Équations et fonctions du second degré · Première professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quel est le développement de (x + 2)² ?

x² + 4x² + 4x + 4x² + 2x + 4

2. Quel est l’ensemble des solutions réelles de x² = 9 ?

{−3 ; 3}{9}{3}

3. Que signifie « 4 est une solution de f(x)=0 » ?

f est identiquement nulleLa courbe contient (4 ; 0)La courbe contient (0 ; 4)

4. Un tableau donne x : −1, 0, 2 et f(x) : 4, 1, −3. Quelle est l’image de 2 ?

−304

5. Si u < 0 et v > 0, quel est le signe de uv ?

NulStrictement positifStrictement négatif

Pourquoi ce chapitre ?

Un résultat quadratique peut augmenter puis diminuer. Tu vas distinguer ses seuils, son signe et sa meilleure valeur réalisable. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Résoudre avec des courbes.
Reconnaître une parabole et ses racines.
Étudier le signe d’un produit.
Modéliser avec le second degré.
Chercher une racine par balayage.

L’idée avant la formule

La forme factorisée montre les zéros. Une écriture centrée sur le sommet montre la meilleure valeur. Les deux décrivent la même courbe.

Le cours formel

Résoudre avec des courbes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Transformer une équation en rencontre. Résoudre $$f(x)=g(x)$$ signifie chercher les entrées qui produisent la même sortie pour les deux fonctions. Sur un graphique, les points correspondants appartiennent aux deux courbes : ce sont leurs intersections. Les solutions sont leurs abscisses, pas leurs ordonnées.

Transformer une inégalité en position. Pour $$f(x)>g(x)$$ , on retient les abscisses où la courbe de f est au-dessus de celle de g. Aux intersections, les hauteurs sont égales : ces abscisses sont exclues pour une inégalité stricte et incluses pour une inégalité large.

Une lecture a une précision limitée. Une intersection située entre deux graduations ne fournit généralement qu'une valeur approchée. Une fenêtre graphique peut aussi masquer des solutions. Le domaine doit être entièrement examiné avant de conclure qu'on les a toutes.

Affiner par un encadrement. Pour une fonction continue qui change de signe entre a et b, il existe une racine entre ces bornes. Si elle est strictement monotone sur cet intervalle, cette racine est unique. Des essais numériques réduisent ensuite la largeur de l'intervalle ; ils ne transforment pas une approximation décimale en valeur exacte.

Reconnaître une parabole et ses racines

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître le second degré. Une expression $$ax^2+bx+c$$ est du second degré si $a\ne0$ . Sa courbe est une parabole. Une racine est une valeur de x qui annule l'expression : graphiquement, c'est une abscisse où la parabole rencontre l'axe horizontal.

Pourquoi la factorisation aide. Lorsque l'expression s'écrit $$a(x-r_1)(x-r_2)$$ , le produit vaut zéro dès qu'un facteur vaut zéro. Comme a n'est pas nul, les racines sont $$r_1$$ et $$r_2$$ . Si ces deux nombres sont égaux, on obtient une racine double : la parabole touche l'axe sans le traverser.

Choisir la forme qui répond à la question. La forme développée donne directement le coefficient de $$x^2$$ et l'image de zéro. La forme factorisée donne directement les racines et facilite le signe. Passer de l'une à l'autre ne change pas la fonction ; cela rend seulement certaines informations plus visibles.

Exploiter la symétrie. Deux racines distinctes sont à la même distance de l'axe de la parabole. Cet axe a donc pour abscisse leur moyenne $$(r_1+r_2)/2$$ . Calculer l'image de cette moyenne donne l'ordonnée du sommet. Une formule générale de résolution n'est pas nécessaire lorsqu'une factorisation est disponible.

Exemple · Exemple commenté

Pour $$f(x)=2(x-1)(x-5)$$ , le facteur constant 2 n'est jamais nul. Le produit s'annule si $$x-1=0$$ ou $$x-5=0$$ : les racines sont donc 1 et 5. L'axe de symétrie se situe au milieu :

\begin{aligned}x &= (1+5)/2\\[.35em] &= 3.\end{aligned}

Au sommet,

\begin{aligned}f(3) &= 2(3-1)(3-5)\\[.35em] &= 2\times2\times(-2)\\[.35em] &= -8.\end{aligned}

Le coefficient du carré vaut 2, positif : la parabole est tournée vers le haut et le sommet correspond à son minimum. Pour obtenir l'image de zéro, on peut garder la forme factorisée :

\begin{aligned}f(0) &= 2(-1)(-5)\\[.35em] &= 10.\end{aligned}

En développant, $$(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$$ , donc $$f(x)=2x^2-12x+10$$ . La valeur constante 10 confirme le calcul de $$f(0)$$ ; remplacer x par 1 ou par 5 dans cette forme doit redonner zéro.

Étudier le signe d’un produit

Intuition · Construire la notion pas à pas

Partir du signe des facteurs. Un produit de deux nombres de même signe est positif ; un produit de deux nombres de signes contraires est négatif. La forme $$a(x-r_1)(x-r_2)$$ permet d'utiliser cette règle intervalle par intervalle.

Les racines découpent la droite. Si $$r_1<r_2$$ , à gauche de $$r_1$$ les deux facteurs variables sont négatifs ; entre les racines, le premier est positif et le second négatif ; à droite, ils sont tous deux positifs. Le produit des deux facteurs est donc positif, négatif, positif. On tient ensuite compte du signe de a.

Traiter les zéros à part. Aux racines, le produit vaut zéro. Ces valeurs conviennent à une condition $\ge0$ ou $\le0$ , mais jamais à une condition $$>0$$ ou $$<0$$ . Le choix des crochets traduit exactement cette différence.

Une racine double ne change pas le signe. Dans $$a(x-r)^2$$ , le carré reste positif de chaque côté de r et s'annule seulement en r. Le signe de l'expression hors de r est donc celui de a. On ne doit pas alterner automatiquement les signes à chaque racine.

Modéliser avec le second degré

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comprendre l'apparition du carré. Une aire est un produit de deux longueurs. Si ces deux longueurs dépendent de x, leur produit peut contenir $$x^2$$ . Une recette peut également multiplier une quantité vendue par un prix dépendant de cette quantité. Le second degré naît alors du modèle, pas d'une formule choisie au hasard.

Définir le domaine avant d'optimiser. Les longueurs doivent être positives ; une quantité produite peut être limitée par la capacité d'une machine. Un sommet de parabole situé hors de ces contraintes n'est pas une solution réalisable.

Relier sommet et objectif. Une parabole de coefficient dominant négatif monte puis descend : son sommet donne un maximum sur les réels. Avec un coefficient positif, le sommet donne un minimum. Sur un intervalle imposé, on étudie seulement la partie autorisée et on compare aussi les bornes.

Rendre le résultat interprétable. Un optimum doit préciser la valeur de x qui le réalise et la valeur maximale ou minimale obtenue, avec leurs unités différentes. Si x est une longueur en centimètres, une aire s'exprime en centimètres carrés. Si le modèle est approximatif, l'optimum est celui du modèle, sous ses hypothèses.

Chercher une racine par balayage

Intuition · Construire la notion pas à pas

Pourquoi utiliser un outil numérique. Certaines racines n'ont pas une écriture décimale finie. La calculatrice ou un programme permet de les approcher à la précision utile. On commence par localiser une zone, puis on réduit le pas pour obtenir un encadrement plus étroit.

Ce qu'apporte un changement de signe. Une fonction polynomiale est continue : sa courbe ne saute pas d'une hauteur à une autre. Si elle prend une valeur négative en a et positive en b, elle doit passer par zéro entre a et b. Si elle est en plus strictement monotone entre ces bornes, cette racine est unique.

Ce qu'un balayage peut manquer. Une racine double peut être touchée sans changement de signe : $$(x-2)^2$$ reste positif de chaque côté de 2. Un pas trop grand peut aussi franchir deux racines et retrouver le même signe. Le tableau numérique doit donc être interprété avec le graphique, les variations ou une factorisation.

Distinguer encadrement et approximation. Écrire $$1{,}41<r<1{,}42$$ fournit une information contrôlée de largeur 0,01. Écrire $r\approx1{,}4142$ donne une approximation. Le symbole d'égalité ne convient que si la valeur est exacte ; on peut contrôler une approximation en recalculant l'image, qui doit être proche de zéro.

Exemple · Exemple commenté

Pour la racine positive de $$f(x)=x^2-2$$ , on calcule

\begin{aligned}f(1{,}4) &= 1{,}96-2\\[.35em] &= -0{,}04\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }f(1{,}5) &= 2{,}25-2\\[.35em] &= 0{,}25.\end{aligned}

La fonction est continue et strictement croissante sur les positifs : la racine unique de cette portion est entre 1,4 et 1,5.

On affine au centième :

\begin{aligned}f(1{,}41) &= 1{,}9881-2\\[.35em] &= -0{,}0119\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }f(1{,}42) &= 2{,}0164-2\\[.35em] &= 0{,}0164.\end{aligned}

On obtient donc $$1{,}41<r<1{,}42$$ . Un solveur peut ensuite afficher 1,41421356, mais cette chaîne décimale reste une approximation de $\sqrt2$ . La largeur de l'encadrement permet de dire quelle précision est réellement justifiée par les calculs effectués.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Lire une intersection donnée ★☆☆

Les courbes de $$f$$ et $$g$$ se coupent aux points $$(1;5)$$ et $$(4;2)$$ . Quelles solutions de $$f(x)=g(x)$$ lit-on ?

Exercice 2 : Lire les racines ★☆☆

Donne les racines de $$f(x)=3(x+2)(x-4)$$ .

Exercice 3 : Un signe en un point ★☆☆

Sans développer, détermine le signe de $$(3-1)(3-5)$$ .

Exercice 4 : Construire une aire ★☆☆

Un rectangle a pour côtés $$x$$ et $$8-x$$ , en cm. Écris l’aire et son domaine pour un rectangle non aplati.

Exercice 5 : Contrôler une approximation ★☆☆

Pour $$f(x)=x^2-3$$ , calcule $$f(1{,}7)$$ et $$f(1{,}8)$$ .

Exercice 6 : Au-dessus d’un seuil ★★☆

Résous $$x^2>4$$ dans $$[-5;5]$$ .

Exercice 7 : Retrouver la forme factorisée ★★☆

Un polynôme a pour racines 2 et 5 et pour coefficient de $$x^2$$ le nombre $$-2$$ . Écris sa forme factorisée puis développée.

Exercice 8 : Une inéquation factorisée ★★☆

Résous $(x+2)(x-3)\le0$ .

Exercice 9 : Trouver un sommet par symétrie ★★☆

Un bénéfice est $$B(x)=-2(x-10)(x-30)$$ pour $x\in[0;40]$ . Pour quelle valeur est-il maximal ? Quelle est cette valeur ?

Exercice 10 : Un pas plus fin ★★☆

On sait qu’une racine de $$x^2-3$$ est entre $$1{,}7$$ et $$1{,}8$$ . Teste $$1{,}73$$ et $$1{,}74$$ .

Exercice 11 : Un encadrement numérique ★★★

Pour $$f(x)=x^2-5$$ , on trouve $$f(2{,}23)=-0{,}0271$$ et $$f(2{,}24)=0{,}0176$$ . Explique l’encadrement de la solution positive et une approximation au centième.

Exercice 12 : Tester et exploiter une racine ★★★

Pour $$f(x)=x^2-7x+12$$ , vérifie que 3 est une racine puis factorise et trouve l’autre racine.

Exercice 13 : Une racine double ★★★

Résous $-3(x-2)^2\ge0$ , puis $$-3(x-2)^2>0$$ .

Exercice 14 : Un domaine limité ★★★

$$A(x)=x(12-x)$$ décrit une surface, mais la fabrication impose $2\le x\le4$ . Où est le maximum autorisé ?

Exercice 15 : Un changement de signe absent ★★★

Un programme cherche seulement les changements de signe de $$f(x)=(x-2)^2$$ . Pourquoi peut-il annoncer à tort aucune racine ?

Problème : Pour aller plus loin

Zone de rentabilité

Le résultat d’une série en dizaines d’euros dépend de x lots. $$B(x)=-(x-1)(x-7)$$ sur $$[0;9]$$ .

Développe B et trouve ses zéros sans discriminant.
Étudie le signe de B et interprète sa zone positive.
Vérifie $$B(x)=9-(x-4)^2$$ et déduis les variations.
Trouve le maximum et la quantité entière à retenir.
Calcule B(0) et B(9). Pourquoi ne peut-on pas promettre un résultat positif pour toute quantité ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les racines imposent les facteurs ; le coefficient du carré fixe le multiplicateur.

Construire la réponse.

La racine 2 donne le facteur $$(x-2)$$ et la racine 5 donne $$(x-5)$$ .
Le produit de ces facteurs a pour terme dominant $$x^2$$ . Pour obtenir le coefficient -2, on écrit $$f(x)=-2(x-2)(x-5)$$ .
On développe :
$\begin{aligned}(x-2)(x-5) &= x^2-5x-2x+10\\[.35em] &= x^2-7x+10.\end{aligned}$
On distribue -2 à chacun des trois termes : $$f(x)=-2x^2+14x-20$$ .

Vérifier. Le coefficient du carré est bien -2. Les deux facteurs montrent que

\begin{aligned}f(2) &= f(5)\\[.35em] &= 0;\end{aligned}

la forme développée donne également ces deux égalités.

Conclure. Une écriture factorisée est $$-2(x-2)(x-5)$$ ; l’écriture développée est $$-2x^2+14x-20$$ .

Corrigé 8

Corrigé 9

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On maximise une parabole tournée vers le bas, tout en vérifiant le domaine imposé.

Construire la réponse.

Les racines de $$B(x)=-2(x-10)(x-30)$$ sont 10 et 30. Leur moyenne vaut $$(10+30)/2=20$$ : c’est l’abscisse du sommet.
Le coefficient dominant -2 est négatif ; la fonction augmente jusqu’au sommet puis diminue.
Le nombre 20 appartient à $$[0;40]$$ . Le sommet est donc réalisable sur l’intervalle demandé.
On calcule
$\begin{aligned}B(20) &= -2(20-10)(20-30)\\[.35em] &= -2\times10\times(-10)\\[.35em] &= 200.\end{aligned}$

Vérifier. La forme $$B(x)=200-2(x-20)^2$$ montre que toute autre valeur donne au plus 200. Aux bornes 0 et 40, la valeur est -600, inférieure au maximum.

Conclure. Le maximum est 200, atteint pour x égal à 20.

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On encadre la racine positive de $$x^2-5$$ et l’on justifie son arrondi au centième.

Construire la réponse.

$\begin{aligned}f(2{,}23) &= 2{,}23^2-5\\[.35em] &= 4{,}9729-5\\[.35em] &= -0{,}0271.\end{aligned}$
$\begin{aligned}f(2{,}24) &= 2{,}24^2-5\\[.35em] &= 5{,}0176-5\\[.35em] &= 0{,}0176.\end{aligned}$
La fonction est continue et strictement croissante pour x positif : son unique racine positive se trouve entre ces deux nombres.
Pour choisir l’arrondi, on teste le milieu $$2{,}235$$ . Son image vaut $$4{,}995225-5=-0{,}004775<0$$ . La racine est donc supérieure à $$2{,}235$$ et inférieure à $$2{,}24$$ .

Vérifier. La racine est $\sqrt5\approx2{,}2360679$ , bien dans l’intervalle obtenu. Le test du milieu était nécessaire : un simple encadrement entre deux centièmes ne décide pas toujours lequel est le plus proche.

Conclure. $2{,}23<\sqrt5<2{,}24$ et l’arrondi au centième est $$2{,}24$$ .

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le carré impose que l’expression soit toujours négative ou nulle ; la question distingue égalité et positivité stricte.

Construire la réponse.

Pour tout réel x, $(x-2)^2\ge0$ . Multiplier par -3 donne $-3(x-2)^2\le0$ .
Pour que cette expression soit également supérieure ou égale à zéro, elle doit être exactement nulle.
Comme -3 n’est pas nul, il faut $$(x-2)^2=0$$ , donc $$x=2$$ .
Pour une inégalité strictement positive, aucune valeur ne convient : l’expression ne dépasse jamais zéro.

Vérifier. À x égal à 2, on obtient zéro. À 1 ou à 3, on obtient -3 ; la racine double ne fait pas changer le signe.

Conclure. Pour $\ge0$ , l’ensemble solution est $\{2\}$ ; pour $$>0$$ , c’est l’ensemble vide.

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le sommet de la parabole n’appartient pas nécessairement à l’intervalle autorisé.

Construire la réponse.

$\begin{aligned}A(x) &= x(12-x)\\[.35em] &= -x^2+12x\\[.35em] &= 36-(x-6)^2.\end{aligned}$
Le sommet se situe en x égal à 6.
Or le domaine demandé est $$[2;4]$$ : 6 est exclu. Sur cet intervalle situé entièrement à gauche de 6, A est croissante.
Le maximum est donc atteint à la borne droite x égale à 4. On calcule
$\begin{aligned}A(4) &= 4(12-4)\\[.35em] &= 4\times8\\[.35em] &= 32.\end{aligned}$

Vérifier. À l’autre borne,

\begin{aligned}A(2) &= 2\times10\\[.35em] &= 20.\end{aligned}

La valeur 36 obtenue en x égal à 6 serait plus grande, mais correspond à une situation interdite par la contrainte.

Conclure. Le maximum sur $$[2;4]$$ est 32, atteint pour x égal à 4.

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Un algorithme qui ne repère que les changements de signe peut ignorer une racine où la courbe touche l’axe.

Construire la réponse.

Pour tout x, $(x-2)^2\ge0$ . La fonction ne prend donc aucune valeur négative.
En x égal à 2, la valeur est zéro ; de chaque côté, par exemple en 1,9 et 2,1, elle vaut $0{,}1^2=0{,}01>0$ .
Un balayage qui ne teste pas exactement 2 et qui attend deux signes opposés ne déclenche aucune détection.
La factorisation permet pourtant de résoudre $$(x-2)^2=0$$ : l’unique racine est 2, double. Un graphique ou une étude du minimum signale également le contact avec l’axe.

Vérifier. Le même signe aux deux bornes n’est donc pas une preuve d’absence de racine ; ici, la racine est connue exactement malgré ce même signe.

Conclure. Il faut compléter le test de changement de signe par l’examen des zéros testés, des minima ou de la structure de la fonction.

Corrigé du problème

Comprendre la question. La forme factorisée donne les zéros ; le développement donne une autre écriture du même modèle.

Construire la réponse.
1. On développe d’abord $$(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$$ .
2. Le signe moins porte sur tous les termes : $$B(x)=-x^2+8x-7$$ .
3. Le produit s’annule lorsque $$x-1=0$$ ou $$x-7=0$$ , soit x égal à 1 ou 7.
Vérifier. Remplacer chaque racine dans la forme factorisée annule un facteur et donc tout le produit.

Conclure. Les zéros sont 1 et 7, et la forme développée est $$-x^2+8x-7$$ .
Comprendre la question. On cherche les quantités qui donnent un résultat positif.

Construire la réponse.
1. Avant 1, les deux facteurs sont négatifs : leur produit est positif et B est négative à cause du signe moins.
2. Entre 1 et 7, les facteurs sont de signes contraires : leur produit est négatif et B est positive.
3. Après 7, les deux facteurs sont positifs : B redevient négative. Aux deux racines, B vaut zéro.
Vérifier. Au milieu, x égal à 4, les facteurs sont opposés et le résultat positif, ce qui confirme le signe intérieur.

Conclure. Le résultat est strictement positif pour $$1<x<7$$ , dans le domaine autorisé.
Comprendre la question. La forme centrée permet de lire les variations sans utiliser le discriminant ni la dérivée.

Construire la réponse.
1. On développe
  $\begin{aligned}9-(x-4)^2 &= 9-x^2+8x-16\\[.35em] &= -x^2+8x-7.\end{aligned}$
2. Lorsque x se rapproche de 4, le carré $$(x-4)^2$$ diminue ; en le soustrayant, B augmente.
3. Après 4, le carré augmente et B diminue.
Vérifier. Le développement redonne exactement la forme initiale développée : il s’agit bien de la même fonction.

Conclure. B croît sur $$[0;4]$$ puis décroît sur $$[4;9]$$ .
Comprendre la question. Il faut distinguer le choix optimal x et la valeur maximale B(x).

Construire la réponse.
1. Le sommet $$x=4$$ appartient à $$[0;9]$$ et est entier.
2. On calcule
  $\begin{aligned}B(4) &= -(4-1)(4-7)\\[.35em] &= 9.\end{aligned}$
3. Les variations montrent que toute autre valeur du domaine donne un résultat inférieur ou égal.
Vérifier. La forme $$9-(x-4)^2$$ ne peut dépasser 9, car le carré soustrait est positif ou nul.

Conclure. Le choix optimal est 4 lots et le résultat maximal 9 dizaines d’euros.
Comprendre la question. Les bornes illustrent les limites de la zone de rentabilité.

Construire la réponse.
1. À zéro,
  $\begin{aligned}B(0) &= -(-1)(-7)\\[.35em] &= -7.\end{aligned}$
2. À
  $\[x=9,\]$ $\begin{aligned}B(9) &= -(9-1)(9-7)\\[.35em] &= -16.\end{aligned}$
3. Ces valeurs sont négatives : produire trop peu ou dépasser la plage rentable peut conduire à une perte dans ce modèle.
Vérifier. Les deux bornes sont situées en dehors de l’intervalle entre les racines, où l’étude de signe annonçait déjà des valeurs négatives.

Conclure. La positivité n’est garantie que dans la zone établie ; les résultats se lisent en dizaines d’euros.

Variante autonome et bilan

Étudie $$D(x)=-(x-3)(x-9)$$ sur [0;12] : zéros, signe positif et maximum.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante se traite directement par les facteurs puis par une forme centrée.

Construire la réponse.

Le produit $$D(x)=-(x-3)(x-9)$$ s’annule en 3 et 9.
Les facteurs ont des signes contraires entre 3 et 9 : avec le signe moins, D est positive sur $$]3;9[$$ . Elle est nulle aux bornes et négative ailleurs dans [0;12].
Le développement donne
$\begin{aligned}D(x) &= -x^2+12x-27\\[.35em] &= 9-(x-6)^2.\end{aligned}$
Le carré est minimal, égal à zéro, en 6. D atteint donc son maximum 9 en 6, valeur autorisée et entière.

Vérifier.

\begin{aligned}D(6) &= -(6-3)(6-9)\\[.35em] &= -3(-3)\\[.35em] &= 9.\end{aligned}

Les bornes donnent $$D(0)=-27$$ et $$D(12)=-27$$ .

Conclure. Les zéros sont 3 et 9, la zone positive $$]3;9[$$ , et le maximum 9 est atteint en 6.

Je peux expliquer : résoudre avec des courbes.
Je peux expliquer : reconnaître une parabole et ses racines.
Je peux expliquer : étudier le signe d’un produit.
Je peux expliquer : modéliser avec le second degré.
Je peux expliquer : chercher une racine par balayage.

Fiche-mémoire

Résoudre avec des courbes.

Identifie les deux courbes à comparer et vérifie le domaine ainsi que la fenêtre.
Relève les abscisses de toutes les intersections visibles sur ce domaine.
Pour une inégalité, repère les intervalles où la bonne courbe est au-dessus, puis traite les bornes.
Indique la précision de lecture ; si nécessaire, encadre numériquement et justifie l’unicité.

Reconnaître une parabole et ses racines.

Vérifie que le coefficient du carré est non nul.
Utilise la forme factorisée et la règle du produit nul pour rechercher les racines.
Contrôle le signe des nombres : $$x+2=x-(-2)$$ correspond à la racine -2.
Pour construire une expression, conserve le coefficient a ; développe seulement si cela est demandé.
Vérifie les racines par substitution et utilise leur moyenne pour l’axe de symétrie.

Étudier le signe d’un produit.

Factorise si nécessaire et range les racines dans l’ordre croissant.
Détermine le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, y compris le coefficient constant.
Multiplie les signes et place zéro aux racines.
Sélectionne les portions demandées, puis inclus ou exclus les racines selon le caractère large ou strict.

Modéliser avec le second degré.

Définis x, son unité et les contraintes avant d’écrire la fonction.
Exprime les autres quantités en fonction de x puis construis l’aire, la recette ou le bénéfice.
Repère le sommet et le sens des variations à partir d’une forme adaptée.
Vérifie si le sommet est autorisé ; sinon, compare les valeurs aux limites permises.
Donne la valeur de x et la valeur optimale avec leurs unités, puis contrôle les contraintes.

Chercher une racine par balayage.

Repère le domaine et une portion où les variations rendent la recherche compréhensible.
Calcule les valeurs aux deux bornes et cherche un changement de signe.
Justifie l’existence par la continuité et l’unicité par la stricte monotonie, si elle est connue.
Réduis le pas ou partage l’intervalle, puis donne un encadrement et une approximation correctement notés.
Vérifie qu’une racine double ou une fenêtre trop étroite n’a pas été oubliée.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Résoudre avec des courbes

Reconnaître une parabole et ses racines

Étudier le signe d’un produit

Modéliser avec le second degré

Chercher une racine par balayage

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Lire une intersection donnée ★☆☆

Exercice 2 : Lire les racines ★☆☆

Exercice 3 : Un signe en un point ★☆☆

Exercice 4 : Construire une aire ★☆☆

Exercice 5 : Contrôler une approximation ★☆☆

Exercice 6 : Au-dessus d’un seuil ★★☆

Exercice 7 : Retrouver la forme factorisée ★★☆

Exercice 8 : Une inéquation factorisée ★★☆

Exercice 9 : Trouver un sommet par symétrie ★★☆

Exercice 10 : Un pas plus fin ★★☆

Exercice 11 : Un encadrement numérique ★★★

Exercice 12 : Tester et exploiter une racine ★★★

Exercice 13 : Une racine double ★★★

Exercice 14 : Un domaine limité ★★★

Exercice 15 : Un changement de signe absent ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Zone de rentabilité

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions