Tableaux et probabilités conditionnelles · Première professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Un sac contient 5 jetons indiscernables au toucher, dont 3 rouges. On en tire un au hasard, chaque jeton ayant la même chance. Quelle est la probabilité de rouge ?

1/31/23/5

2. Une ligne de tableau contient 12 filles et 8 garçons. Quel est son total ?

20496

3. Dans un fichier, 7 personnes sont à la fois cyclistes et majeures. Quelle case du tableau croisé contient ce nombre ?

La somme des marges cyclistes et majeuresL’intersection de la ligne cyclistes et de la colonne majeuresLe total de toutes les personnes

4. Un tableau compte 6 élèves avec un résultat donné, sur 30 élèves. Quelle est sa fréquence ?

0,256

5. Si P(A) = 0,3, que vaut P(non A) ?

0,30,71,3

Pourquoi ce chapitre ?

Un tableau à double entrée donne des proportions globales et conditionnelles. Le bon dénominateur dépend de l’information connue. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Modéliser une expérience aléatoire.
Lire un tableau à double entrée.
Changer de population avec une probabilité conditionnelle.
Compléter les probabilités dans un même groupe.
Interpréter une fréquence conditionnelle.

L’idée avant la formule

« Parmi les pièces de la ligne A » restreint la population à A. « Parmi les défauts » change la population : les deux probabilités ne sont pas interchangeables.

Le cours formel

Modéliser une expérience aléatoire

Intuition · Construire la notion pas à pas

Décrire l'expérience avant de calculer. Une expérience aléatoire possède plusieurs résultats possibles et l'on ne connaît pas à l'avance celui qui se réalisera. Chaque résultat est une issue ; l'ensemble des issues est l'univers. Un événement regroupe les issues qui satisfont une condition.

Attribuer des probabilités aux bonnes issues. Pour un dé équilibré, les six faces ont la même probabilité. Ce sont les faces qui sont équiprobables, pas toutes les catégories que l'on peut ensuite former. L'événement « obtenir 6 » et son contraire ne contiennent pas le même nombre de faces.

Justifier le quotient favorable sur possible. Dans un univers fini équiprobable, chaque issue porte la même part $$1/N$$ . Un événement contenant k issues porte donc $$k/N$$ . Sans équiprobabilité, il faut additionner les probabilités des issues favorables au lieu de seulement les compter.

Contrôler le résultat. Une probabilité ne peut être négative ni dépasser 1. Zéro correspond à un événement impossible dans le modèle fini ; 1 correspond à un événement certain. Un pourcentage se convertit en décimal avant les calculs : 30 pour cent correspond à 0,30.

Lire un tableau à double entrée

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire les deux critères simultanément. Dans un tableau croisé, une ligne représente une catégorie du premier caractère et une colonne une catégorie du second. La case à leur intersection compte les individus qui satisfont les deux critères.

Utiliser les marges comme contrôles. Les totaux de lignes et de colonnes sont appelés marges. Additionner les cases d'une ligne doit retrouver son total ; additionner les totaux de lignes ou ceux de colonnes doit donner le même effectif général.

Compléter par différence. Si une ligne contient 70 personnes dont 28 dans une première catégorie, les 42 restantes sont dans la catégorie complémentaire. On effectue ces différences avant de calculer des proportions, en vérifiant qu'aucune case ne devient négative.

Choisir le dénominateur selon la phrase. Pour une proportion dans toute la population, on divise par le total général. Pour une proportion « parmi les abonnés », on divise par le total des abonnés. La même case intérieure peut donc conduire à plusieurs probabilités différentes selon la question.

Changer de population avec une probabilité conditionnelle

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comprendre le mot « sachant ». Une information connue réduit la population de référence. Pour la probabilité de B sachant A, on ne regarde plus toutes les issues : on se place seulement parmi celles où A est réalisé.

Construire le quotient. Dans ce groupe A, les issues qui satisfont aussi B sont celles de l'intersection $A\cap B$ . Leur part vaut $P_A(B)=P(A\cap B)/P(A)$ , à condition que $$P(A)>0$$ . Avec des effectifs, on divise l'effectif des deux propriétés par l'effectif de A.

Revenir à la population entière. Multiplier la proportion de A par la proportion de B parmi A donne la proportion de A et B dans l'ensemble : $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ . Ce produit correspond à un chemin d'arbre.

Ne pas inverser la condition. $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ ont le même numérateur, mais des dénominateurs différents. « Parmi les abonnés, qui achète ? » et « Parmi les acheteurs, qui est abonné ? » sont donc deux questions distinctes.

Exemple · Exemple commenté

Sur 100 produits, 40 proviennent de la machine A. Parmi ces 40, huit sont défectueux D. La probabilité d'un défaut sachant A est

\begin{aligned}P_A(D) &= 8/40\\[.35em] &= 0{,}20.\end{aligned}

La probabilité de venir de A et d'être défectueux dans tout le lot est

\begin{aligned}P(A\cap D) &= 8/100\\[.35em] &= 0{,}08.\end{aligned}

Supposons maintenant qu'il existe dix produits défectueux au total. Parmi ces dix, huit proviennent de A, donc

\begin{aligned}P_D(A) &= 8/10\\[.35em] &= 0{,}80.\end{aligned}

Les valeurs 0,20 et 0,80 ne se contredisent pas : elles répondent à des questions portant sur deux populations de référence différentes.

Le contrôle

\begin{aligned}P(A)P_A(D) &= 0{,}40\times0{,}20\\[.35em] &= 0{,}08\end{aligned}

retrouve la part commune dans le lot complet.

Compléter les probabilités dans un même groupe

Intuition · Construire la notion pas à pas

Prendre un contraire dans le même univers. Une fois placé dans le groupe A, chaque individu satisfait B ou non-B. Ces deux possibilités couvrent tout A sans se chevaucher. Leurs probabilités conditionnelles ont donc pour somme 1.

Garder la condition inchangée. À partir de $$P_A(B)$$ , le complément est $P_A(\overline B)=1-P_A(B)$ . La barre porte sur l'événement étudié B, pas sur le groupe A qui sert de référence.

Comprendre pourquoi changer de groupe ne donne pas un complément. $$P_A(B)$$ décrit B chez les A, tandis que $P_{\overline A}(B)$ décrit B chez les non-A. Ces deux groupes peuvent chacun avoir beaucoup de B, chacun en avoir peu, ou être très différents. Leurs taux ne sont pas obligés de s'additionner à 1.

Utiliser les effectifs pour contrôler. Si A contient 80 personnes dont 28 avec B, les 52 autres n'ont pas B. Diviser 28 et 52 par le même total 80 donne deux proportions complémentaires. Changer le dénominateur ferait perdre cette relation.

Interpréter une fréquence conditionnelle

Intuition · Construire la notion pas à pas

Choisir l'indicateur qui répond à la question. Un nombre de réussites décrit un volume ; un taux décrit une proportion à l'intérieur d'un groupe. Un groupe plus grand peut obtenir plus de réussites tout en ayant un taux inférieur. La comparaison demande donc de préciser ce que l'on cherche à optimiser.

Conserver chaque population de référence. Le taux de A divise les réussites de A par le total de A. Le taux de B utilise le total de B. Mélanger les numérateurs et les dénominateurs rend les comparaisons sans signification.

Passer d'un taux à un effectif avec prudence. Multiplier un total par un taux donne un effectif exact si ce taux décrit exactement ce groupe. Si le taux vient d'un modèle ou d'une période précédente, le produit est une prévision ou un nombre attendu, soumis à fluctuation.

Éviter une conclusion causale trop rapide. Deux formations ou machines peuvent être évaluées sur des populations, produits ou conditions différents. Les taux décrivent alors les groupes observés ; ils n'isolent pas automatiquement l'effet propre de la formation ou de la machine.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une probabilité simple ★☆☆

Une boîte contient 7 jetons rouges et 3 bleus indiscernables au toucher. On en tire un uniformément. Quelle est la probabilité d’un bleu ?

Exercice 2 : Compléter une ligne ★☆☆

Une ligne totalise 70 personnes : 28 répondent oui, les autres non. Combien répondent non ?

Exercice 3 : Parmi un sous-groupe ★☆☆

Parmi 60 adhérents, 15 pratiquent la natation. Calcule la probabilité de pratiquer la natation sachant que la personne choisie est adhérente.

Exercice 4 : Compléter une probabilité ★☆☆

$P_A(B)=0{,}18$ . Calcule $P_A(\overline B)$ .

Exercice 5 : Comparer deux réussites ★☆☆

A compte 18 réussites sur 20 essais ; B, 36 sur 50. Compare leurs taux.

Exercice 6 : Un événement sur un dé ★★☆

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?

Exercice 7 : Deux dénominateurs ★★☆

Sur 200 clients, 80 sont abonnés ; parmi eux, 20 achètent un produit. Calcule la proportion des abonnés acheteurs dans tout le groupe puis parmi les abonnés.

Exercice 8 : Retrouver une intersection ★★☆

$$P(A)=0{,}3$$ et $P_A(B)=0{,}4$ . Calcule $P(A\cap B)$ .

Exercice 9 : Une fausse complémentarité ★★☆

Un élève déduit de $P_A(B)=0{,}6$ que $P_{\overline A}(B)=0{,}4$ . Est-ce justifié ?

Exercice 10 : Revenir aux effectifs ★★☆

Un taux de retour de $3\,\%$ s’applique à 400 ventes. Quel nombre de retours ce taux représente-t-il ?

Exercice 11 : Deux issues, deux chances ? ★★★

Un lot contient 99 produits conformes et 1 défectueux. Un élève annonce $P(\text{défectueux})=1/2$ car le produit est conforme ou non. Corrige son raisonnement.

Exercice 12 : Reconstruire quatre cases ★★★

Un groupe de 120 personnes compte 50 membres A et 70 non-A. On sait que 30 membres A et 20 non-A ont B. Reconstitue les quatre intersections et la proportion de A parmi B.

Exercice 13 : Deux sens différents ★★★

Sur 100 personnes, 40 ont A, 30 ont B et 12 ont les deux. Calcule $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .

Exercice 14 : Tableau et contraire ★★★

Parmi 80 personnes A, 28 ont B. Combien n’ont pas B et quelle est leur proportion parmi A ?

Exercice 15 : Comparer à périmètre constant ★★★

Deux formations ont des taux de réussite de $85\,\%$ et $70\,\%$ . Pourquoi cela ne suffit-il pas à prouver que la première est plus efficace ?

Problème : Pour aller plus loin

Lire un tableau de contrôle

Sur 200 pièces, 120 viennent de A dont 6 défectueuses ; 80 viennent de B dont 8 défectueuses. On choisit une pièce au hasard.

Construis le tableau lignes A/B et colonnes défaut/conforme avec les totaux.
Calcule la probabilité d’un défaut.
Calcule la probabilité d’un défaut sachant A puis sachant B.
Sachant le défaut, calcule la probabilité de provenir de A.
Quelle ligne a le taux de défaut le plus élevé ? Explique pourquoi comparer seulement 6 et 8 ne suffit pas en général.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On reconstitue les quatre cases avant de calculer la proportion de A parmi B.

Construire la réponse.

Parmi les 50 A, 30 ont B ; les autres sont $$50-30=20$$ dans $A\cap\overline B$ .
Parmi les 70 non-A, 20 ont B ; les autres sont $$70-20=50$$ dans $\overline A\cap\overline B$ .
Les quatre cases sont donc 30, 20, 20 et 50. Le total de B vaut $$30+20=50$$ .
Parmi ces 50 B, 30 sont A : la proportion cherchée vaut $$30/50=0{,}6$$ .

Vérifier. Les lignes totalisent 50 et 70 ; les colonnes totalisent 50 et 70 ; le total général est 120 dans les deux sens. Diviser 30 par 120 répondrait à la question « A et B dans tout le groupe », différente de celle posée.

Conclure. Les intersections ont pour effectifs 30, 20, 20 et 50 ; la proportion de A parmi B est 60 pour cent.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La différence des taux observés ne suffit pas à isoler l’effet des formations.

Construire la réponse.

Les groupes peuvent avoir des niveaux initiaux différents ou des critères de sélection différents.
Les examens, leur difficulté et leurs critères de réussite peuvent aussi ne pas être comparables.
Les taux 85 et 70 pour cent décrivent les résultats de ces groupes dans leurs conditions, mais ne disent pas à eux seuls ce qui a causé la différence.
Il faut des populations et des évaluations comparables, ainsi qu’un protocole adapté, pour conclure sur l’efficacité propre.

Vérifier. Une formation accueillant des élèves déjà plus avancés pourrait afficher un meilleur taux sans apporter davantage de progression. Cette explication reste compatible avec les chiffres donnés.

Conclure. La première a le taux observé le plus élevé ; son efficacité supérieure n’est pas prouvée par ces seuls taux.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le tableau croise l’origine des pièces et leur état, avec des totaux cohérents.

Construire la réponse.
1. Pour A, les 120 pièces comprennent 6 défauts et $$120-6=114$$ pièces conformes.
2. Pour B, les 80 pièces comprennent 8 défauts et $$80-8=72$$ pièces conformes.
3. La colonne défaut totalise $$6+8=14$$ et la colonne conforme $$114+72=186$$ .
Vérifier. Les totaux de lignes donnent $$120+80=200$$ et ceux des colonnes $$14+186=200$$ .

Conclure. Le tableau comporte A : 6 défauts, 114 conformes, total 120 ; B : 8 défauts, 72 conformes, total 80 ; total général 200.
Comprendre la question. Sans information sur l’origine, on choisit parmi toutes les pièces.

Construire la réponse.
1. Il y a 14 pièces défectueuses parmi 200 pièces.
2. La probabilité est donc $$14/200=0{,}07$$ .
Vérifier. Le dénominateur est le total général, puisque le tirage ne se limite à aucune ligne.

Conclure. La probabilité globale d’un défaut est 7 %.
Comprendre la question. L’origine connue réduit la population de référence à la ligne correspondante.

Construire la réponse.
1. Sachant A, le taux est
  $\begin{aligned}6/120 &= 0{,}05\\[.35em] &= 5\,\%.\end{aligned}$
2. Sachant B, le taux est
  $\begin{aligned}8/80 &= 0{,}10\\[.35em] &= 10\,\%.\end{aligned}$
Vérifier. Utiliser 200 au dénominateur calculerait des intersections origine et défaut, pas les probabilités conditionnelles demandées.

Conclure. Le taux de défaut est de 5 % dans A et de 10 % dans B.
Comprendre la question. On sait cette fois que la pièce est défectueuse : seuls les défauts forment la référence.

Construire la réponse.
1. Parmi les 14 défauts, 6 viennent de A.
2. La probabilité recherchée vaut
  $\begin{aligned}6/14 &= 3/7\\[.35em] &\approx 0{,}4286.\end{aligned}$
Vérifier. Les 6 défauts de A et les 8 de B couvrent bien les 14 pièces possibles sous cette condition.

Conclure. Sachant le défaut, la probabilité de provenir de A est d’environ 42,86 %.
Comprendre la question. Comparer la qualité relative demande de tenir compte des quantités produites.

Construire la réponse.
1. B a un taux de défaut de 10 %, contre 5 % pour A : son taux est deux fois plus élevé.
2. Les nombres bruts 6 et 8 ne sont pas rapportés au même effectif. Avec d’autres tailles de groupes, un plus grand nombre brut pourrait correspondre à un plus petit taux.
3. La comparaison doit donc utiliser les proportions et préciser la période ou l’échantillon étudié.
Vérifier. Le taux global est une moyenne pondérée : $(120/200)\times0{,}05+(80/200)\times0{,}10=0{,}07$ .

Conclure. Sur ces données, B présente le taux de défaut le plus élevé ; comparer uniquement les nombres bruts ne serait pas une méthode générale fiable.

Variante autonome et bilan

Un groupe de 50 pièces a 5 défauts, un autre de 150 en a 9. Compare les taux et calcule le taux global.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Les deux groupes ont des tailles différentes : on calcule d’abord les taux séparément.

Construire la réponse.

Le premier taux est
$\begin{aligned}5/50 &= 0{,}10\\[.35em] &= 10\,\%.\end{aligned}$
Le second est
$\begin{aligned}9/150 &= 0{,}06\\[.35em] &= 6\,\%.\end{aligned}$
Le total comporte $$5+9=14$$ défauts sur $$50+150=200$$ pièces, donc un taux global de $7\,\%$ .

Vérifier. La moyenne pondérée vaut $(50/200)\times10+(150/200)\times6=7$

Conclure. Le premier groupe a le taux le plus élevé malgré moins de défauts en nombre ; le taux global est 7 %.

Je peux expliquer : modéliser une expérience aléatoire.
Je peux expliquer : lire un tableau à double entrée.
Je peux expliquer : changer de population avec une probabilité conditionnelle.
Je peux expliquer : compléter les probabilités dans un même groupe.
Je peux expliquer : interpréter une fréquence conditionnelle.

Fiche-mémoire

Modéliser une expérience aléatoire.

Décris les issues possibles et précise le modèle de tirage.
Justifie l’équiprobabilité avant d’utiliser un simple dénombrement.
Liste exactement les issues favorables, en respectant les mots comme « strictement ».
Divise le nombre favorable par le nombre total, puis simplifie.
Contrôle que la valeur est dans $$[0;1]$$ et interprète-la dans le contexte.

Lire un tableau à double entrée.

Repère les catégories de lignes et de colonnes ainsi que le total général.
Complète les effectifs manquants par addition ou soustraction.
Contrôle toutes les marges et la non-négativité des cases.
Surligne mentalement le groupe désigné par « parmi » pour choisir le dénominateur.
Calcule et reformule la proportion avec sa population de référence.

Changer de population avec une probabilité conditionnelle.

Repère le groupe qui suit « sachant » ou « parmi » : il fournit le dénominateur.
Identifie l’intersection entre ce groupe et la propriété recherchée.
Divise la probabilité ou l’effectif de l’intersection par celui du groupe connu.
Pour retrouver une intersection, multiplie la part du groupe par la probabilité conditionnelle.
Contrôle le sens de la condition en reformulant la réponse avec une phrase.

Compléter les probabilités dans un même groupe.

Identifie le groupe conditionnel dans lequel le calcul est effectué.
Pour un contraire, conserve ce groupe et remplace seulement l’événement par son complément.
Calcule un moins la probabilité connue.
Si le groupe de référence change, recherche une nouvelle donnée au lieu de compléter automatiquement.
Contrôle avec les effectifs du même groupe ou les branches issues du même nœud.

Interpréter une fréquence conditionnelle.

Précise si l’on compare un nombre, un taux ou un effet attribué à une action.
Calcule chaque proportion dans son propre groupe.
Exprime les taux dans la même unité et compare-les.
Pour une conversion en effectif, distingue taux descriptif exact et taux prévisionnel.
Annonce la conclusion avec les limites de comparabilité des groupes.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Modéliser une expérience aléatoire

Lire un tableau à double entrée

Changer de population avec une probabilité conditionnelle

Compléter les probabilités dans un même groupe

Interpréter une fréquence conditionnelle

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une probabilité simple ★☆☆

Exercice 2 : Compléter une ligne ★☆☆

Exercice 3 : Parmi un sous-groupe ★☆☆

Exercice 4 : Compléter une probabilité ★☆☆

Exercice 5 : Comparer deux réussites ★☆☆

Exercice 6 : Un événement sur un dé ★★☆

Exercice 7 : Deux dénominateurs ★★☆

Exercice 8 : Retrouver une intersection ★★☆

Exercice 9 : Une fausse complémentarité ★★☆

Exercice 10 : Revenir aux effectifs ★★☆

Exercice 11 : Deux issues, deux chances ? ★★★

Exercice 12 : Reconstruire quatre cases ★★★

Exercice 13 : Deux sens différents ★★★

Exercice 14 : Tableau et contraire ★★★

Exercice 15 : Comparer à périmètre constant ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Lire un tableau de contrôle

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions