Le cours complet Dans toute la fiche, le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\vec\imath,\vec\jmath)\) .
Rappels : équation d'une droite et vecteur directeur
Définition · Équation cartésienne et vecteur directeur
Toute droite \(d\) admet une équation cartésienne de la forme
\[ax+by+c=0\qquad\text{avec }(a,b)\neq(0,0).\]
Un vecteur directeur de \(d\) est un vecteur non nul \(\vec u\) « qui suit la droite ». Le vecteur \(\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(ax+by+c=0\) .
Attention · \(c\) ne change pas la direction
Deux droites \(ax+by+c=0\) et \(ax+by+c'=0\) ont les mêmes \(a\) et \(b\) : elles sont parallèles (même direction, donc même vecteur directeur et même vecteur normal). Seul \(c\) change : il « translate » la droite.
À toi d’essayer
Une équation est un test d'appartenance Pour \(d:2x-y+3=0\) , vérifie si \(A=(0;3)\) et \(B=(2;1)\) appartiennent à \(d\) . Donne un vecteur directeur et explique ce qui change pour \(d':2x-y-1=0\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Remplace séparément \(x\) et \(y\) par chaque couple. Le résultat doit être \(0\) , pas seulement un nombre bien calculé.
Indice 2 · Un pas de plus Ici \(a=2\) , \(b=-1\) . Un directeur est \((-b;a)=(1;2)\) . Les deux droites ont les mêmes coefficients de \(x\) et \(y\) .
Voir l’explication Pour \(A\) , \(2\times0-3+3=0\) , donc \(A\in d\) . Pour \(B\) , \(2\times2-1+3=6\ne0\) , donc \(B\notin d\) . Le vecteur \((1;2)\) suit la droite : avancer de \(1\) horizontalement correspond à monter de \(2\) . Les équations réduites sont \(y=2x+3\) et \(y=2x-1\) : mêmes directions, ordonnées à l'origine différentes, donc droites parallèles distinctes. Réessaie : teste \((1;5)\) puis donne une équation de la parallèle passant par l'origine. Exercice 1.
Vecteur normal à une droite
Définition · Vecteur normal
Un vecteur normal à une droite \(d\) est un vecteur non nul \(\vec n\) orthogonal à \(d\) (perpendiculaire à sa direction).
Théorème · Lecture du vecteur normal dans l'équation
La droite d'équation \(ax+by+c=0\) admet pour vecteur normal \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et pour vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) .
Une preuve à construire
Pourquoi les coefficients forment un vecteur normal Pour \(d:ax+by+c=0\) , avec \((a;b)\ne(0;0)\) , prends deux points distincts \(M_1,M_2\) de \(d\) . Montre que \((a;b)\) est orthogonal à \(\vec{M_1M_2}\) puis vérifie que \((-b;a)\) est directeur.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Chaque point vérifie l'équation de la droite. Soustrais ces deux égalités pour éliminer \(c\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les différences \(x_2-x_1\) et \(y_2-y_1\) sont les coordonnées d'un vecteur directeur non nul, puisque les points sont distincts.
Voir la preuve expliquée On soustrait les deux égalités et on obtient
\[a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0.\]
C'est \(\vec n\cdot\vec{M_1M_2}=0\) dans le repère orthonormé. Comme \(\vec n=(a;b)\) et \(\vec{M_1M_2}\) sont non nuls, leurs directions sont perpendiculaires. De plus
\[\begin{aligned}(a;b)\cdot(-b;a) &= -ab+ab\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]
et \((-b;a)\ne(0;0)\) , donc ce second vecteur est directeur de \(d\) . Les hypothèses empêchent de prendre un vecteur nul, qui ne fixerait aucune direction.
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À toi d’essayer
Normal et directeur ont des rôles différents Pour \(d:3x+2y-6=0\) , choisis parmi \((3;2)\) , \((-2;3)\) et \((6;4)\) les vecteurs normaux et les vecteurs directeurs. Pourquoi existe-t-il plusieurs vecteurs normaux ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les coefficients donnent un normal. Un multiple non nul garde sa direction. Un directeur lui est orthogonal.
Indice 2 · Un pas de plus Vérifie \((3;2)\cdot(-2;3)=0\) . Compare \((6;4)\) à \((3;2)\) .
Voir l’explication Les vecteurs \((3;2)\) et \((6;4)=2(3;2)\) sont normaux. Le vecteur \((-2;3)\) est directeur car \(3(-2)+2(3)=0\) . Un normal fixe une direction perpendiculaire, pas une longueur imposée : tous ses multiples non nuls conviennent. Réessaie : donne un normal et un directeur pour la droite verticale \(x=4\) ; aucune pente finie n'est nécessaire. Exercice 1.
Équation d'une droite par un point et un vecteur normal
Théorème · Droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec n\)
La droite passant par \(A(x_0\,;y_0)\) et de vecteur normal non nul \(\vec n\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) a pour équation
\[\begin{aligned}&\boxed{a(x-x_0)+b(y-y_0)=0}\\[.35em]&\text{soit}\\[.35em]ax+by+c &=0\ \text{avec}\ c=-(ax_0+by_0).\end{aligned}\]
Démonstration · Équation par point et normal
Un point \(M(x\,;y)\) appartient à la droite si et seulement si \(\vec{AM}\) est orthogonal à \(\vec n\) , c'est-à-dire \(\vec n\cdot\vec{AM}=0\) . Or \(\vec{AM}\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}\) , donc
\[\begin{aligned}\vec n\cdot\vec{AM} &= a(x-x_0)+b(y-y_0)\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
En développant : \(ax+by-(ax_0+by_0)=0\) , soit \(ax+by+c=0\) avec \(c=-(ax_0+by_0)\) . \(\blacksquare\)
Exemple · Écrire puis vérifier une droite
La droite passe par \(A=(3;1)\) et a pour normal \((2;-5)\) . Pour un point \(M=(x;y)\) , le vecteur \(\vec{AM}\) est \((x-3;y-1)\) . La condition de perpendicularité donne
\[\begin{aligned}2(x-3)-5(y-1)&=0,\\[.35em]2x-6-5y+5&=0,\\[.35em]2x-5y-1&=0.\end{aligned}\]
On contrôle deux informations : \(A\) vérifie \(6-5-1=0\) ; les coefficients \((2;-5)\) redonnent bien le normal demandé. Multiplier toute l'équation par \(-1\) donne \(-2x+5y+1=0\) , qui décrit exactement la même droite.
Méthode · Droite perpendiculaire / parallèle à une droite donnée
Pour la droite \(ax+by+c=0\) :
une parallèle a le même vecteur normal \((a,b)\) : son équation est \(ax+by+c'=0\) ;
une perpendiculaire a pour vecteur normal le directeur \((-b,a)\) : son équation est \(-bx+ay+c''=0\) .
On détermine \(c'\) ou \(c''\) en écrivant qu'elle passe par le point voulu.
À toi d’essayer
Construire une perpendiculaire Trouve la droite passant par \(P=(1;2)\) et perpendiculaire à \(d:2x-y+3=0\) . Vérifie à la fois le passage par \(P\) et la perpendicularité.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Un directeur de \(d\) est \((1;2)\) . Il devient un normal à la perpendiculaire cherchée.
Indice 2 · Un pas de plus L'équation cherchée est \(1(x-1)+2(y-2)=0\) . Développe, puis teste le point.
Voir l’explication On obtient \(x+2y-5=0\) . Le point \(P\) vérifie \(1+4-5=0\) . La direction de la nouvelle droite peut être représentée par \((-2;1)\) , orthogonal au directeur \((1;2)\) de \(d\) puisque \(-2+2=0\) . Garder le normal \((2;-1)\) aurait construit une parallèle à \(d\) , ce qui répondrait à une autre question. Réessaie : trouve aussi la parallèle à \(d\) passant par \(P\) , puis compare les deux équations. Exercices 2 et 3.
Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Définition · Projeté orthogonal
Si \(A\) n'appartient pas à \(d\) , son projeté orthogonal est l'intersection \(H\) de \(d\) avec la perpendiculaire à \(d\) passant par \(A\) . Si \(A\in d\) , son projeté est \(A\) lui-même. Dans les deux cas, \(H\) est le point de \(d\) le plus proche de \(A\) et \(AH\) est la distance de \(A\) à \(d\) .
Exemple · Calculer un projeté avec deux équations
On projette \(A=(3;4)\) sur \(d:x+2y-4=0\) . Un normal de \(d\) est \((1;2)\) et un directeur \((-2;1)\) . La perpendiculaire passant par \(A\) a donc pour normal \((-2;1)\) :
\[\begin{aligned}-2(x-3)+(y-4)&=0,\\[.35em]-2x+y+2&=0,\\[.35em]y&=2x-2.\end{aligned}\]
Le point \(H\) appartient aussi à \(d\) . On remplace \(y\) dans cette seconde équation :
\[\begin{aligned}x+2(2x-2)-4&=0,\\[.35em]5x-8&=0,\\[.35em]x&=\frac85,\\[.35em]y&=2\times\frac85-2\\[.35em]&=\frac65.\end{aligned}\]
Ainsi \(H=(8/5;6/5)\) . Vérification d'appartenance : \(8/5+12/5-4=0\) . Vérification de direction :
\[\begin{aligned}\vec{AH} &= (-7/5;-14/5)\\[.35em]&= (-7/5)(1;2),\end{aligned}\]
donc \(AH\) suit le normal à \(d\) . Les deux contrôles sont nécessaires.
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Une preuve à construire
Pourquoi le pied de la perpendiculaire est le plus proche Soit \(H\) le projeté de \(A\) sur \(d\) . Pour un autre point \(M\) de \(d\) , compare \(AM\) et \(AH\) . Explique aussi le cas où \(A\) appartient déjà à la droite.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Si \(A\notin d\) , le triangle \(AHM\) est rectangle en \(H\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pythagore donne \(AM^2=AH^2+HM^2\) . Le dernier terme est positif ou nul.
Voir la preuve expliquée Si \(A\notin d\) , on a \(AM^2=AH^2+HM^2\geqslant AH^2\) , donc \(AM\geqslant AH\) puisque les distances sont positives ou nulles. L'égalité n'a lieu que pour \(HM=0\) , donc \(M=H\) . Si \(A\in d\) , \(H=A\) et la distance minimale vaut \(0\) , atteinte seulement au point \(A\) . Le projeté est donc unique et réalise bien la plus petite distance.
À toi d’essayer
Vérifier les deux conditions d'un projeté Projette \(A=(2;0)\) sur \(d:x+y-4=0\) . Quelqu'un propose \(K=(4;0)\) parce que \(K\in d\) . Cette condition suffit-elle ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La perpendiculaire à \(d\) suit la direction \((1;1)\) ; en passant par \(A\) , elle a pour équation \(y=x-2\) .
Indice 2 · Un pas de plus Résous \(x+y=4\) et \(y=x-2\) . Pour \(K\) , compare \(\vec{AK}\) à la direction normale \((1;1)\) .
Voir l’explication On remplace : \(x+x-2=4\) , donc \(x=3\) et \(y=1\) . Ainsi \(H=(3;1)\) et
\[\begin{aligned}AH &= \sqrt{1^2+1^2}\\[.35em]&= \sqrt2.\end{aligned}\]
Le point \(K\) appartient bien à \(d\) , mais \(\vec{AK}=(2;0)\) ne suit pas la direction \((1;1)\) . De plus \(AK=2>\sqrt2\) : il n'est pas le plus proche. Réessaie : projette \(B=(1;3)\) sur la même droite ; commence par tester son appartenance. Exercice 6.
Méthode · Distance d'un point à une droite : approfondissement
La distance du point \(A(x_0\,;y_0)\) à la droite \(d:\ ax+by+c=0\) est
\[\boxed{d(A,d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.}\]
Exemple : distance de \(A(3\,;4)\) à \(x+2y-4=0\) :
\[\begin{aligned}\dfrac{|3+8-4|}{\sqrt{1+4}} &= \dfrac{7}{\sqrt5}\\[.35em]&= \dfrac{7\sqrt5}{5}\\[.35em]&\approx 3{,}13.\end{aligned}\]
Équation d'un cercle
Théorème · Équation d'un cercle (centre et rayon)
Le cercle de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rayon \(R>0\) a pour équation
\[\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.}\]
Une preuve à construire
Une distance devient une équation Pour \(R>0\) , démontre qu'un point \(M=(x;y)\) est sur le cercle de centre \(\Omega=(a;b)\) et de rayon \(R\) si et seulement si \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) . Pourquoi le passage aux carrés conserve-t-il l'équivalence ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La définition est \(\Omega M=R\) . Utilise la formule de distance dans un repère orthonormé.
Indice 2 · Un pas de plus Les deux membres \(\Omega M\) et \(R\) sont positifs ou nuls. Sur cet ensemble, deux nombres ayant le même carré sont égaux.
Voir la preuve expliquée La définition donne \(M\in\mathcal C\iff\Omega M=R\) . Comme les deux membres sont positifs ou nuls, cela équivaut à \(\Omega M^2=R^2\) . La formule de distance donne \(\Omega M^2=(x-a)^2+(y-b)^2\) . En remontant ces étapes, tout point qui vérifie l'équation est bien sur le cercle : on a démontré les deux sens. Pour un second membre nul, l'ensemble se réduit au centre ; pour un second membre négatif, il n'existe aucun point.
Agrandir ↗ Propriété · Forme développée
En développant, l'équation devient \(x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-R^2)=0\) : une équation du type
\[x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0.\]
Réciproquement, une telle équation est (parfois) celle d'un cercle : on retrouve le centre et le rayon en complétant les carrés .
Méthode · Reconnaître un cercle : compléter les carrés
On regroupe les \(x\) et les \(y\) et on complète chaque carré (comme la forme canonique du second degré) :
\[\begin{aligned}x^2+\alpha x &=\left(x+\tfrac{\alpha}{2}\right)^2-\tfrac{\alpha^2}{4},\\[.35em]y^2+\beta y &=\left(y+\tfrac{\beta}{2}\right)^2-\tfrac{\beta^2}{4}.\end{aligned}\]
Si, après regroupement, le membre de droite est strictement positif , c'est un cercle (sinon : un point, ou l'ensemble vide).
Exemple · Compléter les carrés sans perdre les constantes
Pour reconnaître \(x^2+y^2-6x+4y-3=0\) , on écrit séparément
\[x^2-6x=(x-3)^2-9,\qquad y^2+4y=(y+2)^2-4.\]
On remplace dans l'équation :
\[\begin{aligned}(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3&=0,\\[.35em](x-3)^2+(y+2)^2&=16.\end{aligned}\]
On lit le centre \((3;-2)\) , car \(y+2=y-(-2)\) , puis le rayon \(\sqrt{16}=4\) . Le second membre est le carré du rayon, pas le rayon.
À toi d’essayer
Cercle, point ou aucun point Détermine l'ensemble décrit par \(x^2+y^2-4x+2y+c=0\) pour \(c=1\) , \(c=5\) et \(c=6\) . Le centre formel est le même ; pourquoi les ensembles diffèrent-ils ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Complète les carrés : \(x^2-4x=(x-2)^2-4\) et \(y^2+2y=(y+1)^2-1\) .
Indice 2 · Un pas de plus L'équation devient \((x-2)^2+(y+1)^2=5-c\) . Examine le signe du second membre.
Voir l’explication Pour \(c=1\) , le second membre vaut \(4\) : cercle de centre \((2;-1)\) et de rayon \(2\) . Pour \(c=5\) , il vaut \(0\) : les deux carrés sont nuls, donc seul le point \((2;-1)\) convient. Pour \(c=6\) , il vaut \(-1\) : une somme de carrés ne peut être négative, donc l'ensemble est vide. Réessaie : prends \(c=-4\) et vérifie le rayon sur un point situé horizontalement à droite du centre. Exercices 4 et 5.
Propriété · Cercle de diamètre \([AB]\) (lien avec la fiche 7)
Le cercle de diamètre \([AB]\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\) . En coordonnées, avec \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) :
\[(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0.\]
À toi d’essayer
Deux descriptions d'un même cercle Pour \(A=(-1;1)\) et \(B=(3;1)\) , écris le cercle de diamètre \([AB]\) avec son centre et son rayon, puis avec \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\) . Vérifie que les équations obtenues décrivent le même ensemble.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le centre est le milieu de \([AB]\) ; le rayon est la moitié de \(AB\) .
Indice 2 · Un pas de plus Le produit scalaire donne \((x+1)(x-3)+(y-1)^2=0\) . Complète le carré en \(x\) .
Voir l’explication Le centre vaut \((1;1)\) et le rayon \(2\) , donc \((x-1)^2+(y-1)^2=4\) . Avec le produit scalaire,
\[\begin{aligned}(x+1)(x-3)+(y-1)^2&=0,\\[.35em]x^2-2x-3+(y-1)^2&=0,\\[.35em](x-1)^2+(y-1)^2&=4.\end{aligned}\]
Les équations coïncident après transformation. Les extrémités du diamètre sont incluses, même si l'angle \(AMB\) n'y est pas défini. Réessaie : prends un diamètre vertical, \(A=(2;-1)\) et \(B=(2;5)\) . Exercice 10.
Intersection d'un cercle et d'une droite
Méthode · Trouver les points d'intersection
Pour intersecter un cercle et une droite : on remplace (par substitution) l'expression de la droite dans l'équation du cercle, ce qui donne une équation du second degré . Le nombre de solutions (donc de points d'intersection) est donné par le discriminant :
\(\Delta>0\) : la droite est sécante (deux points) ;
\(\Delta=0\) : la droite est tangente (un point) ;
\(\Delta<0\) : pas d'intersection.
Exemple · Intersection avec une droite parallèle à un axe
Cercle \(x^2+y^2=25\) (centre \(O\) , rayon \(5\) ) et droite \(x=3\) . On remplace : \(9+y^2=25\) , donc \(y^2=16\) , soit \(y=\pm 4\) . Deux points : \((3\,;4)\) et \((3\,;-4)\) .
À toi d’essayer
Une droite peut rencontrer le cercle zéro, une ou deux fois Pour le cercle \(x^2+y^2=4\) , cherche les intersections avec \(x=1\) , \(x=2\) et \(x=3\) . Vérifie que le dessin et le signe du carré demandé racontent la même chose.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Remplace \(x\) dans l'équation du cercle. Il reste une équation en \(y^2\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les trois équations sont \(y^2=3\) , \(y^2=0\) et \(y^2=-5\) .
Voir l’explication Pour \(x=1\) , deux points conviennent : \((1;\sqrt3)\) et \((1;-\sqrt3)\) . Pour \(x=2\) , un seul convient : \((2;0)\) ; la droite est tangente. Pour \(x=3\) , aucun carré réel ne vaut \(-5\) , donc aucune intersection. Réessaie : remplace les verticales par les horizontales \(y=-1\) , \(y=-2\) et \(y=-3\) . Exercice 9.
Agrandir ↗ La parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Théorème · Parabole, axe et sommet
La courbe représentative de \(f(x)=ax^2+bx+c\) (avec \(a\neq 0\) ) est une parabole . Elle admet :
un axe de symétrie vertical d'équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\) ;
un sommet \(S\left(-\dfrac{b}{2a}\,;\,f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\) ; la parabole est tournée vers le haut si \(a>0\) et vers le bas si \(a<0\) .
(On retrouve la forme canonique de la fiche 2.)
Agrandir ↗ Exemple · Axe et sommet
Pour \(y=2x^2-8x+5\) : axe
\[\begin{aligned}x &= -\dfrac{-8}{2\times 2}\\[.35em]&= 2\end{aligned}\]
sommet \(S\big(2\,;f(2)\big)\) avec
\[\begin{aligned}f(2) &= 8-16+5\\[.35em]&= -3,\end{aligned}\]
donc \(S(2\,;-3)\) .
À toi d’essayer
Lire une intersection sur la forme canonique Pour \(y=(x-1)^2-4\) , donne l'axe et le sommet, puis les intersections avec \(y=0\) et avec \(y=-5\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le carré est minimal à \(x=1\) ; sa valeur minimale est \(0\) . Pour intersecter une horizontale, remplace \(y\) par sa valeur.
Indice 2 · Un pas de plus Avec \(y=0\) , le carré doit valoir \(4\) ; avec \(y=-5\) , il devrait valoir \(-1\) .
Voir l’explication L'axe est \(x=1\) et le sommet \((1;-4)\) . Pour \(y=0\) , \((x-1)^2=4\) , donc \(x-1=2\) ou \(x-1=-2\) , soit les points \((3;0)\) et \((-1;0)\) . Pour \(y=-5\) , aucune solution : la parabole ne descend pas sous \(-4\) . Réessaie : calcule les intersections avec \(y=-3\) et vérifie la symétrie des abscisses autour de \(1\) . Exercice 11.
Pour aller plus loin : la parabole comme lieu
Intuition · Approfondissement guidé
On peut définir une parabole géométriquement : l'ensemble des points \(M\) à égale distance d'un point fixe \(F\) (le foyer ) et d'une droite fixe (la directrice ). Par exemple, l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) équidistants du point \(F\big(0\,;\tfrac14\big)\) et de la droite horizontale \(y=-\tfrac14\) vérifie, en égalant les carrés des distances, \(x^2+\big(y-\tfrac14\big)^2=\big(y+\tfrac14\big)^2\) , ce qui se simplifie en \(y=x^2\) : on retrouve une parabole.
Une preuve à construire
Une parabole construite à partir de distances Approfondissement. Cherche l'ensemble des points \(M=(x;y)\) équidistants de \(F=(0;2)\) et de l'axe des abscisses. Montre que cet ensemble est la parabole \(y=x^2/4+1\) . Vérifie ensuite la réciproque.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La distance à l'axe est \(|y|\) , pas \(y\) pour un point quelconque. La distance à \(F\) vaut \(\sqrt{x^2+(y-2)^2}\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les distances sont positives ou nulles : tu peux égaler leurs carrés. Développe \((y-2)^2\) .
Voir la preuve expliquée La condition est équivalente à
\[\begin{aligned}x^2+(y-2)^2&=y^2,\\[.35em]x^2+y^2-4y+4&=y^2,\\[.35em]4y&=x^2+4,\\[.35em]y&=\frac{x^2}{4}+1.\end{aligned}\]
Toutes les transformations sont réversibles. Pour un point de cette courbe, les carrés des distances sont égaux ; leurs valeurs positives ou nulles sont donc égales. On a bien tout le lieu, pas seulement une inclusion. On remarque aussi \(y\geqslant1\) : la recherche n'a produit aucun point sous l'axe. Le sommet \((0;1)\) est à distance \(1\) de l'axe et du foyer.
Exercices Agrandir ↗ Exercice 1 ★☆☆ : Normal et directeur
Pour chaque droite, donner un vecteur normal et un vecteur directeur.
\(3x-2y+5=0\) \(x+4y-1=0\) \(y=2x+3\) (mettre sous forme \(ax+by+c=0\) )
\(x=7\) Exercice 2 ★☆☆ : Équation par point et normal
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec n\) .
\(A(1\,;-2)\) , \(\vec n\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) .
\(A(-3\,;0)\) , \(\vec n\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}\) .
Exercice 3 ★☆☆ : Parallèle et perpendiculaire
Soit \(d:\ 2x+3y-1=0\) .
Déterminer la parallèle à \(d\) passant par \(A(1\,;1)\) .
Déterminer la perpendiculaire à \(d\) passant par l'origine.
Exercice 4 ★☆☆ : Équation de cercle
Déterminer l'équation du cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\) .
\(\Omega(-1\,;3)\) , \(R=\sqrt5\) .
\(\Omega(0\,;2)\) , \(R=4\) .
Exercice 5 ★☆☆ : Reconnaître un cercle
Pour chaque équation, dire si c'est un cercle et, si oui, donner centre et rayon.
\[x^2+y^2+2x-6y+6=0.\]
\[x^2+y^2-4x+2y+9=0.\]
Exercice 6 ★★☆ : Projeté orthogonal
Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(A(5\,;2)\) sur la droite \(d:\ x-y-1=0\) .
Exercice 7 ★★☆ : Distance
Calculer la distance de \(A(5\,;2)\) à la droite \(d:\ x-y-1=0\) . Comparer avec \(AH\) de l'exercice précédent.
Exercice 8 ★★☆ : Position droite / cercle
Soit le cercle \(\mathcal C:\ x^2+y^2=9\) et la droite \(d:\ y=x+5\) .
Donner le centre et le rayon de \(\mathcal C\) .
En comparant la distance du centre à \(d\) au rayon, préciser la position de \(d\) par rapport à \(\mathcal C\) .
Exercice 9 ★★☆ : Intersection droite / cercle
Déterminer les points d'intersection du cercle \(x^2+y^2=5\) et de la droite \(y=2x\) .
Exercice 10 ★★☆ : Cercle de diamètre
On donne \(A(1\,;2)\) et \(B(5\,;6)\) .
Déterminer le centre et le rayon du cercle de diamètre \([AB]\) .
Donner son équation.
Exercice 11 ★★☆ : Parabole
Soit la parabole \(\mathcal P:\ y=-x^2+4x-1\) .
Déterminer l'axe de symétrie et le sommet.
Déterminer les points d'intersection de \(\mathcal P\) avec la droite \(y=2\) .
Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours
Démontrer que \(\vec n(a,b)\) est un vecteur normal à la droite \(ax+by+c=0\) .
Démontrer que l'équation du cercle de centre \(\Omega(a,b)\) et de rayon \(R\) est \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) .
Exercice 13 ★★★ : Hauteur d'un triangle
On donne \(A(0\,;0)\) , \(B(4\,;2)\) , \(C(1\,;3)\) .
Déterminer une équation de la droite \((BC)\) .
Déterminer une équation de la hauteur issue de \(A\) (perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(A\) ).
Déterminer le pied \(H\) de cette hauteur (projeté de \(A\) sur \((BC)\) ).
On donne \(A(0\,;0)\) et \(B(4\,;2)\) . Déterminer une équation de la médiatrice de \([AB]\) (droite passant par le milieu et de vecteur normal \(\vec{AB}\) ).
Exercice 15 ★★★ : Cercle passant par trois points
Déterminer l'équation du cercle passant par \(A(0\,;0)\) , \(B(4\,;0)\) et \(C(0\,;2)\) . (On cherchera une équation \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) .) En déduire son centre et son rayon.
Exercice 16 ★★★ : Un lieu géométrique
Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) équidistants du point \(F(0\,;1)\) et de la droite \(y=-1\) . Reconnaître cet ensemble.
Corrigés détaillés Intuition · Comment lire un corrigé
Chaque corrigé rappelle la méthode et détaille tous les calculs. Réflexes : normal \(=(a,b)\) , directeur \(=(-b,a)\) ; pour un cercle, compléter les carrés.
Corrigé 1
Démonstration
On lit \(\vec n(a,b)\) et \(\vec u(-b,a)\) .
a)
\[3x-2y+5=0\]
\(\vec n(3,-2)\) , \(\vec u(2,3)\) . b)
\[x+4y-1=0\]
\(\vec n(1,4)\) , \(\vec u(-4,1)\) .
c)
\[y=2x+3\Leftrightarrow 2x-y+3=0\]
\(\vec n(2,-1)\) , \(\vec u(1,2)\) . d)
\[x=7\Leftrightarrow x-7=0\]
\(\vec n(1,0)\) , \(\vec u(0,1)\) .
Corrigé 2
Démonstration
1.
\[4(x-1)+1(y+2)=0\Rightarrow 4x-4+y+2=0\Rightarrow 4x+y-2=0.\]
2.
\[2(x+3)-5(y-0)=0\Rightarrow 2x+6-5y=0\Rightarrow 2x-5y+6=0.\]
Corrigé 3
Démonstration
1. Parallèle : même \((a,b)\) , donc \(2x+3y+c'=0\) . Elle passe par \(A(1\,;1)\) : \(2+3+c'=0\Rightarrow c'=-5\) . Équation : \(2x+3y-5=0\) .
2. Perpendiculaire : vecteur normal \(=\) directeur de \(d\) , soit \((-3,2)\) . Équation \(-3x+2y+c''=0\) passant par l'origine : \(c''=0\) , soit \(3x-2y=0\) .
Corrigé 4
Démonstration
1.
\[(x+1)^2+(y-3)^2=5.\]
2.
\[x^2+(y-2)^2=16.\]
Corrigé 5
Démonstration
1. \((x+1)^2-1+(y-3)^2-9+6=0\Rightarrow(x+1)^2+(y-3)^2=4\) . Cercle de centre \((-1\,;3)\) , rayon \(2\) .
2. \((x-2)^2-4+(y+1)^2-1+9=0\Rightarrow(x-2)^2+(y+1)^2=-4\) . Le rayon\(^2\) serait négatif : ce n'est pas un cercle (ensemble vide).
Corrigé 6
Démonstration
\(d:\ x-y-1=0\) a pour vecteur directeur \((1,1)\) et normal \((1,-1)\) . La perpendiculaire \(d'\) à \(d\) passant par \(A(5\,;2)\) a pour directeur \((1,-1)\) : \(\begin{cases}x=5+t\\ y=2-t\end{cases}\) . On reporte dans \(d\) :
\[(5+t)-(2-t)-1=0\Rightarrow 2+2t=0\Rightarrow t=-1.\]
Donc \(H(5-1\,;2+1)=(4\,;3)\) (vérif : \(4-3-1=0\) ✓).
Corrigé 7
Démonstration
\[\begin{aligned}d(A,d) &= \dfrac{|5-2-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\[.35em]&= \dfrac{2}{\sqrt2}\\[.35em]&= \sqrt2\\[.35em]&\approx 1{,}41.\end{aligned}\]
Et
\[\begin{aligned}AH &= \sqrt{(5-4)^2+(2-3)^2}\\[.35em]&= \sqrt{2}\end{aligned}\]
c'est bien la même valeur (la distance est la longueur du segment au projeté).
Corrigé 8
Démonstration
1. \(\mathcal C:\ x^2+y^2=9\) : centre \(O(0\,;0)\) , rayon \(R=3\) .
2. \(d:\ y=x+5\Leftrightarrow x-y+5=0\) . Distance : \(\dfrac{|0-0+5|}{\sqrt2}=\dfrac{5}{\sqrt2}\approx 3{,}54>3=R\) . La droite est extérieure au cercle : pas d'intersection.
Corrigé 9
Démonstration
On remplace \(y=2x\) dans \(x^2+y^2=5\) : \(x^2+4x^2=5\Rightarrow 5x^2=5\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\) . Pour \(x=1\) , \(y=2\) ; pour \(x=-1\) , \(y=-2\) . Points d'intersection : \((1\,;2)\) et \((-1\,;-2)\) .
Corrigé 10
Démonstration
1. Le centre est le milieu \(I\) de \([AB]\) :
\[\begin{aligned}I&=\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{2+6}{2}\right)\\[.35em]&=(3\,;4).\end{aligned}\]
Le rayon vaut
\[\begin{aligned}R&=\dfrac{AB}{2}\\[.35em]&=\frac12\sqrt{(5-1)^2+(6-2)^2}\\[.35em]&=\frac12\sqrt{32}\\[.35em]&=2\sqrt{2}.\end{aligned}\]
2. Équation : \((x-3)^2+(y-4)^2=8\) .
Corrigé 11
Démonstration
1. Axe :
\[\begin{aligned}x &= -\dfrac{4}{2\times(-1)}\\[.35em]&= 2.\end{aligned}\]
Sommet :
\[\begin{aligned}f(2) &= -4+8-1\\[.35em]&= 3,\end{aligned}\]
soit \(S(2\,;3)\) .
2. \(-x^2+4x-1=2\Rightarrow -x^2+4x-3=0\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow(x-1)(x-3)=0\) , soit \(x=1\) ou \(x=3\) . Points : \((1\,;2)\) et \((3\,;2)\) .
Corrigé 12
Démonstration
1. Soient \(M_1,M_2\) deux points de la droite : \(ax_1+by_1+c=0\) et \(ax_2+by_2+c=0\) . Par soustraction, \(a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0\) , c'est-à-dire \(\vec n\cdot\vec{M_1M_2}=0\) . Comme \(\vec{M_1M_2}\) dirige la droite, \(\vec n(a,b)\) lui est orthogonal : c'est un vecteur normal.
2. \(M(x\,;y)\) est sur le cercle si et seulement si \(\Omega M=R\) , si et seulement si \(\Omega M^2=R^2\) (quantités positives), si et seulement si \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) .
Corrigé 13
Démonstration
Avec \(A(1\,;3)\) , \(B(0\,;0)\) , \(C(6\,;3)\) .
1. \(\vec{BC}\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\) dirige \((BC)\) , donc \(\vec n(3,-6)\) , ou plus simplement \(\vec n(1,-2)\) , est normal. Équation de \((BC)\) passant par \(B(0\,;0)\) : \(1(x-0)-2(y-0)=0\) , soit \(x-2y=0\) .
2. La hauteur issue de \(A\) est perpendiculaire à \((BC)\) : son vecteur normal est le directeur de \((BC)\) , soit \((2,1)\) . Équation passant par \(A(1\,;3)\) : \(2(x-1)+1(y-3)=0\Rightarrow 2x+y-5=0\) .
3. \(H\) est l'intersection : \(\begin{cases}x-2y=0\\ 2x+y-5=0\end{cases}\) . De la première, \(x=2y\) ; on reporte : \(2(2y)+y-5=0\Rightarrow 5y=5\Rightarrow y=1\) , \(x=2\) . Donc \(H(2\,;1)\) .
Corrigé 14
Démonstration
Milieu de \([AB]\) : \(M(2\,;1)\) . Vecteur normal \(\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) . Médiatrice : \(4(x-2)+2(y-1)=0\Rightarrow 4x+2y-10=0\Rightarrow 2x+y-5=0\) .
Corrigé 15
Démonstration
On cherche \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) . Par \(A(0\,;0)\) : \(\gamma=0\) . Par \(B(4\,;0)\) : \(16+4\alpha=0\Rightarrow\alpha=-4\) . Par \(C(0\,;2)\) : \(4+2\beta=0\Rightarrow\beta=-2\) . Équation : \(x^2+y^2-4x-2y=0\) , soit \((x-2)^2+(y-1)^2=5\) : centre \((2\,;1)\) , rayon \(\sqrt5\) .
Corrigé 16
Démonstration
\(MF=\sqrt{x^2+(y-1)^2}\) et la distance de \(M\) à la droite \(y=-1\) vaut \(|y+1|\) . On égale les carrés :
\[\begin{aligned}x^2 +(y-1)^2 &= (y+1)^2\\[.35em]&\Rightarrow x^2 +y^2 -2y +1\\[.35em]&= y^2 +2y +1\\[.35em]&\Rightarrow x^2\\[.35em]&= 4y.\end{aligned}\]
L'ensemble est la parabole d'équation \(y=\dfrac{x^2}{4}\) .
Corrigé du problème : Un triangle inscrit dans un cercle
Démonstration · Partie A : le cercle
1. \(x^2-4x+y^2-2y-4=0\Rightarrow(x-2)^2-4+(y-1)^2-1-4=0\Rightarrow(x-2)^2+(y-1)^2=9\) . Centre \(\Omega(2\,;1)\) , rayon \(R=3\) .
2. \(A(-1\,;1)\) :
\[\begin{aligned}(-1-2)^2+(1-1)^2 &= 9+0\\[.35em]&= 9\end{aligned}\]
✓. \(B(2\,;4)\) : \(0+9=9\) ✓. \(C(5\,;1)\) : \(9+0=9\) ✓. Les trois points sont sur \(\mathcal C\) .
Démonstration · Partie B : diamètre et angle droit
3. Milieu de \([AC]\) :
\[\begin{aligned}\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\dfrac{1+1}{2}\right) &= (2\,;1)\\[.35em]&= \Omega.\end{aligned}\]
Et
\[\begin{aligned}AC &= \sqrt{(5+1)^2+0}\\[.35em]&= 6\\[.35em]&= 2R.\end{aligned}\]
Donc \([AC]\) est un diamètre de \(\mathcal C\) .
4. \(B\) est sur le cercle et \([AC]\) est un diamètre : \(B\) voit le diamètre sous un angle droit, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) . Vérification : \(\vec{BA}\begin{pmatrix}-3\\-3\end{pmatrix}\) , \(\vec{BC}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\) ,
\[\begin{aligned}\vec{BA}\cdot\vec{BC} &= -9+9\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]
✓.
Démonstration · Partie C : une tangente
5. \(\vec{\Omega C}\begin{pmatrix}5-2\\1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\) . La tangente en \(C\) est perpendiculaire à \(\vec{\Omega C}\) , donc admet \(\vec{\Omega C}(3,0)\) comme vecteur normal. Équation passant par \(C(5\,;1)\) : \(3(x-5)+0(y-1)=0\Rightarrow x=5\) . La tangente est la droite verticale \(x=5\) .
Démonstration · Partie D : une corde
6. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\) dirige \((AB)\) ; un normal est \((1,-1)\) . Équation par \(A(-1\,;1)\) : \(1(x+1)-1(y-1)=0\Rightarrow x-y+2=0\) .
7. Distance de \(\Omega(2\,;1)\) à \((AB)\) : \(\dfrac{|2-1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}\approx 2{,}12<3=R\) . Donc \((AB)\) coupe le cercle : c'est une corde .
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