Fonctions et courbes représentatives · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quelle est la solution de 2x − 6 = 0 ?

−336

2. Que vaut 2t² + 3 pour t = −2 ?

−51911

3. L’écriture 1 ≤ x < 5 correspond à quel intervalle ?

[1 ; 5[]1 ; 5][1 ; 5]

4. Où se trouve le point A(−2 ; 3) par rapport à l’origine ?

2 unités à droite et 3 vers le bas2 unités à gauche et 3 vers le haut3 unités à gauche et 2 vers le haut

5. On sait A − B = −4. Quelle conclusion est correcte ?

A > BA = BA < B

Pourquoi étudier les fonctions ?

Décrire une dépendance

Quand le temps passe, une température change. Quand le rayon d'un disque augmente, son aire change. Quand le nombre de kilomètres parcourus augmente, le prix d'une location peut changer. Une fonction sert à décrire précisément comment une grandeur dépend d'une autre.

La fonction n'est pas seulement une formule. Elle peut être donnée par une phrase, un tableau, une courbe, un programme ou une expression algébrique. Savoir passer d'une représentation à l'autre est essentiel : chacune montre une partie différente de l'information.

Pourquoi plusieurs représentations ?

Pour la fonction $$f(x)=x^2-1$$ :

la formule permet de calculer exactement $$f(2)=3$$ ;
le tableau permet de comparer rapidement quelques valeurs ;
la courbe permet de voir globalement les solutions de $$f(x)=0$$ ou le signe de $$f(x)$$ ;
le programme permet d'automatiser un grand nombre de calculs.

L'idée avant la formule

Entrée, règle, sortie

Considérons le programme de calcul suivant :

Le nombre choisi est la variable $$x$$ . Le résultat est son image et se note $$f(x)$$ . Ici,

\[f(x)=x^2-1.\]

Remonter la machine

Chercher l'image de $$2$$ , c'est partir de l'entrée :

\begin{aligned} f(2) &= 2^2-1\\[.35em] &= 3 \end{aligned}.

Chercher les antécédents de $$3$$ , c'est partir de la sortie et remonter la machine :

\begin{aligned}&f(x)=3\\[.35em]&\ssi x^2-1=3\\[.35em]&\ssi x^2=4\\[.35em]&\ssi x=-2\ \text{ou}\ x=2.\end{aligned}

Le nombre $$3$$ a donc deux antécédents par $$f$$ .

Le test de la droite verticale

Une courbe représente une fonction de $$x$$ si chaque droite verticale la rencontre au plus une fois. En effet, fixer une abscisse $$x$$ ne doit jamais donner deux ordonnées différentes.

Définir une fonction

Notation complète

Le symbole $\longmapsto$ décrit ce que devient une entrée ; le symbole $$=$$ compare deux nombres. Ainsi

x\longmapsto x^2-1

est une règle, tandis que $$f(2)=3$$ est une égalité.

Ensemble de définition

L'ensemble de définition est l'ensemble des entrées choisies et autorisées pour cette fonction. Si aucun domaine n'est imposé, on cherche généralement le plus grand ensemble où la formule produit un réel. Un énoncé ou un contexte peut ensuite restreindre ce domaine.

À toi d’essayer

Deux contraintes doivent être vraies ensemble

On considère $h(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ . Détermine le plus grand domaine réel possible, puis décide si $$h(-2)$$ , $$h(1)$$ et $$h(2)$$ existent.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La racine exige $x+2\geq0$ et le dénominateur exige $x-1\neq0$ . On doit respecter les deux conditions.

Indice 2 · Un pas de plus

La première condition donne $x\geq-2$ . Enlève ensuite $$1$$ de cet ensemble : c'est une valeur interdite au milieu du domaine.

Voir l’explication

La racine existe pour $x\geq-2$ . La division existe si $x\neq1$ . Le domaine est leur intersection :

D_h=[-2;1[\,\cup\,]1;+\infty[.

L'entrée $$-2$$ est autorisée :

\begin{aligned} h(-2) &= \sqrt0/(-3)\\[.35em] &= 0 \end{aligned}.

L'entrée $$1$$ est interdite : le dénominateur serait nul. L'entrée $$2$$ est autorisée :

\begin{aligned} h(2) &= \sqrt4/1\\[.35em] &= 2 \end{aligned}.

Un numérateur nul peut donc produire une image égale à zéro ; un dénominateur nul ne produit aucune image. Réessaie : $q(x)=\sqrt{5-x}/(x+2)$ est définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;5]$ . Explique pourquoi $$5$$ est inclus, mais $$-2$$ exclu.

Le domaine peut venir de la situation

Un rectangle a un périmètre de $$20$$ cm. Si l'un de ses côtés mesure $$x$$ cm, l'autre mesure $$10-x$$ cm et son aire vaut

\[A(x)=x(10-x).\]

La formule est calculable pour tout réel. Pour un rectangle non aplati, les deux longueurs sont strictement positives : $$x>0$$ et $$10-x>0$$ , donc $$0<x<10$$ . On peut aussi prolonger le modèle à $$[0;10]$$ pour inclure les deux configurations limites d'aire nulle. Les bornes correspondent alors à des rectangles aplatis ; elles ne décrivent pas un rectangle de surface positive.

Calculer une image, chercher un antécédent

Calculer une image

À toi d’essayer

Une entrée négative reste entière dans les parenthèses

Pour $$f(x)=2x^2-3x+1$$ définie sur $\mathbb R$ , calcule $$f(-1)$$ . Dans la phrase « l'image de $$-1$$ est $$6$$ », quel nombre est l'entrée et quel nombre est la sortie ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Remplace les deux occurrences de $$x$$ par $$(-1)$$ . Calcule le carré avant de multiplier par $$2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le carré $$(-1)^2$$ vaut $$1$$ ; le produit $-3\times(-1)$ vaut $$3$$ . Ce sont deux raisons distinctes pour obtenir un nombre positif.

Voir l’explication

On obtient

\begin{aligned}f(-1)&=2(-1)^2-3(-1)+1 &&\text{substituer }-1,\\[.35em]&=2\times1+3+1 &&\text{carré et produit des signes},\\[.35em]&=6 &&\text{additionner}.\end{aligned}

L'entrée est $$-1$$ ; la sortie est $$6$$ . La même information peut s'écrire $$f(-1)=6$$ ou « $$-1$$ est un antécédent de $$6$$ ». Elle ne dit pas que $$f(6)=-1$$ : les rôles ne s'échangent pas automatiquement. Réessaie : calcule $$f(3)=10$$ , puis $$f(0)=1$$ . En cas de différence, reviens à la substitution complète avant de reprendre les opérations.

Chercher un ou plusieurs antécédents

Chercher les antécédents d'un nombre $$k$$ revient à résoudre l'équation

\[f(x)=k\]

sur l'ensemble de définition de $$f$$ .

À toi d’essayer

Une sortie, plusieurs entrées possibles

Soit $$f(x)=x^2-1$$ définie sur $\mathbb R$ . Cherche les antécédents de $$3$$ , de $$-1$$ , puis de $$-2$$ . Reprends la première question si l'on restreint le domaine à $[0;+\infty[$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour une sortie $$k$$ , résous $$x^2-1=k$$ . Un carré réel est positif ou nul.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la sortie $$3$$ , l'équation devient $$x^2=4$$ ; pour $$-1$$ , $$x^2=0$$ ; pour $$-2$$ , $$x^2=-1$$ . Filtre ensuite les solutions selon le domaine demandé.

Voir l’explication

Pour $$3$$ , on écrit

\begin{aligned}x^2-1&=3,\\[.35em]x^2&=4,\\[.35em]x=-2\quad&\text{ou}\quad x=2.\end{aligned}

Les deux entrées sont autorisées dans $\mathbb R$ : $$3$$ a deux antécédents. Pour $$-1$$ , l'équation $$x^2=0$$ a une seule solution, $$0$$ . Pour $$-2$$ , l'équation $$x^2=-1$$ n'a pas de solution réelle : aucun antécédent. Si le domaine est $[0;+\infty[$ , $$-2$$ n'est plus une entrée autorisée. La sortie $$3$$ n'a alors qu'un antécédent, $$2$$ . Une fonction comprend sa règle et son domaine : une même formule sur deux domaines peut donner des réponses différentes. Réessaie : pour $$f$$ sur $$[-1;3]$$ , les antécédents de $$0$$ sont $$-1$$ et $$1$$ , tandis que $$8$$ a seulement $$3$$ comme antécédent.

Lire dans un tableau de valeurs

Considérons le tableau suivant :

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$f(x)$$	$$5$$	$$1$$	$$-3$$	$$-4$$	$$-3$$	$$5$$

On lit $$f(2)=-3$$ . Dans les valeurs présentées, $$5$$ a deux antécédents : $$-3$$ et $$4$$ .

Les représentations d'une fonction

Une même fonction, plusieurs langages

La fonction $$f(x)=x^2-1$$ peut être présentée de cinq manières.

Représentation	Exemple
Phrase	choisir un nombre, le mettre au carré, puis soustraire $$1$$
Formule	$$f(x)=x^2-1$$
Tableau	couples comme $$(-2;3)$$ , $$(0;-1)$$ , $$(2;3)$$
Courbe	ensemble des points de coordonnées $$(x;x^2-1)$$
Programme	une fonction Python qui renvoie `x**2 - 1`

Chaque représentation a ses forces : la formule donne l'exactitude, la courbe donne une vue d'ensemble, le tableau organise des données et le programme automatise les calculs.

À toi d’essayer

Construire une colonne sans mélanger entrée et sortie

Pour $$f(x)=x^2-1$$ , complète les colonnes d'entrées $$-2$$ , $$0$$ et $$1/2$$ . Écris les coordonnées des trois points correspondants.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La première ligne contient les entrées. Une image se place dans la deuxième ligne, à la même colonne.

Indice 2 · Un pas de plus

Le carré de $$1/2$$ est $$1/4$$ . Pour lui soustraire $$1$$ , écris $$1=4/4$$ .

Voir l’explication

On obtient $$f(-2)=3$$ et $$f(0)=-1$$ . Pour l'entrée fractionnaire,

\begin{aligned}f(1/2)&=\left(\frac12\right)^2-1,\\[.35em]&=\frac14-\frac44,\\[.35em]&=-\frac34.\end{aligned}

Les points sont $$(-2;3)$$ , $$(0;-1)$$ et $$(1/2;-3/4)$$ . L'abscisse est l'entrée ; l'ordonnée est l'image : une colonne correspond à un point. Réessaie : l'entrée $$-1/2$$ donne aussi $$-3/4$$ , mais le point est $$(-1/2;-3/4)$$ . Deux points peuvent partager leur hauteur sans partager leur abscisse.

Construire un tableau de valeurs

Pour $$f(x)=x^2-1$$ , on choisit des entrées et on calcule leurs images :

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$
$$f(x)$$	$$8$$	$$3$$	$$0$$	$$-1$$	$$0$$	$$3$$	$$8$$

Chaque colonne fournit un point de la courbe : par exemple $$(2;3)$$ .

À toi d’essayer

Trois colonnes ne décrivent pas tout l'intervalle

Les fonctions $$u(x)=x^2$$ et $$v(x)=|x|$$ sont définies sur $\mathbb R$ . Calcule leurs images pour $$x=-1$$ , $$0$$ et $$1$$ , puis pour $$x=1/2$$ . Un tableau limité aux trois premières entrées suffit-il à affirmer $$u=v$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour $$-1$$ , $$0$$ et $$1$$ , les carrés valent respectivement $$1$$ , $$0$$ et $$1$$ . Compare avec les distances à zéro.

Indice 2 · Un pas de plus

À l'entrée $$1/2$$ , le carré vaut $$1/4$$ , tandis que la valeur absolue vaut $$1/2$$ .

Voir l’explication

Les trois premières colonnes sont identiques :

u(-1)=v(-1)=1,\qquad u(0)=v(0)=0,\qquad u(1)=v(1)=1.

Mais $$u(1/2)=1/4$$ et $$v(1/2)=1/2$$ : les deux fonctions diffèrent entre les colonnes. Un tableau de quelques valeurs ne suffit donc pas à décrire toutes les valeurs d'une fonction sur un intervalle. Ici, relier les points par des segments donnerait la courbe de $$v$$ sur $$[-1;1]$$ , pas celle de $$u$$ . Réessaie : à l'entrée $$-1/2$$ , les images sont encore $$1/4$$ et $$1/2$$ . Si le domaine était seulement $\{-1;0;1\}$ , en revanche, le tableau serait complet et les deux fonctions restreintes à ce domaine seraient identiques.

Entrées sur un intervalle ou valeurs entières

La hauteur d'eau au cours du temps peut être modélisée sur un intervalle : toutes les valeurs intermédiaires du temps ont un sens. En revanche, le prix de $$n$$ billets avec $n\in\N$ est une fonction discrète : $$n=2{,}4$$ billet n'a pas de sens.

Lorsque seules des entrées entières sont autorisées, on représente des points séparés : les positions intermédiaires n'appartiennent pas au domaine. Quand le domaine est un intervalle, toutes ses abscisses sont autorisées, mais cela ne suffit pas à garantir une courbe sans rupture. La continuité est une propriété supplémentaire ; elle ne se confond pas avec le choix d'un domaine intervalle.

Courbe représentative et lectures graphiques

L'équation $$y=f(x)$$

Une preuve à construire

Pourquoi une verticale ne peut-elle couper une courbe de fonction deux fois ?

La courbe de $$f$$ , définie sur $$D$$ , est l'ensemble des points $$(x;f(x))$$ pour $x\in D$ . Explique pourquoi, pour chaque $a\in D$ , la verticale $$x=a$$ rencontre exactement un point de la courbe. Que signifie une verticale avec deux intersections distinctes ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un point de la courbe d'abscisse $$a$$ a nécessairement pour ordonnée $$f(a)$$ . La définition d'une fonction impose une seule valeur à cette sortie.

Indice 2 · Un pas de plus

Deux points distincts de même abscisse auraient des ordonnées différentes. Ils attribueraient donc deux sorties à la même entrée.

Voir la preuve expliquée

Comme $a\in D$ , l'image $$f(a)$$ existe : le point $$(a;f(a))$$ appartient à la courbe et à la verticale $$x=a$$ . Il y a donc au moins une intersection. Tout autre point de la courbe d'abscisse $$a$$ doit lui aussi avoir pour ordonnée $$f(a)$$ : il s'agit du même point. L'intersection est unique. Deux intersections distinctes d'une verticale contrediraient cette unicité : ce dessin ne représenterait pas une fonction de $$x$$ . En revanche, une horizontale peut rencontrer plusieurs points, car plusieurs entrées peuvent avoir la même sortie. Réessaie : sur $$y=x^2$$ , la verticale $$x=2$$ rencontre $$(2;4)$$ une seule fois, tandis que l'horizontale $$y=4$$ rencontre $$(-2;4)$$ et $$(2;4)$$ . Pour une abscisse hors de $$D$$ , la verticale ne rencontre aucun point de la courbe.

Lire une image : trajet vertical

Pour lire $$f(a)$$ , on part de $$a$$ sur l'axe des abscisses, on rejoint verticalement la courbe, puis on lit horizontalement l'ordonnée.

Lire des antécédents : trajet horizontal

Pour chercher les antécédents de $$k$$ , on trace mentalement la droite horizontale $$y=k$$ . Les abscisses de ses points d'intersection avec la courbe sont les solutions de $$f(x)=k$$ .

La droite $$y=3$$ coupe la courbe en deux points d'abscisses $$-2$$ et $$2$$ . Graphiquement, les antécédents de $$3$$ sont donc $$-2$$ et $$2$$ . La formule confirme leur valeur exacte : $$x^2-1=3$$ équivaut à $$x^2=4$$ , donc à $$x=-2$$ ou $$x=2$$ .

Résoudre une inéquation graphiquement

Sur le graphique précédent, $f(x)\leq3$ pour $x\in[-2;2]$ , dans la partie du domaine représentée.

À toi d’essayer

Lire une région entière sous une droite

Sur le graphique de $$f(x)=x^2-1$$ , prévois les solutions de $$f(x)<3$$ , puis de $f(x)\leq-1$ et de $$f(x)<-1$$ . Confirme chaque lecture par une phrase sur les carrés.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour la première question, regarde entre les intersections avec $$y=3$$ . Pour les deux autres, compare la courbe à sa hauteur minimale, $$-1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le carré $$x^2$$ est positif ou nul et n'est nul qu'en $$0$$ . Attention à la différence entre être au-dessous et être au-dessous ou sur la droite.

Voir l’explication

La courbe est strictement sous $$y=3$$ entre les abscisses $$-2$$ et $$2$$ , sans les extrémités :

\begin{aligned}&f(x)<3\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad x^2<4\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad -2<x<2.\end{aligned}

Pour $f(x)\leq-1$ , on obtient $x^2\leq0$ . Un carré étant positif ou nul, cela impose $$x=0$$ : l'ensemble des solutions est $\{0\}$ . Pour $$f(x)<-1$$ , on obtiendrait $$x^2<0$$ , impossible dans $\mathbb R$ : l'ensemble est vide. Une inéquation peut donc avoir un intervalle, un seul nombre ou aucun nombre comme solution. Réessaie : $f(x)\geq3$ donne $]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[$ . Le calcul permet ici de conclure sur tout le domaine, y compris hors de la fenêtre dessinée.

Lire le signe d'une fonction

Le signe de $$f(x)$$ se lit par rapport à l'axe des abscisses :

au-dessus de l'axe, $$f(x)>0$$ ;
sur l'axe, $$f(x)=0$$ ;
au-dessous de l'axe, $$f(x)<0$$ .

Pour $$f(x)=x^2-1$$ , la courbe coupe l'axe en $$-1$$ et $$1$$ . Elle est sous l'axe pour $x\in]-1;1[$ , et sur ou au-dessus pour $x\in]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$ .

Comparer deux fonctions

Sur un même graphique, $f(x)\leq g(x)$ lorsque la courbe de $$f$$ est sous celle de $$g$$ , ou confondue avec elle. Les abscisses des intersections résolvent $$f(x)=g(x)$$ .

À toi d’essayer

Comparer deux tarifs pour la même entrée

Deux locations coûtent respectivement $$A(t)=4+2t$$ et $$B(t)=3t$$ , en euros, pour une durée $t\geq0$ exprimée en heures. Quand les prix sont-ils égaux ? Quand le tarif $$A$$ est-il moins cher ou égal à $$B$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux courbes doivent être comparées à la même abscisse $$t$$ . L'égalité des prix se traduit par $$4+2t=3t$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la comparaison, résous $4+2t\leq3t$ , ou étudie le signe de $$A(t)-B(t)=4-t$$ .

Voir l’explication

L'égalité donne

\begin{aligned}4+2t&=3t,\\[.35em]4&=t &&\text{soustraire }2t.\end{aligned}

Les prix valent alors $$12$$ euros. Pour $A(t)\leq B(t)$ , la même soustraction donne $4\leq t$ . Sur le domaine $t\geq0$ , le tarif $$A$$ est donc moins cher ou égal pour $t\in[4;+\infty[$ . Avant $$4$$ heures, c'est $$B$$ qui coûte moins cher. Les tests éclairent les deux zones : pour $$t=2$$ , $$A(2)=8$$ et $$B(2)=6$$ ; pour $$t=6$$ , $$A(6)=16$$ et $$B(6)=18$$ . Sur un graphique, les deux droites se croisent en $$(4;12)$$ puis celle de $$A$$ est sous celle de $$B$$ . Réessaie : si les locations sont limitées à $$3$$ heures, l'intersection n'appartient plus au domaine $$[0;3]$$ et $$B$$ est moins cher sur toute cette durée. Le domaine change l'interprétation, même si les formules restent identiques.

Modéliser une situation par une fonction

Construire le modèle

À toi d’essayer

Le calcul peut exister sans décrire une boîte

Avec la feuille de $$30$$ cm sur $$20$$ cm, calcule le volume pour une découpe de $$x=2$$ cm. La valeur $$x=12$$ décrit-elle une boîte obtenue de cette façon ? Que signifient les bornes $$0$$ et $$10$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour $$x=2$$ , calcule séparément la hauteur et les deux côtés de la base. Pour $$x=12$$ , vérifie d'abord les longueurs, avant le produit.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $$x=2$$ , les dimensions sont $$2$$ , $$26$$ et $$16$$ cm. Pour $$x=12$$ , le côté $$20-2x$$ devient négatif.

Voir l’explication

Les dimensions pour $$x=2$$ sont

30-2\times2=26\text{ cm},\qquad20-2\times2=16\text{ cm},\qquad x=2\text{ cm}.

Donc

\begin{aligned}V(2)&=2\times26\times16,\\[.35em]&=832\text{ cm}^3.\end{aligned}

Pour $$x=12$$ , $20-2\times12=-4$ cm : cette longueur est impossible dans la construction, même si le calcul algébrique $$V(12)$$ est possible. Le domaine utile à une boîte non aplatie est $$]0;10[$$ . En $$0$$ , il n'y a pas de hauteur ; en $$10$$ , un côté de la base s'annule. Le volume est nul dans les deux configurations limites. Réessaie : une découpe de $$3$$ cm donne les dimensions $$3$$ , $$24$$ et $$14$$ cm, donc un volume de $$1008$$ cm $$^3$$ . Cet exemple compare deux choix sans prouver que l'un est le meilleur parmi tous les choix possibles.

Un modèle n'est pas la réalité entière

Une fonction retient les grandeurs jugées importantes et laisse de côté d'autres effets. Le modèle du volume précédent néglige l'épaisseur du carton et les pertes au pliage. Un bon travail mathématique précise donc les hypothèses, le domaine et le niveau de précision attendu.

Une fonction en Python

Traduire une formule

La fonction mathématique $$f(x)=x^2-1$$ peut être programmée ainsi :

def f(x):
    return x**2 - 1

print(f(2))

Le mot return indique la valeur renvoyée. Le programme affiche $$3$$ .

Construire un tableau de valeurs

def f(x):
    return x**2 - 1

for x in range(-3, 4):
    print(x, f(x))

La boucle utilise les entiers de $$-3$$ à $$3$$ . Elle produit automatiquement les colonnes du tableau de valeurs, mais elle ne calcule pas les images des nombres non entiers situés entre eux.

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Cette partie prolonge le socle officiel. Elle n'est pas réservée à quelques-uns : chaque idée est construite à partir de la notion de machine travaillée plus haut, avec des indices pour reprendre les étapes nécessaires.

Enchaîner deux fonctions

Soient $$f(x)=2x+1$$ et $$g(x)=x^2$$ . Si l'on applique d'abord $$f$$ , puis $$g$$ , la sortie de la première machine devient l'entrée de la seconde :

x\longmapsto f(x)=2x+1\longmapsto g(f(x))=(2x+1)^2.

Déplacer une courbe verticalement

Si $$g(x)=f(x)+k$$ , chaque point $$(x;f(x))$$ de $\mathcal C_f$ devient le point $$(x;f(x)+k)$$ de $\mathcal C_g$ . L'abscisse ne change pas et l'ordonnée augmente de $$k$$ : la courbe est translatée verticalement.

Une preuve à construire

Pourquoi ajouter un nombre déplace-t-il toute la courbe ?

Soit $$f$$ définie sur $$D$$ , et soit $$k$$ un réel. On définit $$g$$ sur le même domaine par $$g(x)=f(x)+k$$ . Prouve que chaque point de la courbe de $$g$$ s'obtient en déplaçant celui de $$f$$ de $$k$$ unités verticalement. Traite aussi $$k<0$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Fixe une abscisse $a\in D$ . Compare les ordonnées $$f(a)$$ et $$g(a)$$ des points de même abscisse.

Indice 2 · Un pas de plus

Calcule la différence $$g(a)-f(a)$$ : elle vaut toujours $$k$$ , indépendamment de $$a$$ . Vérifie que le domaine est le même pour faire correspondre tous les points.

Voir la preuve expliquée

Pour chaque $a\in D$ , les deux points sont $$M(a;f(a))$$ et $$N(a;f(a)+k)$$ . Leur différence d'abscisses est nulle ; leur différence d'ordonnées vaut

\[g(a)-f(a)=k.\]

Le passage de $$M$$ à $$N$$ est donc toujours le même déplacement vertical. Comme les deux fonctions ont exactement le même domaine, on obtient ainsi tous les points de la courbe de $$g$$ , et aucun autre. Si $$k>0$$ , le déplacement est vers le haut ; si $$k<0$$ , vers le bas de $$|k|$$ unités ; si $$k=0$$ , les courbes sont confondues. Réessaie : de $$f(x)=x^2$$ à $$g(x)=x^2-3$$ , les points $$(0;0)$$ et $$(2;4)$$ deviennent $$(0;-3)$$ et $$(2;1)$$ . Le déplacement vaut $$-3$$ pour les deux.

Déplacer une courbe horizontalement

Si $$h(x)=f(x-a)$$ , alors $$h(x+a)=f(x)$$ . Le point $$(x;f(x))$$ de $\mathcal C_f$ correspond au point $$(x+a;f(x))$$ de $\mathcal C_h$ . La courbe est décalée de $$a$$ unités vers la droite lorsque $$a>0$$ .

Explorer les déplacements avec une parabole

L'exploration suivante est facultative. Elle sert à observer des effets sur des points connus, sans demander de nouvelle formule de résolution.

Les deux points les plus bas ont la même ordonnée $$-1$$ ; celui de la courbe en tirets est deux unités plus à droite. Les zéros $$-1$$ et $$1$$ de $$f$$ deviennent les zéros $$1$$ et $$3$$ de $$h$$ . La forme de la courbe est conservée.

Relier une parabole à sa formule

Pour f(x) = a(x − α)² + β, prévois ce qui change lorsque tu modifies seulement β. Essaie ensuite α, puis a.

Courbe bleue : f. S : sommet si a ≠ 0. Les intersections visibles avec l’axe horizontal sont marquées par des cercles.

Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.

Lire les valeurs et les coordonnées

Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.

Trouve successivement une courbe avec deux racines, une racine et aucune racine réelle. Justifie à partir du signe de −β/a.

À toi d’essayer

Prévoir un point, manipuler, puis expliquer

Le laboratoire propose $p(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ . Pars de $$a=1$$ , $\alpha=2$ , $\beta=-1$ . Prévois le point le plus bas et les antécédents de $$0$$ . Change seulement $\beta$ en $$1$$ : que deviennent ce point et les antécédents de $$0$$ ? Vérifie avec les curseurs ou le tableau ci-dessous.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un carré est positif ou nul. Avec $$a=1$$ , sa plus petite valeur est $$0$$ , atteinte lorsque $x=\alpha$ . Pour les zéros au départ, résous $$(x-2)^2=1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Au départ, le point le plus bas est $$(2;-1)$$ et les zéros vérifient $$x-2=-1$$ ou $$x-2=1$$ . Après le changement, la formule devient $$(x-2)^2+1$$ .

Voir l’explication

Au départ, le carré s'annule pour $$x=2$$ , donc le point le plus bas est $$(2;-1)$$ . Les zéros sont obtenus par

\begin{aligned}(x-2)^2-1&=0,\\[.35em](x-2)^2&=1,\\[.35em]x-2=-1\quad&\text{ou}\quad x-2=1,\\[.35em]x=1\quad&\text{ou}\quad x=3.\end{aligned}

Passer de $\beta=-1$ à $\beta=1$ ajoute $$2$$ à toutes les images. Le point devient $$(2;1)$$ . La nouvelle formule est toujours au moins égale à $$1$$ : $$0$$ n'a plus d'antécédent. Le déplacement est vertical ; les abscisses des points correspondants sont conservées. Réessaie : remets $\beta=-1$ et change seulement $\alpha$ de $$2$$ à $$0$$ . Le point le plus bas devient $$(0;-1)$$ et les zéros deviennent $$-1$$ et $$1$$ , comme sur la courbe en trait plein. Prévois avant de déplacer le curseur.

Réglage avec $$a=1$$	$$p(1)$$	$$p(2)$$	$$p(3)$$
$\alpha=2$ , $\beta=-1$	$$0$$	$$-1$$	$$0$$
$\alpha=2$ , $\beta=1$	$$2$$	$$1$$	$$2$$

Ce tableau fournit la même comparaison pour travailler sur papier : les trois images augmentent toutes de $$2$$ . La preuve précédente explique pourquoi c'est aussi vrai pour toutes les autres abscisses.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, commence par identifier le domaine et la représentation utilisée. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : La machine et son vocabulaire

On considère la fonction $$p$$ qui à tout réel $$x$$ associe $$3x-4$$ .

Écrire $$p(x)$$ .
Calculer l'image de $$5$$ , puis celle de $$-2$$ .
Chercher l'antécédent de $$8$$ par $$p$$ .
Traduire la phrase « l'image de $$7$$ par $$p$$ est $$17$$ » par une égalité, puis la vérifier.

Exercice 2 ★☆☆ : Calculer des images

Soient

f(x)=2x^2-5x+3 \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{x+1}{x-2}.

Calculer $$f(0)$$ , $$f(1)$$ , $$f(-2)$$ et $$f(1/2)$$ .
Préciser le domaine de $$g$$ .
Calculer $$g(3)$$ , $$g(0)$$ et $$g(-1)$$ .
Expliquer pourquoi $$g(2)$$ n'existe pas.

Exercice 3 ★☆☆ : Chercher des antécédents

On pose $$f(x)=x^2-4$$ et $$h(x)=3x+7$$ .

Chercher les antécédents de $$0$$ , puis de $$5$$ , par $$f$$ .
Le nombre $$-5$$ a-t-il un antécédent par $$f$$ ?
Chercher l'antécédent de $$-2$$ par $$h$$ .

Exercice 4 ★★☆ : Ensembles de définition

Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction :

\begin{aligned}\text{a) }a(x) &=3x+1,\\[.35em]\text{b) }b(x) &=\frac5{x+2},\\[.35em]\text{c) }c(x) &=\sqrt{2x-6},\\[.35em]\text{d) }d(x) &=\frac{x-1}{x^2-9},\\[.35em]\text{e) }e(x)&=\frac{\sqrt{5-x}}{x+1}.&&\end{aligned}

Exercice 5 ★☆☆ : Compléter un tableau

Soit $$f(x)=x^2-2x-3$$ . Compléter le tableau, puis relever les antécédents de $$0$$ et de $$5$$ parmi les valeurs présentées.

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$f(x)$$

Graphique commun aux exercices 6, 7 et 8. La courbe polygonale ci-dessous représente une fonction $$u$$ ; ses sommets sont placés sur des points de la grille.

Schéma : Exercice 5 1 : Compléter un tableau

Exercice 6 ★☆☆ : Lire une courbe

Donner l'ensemble de définition de $$u$$ .
Lire $$u(-4)$$ , $$u(-2)$$ , $$u(0)$$ et $$u(4)$$ .
Donner tous les antécédents de $$2$$ , de $$-2$$ et de $$0$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Équations et inéquations graphiques

À l'aide du graphique :

résoudre $$u(x)=1$$ ;
résoudre $u(x)\leq0$ ;
résoudre $$u(x)>1$$ .

Exercice 8 ★★☆ : Lire le signe

Donner les zéros de $$u$$ .
Déterminer les ensembles sur lesquels $$u(x)>0$$ et $$u(x)<0$$ .
Construire un tableau de signes de $$u$$ sur son domaine.

Exercice 9 ★★☆ : Un point appartient-il à la courbe ?

Soit $$f(x)=x^2-3x+1$$ et $\mathcal C_f$ sa courbe représentative.

Parmi les points $$A(0;1)$$ , $$B(2;-1)$$ , $$C(-1;5)$$ et $$D(3;0)$$ , lesquels appartiennent à $\mathcal C_f$ ?
Déterminer l'ordonnée du point de $\mathcal C_f$ d'abscisse $$4$$ .
Déterminer les abscisses des points de $\mathcal C_f$ d'ordonnée $$1$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Une fonction discrète

Une carte annuelle coûte $$12$$ euros, puis chaque atelier coûte $$4$$ euros. On note $$C(n)$$ le prix de $$n$$ ateliers, avec $n\in\N$ .

Exprimer $$C(n)$$ .
Construire le tableau de valeurs pour $$n=0,1,2,3,4$$ .
Compléter la fonction Python suivante :

def cout(n):
    return ...

Dans une représentation graphique, pourquoi ne faut-il pas relier les points obtenus ?

Exercice 11 ★★★ : Comparer deux fonctions

On considère $$f(x)=2x+1$$ et $$g(x)=x^2-2$$ sur $\R$ .

Résoudre $$f(x)=g(x)$$ et donner les coordonnées des points d'intersection de leurs courbes.
Factoriser $$g(x)-f(x)$$ .
En déduire les solutions de $f(x)\leq g(x)$ .
Traduire la réponse précédente en termes de position relative des deux courbes.

Exercice 12 ★★★ : Aire d'un rectangle

Un rectangle a un périmètre de $$20$$ cm. L'un de ses côtés mesure $$x$$ cm. Pour étudier aussi les positions limites d'aire nulle, on autorise un côté de longueur $$0$$ .

Montrer que l'autre côté mesure $$10-x$$ et préciser le domaine de $$x$$ .
Exprimer l'aire $$A(x)$$ du rectangle.
Calculer $$A(3)$$ .
Déterminer les antécédents de $$16$$ par $$A$$ .
Montrer que $$A(x)=25-(x-5)^2$$ . En déduire que l'aire ne peut pas dépasser $$25$$ cm $$^2$$ et préciser quand cette valeur est atteinte.

Exercice 13 ★★☆ : Fonction, budget et Python

Le prix de stationnement pour $$n$$ heures entières est donné par $$P(n)=5+1{,}8n$$ , où $n\in\N$ .

Calculer $$P(6)$$ et interpréter le résultat.
Avec $$20$$ euros, combien d'heures entières peut-on payer au maximum ?
Écrire une fonction Python prix(n) qui renvoie $$P(n)$$ .
Expliquer la différence entre le domaine mathématique de la formule $$5+1{,}8x$$ et celui du modèle de stationnement.

Exercice 14 ★★★ : Enchaîner deux machines – pour aller plus loin

Soient $$f(x)=3x-2$$ et $$g(x)=x^2+1$$ .

Calculer $$f(2)$$ , puis $$g(f(2))$$ .
Calculer $$g(2)$$ , puis $$f(g(2))$$ . Comparer les deux résultats.
Déterminer les expressions de $(g\circ f)(x)$ et de $(f\circ g)(x)$ .
Résoudre $(g\circ f)(x)=1$ .

Exercice 15 ★★★ : Déplacer une courbe – pour aller plus loin

On pose $$f(x)=x^2$$ , $$g(x)=f(x)+3$$ et $$h(x)=f(x-2)$$ .

Donner les expressions développées de $$g(x)$$ et $$h(x)$$ .
Le point $$A(1;1)$$ appartient à $\mathcal C_f$ . Quels points correspondants obtient-on sur $\mathcal C_g$ et $\mathcal C_h$ ?
Décrire les déplacements qui transforment $\mathcal C_f$ en $\mathcal C_g$ , puis en $\mathcal C_h$ .
Résoudre $$g(x)=3$$ et $$h(x)=0$$ .

Problème : L'arche du jardin partagé ★★★

L'ouverture mesure $$10$$ m de large. Pour $x\in[0;10]$ , sa hauteur en mètres est modélisée par

h(x)=4-\frac4{25}(x-5)^2.

L'abscisse $$x=0$$ correspond au bord gauche et $$x=10$$ au bord droit.

Schéma : Problème : L'arche du jardin partagé 3

Partie A – Comprendre le modèle

Expliquer pourquoi le domaine retenu est $$[0;10]$$ et interpréter $$h(x)$$ .
Calculer $$h(0)$$ , $$h(2{,}5)$$ , $$h(5)$$ , $$h(7{,}5)$$ et $$h(10)$$ . Organiser les résultats dans un tableau.
Pour tout $$t$$ tel que $$5-t$$ et $$5+t$$ appartiennent au domaine, montrer que $$h(5-t)=h(5+t)$$ . Interpréter cette égalité sur la courbe.
Vérifier par le calcul que les trois points signalés sur le graphique appartiennent à $\mathcal C_h$ .

Partie B – Une zone haute d'au moins $$3$$ m

Résoudre exactement $$h(x)=3$$ dans $$[0;10]$$ .
En utilisant la forme de $$h$$ , montrer que
$h(x)\geq3\ssi |x-5|\leq2{,}5.$
En déduire l'intervalle correspondant et la largeur de la zone où l'arche mesure au moins $$3$$ m.

Partie C – Vérifier l'accessibilité

Une voie de service exige une hauteur minimale de $$2{,}40$$ m.

Montrer que $h(x)\geq2{,}4$ est équivalent à $(x-5)^2\leq10$ .
En déduire que la zone utilisable est
$[5-\sqrt{10};5+\sqrt{10}].$
Donner une valeur approchée de sa largeur au centimètre près.
Un véhicule de $$6$$ m de large est centré sous l'arche. Ses bords sont donc aux abscisses $$2$$ et $$8$$ . Peut-il passer en conservant la hauteur minimale de $$2{,}40$$ m ? Justifier de deux manières.

Partie D – Deux formules, une même arche

Un second bureau d'études propose la fonction

g(x)=\frac4{25}x(10-x) \qquad\text{pour }x\in[0;10].

Développer $$h(x)$$ et $$g(x)$$ , puis montrer que $$h(x)=g(x)$$ pour tout $x\in[0;10]$ .
Expliquer pourquoi les deux fonctions ont exactement la même courbe sur le domaine.
Indiquer une situation dans laquelle la forme factorisée de $$g$$ est plus pratique, puis une situation dans laquelle la forme de $$h$$ est plus pratique.

Partie E – Comparer avec un toit triangulaire

Un toit triangulaire de même largeur et de même hauteur est modélisé par

t(x)= \begin{cases} 0{,}8x & \text{si }0\leq x\leq5,\\ 0{,}8(10-x) & \text{si }5\leq x\leq10. \end{cases}

Pour $x\in[0;5]$ , montrer que
$\begin{aligned}h(x)-t(x) &= \frac4{25}x(5-x)\\[.35em]&\geq 0.\end{aligned}$
Pour $x\in[5;10]$ , montrer que
$\begin{aligned}h(x)-t(x) &= \frac4{25}(10-x)(x-5)\\[.35em]&\geq 0.\end{aligned}$
En déduire la position relative des deux courbes et les abscisses de leurs points d'intersection.

Partie F – Approcher la longueur de l'arche

On remplace la courbe par une ligne brisée joignant des points régulièrement espacés. Avec un entier $n\geq1$ intervalles, on pose $\Delta x=10/n$ et on additionne les longueurs des $$n$$ segments.

Pour $$n=2$$ , les points utilisés sont $$(0;0)$$ , $$(5;4)$$ et $$(10;0)$$ . Montrer que la longueur approchée vaut $L_2=2\sqrt{41}$ .
Pour $$n=4$$ , utiliser les valeurs de la partie A pour montrer que
$L_4=\sqrt{61}+\sqrt{29}.$
Comparer $$L_2$$ et $$L_4$$ numériquement.
Expliquer chaque ligne du programme suivant et préciser ce que calcule longueur(100).

from math import sqrt

def h(x):
    return 4 - 4/25 * (x - 5)**2

def longueur(n):
    # Hypothese : n entier, n >= 1.
    dx = 10 / n
    total = 0
    for k in range(n):
        x1 = k * dx
        x2 = (k + 1) * dx
        dy = h(x2) - h(x1)
        total = total + sqrt(dx**2 + dy**2)
    return total

Sans utiliser d'intégrale, expliquer pourquoi $L_n\geq10$ m. Traiter le cas $$n=1$$ , puis montrer que $$L_n>10$$ m pour $n\geq2$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Démonstration · Calculer colonne par colonne

On remplace $$x$$ par chaque valeur :

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$f(x)$$	$$5$$	$$0$$	$$-3$$	$$-4$$	$$-3$$	$$0$$	$$5$$

Parmi les valeurs présentées, les antécédents de $$0$$ sont $\boxed{-1\text{ et }3}$ ; ceux de $$5$$ sont $\boxed{-2\text{ et }4}$ .

Le tableau seul permet cette conclusion pour les entrées affichées. Ici, la formule permettrait en plus de prouver qu'il n'y en a pas d'autres.

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Respecter le caractère discret

1. Le coût comprend $$12$$ euros fixes puis $$4$$ euros par atelier :

\boxed{C(n)=12+4n}, \qquad n\in\N.

2.

$$n$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$C(n)$$	$$12$$	$$16$$	$$20$$	$$24$$	$$28$$

3.

def cout(n):
    return 12 + 4*n

Corrigé 11

Démonstration · Une égalité pour les intersections, une inégalité pour la position

1.

\begin{aligned}f(x)=g(x) &\ssi2x+1=x^2-2\\[.35em]&\ssi x^2-2x-3=0\\[.35em]&\ssi(x-3)(x+1)=0\\[.35em]&\ssi x=-1\ \text{ou}\ x=3.\end{aligned}

Pour $$x=-1$$ , l'ordonnée vaut $$f(-1)=-1$$ . Pour $$x=3$$ , elle vaut $$f(3)=7$$ . Les points d'intersection sont

\boxed{(-1;-1)\text{ et }(3;7)}.

2.

\begin{aligned}g(x)-f(x) &= x^2-2-(2x+1)\\[.35em]&= x^2-2x-3\\[.35em]&= \boxed{(x-3)(x+1)}.\end{aligned}

3.

\begin{aligned}&f(x)\leq g(x)\\[.35em]&\ssi g(x)-f(x)\geq0\\[.35em]&\ssi (x-3)(x+1)\geq0.\end{aligned}

Le produit est positif ou nul à l'extérieur des deux racines :

\boxed{S=]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[}.

4. Sur ces deux intervalles, la courbe de $$f$$ est sous celle de $$g$$ , ou confondue avec elle aux abscisses $$-1$$ et $$3$$ . Entre $$-1$$ et $$3$$ , la courbe de $$f$$ est strictement au-dessus de celle de $$g$$ .

Corrigé 12

Démonstration · Du domaine à l'optimisation

1. Si l'autre côté mesure $$y$$ , alors

\begin{aligned}&2x+2y=20\\[.35em]&\ssi x+y=10\\[.35em]&\ssi y=10-x.\end{aligned}

Les longueurs sont positives ou nulles dans le modèle élargi, donc $x\geq0$ et $10-x\geq0$ . Ainsi

\boxed{x\in[0;10]}.

2.

\boxed{A(x)=x(10-x)}.

3.

\begin{aligned}A(3) &= 3(10-3)\\[.35em]&= 3\times7\\[.35em]&= \boxed{21\text{ cm}^2}.\end{aligned}

4.

\begin{aligned}A(x)=16 &\ssi x(10-x)=16\\[.35em]&\ssi x^2-10x+16=0\\[.35em]&\ssi(x-2)(x-8)=0.\end{aligned}

Les deux solutions appartiennent au domaine : les antécédents de $$16$$ sont $\boxed{2\text{ et }8}$ .

5. On développe :

\begin{aligned}25-(x-5)^2 &= 25-(x^2-10x+25)\\[.35em]&= 10x-x^2\\[.35em]&= x(10-x)\\[.35em]&= A(x).\end{aligned}

Comme $(x-5)^2\geq0$ ,

\begin{aligned}A(x) &= 25-(x-5)^2\\[.35em]&\leq 25.\end{aligned}

L'égalité est obtenue si et seulement si $$(x-5)^2=0$$ , donc pour $$x=5$$ . L'aire maximale est $\boxed{25\text{ cm}^2}$ , atteinte par le carré de côté $$5$$ cm.

Corrigé 13

def prix(n):
    return 5 + 1.8*n

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Suivre un point repère

1.

\boxed{g(x)=x^2+3} \qquad\text{et}\qquad \boxed{h(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4}.

2. Ajouter $$3$$ à l'image transforme $$(1;1)$$ en $\boxed{(1;4)}$ sur $\mathcal C_g$ . Remplacer $$x$$ par $$x-2$$ décale l'abscisse de $$2$$ vers la droite : le point correspondant sur $\mathcal C_h$ est $\boxed{(3;1)}$ .

3. La courbe $\mathcal C_g$ est obtenue en déplaçant $\mathcal C_f$ de $$3$$ unités vers le haut. La courbe $\mathcal C_h$ est obtenue en déplaçant $\mathcal C_f$ de $$2$$ unités vers la droite.

4.

\begin{aligned}&g(x)=3\\[.35em]&\ssi x^2+3=3\\[.35em]&\ssi x^2=0\\[.35em]&\ssi x=0,\end{aligned}

donc $\boxed{S=\{0\}}$ . De même,

\begin{aligned}&h(x)=0\\[.35em]&\ssi (x-2)^2=0\\[.35em]&\ssi x=2,\end{aligned}

donc $\boxed{S=\{2\}}$ .

Corrigé du problème : L'arche du jardin partagé

Démonstration · Partie A – Comprendre le modèle

1. L'abscisse mesure la distance horizontale depuis le bord gauche. L'ouverture commence à $$x=0$$ et se termine à $$x=10$$ , donc le domaine physique est $\boxed{[0;10]}$ . Pour chaque $$x$$ de cet intervalle, $$h(x)$$ est la hauteur de l'arche en mètres.

2.

\begin{aligned}h(0) &= 4-\frac4{25}\times25\\[.35em]&= 0,\\[.35em]h(2{,}5) &= 4-\frac4{25}\times6{,}25\\[.35em]&= 3,\\[.35em]h(5)&=4,\\[.35em]h(7{,}5)&=3,\\[.35em]h(10)&=0.\end{aligned}

Ainsi :

$$x$$	$$0$$	$$2{,}5$$	$$5$$	$$7{,}5$$	$$10$$
$$h(x)$$	$$0$$	$$3$$	$$4$$	$$3$$	$$0$$

3.

\begin{aligned}h(5-t) &= 4-\frac4{25}\big((5-t)-5\big)^2\\[.35em]&= 4-\frac4{25}t^2,\\[.35em]h(5+t) &= 4-\frac4{25}\big((5+t)-5\big)^2\\[.35em]&= 4-\frac4{25}t^2.\end{aligned}

Donc $\boxed{h(5-t)=h(5+t)}$ . Deux points situés à la même distance horizontale de $$x=5$$ ont la même hauteur : la courbe est symétrique par rapport à la droite verticale $$x=5$$ .

4. Les calculs précédents donnent $$h(0)=0$$ , $$h(5)=4$$ et $$h(10)=0$$ . Ainsi $$(0;0)$$ , $$(5;4)$$ et $$(10;0)$$ vérifient bien l'équation $$y=h(x)$$ et appartiennent à $\mathcal C_h$ .

Démonstration · Partie B – Une zone haute d'au moins $3$ m

5.

\begin{aligned}h(x)=3 &\ssi4-\frac4{25}(x-5)^2=3\\[.35em]&\ssi\frac4{25}(x-5)^2=1\\[.35em]&\ssi(x-5)^2=\frac{25}{4}\\[.35em]&\ssi x-5=-\frac52\ \text{ou}\ x-5=\frac52.\end{aligned}

Les deux solutions sont $\boxed{x=2{,}5\text{ et }x=7{,}5}$ .

6.

\begin{aligned}h(x)\geq3 &\ssi4-\frac4{25}(x-5)^2\geq3\\[.35em]&\ssi-\frac4{25}(x-5)^2\geq-1\\[.35em]&\ssi(x-5)^2\leq\frac{25}{4}.\end{aligned}

La dernière équivalence renverse le sens car on multiplie par $$-25/4<0$$ . Or

\begin{aligned}(x-5)^2 &\leq \left(\frac52\right)^2\\&\ssi \boxed{|x-5|\leq2{,}5}.\end{aligned}

7. La distance entre $$x$$ et $$5$$ doit être au plus $$2{,}5$$ , donc

\boxed{x\in[2{,}5;7{,}5]}.

La largeur de cette zone est $7{,}5-2{,}5=\boxed{5\text{ m}}$ .

Démonstration · Partie C – Vérifier l'accessibilité

8. Comme $$2{,}4=12/5$$ ,

\begin{aligned}h(x) &\geq 2{,}4\\[.35em]&\ssi 4 -\frac4{25}(x-5)^2\\[.35em]&\geq \frac{12}{5}\\[.35em]&\ssi-\frac4{25}(x-5)^2\geq-\frac85\\[.35em]&\ssi\boxed{(x-5)^2\leq10}.\end{aligned}

9.

\begin{aligned}&(x-5)^2\leq10\\[.35em]&\ssi |x-5|\leq\sqrt{10}\\[.35em]&\ssi -\sqrt{10}\leq x-5\leq\sqrt{10}.\end{aligned}

Ainsi

\boxed{x\in[5-\sqrt{10};5+\sqrt{10}]}.

La largeur vaut

2\sqrt{10}\approx6{,}3249\text{ m},

soit $\boxed{6{,}32\text{ m}}$ au centimètre près.

10. Première justification : la voie du véhicule occupe $$[2;8]$$ . Or

5-\sqrt{10}\approx1{,}84<2 \qquad\text{et}\qquad 8<8{,}16\approx5+\sqrt{10}.

Pour certifier cette inclusion sans dépendre de l'arrondi, on utilise

\begin{aligned} 3^2 &= 9\\[.35em] &< 10 \end{aligned},

donc $3<\sqrt{10}$ . Ainsi $5-\sqrt{10}<2$ et $8<5+\sqrt{10}$ : $$[2;8]$$ est contenu dans la zone accessible.

Seconde justification : pour tout $x\in[2;8]$ , on a $|x-5|\leq3$ , donc $(x-5)^2\leq9$ et

h(x)\geq4-\frac4{25}\times9=\frac{64}{25}=2{,}56>2{,}40.

Le véhicule peut donc passer avec la marge demandée.

Démonstration · Partie E – Comparer avec un toit triangulaire

14. Pour $x\in[0;5]$ , on utilise la forme factorisée de $$h=g$$ :

\begin{aligned}h(x)-t(x) &=\frac4{25}x(10-x)-0{,}8x\\[.35em]&=\frac4{25}x(10-x)-\frac{20}{25}x\\[.35em]&=\frac4{25}x(5-x).\end{aligned}

Sur $$[0;5]$$ , les deux facteurs $$x$$ et $$5-x$$ sont positifs ou nuls. Donc

\boxed{h(x)-t(x)\geq0}.

15. Pour $x\in[5;10]$ ,

\begin{aligned}h(x)-t(x) &=\frac4{25}x(10-x)-0{,}8(10-x)\\[.35em]&=(10-x)\left(\frac4{25}x-\frac{20}{25}\right)\\[.35em]&=\frac4{25}(10-x)(x-5).\end{aligned}

Sur $$[5;10]$$ , les facteurs $$10-x$$ et $$x-5$$ sont positifs ou nuls. Donc

\boxed{h(x)-t(x)\geq0}.

16. Sur tout $$[0;10]$$ , on a $h(x)\geq t(x)$ : la courbe de l'arche est au-dessus de celle du toit triangulaire, ou confondue avec elle. Dans la première moitié, l'égalité a lieu pour $$x=0$$ ou $$x=5$$ ; dans la seconde, pour $$x=5$$ ou $$x=10$$ . Les points d'intersection ont donc pour abscisses

\boxed{0,\ 5\text{ et }10}.

Démonstration · Partie F – Approcher la longueur de l'arche

17. Pour $$n=2$$ , chacun des deux segments a un déplacement horizontal de $$5$$ m et un déplacement vertical de $$4$$ m. Par le théorème de Pythagore, sa longueur est $\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$ . Donc

\boxed{L_2=2\sqrt{41}\approx12{,}806\text{ m}}.

18. Les cinq points sont

(0;0),\quad(2{,}5;3),\quad(5;4),\quad(7{,}5;3),\quad(10;0).

Chacun des deux segments extérieurs mesure

\sqrt{2{,}5^2+3^2}=\frac{\sqrt{61}}2,

et chacun des deux segments intérieurs mesure

\sqrt{2{,}5^2+1^2}=\frac{\sqrt{29}}2.

Ainsi

\boxed{L_4=\sqrt{61}+\sqrt{29}\approx13{,}195\text{ m}}.

Cette approximation est environ $$0{,}389$$ m plus grande que $$L_2$$ .

19. La fonction h traduit la formule de la hauteur. Dans longueur(n), la variable dx est la largeur de chaque petit intervalle. La boucle construit ses deux extrémités x1 et x2, calcule la différence verticale dy, puis ajoute la longueur du segment obtenue par Pythagore.

L'appel longueur(100) utilise $$100$$ segments et renvoie environ

\boxed{13{,}3368\text{ m}}.

Il s'agit d'une approximation numérique de la longueur de la courbe, pas d'une valeur exacte.

20. Pour chaque segment,

\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\geq\sqrt{(\Delta x)^2}=\Delta x,

car $\Delta x>0$ . En additionnant les $$n$$ segments,

L_n\geq n\Delta x=n\times\frac{10}{n}=10.

Pour $$n=1$$ , on relie seulement $$(0;0)$$ à $$(10;0)$$ : $$L_1=10$$ m. Pour $n\geq2$ , le premier point intérieur a pour abscisse $10/n\in]0;10[$ , et sa hauteur est strictement positive. Le premier déplacement vertical est donc non nul ; l'inégalité correspondante est stricte. Par conséquent, pour $n\geq2$ ,

\boxed{L_n>10\text{ m}}.

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Réglage avec $\(a=1\)$	$\(p(1)\)$	$\(p(2)\)$	$\(p(3)\)$
$\alpha=2$ , $\beta=-1$	$\(0\)$	$\(-1\)$	$\(0\)$
$\alpha=2$ , $\beta=1$	$\(2\)$	$\(1\)$	$\(2\)$

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi étudier les fonctions ?

Décrire une dépendance

Pourquoi plusieurs représentations ?

L'idée avant la formule

Entrée, règle, sortie

Remonter la machine

Le test de la droite verticale

Définir une fonction

Notation complète

Ensemble de définition

Le domaine peut venir de la situation

Calculer une image, chercher un antécédent

Calculer une image

Chercher un ou plusieurs antécédents

Lire dans un tableau de valeurs

Les représentations d'une fonction

Une même fonction, plusieurs langages

Construire un tableau de valeurs

Entrées sur un intervalle ou valeurs entières

Courbe représentative et lectures graphiques

L'équation \(y=f(x)\)

Lire une image : trajet vertical

Lire des antécédents : trajet horizontal

Résoudre une inéquation graphiquement

Lire le signe d'une fonction

Comparer deux fonctions

Modéliser une situation par une fonction

Construire le modèle

Un modèle n'est pas la réalité entière

Une fonction en Python

Traduire une formule

Construire un tableau de valeurs

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Enchaîner deux fonctions

Déplacer une courbe verticalement

Déplacer une courbe horizontalement

Explorer les déplacements avec une parabole

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : La machine et son vocabulaire

Exercice 2 ★☆☆ : Calculer des images

Exercice 3 ★☆☆ : Chercher des antécédents

Exercice 4 ★★☆ : Ensembles de définition

Exercice 5 ★☆☆ : Compléter un tableau

Exercice 6 ★☆☆ : Lire une courbe

Exercice 7 ★★☆ : Équations et inéquations graphiques

Exercice 8 ★★☆ : Lire le signe

Exercice 9 ★★☆ : Un point appartient-il à la courbe ?

Exercice 10 ★★☆ : Une fonction discrète

Exercice 11 ★★★ : Comparer deux fonctions

Exercice 12 ★★★ : Aire d'un rectangle

Exercice 13 ★★☆ : Fonction, budget et Python

Exercice 14 ★★★ : Enchaîner deux machines – pour aller plus loin

Exercice 15 ★★★ : Déplacer une courbe – pour aller plus loin

Problème : L'arche du jardin partagé ★★★

Partie A – Comprendre le modèle

Partie B – Une zone haute d'au moins \(3\) m

Partie C – Vérifier l'accessibilité

Partie D – Deux formules, une même arche

Partie E – Comparer avec un toit triangulaire

Partie F – Approcher la longueur de l'arche

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : L'arche du jardin partagé

Carte mémoire de la fiche

L'équation $\(y=f(x)\)$

Partie B – Une zone haute d'au moins $\(3\)$ m