triangle est rectangle. Pour conclure, il faut une propriété exacte. Les complexes vont traduire la configuration en égalités et rendre le choix du calcul plus lisible : une différence pour un vecteur, un module pour une longueur, un quotient pour comparer deux directions.

Prérequis. Formes algébrique et exponentielle, module d'un quotient, arguments modulo $2\pi$ , vecteurs et angles orientés. On travaille toujours dans un repère orthonormé direct du plan.

Les racines de l'unité et les configurations planes appartiennent au socle. Les similitudes sont expliquées comme outil de résolution ; les racines d'un complexe quelconque et le calcul exact lié au pentagone sont des prolongements guidés.

L'idée avant la formule

Se placer au bon point de départ

Si A a pour affixe a, le nombre $$z-a$$ donne le déplacement de A vers M. Soustraire a revient à recentrer le calcul sur A. Par exemple, pour $$a=1+i$$ et $$z=4+5i$$ , ce déplacement a pour affixe $$3+4i$$ ; sa longueur vaut 5, même si ni A ni M n'est à l'origine.

Comparer plutôt que décrire séparément

Le quotient $$(c-a)/(b-a)$$ compare directement $\overrightarrow{AC}$ à $\overrightarrow{AB}$ . Son module compare les longueurs, son argument mesure l'angle orienté de AB vers AC. Le dénominateur impose $A\ne B$ . Pour parler de l'angle, il faut aussi $A\ne C$ : un vecteur nul n'a pas de direction.

Une puissance peut refermer un mouvement

Si multiplier par z fait tourner d'un angle $\theta$ sur le cercle unité, multiplier n fois fait tourner de $n\theta$ . Demander $$z^n=1$$ revient à demander que le mouvement revienne au départ après n étapes. Les angles possibles seront répartis régulièrement : c'est l'origine des polygones réguliers que nous allons construire.

Le cours formel

Affixes de points et de vecteurs

Démonstration · Pourquoi soustraire ?

Du point au déplacement. Pour aller de $$A(x_A,y_A)$$ à $$B(x_B,y_B)$$ , la variation horizontale est $$x_B-x_A$$ et la variation verticale $$y_B-y_A$$ . Leur affixe est

\begin{aligned}(x_B-x_A)+i(y_B-y_A) &= (x_B+iy_B)-(x_A+iy_A)\\[.35em] &= b-a.\end{aligned}

L'arrivée est donc écrite avant le départ.

Le milieu. Ses coordonnées sont $$((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2)$$ . Son affixe est donc $$(x_A+x_B)/2+i(y_A+y_B)/2=(a+b)/2$$ . On additionne ici les positions avant de diviser par deux ; on ne calcule pas un déplacement.

Le parallélogramme. Ses diagonales $$[AC]$$ et $$[BD]$$ se coupent en leur milieu. Leurs milieux ont pour affixes $$(a+c)/2$$ et $$(b+d)/2$$ . Les rendre égaux donne $$a+c=b+d$$ , donc $$d=a+c-b$$ . Réciproquement, cette égalité entraîne $$b-a=c-d$$ , donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ : elle décrit bien la relation de parallélogramme. Pour parler d'un quadrilatère non aplati, on vérifie en plus que les points ne sont pas alignés.

À toi d’essayer

Retrouver l’ordre d’un vecteur

A et B ont pour affixes $$2+i$$ et $$-1+3i$$ . Calcule les affixes de AB et BA, puis celle du milieu.

Pour démarrer. Pour $$AB$$ , soustrais l’affixe de $$A$$ à celle de $$B$$ ; pour le milieu, additionne puis divise par deux.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Soustrais départ à arrivée.

Indice 2 · Un pas de plus

Inverser le sens change le signe, tandis que le milieu utilise une moyenne.

Voir l’explication

\begin{aligned}b-a &= (-1+3i)-(2+i)\\[.35em] &= (-1-2)+i(3-1)\\[.35em] &= -3+2i.\end{aligned}

Pour le trajet inverse,

\begin{aligned}a-b &= (2+i)-(-1+3i)\\[.35em] &= 3-2i,\end{aligned}

l'opposé du premier. Le milieu a pour affixe

\begin{aligned}(a+b)/2 &= (1+4i)/2\\[.35em] &= 1/2+2i.\end{aligned}

En coordonnées, la moyenne des abscisses 2 et $$-1$$ est $$1/2$$ , et celle des ordonnées 1 et 3 est 2. Soustraction et moyenne répondent à deux questions différentes : déplacement et position.

Distances et lieux géométriques

L'inégalité $|z-a|\le r$ avec $$r>0$$ décrit le disque fermé ; $$|z-a|<r$$ décrit son intérieur. L'égalité $$|z-a|=|z-b|$$ avec $a\ne b$ décrit la médiatrice du segment $$[AB]$$ .

À toi d’essayer

Une distance bien centrée

Décris $|z+2-3i|\le2$ , puis donne deux points du bord.

Pour démarrer. Cherche l’affixe $$a$$ telle que $$z+2-3i=z-a$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris l'intérieur du module sous la forme $$z-a$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le centre a pour affixe $$-2+3i$$ .

Voir l’explication

Il faut $$a=-2+3i$$ , car $$z-(-2+3i)=z+2-3i$$ . L'inégalité signifie que la distance au centre $$(-2,3)$$ est au plus 2 : c'est le disque fermé, bord compris. Pour trouver des points du bord, déplaçons-nous de 2 horizontalement depuis le centre. Les affixes sont $$a+2=3i$$ et $$a-2=-4+3i$$ . Leurs différences avec $$a$$ valent 2 et $$-2$$ , toutes deux de module 2. Le centre donne au contraire un module 0, strictement inférieur à 2 : il est à l'intérieur.

À toi d’essayer

Lire un lieu sans développer

Décris $$|z-(2-i)|=3$$ , puis $$|z-(2-i)|=|z+1|$$ .

Pour démarrer. Associe chaque différence à la distance entre deux points nommés.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Chaque module d’une différence mesure une distance.

Indice 2 · Un pas de plus

Le second point de référence a pour affixe $$-1$$ .

Voir l’explication

Appelons $$A$$ le point d'affixe $$2-i$$ . Le module $$|z-(2-i)|$$ mesure $$MA$$ . L'égalité à 3 donne tous les points situés exactement à 3 de $$A$$ , donc le cercle de centre $$(2,-1)$$ et rayon 3. Dans la seconde égalité, $$z+1=z-(-1)$$ : le deuxième module mesure la distance au point $$B(-1,0)$$ . La condition est $$MA=MB$$ , définition de la médiatrice de $$[AB]$$ . Pour contrôle, leur milieu d'affixe $$(2-i-1)/2=(1-i)/2$$ est bien à la même distance des deux extrémités.

Un quotient pour comparer deux vecteurs

Démonstration · Interprétation

Les hypothèses $B\ne A$ et $C\ne A$ garantissent que les deux déplacements sont non nuls. On peut donc écrire $b-a=r\e^{i\alpha}$ et $c-a=s\e^{i\beta}$ , avec $$r=AB>0$$ et $$s=AC>0$$ . Le quotient vaut

\begin{aligned}q &= \frac{s\e^{i\beta}}{r\e^{i\alpha}}\\[.35em] &= \frac sr\e^{i(\beta-\alpha)}.\end{aligned}

Son module est $$s/r=AC/AB$$ . Son angle est la direction d'arrivée $\beta$ moins la direction de départ $\alpha$ : c'est l'angle orienté de $\overrightarrow{AB}$ vers $\overrightarrow{AC}$ .

Si ce quotient est réel non nul, son argument vaut 0 ou $\pi$ : les deux directions sont parallèles, dans le même sens ou en sens opposé. On obtient l'alignement. Si $$C=A$$ , le quotient vaut 0 et les points sont encore alignés. S'il est imaginaire pur non nul, son argument vaut $\pi/2$ ou $-\pi/2$ : les deux droites sont perpendiculaires. Le mot « non nul » évite d'attribuer une direction à un vecteur nul.

Pour l'alignement, un quotient nul correspond à $$C=A$$ et convient. Pour l'orthogonalité de deux droites, il faut deux directions non nulles : préciser les points distincts est indispensable.

À toi d’essayer

Lire longueur et angle ensemble

On sait $$(c-a)/(b-a)=2i$$ , avec a,b,c distincts. Que peux-tu affirmer sur les deux vecteurs et sur le triangle ?

Pour démarrer. Lis séparément le module et l’argument du quotient, puis formule deux conclusions.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule le module et un argument de 2i.

Indice 2 · Un pas de plus

Le quotient compare AC à AB, dans cet ordre.

Voir l’explication

Le quotient compare le déplacement $$AC$$ au déplacement $$AB$$ . Son module vaut $$|2i|=2$$ , donc $$AC/AB=2$$ et $$AC=2AB$$ . Son argument est $\pi/2$ modulo $2\pi$ , donc la direction de $$AC$$ s'obtient en tournant celle de $$AB$$ d'un quart de tour direct. Les côtés sont perpendiculaires : le triangle est rectangle en $$A$$ . Il n'est pas isocèle : ses deux côtés de l'angle droit ont des longueurs différentes, et l'hypoténuse est plus longue que chacun d'eux.

Rotations et transformations : un outil expliqué

Multiplier $$z$$ par $\e^{i\theta}$ conserve sa distance à l'origine et ajoute $\theta$ à son argument. C'est une rotation de centre $$O$$ et d'angle $\theta$ . Pour faire tourner autour de $\omega$ , on déplace d'abord le centre à l'origine :

z'-\omega=\e^{i\theta}(z-\omega).

Multiplier par un réel $$k$$ est une homothétie de centre $$O$$ et de rapport $$k$$ . Si $$k<0$$ , l'angle est en plus décalé de $\pi$ .

Démonstration · Centre et différences

Trouver le centre candidat. Un point fixe ne change pas d'affixe : $\omega=a\omega+b$ . Soustraire $a\omega$ donne $(1-a)\omega=b$ . Lorsque $a\ne1$ , nous pouvons diviser et obtenir l'unique candidat $\omega=b/(1-a)$ . Cette valeur vérifie l'équation de départ, donc le point fixe existe bien.

Recentrement. Soustrayons l'équation du point fixe de $$z'=az+b$$ :

\begin{aligned}z'-\omega &= az+b-(a\omega+b)\\[.35em] &= a(z-\omega).\end{aligned}

Les termes $$b$$ s'annulent ; autour du point fixe, il ne reste qu'une multiplication.

Distances. Pour deux images,

\begin{aligned}z'_2-z'_1 &= (az_2+b)-(az_1+b)\\[.35em] &= a(z_2-z_1).\end{aligned}

Prendre les modules donne $|z'_2-z'_1|=|a|\,|z_2-z_1|$ . Toutes les distances sont donc multipliées par le même réel $$|a|>0$$ .

Angles. Pour trois points aux déplacements non nuls, le quotient image est $$a(z_3-z_1)/[a(z_2-z_1)]=(z_3-z_1)/(z_2-z_1)$$ , car $a\ne0$ . Les quotients ont le même argument : les angles orientés sont conservés. Enfin écrire $a=|a|\e^{i\theta}$ montre que le déplacement centré est agrandi d'un facteur $$|a|$$ puis tourné d'un angle $\theta$ .

Si $$a=1$$ , c'est une translation ; si $$a=0$$ , tous les points ont la même image, donc ce n'est pas une similitude. La conjugaison $z\mapsto\overline z$ est la symétrie par rapport à l'axe réel ; elle conserve les distances et renverse l'orientation.

À toi d’essayer

Tourner autour d’un autre centre

La rotation de centre d’affixe $$a=1+i$$ et d’angle $\pi/2$ envoie le point z=3+i sur quel point ?

Pour démarrer. Effectue successivement retrait du centre, multiplication par $$i$$ , puis ajout du centre.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par le déplacement $$z-a$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Multiplie ce déplacement par i, puis rajoute a.

Voir l’explication

Le déplacement initial est

\begin{aligned}z-a &= (3+i)-(1+i)\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

Un quart de tour direct multiplie ce déplacement par $$i$$ , donnant $$2i$$ . On remet ensuite le centre :

\begin{aligned}z' &= a+2i\\[.35em] &= 1+3i.\end{aligned}

Contrôle :

\begin{aligned}|z-a| &= |2|\\[.35em] &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }|z'-a| &= |2i|\\[.35em] &= 2,\end{aligned}

donc la distance au centre est conservée. Si le point initial était le centre, son déplacement serait zéro et le même calcul le laisserait fixe. Multiplier directement $$z$$ par $$i$$ aurait tourné autour de l'origine, pas autour de $$a$$ .

Racines de l'unité : déterminer toutes les solutions

Démonstration · Module, arguments, unicité

1. Chercher les valeurs possibles. Si $$z^n=1$$ , alors $z\ne0$ et $$|z|^n=1$$ . Le réel $$r=|z|$$ est positif. S'il était inférieur à 1, sa puissance serait inférieure à 1 ; s'il était supérieur, elle serait supérieure. Donc $$r=1$$ et $z=\e^{i\theta}$ .

Moivre donne $z^n=\e^{in\theta}$ . Cette exponentielle vaut 1 exactement lorsque son angle est un nombre entier de tours : $n\theta=2k\pi$ pour $k\in\Z$ . Donc $\theta=2k\pi/n$ .

2. Éviter les répétitions. Deux indices $k,\ell$ donnent la même exponentielle lorsque $2(k-\ell)\pi/n$ est un multiple de $2\pi$ , soit lorsque $k-\ell$ est un multiple de $$n$$ . En divisant tout entier $$k$$ par $$n$$ , on écrit $$k=qn+r$$ avec $0\le r<n$ . Son exponentielle égale celle d'indice $$r$$ , car l'angle supplémentaire est $2q\pi$ . Les indices $0,\ldots,n-1$ suffisent. Deux indices distincts de cette liste diffèrent de moins de $$n$$ : leur différence ne peut pas être un multiple non nul de $$n$$ . Les $$n$$ valeurs sont donc distinctes.

3. Vérifier la réciproque. Pour chaque valeur proposée,

\begin{aligned}(\e^{2ik\pi/n})^n &= \e^{2ik\pi}\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

Nous avons trouvé des solutions, montré qu'elles conviennent, et prouvé qu'aucune autre n'existe. Les angles successifs sont séparés de $2\pi/n$ sur un même cercle : pour $n\ge3$ , ils forment un polygone régulier.

Schéma : Racines de l'unité : déterminer toutes les solutions

Les cinq points ont ici pour arguments $2k\pi/5$ . Les segments relient les indices consécutifs ; le dessin n'est pas utilisé pour prouver les valeurs des racines.

Démonstration · La somme, prolongement court

Pour $n\ge2$ , posons $q=\e^{2i\pi/n}$ . Son angle est strictement entre 0 et $2\pi$ , donc $q\ne1$ , et sa puissance $$n$$ vaut 1. La somme des racines est $S=1+q+\cdots+q^{n-1}$ . Multiplier par $$q$$ donne $qS=q+q^2+\cdots+q^n$ . Dans $$S-qS$$ , tous les termes intermédiaires s'annulent :

\begin{aligned}(1-q)S &= 1-q^n\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Comme $1-q\ne0$ , on peut diviser, donc $$S=0$$ .

La stabilité du produit se vérifie séparément : si

\begin{aligned}u^n &= v^n\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

alors

\begin{aligned}(uv)^n &= u^nv^n\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

Et

\begin{aligned}(u^{-1})^n &= (u^n)^{-1}\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

puisque $u\ne0$ . Ces opérations donnent donc encore des racines. Pour $$n=1$$ , $$q=1$$ interdirait la division : l'unique racine est 1, de somme 1.

Une preuve à construire

Reconnaître un inverse

Si $u\in\U_n$ , démontre que

\begin{aligned}u^{-1} &= \overline u\\[.35em] &= u^{n-1}.\end{aligned}

Pour démarrer. Pour identifier un inverse, montre que le produit avec $$u$$ vaut 1.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Toutes ces racines ont pour module 1.

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise $u\overline u=1$ puis $$u^n=1$$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $$u^n=1$$ , $u\ne0$ et son module vaut 1. Donc

\begin{aligned}u\overline u &= |u|^2\\[.35em] &= 1\end{aligned}

le conjugué est un inverse. D'autre part

\begin{aligned}u\,u^{n-1} &= u^n\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

donc $u^{n-1}$ est aussi un inverse. L'inverse est unique : si

\begin{aligned}uv &= uw\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

multiplier par $$1/u$$ donne $$v=w$$ . Ainsi

\begin{aligned}u^{-1} &= \overline u\\[.35em] &= u^{n-1}.\end{aligned}

Pour $$u=i$$ et $$n=4$$ , $$i^3=-i$$ et $$i(-i)=1$$ , ce qui vérifie les trois expressions.

À toi d’essayer

Ne perdre aucune racine

Énumère les solutions de $$z^4=1$$ et explique pourquoi il n’y en a pas d’autres.

Pour démarrer. Trouve d’abord le rayon, puis les angles possibles dans un seul tour.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le module doit être 1 ; l’angle multiplié par 4 doit être un multiple de deux pi.

Indice 2 · Un pas de plus

Prends quatre représentants d’angles espacés de pi/2.

Voir l’explication

L'égalité des modules donne $$|z|^4=1$$ , donc $$|z|=1$$ . Écrivons $z=\e^{i\theta}$ . Moivre donne

\begin{aligned}z^4 &= \e^{4i\theta}\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

donc $4\theta=2k\pi$ et $\theta=k\pi/2$ . Sur un seul tour, $$k=0,1,2,3$$ donne $$1,i,-1,-i$$ . Pour tout entier $$k=4q+r$$ avec $0\le r<4$ , l'angle vaut $2q\pi+r\pi/2$ et répète l'un des quatre. Ainsi aucun autre point ne manque. Chaque quatrième puissance vaut 1, et les quatre coordonnées sont distinctes : nous avons à la fois vérification et exhaustivité.

Racines d'un complexe et longueurs de cordes

Méthode · Résoudre $z^n=w$, prolongement

Si $$w=0$$ , une puissance nulle impose $$z=0$$ par la règle du produit nul. Sinon écrivons $w=\rho\e^{i\alpha}$ avec $\rho>0$ , et $z=r\e^{i\theta}$ avec $$r>0$$ . L'égalité des modules impose $r^n=\rho$ , donc l'unique rayon positif est $r=\rho^{1/n}$ .

L'égalité des arguments impose $n\theta=\alpha+2k\pi$ , soit $\theta=(\alpha+2k\pi)/n$ . D'où $z_k=\rho^{1/n}\e^{i(\alpha+2k\pi)/n}$ , pour $0\le k<n$ . Comme pour les racines de l'unité, ces $$n$$ angles sont distincts modulo $2\pi$ et tous les autres indices les répètent. Vérification :

\begin{aligned}z_k^n &= \rho\e^{i(\alpha+2k\pi)}\\[.35em] &= w.\end{aligned}

Le rayon est une racine $$n$$ -ième de $\rho$ , tandis que l'angle est divisé par $$n$$ : ces deux opérations sont différentes.

Pour deux points du cercle unité d'arguments $\alpha,\beta$ , la longueur de la corde est

|\e^{i\beta}-\e^{i\alpha}|=2\left|\sin\frac{\beta-\alpha}{2}\right|.

Pour voir chaque étape, posons $m=(\alpha+\beta)/2$ et $h=(\beta-\alpha)/2$ . Alors $\beta=m+h$ et $\alpha=m-h$ , donc

\begin{aligned}\e^{i\beta}-\e^{i\alpha} &= \e^{im}(\e^{ih}-\e^{-ih})\\[.35em] &= 2i\e^{im}\sin h\end{aligned}

par Euler. Le module du produit est $|2i||\e^{im}||\sin h|=2\times1\times|\sin h|$ . Cela prouve la formule, y compris lorsque les deux points coïncident. Pour deux sommets consécutifs d'un polygone régulier à $n\ge3$ sommets inscrit dans un cercle de rayon $$R$$ , la longueur du côté est donc $2R\sin(\pi/n)$ .

À toi d’essayer

Séparer rayon et angles

Résous $$z^3=8$$ et représente mentalement les trois solutions.

Pour démarrer. Résous l’équation réelle $$r^3=8$$ avant de travailler sur les angles.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le rayon r satisfait $$r^3=8$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les angles satisfont trois theta congru à zéro modulo deux pi.

Voir l’explication

Le rayon est $$r=2$$ , car $$2^3=8$$ . Écrire $8=8\e^{i0}$ impose $3\theta=2k\pi$ , donc les trois angles distincts sont $0,2\pi/3,4\pi/3$ . Les coordonnées donnent $$2$$ , $2(-1/2+i\sqrt3/2)=-1+i\sqrt3$ et $-1-i\sqrt3$ . Chaque cube a pour module 8 et argument un tour entier, donc vaut 8. Les trois points ont le même rayon 2 et des angles espacés de $2\pi/3$ : ils forment un triangle équilatéral centré en $$O$$ .

Boîte à outils : de la figure à la preuve

Construire les deux triangles équilatéraux sur un segment

Exemple · Une construction sans coordonnées imposées

On veut construire un troisième sommet $$C$$ sur le segment $$AB$$ , avec $A\ne B$ . Dans un triangle équilatéral, $$AC=AB$$ et l'angle de $$AB$$ vers $$AC$$ vaut $\pi/3$ ou $-\pi/3$ , selon le côté du segment. Le quotient $$(c-a)/(b-a)$$ doit donc avoir module 1 et l'un de ces arguments : il vaut $\e^{\pm i\pi/3}$ . Multiplier par $$b-a$$ , puis ajouter $$a$$ , donne $c=a+\e^{\pm i\pi/3}(b-a)$ .

Vérifions aussi le troisième côté : $c-b=(\e^{\pm i\pi/3}-1)(b-a)$ . Le premier facteur vaut $-1/2\pm i\sqrt3/2$ , de module $\sqrt{1/4+3/4}=1$ . Donc $$BC=AB$$ ; les trois côtés sont effectivement égaux. Pour $$a=0,b=2$$ , on obtient

\begin{aligned}c &= 2(1/2\pm i\sqrt3/2)\\[.35em] &= 1\pm i\sqrt3.\end{aligned}

Les deux positions sont symétriques par rapport à l'axe réel.

Orthogonalité et lieu privé d'un point

Soient A et B d'affixes 0 et 2. Pour $z\ne2$ , le quotient $$z/(z-2)$$ compare les vecteurs de M vers A et B, puisque l'on peut changer simultanément leurs signes. Si $z\ne0$ aussi, le quotient est imaginaire pur exactement lorsque l'angle AMB est droit. Le lieu attendu est le cercle de diamètre AB, privé des extrémités lorsque l'on parle d'un angle.

Calculons le quotient avec $$z=x+iy$$ . Multiplier numérateur et dénominateur par $$(x-2)-iy$$ donne un dénominateur $$(x-2)^2+y^2$$ , strictement positif tant que $z\ne2$ . Le numérateur se développe en $$x(x-2)-ixy+iy(x-2)-i^2y^2$$ . Les termes réels sont $$x(x-2)+y^2$$ ; les imaginaires donnent $$i[-xy+xy-2y]=-2iy$$ .

La partie réelle du quotient est donc $$[x(x-2)+y^2]/[(x-2)^2+y^2]$$ . Comme le dénominateur est non nul, elle s'annule exactement lorsque $$x^2-2x+y^2=0$$ . Ajouter 1 des deux côtés donne $$x^2-2x+1+y^2=1$$ , soit $$(x-1)^2+y^2=1$$ . Cette équation décrit le cercle de centre $$(1,0)$$ et de rayon 1, dont $$A$$ et $$B$$ sont les extrémités d'un diamètre.

Si l'on demande seulement un quotient imaginaire pur, $$z=0$$ convient : le quotient vaut 0, qui est imaginaire pur. Si l'on demande un angle entre les droites $$MA$$ et $$MB$$ , on retire aussi $$z=0$$ , car le vecteur $$MA$$ serait nul et ne définirait pas de direction. Le point $$z=2$$ est exclu dans tous les cas, puisque le quotient n'y est pas défini.

Transformer les racines en un polygone déplacé

À toi d’essayer

Reprendre une construction

Pour a=1 et b=1+2i, calcule les deux sommets équilatéraux possibles.

Pour démarrer. Calcule $$b-a=2i$$ , puis fais les deux produits avec les signes plus et moins.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Utilise $c=a+\e^{\pm i\pi/3}(b-a)$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Multiplie $$2i$$ par $1/2\pm i\sqrt3/2$ .

Voir l’explication

La formule est $c=a+(1/2\pm i\sqrt3/2)(b-a)$ . Ici $$b-a=2i$$ . Pour le signe plus,

\begin{aligned}(1/2+i\sqrt3/2)2i &= i+i^2\sqrt3\\[.35em] &= i-\sqrt3,\end{aligned}

donc $c=1-\sqrt3+i$ . Pour le signe moins, le produit est $i-i^2\sqrt3=i+\sqrt3$ , donc $c=1+\sqrt3+i$ . Pour chacun, la distance à $$A(1,0)$$ est $\sqrt{3+1}=2$ et celle à $$B(1,2)$$ est aussi $\sqrt{3+1}=2$ , égale à $$AB$$ . Les deux triangles sont donc bien équilatéraux, et les sommets sont symétriques par rapport à $$x=1$$ .

À toi d’essayer

Un centre à retrouver

Pour $n\ge2$ , les affixes sont $z_k=a+r\e^{i\alpha}\e^{2ik\pi/n}$ , avec r>0. Calcule leur moyenne.

Pour démarrer. Écris la moyenne comme une somme divisée par $$n$$ , puis sors les facteurs constants.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Additionne séparément les termes constants et ceux contenant les racines de l'unité.

Indice 2 · Un pas de plus

La somme des racines vaut zéro.

Voir l’explication

En additionnant les $$n$$ affixes, le terme constant $$a$$ apparaît $$n$$ fois : $\sum z_k=na+r\e^{i\alpha}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{2ik\pi/n}$ . Le second facteur est constant, donc peut être mis devant la somme. Pour $n\ge2$ , la somme des racines de l'unité est zéro, démontrée par la somme géométrique. Ainsi $\sum z_k=na$ , et diviser par le nombre de points $$n$$ donne la moyenne $$a$$ . Le rayon et l'orientation n'affectent pas ce centre, car leurs contributions symétriques s'annulent.

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases, 6 à 10 relient les notions et 11 à 15 demandent davantage d'initiative. Cherche d'abord, puis utilise un indice si tu en as besoin.

Exercice 1 : Vecteur et milieu ★☆☆

Pour $$a=2-i$$ et $$b=-2+5i$$ , calcule l’affixe de $\overrightarrow{AB}$ , celle du milieu et la distance $$AB$$ .

Exercice 2 : Un cercle et un disque ★☆☆

Décris $$|z-3+2i|=4$$ et $$|z+i|<1$$ .

Exercice 3 : Médiatrice ★☆☆

Détermine l’ensemble $$|z-2|=|z-4i|$$ . Donne une équation cartésienne.

Exercice 4 : Alignement ★☆☆

Les points d’affixes $$a=1+i$$ , $$b=3+2i$$ , $$c=7+4i$$ sont-ils alignés ?

Exercice 5 : Angle droit ★☆☆

Pour $$a=2$$ , $$b=4+i$$ , $$c=1+2i$$ , prouve que le triangle est rectangle isocèle.

Exercice 6 : Rotation de centre donné ★★☆

La rotation de centre $$1+i$$ et d’angle $\pi/2$ envoie $$z$$ sur $$z'$$ . Donne sa formule puis l’image de $$3+i$$ .

Exercice 7 : Racines quatrièmes ★★☆

Résous $$z^4=1$$ et représente les solutions.

Exercice 8 : Calculer avec j ★★☆

Pour $j=\e^{2i\pi/3}$ , simplifie $j^{2026}$ , $$1+j$$ et $$(1+j)^2$$ .

Exercice 9 : Racines cubiques, prolongement ★★☆

Résous $$z^3=-8$$ dans $\C$ .

Exercice 10 : Un lieu avec quotient ★★☆

Décris les $z\ne1$ tels que $$(z-i)/(z-1)$$ soit réel.

Exercice 11 : Cercle d’un rapport ★★★

Détermine les $$z$$ tels que $$|z-1|=2|z+1|$$ .

Exercice 12 : Transformation et point fixe ★★★

Étudie $$z'=(1+i)z+2$$ : centre, rapport et angle.

Exercice 13 : Côté d’un hexagone ★★★

Un hexagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 3. Calcule son côté et sa grande diagonale.

Exercice 14 : Intersection de racines ★★★

Détermine $\U_4\cap\U_6$ sans lister tous les nombres de $\U_6$ .

Exercice 15 : Une suite en spirale ★★★

Soit $$z_0=0$$ et $z_{n+1}=\frac{1+i}{2}z_n+1$ . Trouve le point fixe $\omega$ , exprime $z_n-\omega$ puis étudie sa distance à $\omega$ .

Problème : Pour aller plus loin

Ce prolongement est accessible à partir du cours : les résultats supplémentaires sont guidés, et leur mémorisation n'est pas un préalable. Tu peux répartir la recherche sur plusieurs séances.

Le pentagone et le nombre d'or

Pose $\zeta=\e^{2i\pi/5}$ et $t=\zeta+\zeta^{-1}$ . On veut calculer exactement $\cos(2\pi/5)$ puis le rapport diagonale/côté d'un pentagone régulier. Durée indicative : 75 à 100 minutes.

Partie I : Une équation réelle issue de cinq racines

Justifie $1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=0$ et $\zeta^{-1}=\zeta^4$ .
Divise la somme par $\zeta^2$ et montre que $$t^2+t-1=0$$ .
Justifie que $$t>0$$ puis calcule $$t$$ et $\cos(2\pi/5)$ .

Partie II : Un angle moitié

Utilise la duplication pour calculer $\cos(\pi/5)$ , en justifiant le choix du signe.
Vérifie que $2\cos(\pi/5)=(1+\sqrt5)/2$ .

Partie III : Une proportion géométrique

Dans le cercle unité, exprime la longueur $$s$$ du côté et $$d$$ de la diagonale reliant deux sommets séparés par un sommet.
Démontre $d/s=2\cos(\pi/5)$ .
Pose $\varphi=d/s$ . Vérifie $\varphi^2=\varphi+1$ , puis explique pourquoi le rapport ne dépend pas du rayon du cercle.

Pistes

$\zeta^2+\zeta^{-2}=t^2-2$ . Pour l'angle moitié, le cosinus est positif. Pour les longueurs, utilise $2\sin(\theta/2)$ et la duplication du sinus.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie I : Des complexes à une équation réelle

1. $\zeta=\e^{2i\pi/5}$ vérifie

\begin{aligned}\zeta^5 &= \e^{2i\pi}\\[.35em] &= 1\end{aligned}

et $\zeta\ne1$ , car son angle n'est pas un tour entier. Pour $S=1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4$ , la soustraction $S-\zeta S$ donne $1-\zeta^5=0$ . Donc $(1-\zeta)S=0$ , et comme $1-\zeta\ne0$ , $$S=0$$ . Enfin

\begin{aligned}\zeta\zeta^4 &= \zeta^5\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

donc $\zeta^{-1}=\zeta^4$ .

2. Le nombre $\zeta^2$ est non nul. En divisant chaque terme de $$S=0$$ par lui, on obtient $\zeta^{-2}+\zeta^{-1}+1+\zeta+\zeta^2=0$ . Regroupons les exposants opposés : $(\zeta^2+\zeta^{-2})+t+1=0$ . Le carré de $$t$$ vaut

\begin{aligned}(\zeta+\zeta^{-1})^2 &= \zeta^2+2\zeta\zeta^{-1}+\zeta^{-2}\\[.35em] &= \zeta^2+2+\zeta^{-2}.\end{aligned}

Donc la première parenthèse vaut $$t^2-2$$ , et l'équation devient $$t^2+t-1=0$$ .

3. Euler donne $t=2\cos(2\pi/5)$ , donc $$t$$ est réel. L'angle $2\pi/5$ est entre 0 et $\pi/2$ , où le cosinus est positif : $$t>0$$ . Le discriminant de $$t^2+t-1$$ vaut $$1-4(-1)=5$$ , donc ses deux racines sont $(-1\pm\sqrt5)/2$ . Seule la racine avec le signe plus est positive, puisque $\sqrt5>1$ . Ainsi $t=(\sqrt5-1)/2$ , puis

\begin{aligned}\cos(2\pi/5) &= t/2\\[.35em] &= (\sqrt5-1)/4.\end{aligned}

Partie II : Le signe de la racine compte

1. La duplication dit $\cos(2u)=2\cos^2u-1$ . Avec $u=\pi/5$ , on isole le carré :

\begin{aligned}\cos^2(\pi/5) &= \frac{1+\cos(2\pi/5)}2\\[.35em] &= \frac{1+(\sqrt5-1)/4}{2}\\[.35em] &= \frac{3+\sqrt5}{8}.\end{aligned}

Comme $0<\pi/5<\pi/2$ , le cosinus est positif : nous devons choisir la racine carrée positive, pas les deux signes.

2. Pour simplifier cette racine, calculons

\begin{aligned}((1+\sqrt5)/4)^2 &= (1+2\sqrt5+5)/16\\[.35em] &= (3+\sqrt5)/8.\end{aligned}

Le nombre $(1+\sqrt5)/4$ est positif et possède le carré recherché ; il est donc égal au cosinus. Multiplier par 2 donne $2\cos(\pi/5)=(1+\sqrt5)/2$ .

Partie III : Interpréter les deux cordes

1. Entre deux sommets consécutifs, l'angle central est $2\pi/5$ . La formule de la corde, avec rayon 1, donne $s=2\sin(\pi/5)$ . Une diagonale qui saute un sommet couvre deux intervalles, donc un angle $4\pi/5$ ; sa longueur est $d=2\sin(2\pi/5)$ . Les sinus sont positifs pour ces angles, ce qui permet d'enlever les valeurs absolues.

2. Comme $\sin(\pi/5)>0$ , le côté est non nul et le quotient est défini. La duplication du sinus donne

\begin{aligned}\frac ds &= \frac{2\sin(2\pi/5)}{2\sin(\pi/5)}\\[.35em] &= \frac{2\sin(\pi/5)\cos(\pi/5)}{\sin(\pi/5)}\\[.35em] &= 2\cos(\pi/5)\\[.35em] &= \frac{1+\sqrt5}{2}.\end{aligned}

La simplification porte sur un facteur dont on a vérifié qu'il n'est pas nul.

3. Avec $\varphi=(1+\sqrt5)/2$ ,

\begin{aligned}\varphi^2 &= (1+2\sqrt5+5)/4\\[.35em] &= (3+\sqrt5)/2.\end{aligned}

D'autre part

\begin{aligned}\varphi+1 &= (1+\sqrt5+2)/2\\[.35em] &= (3+\sqrt5)/2.\end{aligned}

Les deux expressions sont égales. Si le rayon devient $$R>0$$ , les longueurs deviennent $$Rs$$ et $$Rd$$ ; leur quotient vaut $$Rd/(Rs)=d/s$$ . Le nombre obtenu décrit donc une proportion de la figure, indépendante de sa taille.

Faire le point par une variante autonome

Essaie cette variante sans relire le corrigé précédent. Explique le choix de ta méthode, puis utilise les contrôles pour décider quelle notion retravailler.

À toi d’essayer

Une configuration complète

A,B,C ont pour affixes $$a=1$$ , $$b=3+i$$ , $$c=-1+4i$$ . Calcule $$(c-a)/(b-a)$$ et décris le triangle.

Pour démarrer. Soustrais $$a$$ dans les deux déplacements, puis teste si l’un est un multiple de l’autre.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule les deux déplacements depuis A.

Indice 2 · Un pas de plus

Compare $$c-a=-2+4i$$ à $$i(b-a)$$ .

Voir l’explication

$$b-a=2+i$$ et $$c-a=-2+4i$$ . Calculons

\begin{aligned}2i(2+i) &= 4i+2i^2\\[.35em] &= -2+4i\end{aligned}

le quotient vaut donc $$2i$$ , sans division compliquée. Son module 2 donne $$AC=2AB$$ ; son argument $\pi/2$ donne un angle droit en $$A$$ . Les longueurs sont

\begin{aligned}AB &= \sqrt{4+1}\\[.35em] &= \sqrt5\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }AC &= \sqrt{4+16}\\[.35em] &= 2\sqrt5.\end{aligned}

Le troisième côté a pour affixe $$c-b=-4+3i$$ et longueur 5. Le contrôle de Pythagore donne $$5+20=25$$ , cohérent avec le triangle rectangle.

Fiche-mémoire

$\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $$b-a$$ ; $$AB=|b-a|$$ ; le milieu a pour affixe $$(a+b)/2$$ .
Le quotient $$(c-a)/(b-a)$$ a pour module $$AC/AB$$ et pour argument l'angle de $\overrightarrow{AB}$ vers $\overrightarrow{AC}$ .
Quotient réel : alignement ; quotient imaginaire pur non nul : orthogonalité des directions.
Rotation : $z'-\omega=\e^{i\theta}(z-\omega)$ .
$\U_n=\{\e^{2ik\pi/n}:0\le k<n\}$ ; somme nulle pour $n\ge2$ .
Une corde du cercle de rayon $$R$$ mesure $2R|\sin((\beta-\alpha)/2)|$ .

Contrôle. Les points définissant mes droites sont-ils distincts ? Ai-je conservé l'ordre des vecteurs ? Ai-je distingué l'argument modulo $2\pi$ d'une égalité réelle ? Ai-je compté toutes les racines une seule fois ?

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : transformer un dessin en preuve

L'idée avant la formule

Se placer au bon point de départ

Comparer plutôt que décrire séparément

Une puissance peut refermer un mouvement

Le cours formel

Affixes de points et de vecteurs

Distances et lieux géométriques

Un quotient pour comparer deux vecteurs

Rotations et transformations : un outil expliqué

Racines de l'unité : déterminer toutes les solutions

Racines d'un complexe et longueurs de cordes

Boîte à outils : de la figure à la preuve

Construire les deux triangles équilatéraux sur un segment

Orthogonalité et lieu privé d'un point

Transformer les racines en un polygone déplacé

Exercices progressifs

Exercice 1 : Vecteur et milieu ★☆☆

Exercice 2 : Un cercle et un disque ★☆☆

Exercice 3 : Médiatrice ★☆☆

Exercice 4 : Alignement ★☆☆

Exercice 5 : Angle droit ★☆☆

Exercice 6 : Rotation de centre donné ★★☆

Exercice 7 : Racines quatrièmes ★★☆

Exercice 8 : Calculer avec j ★★☆

Exercice 9 : Racines cubiques, prolongement ★★☆

Exercice 10 : Un lieu avec quotient ★★☆

Exercice 11 : Cercle d’un rapport ★★★

Exercice 12 : Transformation et point fixe ★★★

Exercice 13 : Côté d’un hexagone ★★★

Exercice 14 : Intersection de racines ★★★

Exercice 15 : Une suite en spirale ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Le pentagone et le nombre d'or

Partie I : Une équation réelle issue de cinq racines

Partie II : Un angle moitié

Partie III : Une proportion géométrique

Pistes

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie I : Des complexes à une équation réelle

Partie II : Le signe de la racine compte

Partie III : Interpréter les deux cordes

Faire le point par une variante autonome

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions