Géométrie repérée · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux ?

01−1

2. Si A(1 ; 2) et B(4 ; 6), quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

(5 ; 8)(3 ; 4)(−3 ; −4)

3. Le point A(2 ; −1) appartient-il à la droite 3x + y − 5 = 0 ?

OuiNonOn ne peut pas vérifier avec des coordonnées

4. Un polynôme du second degré réel a un discriminant strictement négatif. Combien a-t-il de racines réelles ?

UneDeuxAucune

5. Dans un repère orthonormé, A(0 ; 0) et B(3 ; 4) sont distants de…

5257

Ton parcours dans ce chapitre

Une équation décrit les points qui respectent une condition. Nous allons partir d'une direction, d'une perpendicularité ou d'une distance, puis traduire et vérifier cette condition en coordonnées.

Pour démarrer : calculer les coordonnées d'un vecteur, résoudre deux équations linéaires, utiliser le produit scalaire et compléter un carré. Dans toute la fiche, le repère est orthonormé : axes perpendiculaires et même unité.
Le socle : vecteur normal, équation d'une droite par un point, projeté orthogonal, équation d'un cercle et reconnaissance du centre et du rayon.
Pour prolonger : configurations, intersections avec une droite, paraboles et lieux équidistants. La formule générale de distance et les lieux paraboliques sont des approfondissements ; le projeté peut toujours se calculer avec deux équations.

Un contrôle simple accompagne les calculs : le point trouvé appartient-il à l'objet demandé ? La direction est-elle la bonne ? Une figure suggère, les équations confirment.

Pourquoi la géométrie repérée ?

Le problème fondamental

La géométrie « pure » (figures, règle et compas) est belle mais parfois difficile : il faut de l'astuce pour chaque problème. L'idée géniale de Descartes a été de poser un repère : chaque point devient un couple de coordonnées, chaque droite une équation, chaque cercle une équation aussi. La géométrie se transforme alors en calcul : on « résout » une figure comme on résout une équation.

Vecteur normal. Pour repérer l'inclinaison d'une droite, on utilise un vecteur qui lui est perpendiculaire (le vecteur normal). Grâce au produit scalaire (fiche précédente), « être sur la droite » devient une simple condition d'orthogonalité.

Cercles. Un cercle est l'ensemble des points à distance fixe d'un centre : sa définition est déjà une équation.

Paraboles. On relie l'étude du second degré (fiche 2) à la géométrie : la courbe de $$y=ax^2+bx+c$$ est une parabole dont on lit l'axe et le sommet.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Un vecteur perpendiculaire pour décrire une droite

Un cercle, c'est une distance constante

La parabole, vieille connaissance

Le cours complet

Dans toute la fiche, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath)$ .

Rappels : équation d'une droite et vecteur directeur

À toi d’essayer

Une équation est un test d'appartenance

Pour $$d:2x-y+3=0$$ , vérifie si $$A=(0;3)$$ et $$B=(2;1)$$ appartiennent à $$d$$ . Donne un vecteur directeur et explique ce qui change pour $$d':2x-y-1=0$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Remplace séparément $$x$$ et $$y$$ par chaque couple. Le résultat doit être $$0$$ , pas seulement un nombre bien calculé.

Indice 2 · Un pas de plus

Ici $$a=2$$ , $$b=-1$$ . Un directeur est $$(-b;a)=(1;2)$$ . Les deux droites ont les mêmes coefficients de $$x$$ et $$y$$ .

Voir l’explication

Pour $$A$$ , $2\times0-3+3=0$ , donc $A\in d$ . Pour $$B$$ , $2\times2-1+3=6\ne0$ , donc $B\notin d$ . Le vecteur $$(1;2)$$ suit la droite : avancer de $$1$$ horizontalement correspond à monter de $$2$$ . Les équations réduites sont $$y=2x+3$$ et $$y=2x-1$$ : mêmes directions, ordonnées à l'origine différentes, donc droites parallèles distinctes. Réessaie : teste $$(1;5)$$ puis donne une équation de la parallèle passant par l'origine. Exercice 1.

Vecteur normal à une droite

Une preuve à construire

Pourquoi les coefficients forment un vecteur normal

Pour $$d:ax+by+c=0$$ , avec $(a;b)\ne(0;0)$ , prends deux points distincts $$M_1,M_2$$ de $$d$$ . Montre que $$(a;b)$$ est orthogonal à $\vec{M_1M_2}$ puis vérifie que $$(-b;a)$$ est directeur.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Chaque point vérifie l'équation de la droite. Soustrais ces deux égalités pour éliminer $$c$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les différences $$x_2-x_1$$ et $$y_2-y_1$$ sont les coordonnées d'un vecteur directeur non nul, puisque les points sont distincts.

Voir la preuve expliquée

On soustrait les deux égalités et on obtient

\[a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0.\]

C'est $\vec n\cdot\vec{M_1M_2}=0$ dans le repère orthonormé. Comme $\vec n=(a;b)$ et $\vec{M_1M_2}$ sont non nuls, leurs directions sont perpendiculaires. De plus

\begin{aligned}(a;b)\cdot(-b;a) &= -ab+ab\\[.35em]&= 0\end{aligned}

et $(-b;a)\ne(0;0)$ , donc ce second vecteur est directeur de $$d$$ . Les hypothèses empêchent de prendre un vecteur nul, qui ne fixerait aucune direction.

À toi d’essayer

Normal et directeur ont des rôles différents

Pour $$d:3x+2y-6=0$$ , choisis parmi $$(3;2)$$ , $$(-2;3)$$ et $$(6;4)$$ les vecteurs normaux et les vecteurs directeurs. Pourquoi existe-t-il plusieurs vecteurs normaux ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les coefficients donnent un normal. Un multiple non nul garde sa direction. Un directeur lui est orthogonal.

Indice 2 · Un pas de plus

Vérifie $(3;2)\cdot(-2;3)=0$ . Compare $$(6;4)$$ à $$(3;2)$$ .

Voir l’explication

Les vecteurs $$(3;2)$$ et $$(6;4)=2(3;2)$$ sont normaux. Le vecteur $$(-2;3)$$ est directeur car $$3(-2)+2(3)=0$$ . Un normal fixe une direction perpendiculaire, pas une longueur imposée : tous ses multiples non nuls conviennent. Réessaie : donne un normal et un directeur pour la droite verticale $$x=4$$ ; aucune pente finie n'est nécessaire. Exercice 1.

Équation d'une droite par un point et un vecteur normal

À toi d’essayer

Construire une perpendiculaire

Trouve la droite passant par $$P=(1;2)$$ et perpendiculaire à $$d:2x-y+3=0$$ . Vérifie à la fois le passage par $$P$$ et la perpendicularité.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un directeur de $$d$$ est $$(1;2)$$ . Il devient un normal à la perpendiculaire cherchée.

Indice 2 · Un pas de plus

L'équation cherchée est $$1(x-1)+2(y-2)=0$$ . Développe, puis teste le point.

Voir l’explication

On obtient $$x+2y-5=0$$ . Le point $$P$$ vérifie $$1+4-5=0$$ . La direction de la nouvelle droite peut être représentée par $$(-2;1)$$ , orthogonal au directeur $$(1;2)$$ de $$d$$ puisque $$-2+2=0$$ . Garder le normal $$(2;-1)$$ aurait construit une parallèle à $$d$$ , ce qui répondrait à une autre question. Réessaie : trouve aussi la parallèle à $$d$$ passant par $$P$$ , puis compare les deux équations. Exercices 2 et 3.

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Une preuve à construire

Pourquoi le pied de la perpendiculaire est le plus proche

Soit $$H$$ le projeté de $$A$$ sur $$d$$ . Pour un autre point $$M$$ de $$d$$ , compare $$AM$$ et $$AH$$ . Explique aussi le cas où $$A$$ appartient déjà à la droite.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Si $A\notin d$ , le triangle $$AHM$$ est rectangle en $$H$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pythagore donne $$AM^2=AH^2+HM^2$$ . Le dernier terme est positif ou nul.

Voir la preuve expliquée

Si $A\notin d$ , on a $AM^2=AH^2+HM^2\geqslant AH^2$ , donc $AM\geqslant AH$ puisque les distances sont positives ou nulles. L'égalité n'a lieu que pour $$HM=0$$ , donc $$M=H$$ . Si $A\in d$ , $$H=A$$ et la distance minimale vaut $$0$$ , atteinte seulement au point $$A$$ . Le projeté est donc unique et réalise bien la plus petite distance.

À toi d’essayer

Vérifier les deux conditions d'un projeté

Projette $$A=(2;0)$$ sur $$d:x+y-4=0$$ . Quelqu'un propose $$K=(4;0)$$ parce que $K\in d$ . Cette condition suffit-elle ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La perpendiculaire à $$d$$ suit la direction $$(1;1)$$ ; en passant par $$A$$ , elle a pour équation $$y=x-2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Résous $$x+y=4$$ et $$y=x-2$$ . Pour $$K$$ , compare $\vec{AK}$ à la direction normale $$(1;1)$$ .

Voir l’explication

On remplace : $$x+x-2=4$$ , donc $$x=3$$ et $$y=1$$ . Ainsi $$H=(3;1)$$ et

\begin{aligned}AH &= \sqrt{1^2+1^2}\\[.35em]&= \sqrt2.\end{aligned}

Le point $$K$$ appartient bien à $$d$$ , mais $\vec{AK}=(2;0)$ ne suit pas la direction $$(1;1)$$ . De plus $AK=2>\sqrt2$ : il n'est pas le plus proche. Réessaie : projette $$B=(1;3)$$ sur la même droite ; commence par tester son appartenance. Exercice 6.

Une preuve à construire

Retrouver la formule de distance

Approfondissement. Pour $$d:ax+by+c=0$$ , avec $(a;b)\ne(0;0)$ , et $$A=(x_0;y_0)$$ , le projeté $$H$$ vérifie $\vec{AH}=t(a;b)$ pour un réel $$t$$ . Retrouve $$t$$ en utilisant $H\in d$ , puis démontre la formule de distance.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les coordonnées de $$H$$ sont $$(x_0+ta;y_0+tb)$$ . Remplace-les dans l'équation de $$d$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Regroupe les termes en $$t$$ : $$ax_0+by_0+c+t(a^2+b^2)=0$$ . La norme de $$t(a;b)$$ est $|t|\sqrt{a^2+b^2}$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $$a^2+b^2>0$$ , on peut résoudre l'équation et obtenir

t=-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}.

La distance vaut donc

\begin{aligned}AH&=|t|\sqrt{a^2+b^2}\\[.35em]&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}\\[.35em]&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\end{aligned}

La valeur absolue est nécessaire car une distance ne dépend pas du sens de déplacement sur le normal. Si $A\in d$ , le numérateur est nul, $$t=0$$ et $$H=A$$ : la formule couvre aussi ce cas.

Équation d'un cercle

Une preuve à construire

Une distance devient une équation

Pour $$R>0$$ , démontre qu'un point $$M=(x;y)$$ est sur le cercle de centre $\Omega=(a;b)$ et de rayon $$R$$ si et seulement si $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$ . Pourquoi le passage aux carrés conserve-t-il l'équivalence ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La définition est $\Omega M=R$ . Utilise la formule de distance dans un repère orthonormé.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux membres $\Omega M$ et $$R$$ sont positifs ou nuls. Sur cet ensemble, deux nombres ayant le même carré sont égaux.

Voir la preuve expliquée

La définition donne $M\in\mathcal C\iff\Omega M=R$ . Comme les deux membres sont positifs ou nuls, cela équivaut à $\Omega M^2=R^2$ . La formule de distance donne $\Omega M^2=(x-a)^2+(y-b)^2$ . En remontant ces étapes, tout point qui vérifie l'équation est bien sur le cercle : on a démontré les deux sens. Pour un second membre nul, l'ensemble se réduit au centre ; pour un second membre négatif, il n'existe aucun point.

À toi d’essayer

Cercle, point ou aucun point

Détermine l'ensemble décrit par $$x^2+y^2-4x+2y+c=0$$ pour $$c=1$$ , $$c=5$$ et $$c=6$$ . Le centre formel est le même ; pourquoi les ensembles diffèrent-ils ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Complète les carrés : $$x^2-4x=(x-2)^2-4$$ et $$y^2+2y=(y+1)^2-1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

L'équation devient $$(x-2)^2+(y+1)^2=5-c$$ . Examine le signe du second membre.

Voir l’explication

Pour $$c=1$$ , le second membre vaut $$4$$ : cercle de centre $$(2;-1)$$ et de rayon $$2$$ . Pour $$c=5$$ , il vaut $$0$$ : les deux carrés sont nuls, donc seul le point $$(2;-1)$$ convient. Pour $$c=6$$ , il vaut $$-1$$ : une somme de carrés ne peut être négative, donc l'ensemble est vide. Réessaie : prends $$c=-4$$ et vérifie le rayon sur un point situé horizontalement à droite du centre. Exercices 4 et 5.

À toi d’essayer

Deux descriptions d'un même cercle

Pour $$A=(-1;1)$$ et $$B=(3;1)$$ , écris le cercle de diamètre $$[AB]$$ avec son centre et son rayon, puis avec $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ . Vérifie que les équations obtenues décrivent le même ensemble.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le centre est le milieu de $$[AB]$$ ; le rayon est la moitié de $$AB$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le produit scalaire donne $$(x+1)(x-3)+(y-1)^2=0$$ . Complète le carré en $$x$$ .

Voir l’explication

Le centre vaut $$(1;1)$$ et le rayon $$2$$ , donc $$(x-1)^2+(y-1)^2=4$$ . Avec le produit scalaire,

\begin{aligned}(x+1)(x-3)+(y-1)^2&=0,\\[.35em]x^2-2x-3+(y-1)^2&=0,\\[.35em](x-1)^2+(y-1)^2&=4.\end{aligned}

Les équations coïncident après transformation. Les extrémités du diamètre sont incluses, même si l'angle $$AMB$$ n'y est pas défini. Réessaie : prends un diamètre vertical, $$A=(2;-1)$$ et $$B=(2;5)$$ . Exercice 10.

Intersection d'un cercle et d'une droite

À toi d’essayer

Une droite peut rencontrer le cercle zéro, une ou deux fois

Pour le cercle $$x^2+y^2=4$$ , cherche les intersections avec $$x=1$$ , $$x=2$$ et $$x=3$$ . Vérifie que le dessin et le signe du carré demandé racontent la même chose.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Remplace $$x$$ dans l'équation du cercle. Il reste une équation en $$y^2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les trois équations sont $$y^2=3$$ , $$y^2=0$$ et $$y^2=-5$$ .

Voir l’explication

Pour $$x=1$$ , deux points conviennent : $(1;\sqrt3)$ et $(1;-\sqrt3)$ . Pour $$x=2$$ , un seul convient : $$(2;0)$$ ; la droite est tangente. Pour $$x=3$$ , aucun carré réel ne vaut $$-5$$ , donc aucune intersection. Réessaie : remplace les verticales par les horizontales $$y=-1$$ , $$y=-2$$ et $$y=-3$$ . Exercice 9.

Schéma : Intersection d'un cercle et d'une droite

La parabole $$y=ax^2+bx+c$$

À toi d’essayer

Lire une intersection sur la forme canonique

Pour $$y=(x-1)^2-4$$ , donne l'axe et le sommet, puis les intersections avec $$y=0$$ et avec $$y=-5$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le carré est minimal à $$x=1$$ ; sa valeur minimale est $$0$$ . Pour intersecter une horizontale, remplace $$y$$ par sa valeur.

Indice 2 · Un pas de plus

Avec $$y=0$$ , le carré doit valoir $$4$$ ; avec $$y=-5$$ , il devrait valoir $$-1$$ .

Voir l’explication

L'axe est $$x=1$$ et le sommet $$(1;-4)$$ . Pour $$y=0$$ , $$(x-1)^2=4$$ , donc $$x-1=2$$ ou $$x-1=-2$$ , soit les points $$(3;0)$$ et $$(-1;0)$$ . Pour $$y=-5$$ , aucune solution : la parabole ne descend pas sous $$-4$$ . Réessaie : calcule les intersections avec $$y=-3$$ et vérifie la symétrie des abscisses autour de $$1$$ . Exercice 11.

Pour aller plus loin : la parabole comme lieu

Une preuve à construire

Une parabole construite à partir de distances

Approfondissement. Cherche l'ensemble des points $$M=(x;y)$$ équidistants de $$F=(0;2)$$ et de l'axe des abscisses. Montre que cet ensemble est la parabole $$y=x^2/4+1$$ . Vérifie ensuite la réciproque.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La distance à l'axe est $$|y|$$ , pas $$y$$ pour un point quelconque. La distance à $$F$$ vaut $\sqrt{x^2+(y-2)^2}$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les distances sont positives ou nulles : tu peux égaler leurs carrés. Développe $$(y-2)^2$$ .

Voir la preuve expliquée

La condition est équivalente à

\begin{aligned}x^2+(y-2)^2&=y^2,\\[.35em]x^2+y^2-4y+4&=y^2,\\[.35em]4y&=x^2+4,\\[.35em]y&=\frac{x^2}{4}+1.\end{aligned}

Toutes les transformations sont réversibles. Pour un point de cette courbe, les carrés des distances sont égaux ; leurs valeurs positives ou nulles sont donc égales. On a bien tout le lieu, pas seulement une inclusion. On remarque aussi $y\geqslant1$ : la recherche n'a produit aucun point sous l'axe. Le sommet $$(0;1)$$ est à distance $$1$$ de l'axe et du foyer.

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Formulaire complet

Objet	Résultat
Droite	$$ax+by+c=0$$
Normal / directeur	$\vec n(a,b)$ / $\vec u(-b,a)$
Droite par $$A$$ , normal $\vec n$	$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$
Distance point-droite	$d(A,d)=\dfrac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Cercle (centre, rayon)	$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$
Cercle de diamètre $$[AB]$$	$$(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0$$
Parabole	$$y=ax^2+bx+c$$ , axe $x=-\frac{b}{2a}$

Méthode · Algorithme : position d'une droite et d'un cercle

from math import sqrt

def position(a, b, c, xc, yc, R):
    """Droite ax+by+c=0 et cercle de centre (xc,yc), rayon R."""
    d = abs(a*xc + b*yc + c) / sqrt(a**2 + b**2)   # distance centre-droite
    if d < R:   return "secante (2 points)"
    if d == R:  return "tangente (1 point)"
    return "exterieure (0 point)"

print(position(3, 4, -14, 2, 1, 3))   # distance 0.8 < 3 -> secante

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Normal et directeur

Pour chaque droite, donner un vecteur normal et un vecteur directeur.

$$3x-2y+5=0$$
$$x+4y-1=0$$
$$y=2x+3$$ (mettre sous forme $$ax+by+c=0$$ )
$$x=7$$

Exercice 2 ★☆☆ : Équation par point et normal

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $$A$$ et de vecteur normal $\vec n$ .

$A(1\,;-2)$ , $\vec n\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$ .
$A(-3\,;0)$ , $\vec n\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Parallèle et perpendiculaire

Soit $d:\ 2x+3y-1=0$ .

Déterminer la parallèle à $$d$$ passant par $A(1\,;1)$ .
Déterminer la perpendiculaire à $$d$$ passant par l'origine.

Exercice 4 ★☆☆ : Équation de cercle

Déterminer l'équation du cercle de centre $\Omega$ et de rayon $$R$$ .

$\Omega(-1\,;3)$ , $R=\sqrt5$ .
$\Omega(0\,;2)$ , $$R=4$$ .

Exercice 5 ★☆☆ : Reconnaître un cercle

Pour chaque équation, dire si c'est un cercle et, si oui, donner centre et rayon.

$\[x^2+y^2+2x-6y+6=0.\]$
$\[x^2+y^2-4x+2y+9=0.\]$

Exercice 6 ★★☆ : Projeté orthogonal

Déterminer le projeté orthogonal $$H$$ de $A(5\,;2)$ sur la droite $d:\ x-y-1=0$ .

Exercice 7 ★★☆ : Distance

Calculer la distance de $A(5\,;2)$ à la droite $d:\ x-y-1=0$ . Comparer avec $$AH$$ de l'exercice précédent.

Exercice 8 ★★☆ : Position droite / cercle

Soit le cercle $\mathcal C:\ x^2+y^2=9$ et la droite $d:\ y=x+5$ .

Donner le centre et le rayon de $\mathcal C$ .
En comparant la distance du centre à $$d$$ au rayon, préciser la position de $$d$$ par rapport à $\mathcal C$ .

Exercice 9 ★★☆ : Intersection droite / cercle

Déterminer les points d'intersection du cercle $$x^2+y^2=5$$ et de la droite $$y=2x$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Cercle de diamètre

On donne $A(1\,;2)$ et $B(5\,;6)$ .

Déterminer le centre et le rayon du cercle de diamètre $$[AB]$$ .
Donner son équation.

Exercice 11 ★★☆ : Parabole

Soit la parabole $\mathcal P:\ y=-x^2+4x-1$ .

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet.
Déterminer les points d'intersection de $\mathcal P$ avec la droite $$y=2$$ .

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Démontrer que $\vec n(a,b)$ est un vecteur normal à la droite $$ax+by+c=0$$ .
Démontrer que l'équation du cercle de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $$R$$ est $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$ .

Exercice 13 ★★★ : Hauteur d'un triangle

On donne $A(0\,;0)$ , $B(4\,;2)$ , $C(1\,;3)$ .

Déterminer une équation de la droite $$(BC)$$ .
Déterminer une équation de la hauteur issue de $$A$$ (perpendiculaire à $$(BC)$$ passant par $$A$$ ).
Déterminer le pied $$H$$ de cette hauteur (projeté de $$A$$ sur $$(BC)$$ ).

Exercice 14 ★★★ : Médiatrice

On donne $A(0\,;0)$ et $B(4\,;2)$ . Déterminer une équation de la médiatrice de $$[AB]$$ (droite passant par le milieu et de vecteur normal $\vec{AB}$ ).

Exercice 15 ★★★ : Cercle passant par trois points

Déterminer l'équation du cercle passant par $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ et $C(0\,;2)$ . (On cherchera une équation $x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$ .) En déduire son centre et son rayon.

Exercice 16 ★★★ : Un lieu géométrique

Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ équidistants du point $F(0\,;1)$ et de la droite $$y=-1$$ . Reconnaître cet ensemble.

Problème : Un triangle inscrit dans un cercle ★★★

Partie A : le cercle

En complétant les carrés, déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $$R$$ de $\mathcal C$ .
Vérifier que $$A$$ , $$B$$ et $$C$$ appartiennent à $\mathcal C$ .

Partie B : un diamètre et un angle droit

Montrer que $$[AC]$$ est un diamètre de $\mathcal C$ (calculer le milieu de $$[AC]$$ et la longueur $$AC$$ ).
En déduire, sans calcul supplémentaire, que le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$B$$ . Vérifier par $\vec{BA}\cdot\vec{BC}$ .

Partie C : une tangente

La tangente à $\mathcal C$ en $$C$$ est perpendiculaire à $\vec{\Omega C}$ . Calculer $\vec{\Omega C}$ , puis déterminer une équation de cette tangente.

Partie D : une corde

Déterminer une équation de la droite $$(AB)$$ .
Calculer la distance de $\Omega$ à la droite $$(AB)$$ , et vérifier qu'elle est inférieure à $$R$$ (donc $$(AB)$$ est sécante et $$[AB]$$ est une corde).

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé du problème : Un triangle inscrit dans un cercle

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Objet	Résultat
Droite	$\(ax+by+c=0\)$
Normal / directeur	$\vec n(a,b)$ / $\vec u(-b,a)$
Droite par $\(A\)$ , normal $\vec n$	$\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\)$
Distance point-droite	$d(A,d)=\dfrac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Cercle (centre, rayon)	$\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)$
Cercle de diamètre $\([AB]\)$	$\((x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0\)$
Parabole	$\(y=ax^2+bx+c\)$ , axe $x=-\frac{b}{2a}$

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi la géométrie repérée ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Un vecteur perpendiculaire pour décrire une droite

Un cercle, c'est une distance constante

La parabole, vieille connaissance

Le cours complet

Rappels : équation d'une droite et vecteur directeur

Vecteur normal à une droite

Équation d'une droite par un point et un vecteur normal

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Équation d'un cercle

Intersection d'un cercle et d'une droite

La parabole \(y=ax^2+bx+c\)

Pour aller plus loin : la parabole comme lieu

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Normal et directeur

Exercice 2 ★☆☆ : Équation par point et normal

Exercice 3 ★☆☆ : Parallèle et perpendiculaire

Exercice 4 ★☆☆ : Équation de cercle

Exercice 5 ★☆☆ : Reconnaître un cercle

Exercice 6 ★★☆ : Projeté orthogonal

Exercice 7 ★★☆ : Distance

Exercice 8 ★★☆ : Position droite / cercle

Exercice 9 ★★☆ : Intersection droite / cercle

Exercice 10 ★★☆ : Cercle de diamètre

Exercice 11 ★★☆ : Parabole

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 13 ★★★ : Hauteur d'un triangle

Exercice 14 ★★★ : Médiatrice

Exercice 15 ★★★ : Cercle passant par trois points

Exercice 16 ★★★ : Un lieu géométrique

Problème : Un triangle inscrit dans un cercle ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé du problème : Un triangle inscrit dans un cercle

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions

La parabole $\(y=ax^2+bx+c\)$