Suites arithmétiques · Première professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Une montée en charge se planifie par étapes. La suite arithmétique permet de prévoir la cadence, le cumul et le premier jour où un objectif est atteint. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Une suite décrit des étapes.
Ajouter toujours la même quantité.
Additionner une suite arithmétique.
Modéliser un ajout fixe en contexte professionnel.
Suites arithmétiques au tableur.

L’idée avant la formule

Une hausse de cinq unités par jour ajoute la même quantité, quelle que soit la production précédente. Le cumul correspond à la somme des productions quotidiennes.

Le cours formel

Une suite décrit des étapes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Numéroter une évolution. Une suite associe une valeur à chaque rang entier. Le rang indique une position ou un nombre d'étapes ; le terme indique la quantité observée à cette position. Dans $$u_5=21$$ , 5 est le rang et 21 la valeur. L'indice n'est ni une multiplication ni une puissance.

Choisir le point de départ. Si l'état initial porte le rang 0, le rang 1 décrit l'état après une étape, et le rang 5 après cinq étapes. Il s'agit alors du sixième terme de la liste $u_0,u_1,\ldots,u_5$ . Avec un départ au rang 1, le même langage doit être adapté.

Deux façons de définir une suite. Une formule explicite calcule directement un terme à partir de son rang, par exemple $$u_n=4n+1$$ . Une relation de récurrence calcule le terme suivant à partir du terme courant. Il faut alors une valeur initiale ; la seule règle « doubler puis ajouter 1 » ne dit pas d'où l'on part.

Tenir une trace. Un petit tableau avec une colonne pour le rang et une pour la valeur évite de confondre les deux. Pour une récurrence, chaque nouvelle ligne utilise la valeur obtenue à la ligne précédente, et non le numéro de cette ligne à la place du terme.

Exemple · Exemple commenté

Comparons $$u_n=3n+2$$ et la suite définie par $$v_0=2$$ , $v_{n+1}=3v_n+2$ . Pour la première, le calcul de $$u_2$$ se fait directement :

\begin{aligned}u_2 &= 3\times2+2\\[.35em] &= 8.\end{aligned}

On n'a pas besoin de calculer $$u_1$$ .

Pour la seconde, on commence par

\begin{aligned}v_1 &= 3v_0+2\\[.35em] &= 3\times2+2\\[.35em] &= 8.\end{aligned}

Puis

\begin{aligned}v_2 &= 3v_1+2\\[.35em] &= 3\times8+2\\[.35em] &= 26.\end{aligned}

Les deux règles contiennent « trois fois quelque chose plus deux », mais ce quelque chose est le rang dans la première et la valeur précédente dans la seconde. Elles ne définissent donc pas la même suite.

La trace $$v_0=2$$ , $$v_1=8$$ , $$v_2=26$$ contrôle que deux mises à jour ont été faites pour atteindre le rang 2.

Ajouter toujours la même quantité

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître une différence constante. Une suite est arithmétique lorsqu'on ajoute le même nombre r à chaque étape : $u_{n+1}=u_n+r$ . Ce nombre r, appelé raison, peut être positif, nul ou négatif. Une diminution fixe de 3 correspond donc à une raison -3.

Passer des étapes à une formule. À partir de $$u_0$$ , une étape donne $$u_0+r$$ , deux étapes $$u_0+2r$$ et n étapes $$u_0+nr$$ . Plus généralement, entre les rangs p et n, on effectue $$n-p$$ étapes : $$u_n=u_p+(n-p)r$$ . La formule compte des écarts de rang, pas le nombre de termes écrits.

Retrouver la raison. Entre deux termes connus, la variation totale est partagée entre toutes les étapes. Si cinq étapes ajoutent 20 au total, chaque étape ajoute $$20/5=4$$ . On utilise donc la différence des valeurs divisée par la différence des rangs.

Savoir ce qu'une observation prouve. Trois ou quatre écarts égaux suggèrent un modèle arithmétique. Ils ne démontrent pas que la règle se poursuivra indéfiniment. La règle doit être donnée, justifiée par le contexte ou explicitement adoptée comme hypothèse.

Additionner une suite arithmétique

Intuition · Construire la notion pas à pas

Distinguer le dernier terme du total. Une production qui augmente chaque jour possède une valeur quotidienne et une valeur cumulée. Le dernier terme donne la production du dernier jour ; la somme additionne les productions de tous les jours. Multiplier la dernière production par le nombre de jours surestime le total lorsque la production augmente.

Pourquoi la moyenne des extrêmes suffit. Dans une suite arithmétique, le premier terme plus le dernier vaut autant que le deuxième plus l'avant-dernier : l'un gagne r pendant que l'autre perd r. Toutes les paires symétriques ont donc la même somme.

Établir la formule sans cas particulier. Écris une somme S dans l'ordre normal, puis la même somme dans l'ordre inverse. En additionnant colonne par colonne, tu obtiens N fois « premier plus dernier ». Ainsi $$2S=N(u_p+u_n)$$ , donc $$S=N(u_p+u_n)/2$$ . Ce raisonnement fonctionne même si N est impair.

Compter correctement. Entre les rangs p et n inclus, le nombre de termes est $$N=n-p+1$$ . Le nombre de transitions est $$n-p$$ . Cette différence d'une unité explique de nombreuses erreurs dans les sommes.

Modéliser un ajout fixe en contexte professionnel

Intuition · Construire la notion pas à pas

Calculer le bilan d'une période. Un stock peut recevoir et perdre des objets pendant le même jour. L'évolution nette est « entrées moins sorties ». Si ce bilan est constant, les stocks de fin de période forment une suite arithmétique.

Choisir ce que décrit le rang. « Après cinq jours » signifie cinq évolutions à partir d'un stock initial de rang 0. « Au sixième jour » avec une première dépense au jour 1 signifie cinq évolutions après cette première dépense. Le repère temporel doit être fixé avant le calcul.

Distinguer quantité et flux. Le stock disponible après plusieurs jours n'est pas la somme des stocks quotidiens. En revanche, le total des dépenses ou des durées de séances s'obtient en additionnant les valeurs quotidiennes. L'énoncé indique laquelle de ces quantités est demandée.

Limiter le modèle à des situations possibles. Une durée qui diminue de quatre minutes à chaque amélioration ne peut pas devenir négative. Une capacité maximale ou un stock épuisé impose également une limite. Une formule arithmétique peut rester calculable alors que son interprétation ne l'est plus.

Suites arithmétiques au tableur

Intuition · Construire la notion pas à pas

Traduire une récurrence en cellules. Une suite décrit des valeurs successives. Le tableur conserve chaque valeur dans une cellule et calcule la suivante sur la ligne d'après. On choisit ici la colonne A pour les rangs et B pour les valeurs : la ligne 2 contient le rang 0 et le terme initial.

Comprendre la recopie. Si la formule de B3 utilise B2, la recopie vers B4 transforme cette référence en B3. Ce déplacement est souhaité : le nouveau terme doit utiliser celui qui le précède. C'est une référence relative.

Garder un paramètre fixe. Si une raison ou un taux est enregistré dans D1, il doit rester lu au même endroit. La référence $D$1 bloque sa colonne et sa ligne. Une formule peut donc mélanger une référence relative au terme précédent et une référence absolue au paramètre.

Distinguer rang et numéro de ligne. Le rang zéro occupe déjà une ligne. Le terme de rang n se trouve donc ici en ligne $$n+2$$ , et les rangs 0 à n représentent $$n+1$$ valeurs. Avant une longue recopie, vérifie les trois premiers termes à la main : une erreur de référence se propage à toutes les lignes.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Un rang dans une formule ★☆☆

$$u_n=4n+1$$ pour $n\ge0$ . Calcule $$u_0$$ et $$u_5$$ .

Exercice 2 : Lire une raison ★☆☆

La suite commence par 9, 14, 19, 24. Si elle est arithmétique, quelle est sa raison et quel est le terme suivant ?

Exercice 3 : Une somme connue ★☆☆

Calcule $1+2+\cdots+20$ .

Exercice 4 : Un apport net ★☆☆

Un stock initial de 90 reçoit 20 pièces et en consomme 14 chaque jour. Écris le modèle et le stock après cinq jours.

Exercice 5 : Une recopie relative ★☆☆

B3 contient =B2+5. Quelle formule apparaît en B4 après recopie vers le bas ?

Exercice 6 : Avancer pas à pas ★★☆

$$v_0=3$$ et $v_{n+1}=2v_n+1$ . Calcule $$v_1$$ , $$v_2$$ et $$v_3$$ .

Exercice 7 : Un rang initial différent ★★☆

$$u_1=80$$ et la raison est $$-3$$ . Calcule $u_{12}$ .

Exercice 8 : Des rangs décalés ★★☆

$$u_n=5+3n$$ . Calcule $u_2+u_3+\cdots+u_7$ .

Exercice 9 : Une réduction régulière ★★☆

Une opération dure 75 minutes puis gagne 4 minutes à chaque amélioration. Combien vaut la durée après six améliorations ?

Exercice 10 : Un paramètre fixe ★★☆

Le taux est en D1. Une formule utilise le terme précédent B2 et le coefficient $$1+t$$ . Quelle référence faut-il donner à D1 pour recopier vers le bas ?

Exercice 11 : Quel rang pour quelle date ? ★★★

Un stock vaut 500 unités au début de janvier ; $$s_n$$ décrit le stock au début du mois situé $$n$$ mois après janvier. Que représentent $$s_0$$ , $$s_2$$ et le stock au début de décembre ?

Exercice 12 : Reconstruire la suite ★★★

Une suite arithmétique vérifie $$u_3=17$$ et $$u_8=37$$ . Trouve sa raison et $$u_0$$ .

Exercice 13 : Un entraînement progressif ★★★

Une personne fait 12 minutes d’entraînement le premier jour puis 3 minutes de plus chaque jour pendant 10 jours. Calcule la durée du dixième jour et le total.

Exercice 14 : Budget cumulé ★★★

Un atelier dépense 100 euros le premier jour, puis 15 euros de plus chaque jour pendant 6 jours. Calcule la dépense du dernier jour et le total.

Exercice 15 : Un décalage de rang ★★★

Le rang 0 est en ligne 2. Dans quelle ligne se trouve le rang 12 ? Comment vérifier une somme des rangs 0 à 12 ?

Problème : Pour aller plus loin

Augmenter une cadence progressivement

Un atelier produit 40 pièces le premier jour puis 5 pièces de plus chaque jour, pendant 10 jours.

Donne la récurrence et le terme général au rang n $\ge$ 1.
Calcule la production du dixième jour.
Calcule le total sur dix jours.
Trouve le premier jour où la production est au moins 70.
Propose des colonnes de tableur pour le jour, la production et le cumul.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le rang compte les mois écoulés depuis janvier ; il ne désigne pas directement le numéro du mois dans l’année.

Construire la réponse.

Au début de janvier, aucun mois ne s’est écoulé : le rang est 0 et $$s_0=500$$ .
Février est un mois après janvier, donc il correspond à $$s_1$$ . Mars est deux mois après janvier : c’est $$s_2$$ .
De janvier à décembre, il y a onze changements de mois. Le stock de début décembre est donc $s_{11}$ .

Vérifier. Le rang 12 correspondrait au début de janvier de l’année suivante. Sans règle d’évolution, on ne peut pas calculer les valeurs numériques de $$s_2$$ ou $s_{11}$ .

Conclure. $$s_0$$ est le stock de janvier, $$s_2$$ celui de mars et $s_{11}$ celui de décembre.

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On cherche deux quantités différentes : la durée du dixième jour et la durée cumulée de dix jours.

Construire la réponse.

Du premier au dixième jour, il y a neuf augmentations de 3 minutes. La dernière durée vaut $12+9\times3=39$ minutes.
Les dix durées forment une suite arithmétique de premier terme 12 et de dernier terme 39.
Le total est
$\begin{aligned}S &= 10(12+39)/2\\[.35em] &= 5\times51\\[.35em] &= 255\end{aligned}$
minutes.
Comme $255=4\times60+15$ , cela représente 4 heures et 15 minutes.

Vérifier. La durée moyenne est $$(12+39)/2=25{,}5$$ minutes ; dix fois cette moyenne redonne 255 minutes. Le total est compris entre 120 et 390 minutes, comme attendu.

Conclure. Le dixième jour dure 39 minutes ; le total des dix jours est 255 minutes, soit 4 h 15 min.

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La production augmente d’une quantité fixe de cinq pièces chaque jour.

Construire la réponse.
1. Le premier terme est $$u_1=40$$ et la récurrence $u_{n+1}=u_n+5$ .
2. Pour atteindre le jour n, on effectue n moins 1 ajouts : $$u_n=40+5(n-1)$$ .
Vérifier. En n égal à 1, la formule redonne 40. Les différences entre deux jours consécutifs valent toujours 5.

Conclure. La suite est arithmétique de raison 5, avec un premier rang égal à 1.
Comprendre la question. Le dixième jour correspond à neuf augmentations après le premier.

Construire la réponse.
1. On remplace n par 10 : $u_{10}=40+5(10-1)$ .
2. On calcule
  $\begin{aligned}40+5\times9 &= 40+45\\[.35em] &= 85.\end{aligned}$
Vérifier. Le jour 9 donne 80 pièces ; un ajout supplémentaire donne bien 85.

Conclure. La production du dixième jour est de 85 pièces.
Comprendre la question. Le cumul porte sur dix productions quotidiennes.

Construire la réponse.
1. Pour une suite arithmétique, la moyenne des termes est celle des extrêmes : $$(40+85)/2=62{,}5$$ .
2. La somme vaut donc $10\times62{,}5=625$ pièces.
Vérifier. On peut regrouper les jours par paires :

\[\begin{aligned}40+85 &= 45+80\\[.35em] &= \cdots\\[.35em] &= 125.\end{aligned}\]

Cinq paires donnent $5\times125=625$ .

Conclure. L’atelier produit 625 pièces au total sur les dix jours.
Comprendre la question. Le seuil « au moins 70 » inclut l’égalité.

Construire la réponse.
1. $40+5(n-1)\ge70$ donne $5(n-1)\ge30$ .
2. On divise par 5 : $n-1\ge6$ , puis $n\ge7$ .
Vérifier. $$u_6=65<70$$ et $$u_7=70$$ . La suite croissante assure qu’aucun jour antérieur ne convient.

Conclure. Le premier jour où l’objectif est atteint est le jour 7.
Comprendre la question. Le cumul doit inclure la production du jour courant.

Construire la réponse.
1. En ligne 2, on initialise A2 à 1, B2 à 40 et C2 à 40 : le premier cumul contient déjà le premier jour.
2. En ligne 3, A3 reçoit =A2+1, B3 reçoit =B2+5 et C3 reçoit =C2+B3.
3. On recopie ces formules. Les références relatives font avancer d’une ligne la production précédente et le cumul précédent.
Vérifier. La ligne du jour 2 doit afficher 45 pièces et un cumul de 85. Le jour 10 est en ligne 11 et son cumul doit être 625.

Conclure. Les trois colonnes décrivent respectivement le jour, sa production et la somme depuis le départ.

Variante autonome et bilan

Un atelier commence à 25 pièces et ajoute 3 par jour. Calcule le huitième terme et le cumul sur huit jours.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante commence aussi au rang 1 et comporte huit jours.

Construire la réponse.

La suite est $$u_n=25+3(n-1)$$ .
Au huitième jour,
$\begin{aligned}u_8 &= 25+3\times7\\[.35em] &= 46\end{aligned}$
pièces.
Le cumul vaut
$\begin{aligned}8(25+46)/2 &= 4\times71\\[.35em] &= 284\end{aligned}$
pièces.

Vérifier. Les huit termes sont 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43 et 46 ; leurs quatre paires extrêmes valent chacune 71.

Conclure. Le huitième terme est 46 pièces et le cumul sur huit jours est 284 pièces.

Je peux expliquer : une suite décrit des étapes.
Je peux expliquer : ajouter toujours la même quantité.
Je peux expliquer : additionner une suite arithmétique.
Je peux expliquer : modéliser un ajout fixe en contexte professionnel.
Je peux expliquer : suites arithmétiques au tableur.

Fiche-mémoire

Une suite décrit des étapes.

Détermine ce que représentent le rang, le terme et leurs unités éventuelles.
Repère le premier rang et la valeur initiale.
Pour une formule explicite, remplace seulement le rang ; pour une récurrence, calcule les termes successivement.
Contrôle le nombre de transitions et traduis le rang dans le contexte temporel.

Ajouter toujours la même quantité.

Calcule une différence « terme suivant moins terme précédent » pour identifier r.
Compte les étapes par une différence de rangs.
Applique $$u_n=u_p+(n-p)r$$ en conservant le signe de r.
Si r est inconnue, divise la différence des valeurs par la différence des rangs.
Contrôle le résultat avec un terme connu et les contraintes du contexte.

Additionner une suite arithmétique.

Identifie le premier et le dernier rang de la somme, bornes incluses.
Calcule les deux termes extrêmes avec la formule de la suite.
Compte $$N=n-p+1$$ termes, puis applique $$S=N(u_p+u_n)/2$$ .
Contrôle l’ordre de grandeur : pour des termes positifs, le total est entre N fois le plus petit et N fois le plus grand.
Traduis le total dans l’unité demandée, sans le confondre avec le dernier terme.

Modéliser un ajout fixe en contexte professionnel.

Choisis un rang initial et précise le moment auquel le stock ou le coût est observé.
Calcule le bilan constant avec ses signes et ses unités.
Écris la récurrence et la formule explicite, puis compte les périodes réellement écoulées.
Pour un total de flux, additionne les termes au lieu de prendre seulement le dernier.
Contrôle les limites physiques et la cohérence du résultat.

Suites arithmétiques au tableur.

Saisis le rang zéro et la valeur initiale sur la même ligne.
Écris la formule de récurrence dans la ligne suivante.
Garde relative la référence au terme précédent et fige les paramètres.
Vérifie trois valeurs à la main puis recopie.
Contrôle le rang final et le nombre de termes de toute somme.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Une suite décrit des étapes

Ajouter toujours la même quantité

Additionner une suite arithmétique

Modéliser un ajout fixe en contexte professionnel

Suites arithmétiques au tableur

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Un rang dans une formule ★☆☆

Exercice 2 : Lire une raison ★☆☆

Exercice 3 : Une somme connue ★☆☆

Exercice 4 : Un apport net ★☆☆

Exercice 5 : Une recopie relative ★☆☆

Exercice 6 : Avancer pas à pas ★★☆

Exercice 7 : Un rang initial différent ★★☆

Exercice 8 : Des rangs décalés ★★☆

Exercice 9 : Une réduction régulière ★★☆

Exercice 10 : Un paramètre fixe ★★☆

Exercice 11 : Quel rang pour quelle date ? ★★★

Exercice 12 : Reconstruire la suite ★★★

Exercice 13 : Un entraînement progressif ★★★

Exercice 14 : Budget cumulé ★★★

Exercice 15 : Un décalage de rang ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Augmenter une cadence progressivement

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions