Avant de commencer 5 questions pour vérifier tes bases Ton parcours dans cette fiche Intuition · Reconnaître, expliquer, puis réutiliser
Une même formule répond à plusieurs questions : peut-on calculer cette image ? Quel est son signe ? Une sortie augmente-t-elle lorsque l'entrée augmente ? Tu vas relier chaque réponse à une courbe et à un raisonnement. Les pauses courtes te permettent d'essayer immédiatement ; un résultat inattendu sert à repérer la prochaine étape utile.
Méthode · Les points de départ
Tu auras besoin de calculer avec des nombres relatifs et des fractions (fiches 01 à 03), de résoudre une équation simple (fiche 05), et de distinguer image et antécédent (fiche 06).
Calcule \((-3)^2\) , \(-3^2\) et \(1/(-2)\) : les parenthèses changent ce qui est élevé au carré.
Pour \(f(x)=x^2\) , « calculer \(f(4)\) » donne une sortie ; « chercher les antécédents de \(4\) » demande des entrées.
Repères pour te vérifier : \(9\) , \(-9\) , \(-1/2\) ; l'image de \(4\) est \(16\) , les antécédents de \(4\) sont \(-2\) et \(2\) sur \(\R\) . Si une étape est floue, repars de cet exemple avant d'enchaîner.
Méthode · Les capacités à travailler
Décrire le domaine et le signe ; comparer des images sur le bon intervalle ; expliquer la forme d'une courbe ; résoudre une équation ou une inéquation en gardant toutes les solutions autorisées. Les exercices 1 à 9 reprennent les familles séparément, puis les exercices 10 à 15 les mélangent. Les transformations finales sont un prolongement facultatif.
Pourquoi étudier les fonctions de référence ? Construire une bibliothèque mentale
Quand tu lis un mot courant, tu ne redécouvres pas chaque lettre : tu reconnais le mot. En mathématiques, les fonctions de référence jouent le même rôle. Reconnaître la forme de \(x^2\) , de \(|x|\) ou de \(1/x\) permet de prévoir un domaine, un signe, une symétrie et l'allure d'une courbe avant même de calculer.
Intuition · Des briques, pas des recettes
Une fonction de référence est une brique élémentaire. L'objectif n'est pas de réciter six dessins, mais de comprendre pourquoi ils ont cette forme. Une démonstration algébrique protège contre les erreurs lorsque la courbe est déplacée, étirée ou utilisée dans un problème.
Les questions toujours posées
Pour chaque fonction, nous répondrons dans le même ordre :
quelles entrées sont autorisées ?
quelles valeurs la fonction peut-elle produire ?
où est-elle positive, nulle ou négative ?
possède-t-elle une symétrie ?
comment varie-t-elle ?
comment résoudre \(f(x)=k\) ou \(f(x)\leq k\) ?
Attention · Un dessin aide, une preuve décide
Une courbe permet de conjecturer. Pour une réponse exacte, il faut revenir à la formule, respecter le domaine et justifier chaque équivalence. La lecture graphique et le calcul sont deux outils complémentaires.
La carte d'identité d'une fonction Domaine, signe et variations
Ces informations ne doivent pas être confondues. Par exemple, la fonction carré est positive ou nulle sur \(\R\) , mais elle n'est pas croissante sur tout \(\R\) .
À toi d’essayer
Positive ne veut pas dire croissante Pour \(q(x)=x^2\) , compare \(q(-3)\) et \(q(-1)\) . Ses valeurs sont-elles positives ? Que devient la sortie lorsque l'entrée passe de \(-3\) à \(-1\) ? Explique pourquoi ces deux questions sont différentes.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule les deux carrés avec leurs parenthèses. Le signe compare une sortie à zéro.
Indice 2 · Un pas de plus Les entrées vérifient \(-3<-1\) . Compare maintenant \(9\) à \(1\) , et non \(-3\) à \(0\) .
Voir l’explication On obtient \(q(-3)=9\) et \(q(-1)=1\) . Les deux sorties sont positives, mais la sortie diminue de \(9\) à \(1\) lorsque l'entrée augmente de \(-3\) à \(-1\) . Le signe décrit la position au-dessus de l'axe horizontal ; la variation décrit le mouvement de gauche à droite. Ce couple suffit à réfuter « croissante sur \(\R\) », mais deux points ne prouvent pas à eux seuls une décroissance sur tout un intervalle. Réessaie sans l'aide : compare \(q(-4)\) et \(q(-2)\) , puis \(q(2)\) et \(q(4)\) . Attendus : \(16>4\) , puis \(4<16\) ; le changement de comportement est lié au passage par zéro.
Fonction paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
Définition · Parité
Une fonction \(f\) définie sur un domaine symétrique par rapport à \(0\) est paire lorsque
\[f(-x)=f(x)\]
pour tout \(x\) de son domaine.
Démonstration · Pourquoi la courbe est-elle symétrique ?
Si \(M(x;f(x))\) appartient à \(\mathcal C_f\) , alors le point d'abscisse \(-x\) a pour ordonnée \(f(-x)=f(x)\) . Le point \(M'(-x;f(x))\) appartient donc aussi à la courbe. Les points \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction impaire : symétrie par rapport à l'origine
Définition · Imparité
Une fonction \(f\) définie sur un domaine symétrique par rapport à \(0\) est impaire lorsque
\[f(-x)=-f(x)\]
pour tout \(x\) de son domaine.
Démonstration · Pourquoi la courbe est-elle symétrique ?
Si \(M(x;f(x))\) appartient à \(\mathcal C_f\) , alors \(f(-x)=-f(x)\) . Le point \(M'(-x;-f(x))\) appartient aussi à la courbe. Or \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'origine.
Attention · Paire ou impaire n'est pas obligatoire
Une fonction peut être paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre. De plus, on ne cherche pas la parité si le domaine n'est pas symétrique par rapport à \(0\) . Par exemple, la fonction racine carrée est définie sur \([0;+\infty[\) : on ne la classe ni paire ni impaire.
La fonction affine
Définition · Fonction affine
Une fonction affine est définie sur \(\R\) par
\[f(x)=mx+p,\]
où \(m\) et \(p\) sont des nombres réels. Sa courbe est une droite :
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À toi d’essayer
Une pente se lit avec deux changements Une réserve contient \(V(t)=18-2{,}5t\) litres après \(t\) minutes, tant qu'elle n'est pas vide. Calcule \(V(2)\) et \(V(4)\) . Explique la variation de volume entre ces instants et détermine le domaine physique.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le coefficient \(-2{,}5\) signifie une perte de \(2{,}5\) L pendant chaque minute. Entre \(2\) et \(4\) , deux minutes passent.
Indice 2 · Un pas de plus Le modèle est utilisé pour \(t\geq0\) et \(18-2{,}5t\geq0\) . Résous cette dernière condition avec le signe du coefficient en tête.
Voir l’explication Les calculs donnent
\[\begin{aligned}V(2)&=18-2{,}5\times2\\[.35em]&=13,\\[.35em]V(4)&=18-2{,}5\times4\\[.35em]&=8.\end{aligned}\]
Entre les deux instants, la variation vaut \(8-13=-5\) L. C'est bien \(-2{,}5\times(4-2)\) ; le taux par minute est \(-5/2=-2{,}5\) . La quantité \(18\) est le volume initial, pas la pente. La réserve est vide lorsque \(2{,}5t=18\) , donc à \(t=7{,}2\) min. Le domaine du modèle est \([0;7{,}2]\) : prolonger la droite au-delà donnerait un volume négatif, sans sens ici. Réessaie : avec \(W(t)=12-3t\) , donne le domaine et la variation entre \(1\) et \(3\) min. Vérification : \([0;4]\) et \(-6\) L.
Une preuve à construire
Pourquoi la pente commande les variations Soient \(m,p\in\R\) et \(f(x)=mx+p\) . Pour deux réels quelconques \(a<b\) , calcule \(f(b)-f(a)\) et démontre les trois comportements selon le signe de \(m\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Écris d'abord \((mb+p)-(ma+p)\) : le signe moins porte sur toute la deuxième parenthèse.
Indice 2 · Un pas de plus Après simplification, factorise par \(m\) . Le facteur \(b-a\) est strictement positif puisque \(a<b\) .
Voir la preuve expliquée Pour tous \(a<b\) ,
\[\begin{aligned}f(b)-f(a)&=(mb+p)-(ma+p)\\[.35em]&=mb+p-ma-p\\[.35em]&=m(b-a).\end{aligned}\]
Comme \(b-a>0\) , cette différence a le signe de \(m\) . Si \(m>0\) , alors \(f(b)>f(a)\) : \(f\) est strictement croissante. Si \(m<0\) , l'ordre s'inverse : \(f\) est strictement décroissante. Si \(m=0\) , la différence est nulle pour tous \(a,b\) : la fonction est constante, égale à \(p\) . Le nombre \(p\) disparaît de la différence : il déplace la droite verticalement sans changer sa pente. À reconstruire : justifie de la même manière les variations de \(f(x)=-\tfrac12x+100\) , sans tracer la droite.
Signe
Supposons \(m\neq0\) . La fonction s'annule une seule fois :
\[\begin{aligned}&mx+p=0\\[.35em]&\ssi x=-\frac{p}{m}.\end{aligned}\]
Si \(m>0\) , elle est négative à gauche de cette racine et positive à droite. Si \(m<0\) , c'est l'inverse.
Méthode · Retrouver le signe sans réciter
Place d'abord la racine \(\alpha=-p/m\) . Puis regarde le sens de la droite : une droite montante traverse l'axe de bas en haut ; une droite descendante le traverse de haut en bas.
La fonction carré Définition, signe et symétrie
Définition · Fonction carré
La fonction carré est définie sur \(\R\) par
\[q(x)=x^2.\]
Sa courbe est une parabole de sommet \(O(0;0)\) .
Pour tout réel \(x\) , \(x^2\geq0\) , et \(x^2=0\ssi x=0\) . De plus,
\[\begin{aligned}q(-x) &= (-x)^2\\[.35em]&= x^2\\[.35em]&= q(x),\end{aligned}\]
donc \(q\) est paire.
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Théorème · Variations de la fonction carré
La fonction carré est strictement décroissante sur \(]-\infty;0]\) , puis strictement croissante sur \([0;+\infty[\) . Son minimum sur \(\R\) est \(0\) , atteint en \(x=0\) .
Une preuve à construire
Pourquoi le carré change de sens en zéro Démontre que \(q(x)=x^2\) décroît strictement sur \(]-\infty;0]\) et croît strictement sur \([0;+\infty[\) . Dans chaque cas, choisis deux nombres \(a<b\) dans l'intervalle indiqué.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Factorise \(q(b)-q(a)=b^2-a^2\) . L'ordre de comparaison doit rester le même dans les deux cas.
Indice 2 · Un pas de plus Le facteur \(b-a\) est positif. Le signe de \(b+a\) dépend de la demi-droite : positif si \(0\leq a<b\) , négatif si \(a<b\leq0\) .
Voir la preuve expliquée L'identité remarquable donne
\[q(b)-q(a)=(b-a)(b+a).\]
Si \(0\leq a<b\) , alors \(b-a>0\) et \(b+a>0\) : leur produit est positif, donc \(q(a)<q(b)\) . Si \(a<b\leq0\) , alors \(b-a>0\) mais \(b+a<0\) : le produit est négatif, donc \(q(a)>q(b)\) . Les inégalités sont strictes même lorsqu'une borne vaut zéro, car \(a\) et \(b\) sont distincts. Si \(a<0<b\) , le signe de \(a+b\) n'est plus fixé ; aucune des deux conclusions ne s'applique automatiquement. Réessaie : compare sans développer \((-3{,}1)^2\) et \((-3)^2\) , puis explique pourquoi \((-2)^2\) et \(2^2\) sont égaux.
Équations et inéquations
Pour \(k\in\R\) :
\[x^2=k
\begin{cases}
\text{n'a aucune solution} & \text{si }k<0,\\
\text{a pour unique solution }0 & \text{si }k=0,\\
\text{a pour solutions }-\sqrt{k}\text{ et }\sqrt{k} & \text{si }k>0.
\end{cases}\]
Pour \(a\geq0\) , la distance de \(x\) à \(0\) est \(|x|\) . On obtient :
\[\begin{aligned}&x^2\leq a^2\\[.35em]&\ssi |x|\leq a\\[.35em]&\ssi x\in[-a;a],\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}&x^2\geq a^2\\[.35em]&\ssi |x|\geq a\\[.35em]&\ssi x\in]-\infty;-a]\cup[a;+\infty[.\end{aligned}\]
Attention · Retrouver les deux signes après un carré
De \(x^2=9\) , on obtient \(x=-3\) ou \(x=3\) , pas seulement \(x=3\) . Le carré efface le signe ; il faut donc retrouver toutes les possibilités.
À toi d’essayer
Garder les deux côtés de la parabole Résous \(x^2=9\) , puis \(x^2\leq9\) , sur \(\R\) . Explique ce qui change si le domaine est \([0;+\infty[\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les entrées \(-3\) et \(3\) ont la même sortie. Sur la courbe, la droite \(y=9\) coupe les deux branches.
Indice 2 · Un pas de plus Pour l'inéquation, cherche toutes les distances à zéro qui ne dépassent pas \(3\) . Puis intersecte avec le domaine demandé.
Voir l’explication Sur \(\R\) , l'équation a pour ensemble de solutions \(\{-3;3\}\) . L'inéquation revient à \(|x|\leq3\) , donc \(S=[-3;3]\) : tous les points entre les deux intersections donnent une hauteur au plus \(9\) . Sur le domaine \([0;+\infty[\) , on ne garde que les entrées autorisées : \(\{3\}\) pour l'équation et \([0;3]\) pour l'inéquation. Écrire seulement \(x=3\) sur \(\R\) oublie une branche ; cette réponse devient correcte si le domaine exclut les nombres négatifs. Réessaie : résous \(x^2>4\) sur \(\R\) , puis sur \([-1;5]\) . Attendus : \(]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[\) , puis \(]2;5]\) . Les points \(\pm2\) sont exclus par le signe strict.
La fonction valeur absolue Distance à zéro
Définition · Valeur absolue
La valeur absolue de \(x\) est sa distance à \(0\) :
\[v(x)=|x|=
\begin{cases}
x & \text{si }x\geq0,\\
-x & \text{si }x<0.
\end{cases}\]
Elle est définie sur \(\R\) .
Ainsi \(|-4|=4\) , car la distance entre \(-4\) et \(0\) vaut \(4\) . Pour tout \(x\) , \(|x|\geq0\) , et \(|x|=0\ssi x=0\) . De plus, \(|-x|=|x|\) : la fonction valeur absolue est paire.
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À toi d’essayer
La valeur absolue décrit une zone Un réglage doit rester à moins de \(0{,}2\) unité de la cible \(3\) . Traduis cette contrainte par une valeur absolue puis un intervalle. Les réglages \(2{,}8\) et \(3{,}15\) sont-ils acceptés ? Et si l'on demande « au plus \(0{,}2\) » ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La distance entre le réglage \(x\) et la cible \(3\) est \(|x-3|\) . « Moins de » est strict.
Indice 2 · Un pas de plus Les deux bornes sont \(3-0{,}2\) et \(3+0{,}2\) . Vérifie séparément si les bornes sont admises.
Voir l’explication La contrainte stricte est \(|x-3|<0{,}2\) , soit \(2{,}8<x<3{,}2\) . Le réglage \(2{,}8\) est à distance exactement \(0{,}2\) : il est refusé dans ce premier cas. Le réglage \(3{,}15\) est à distance \(0{,}15\) : il est accepté. Avec « au plus », on obtient \(|x-3|\leq0{,}2\) , donc \([2{,}8;3{,}2]\) et les bornes sont incluses. Les crochets traduisent une décision concrète, pas seulement une notation. Réessaie : écris la zone à distance au plus \(1{,}5\) de \(-2\) . Vérification : \(|x+2|\leq1{,}5\) , donc \([-3{,}5;-0{,}5]\) . Tu peux retrouver visuellement cette zone dans le laboratoire des intervalles de la fiche 02.
Variations et résolutions
Sur \(]-\infty;0]\) , \(|x|=-x\) : c'est une fonction affine de coefficient \(-1\) , donc elle est décroissante. Sur \([0;+\infty[\) , \(|x|=x\) : elle est croissante. Son minimum est \(0\) .
Pour \(a\geq0\) :
\[\begin{aligned}&|x|=a\\[.35em]&\ssi x=-a\ \text{ou}\ x=a,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}|x| &\leq a\ssi x\in[-a;a],\\|x| &\geq a\\&\ssi x\\&\in ]-\infty;-a]\cup[a;+\infty[.\end{aligned}\]
Exemple · Une distance à un autre centre
\[|x-3|\leq2\]
signifie que la distance entre \(x\) et \(3\) est au plus \(2\) . Donc
\[x\in[3-2;3+2]=[1;5].\]
La fonction inverse Domaine, signe et symétrie
Définition · Fonction inverse
La fonction inverse est définie par
\[i(x)=\frac1x\]
sur \(\R\setminus\{0\}\) . Le nombre \(0\) est interdit car une division par zéro n'est pas définie.
Le numérateur \(1\) est positif : \(1/x\) a donc le signe de \(x\) . La fonction ne s'annule jamais. Enfin,
\[\begin{aligned}i(-x) &= \frac1{-x}\\[.35em]&= -\frac1x\\[.35em]&= -i(x),\end{aligned}\]
donc la fonction inverse est impaire.
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Théorème · Deux intervalles séparés
La fonction inverse est strictement décroissante sur \(]-\infty;0[\) et strictement décroissante sur \(]0;+\infty[\) .
Une preuve à construire
Une décroissance sur chaque branche Soient \(a<b\) deux nombres appartenant tous deux à \(]0;+\infty[\) , ou tous deux à \(]-\infty;0[\) . Démontre \(1/b<1/a\) . Explique précisément pourquoi l'hypothèse « dans la même branche » compte.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Mets \(1/b-1/a\) au même dénominateur. Aucun dénominateur ne vaut zéro.
Indice 2 · Un pas de plus Le numérateur \(a-b\) est négatif ; le produit \(ab\) est positif lorsque \(a,b\) ont le même signe.
Voir la preuve expliquée On calcule
\[\begin{aligned}\frac1b-\frac1a&=\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}\\[.35em]&=\frac{a-b}{ab}.\end{aligned}\]
Dans les deux cas autorisés, \(a-b<0\) et \(ab>0\) . Le quotient est négatif, donc \(1/b<1/a\) . La fonction inverse est ainsi strictement décroissante sur chacun des deux intervalles. Si \(a=-1\) et \(b=1\) , on a \(a<b\) mais \(1/a=-1<1=1/b\) ; la décroissance ne vaut donc pas sur tout le domaine réuni. Le trou en zéro sépare deux branches sur lesquelles le raisonnement s'applique séparément. Réessaie : compare \(1/(-5)\) et \(1/(-2)\) avec cette preuve, puis vérifie par les fractions \(-1/5\) et \(-1/2\) .
Attention · Décroissante sur chaque intervalle, pas sur tout le domaine
On ne traverse jamais \(0\) dans la preuve. Par exemple \(-1<1\) , mais \(i(-1)=-1<1=i(1)\) : cette comparaison ne correspond pas à une décroissance sur tout \(\R\setminus\{0\}\) .
Équations et inéquations
L'équation \(1/x=k\) n'a aucune solution si \(k=0\) . Si \(k\neq0\) , elle a l'unique solution \(x=1/k\) .
Méthode · Pour une inéquation, tout ramener d'un côté
On ne multiplie pas directement par \(x\) , car son signe est inconnu. On écrit un seul quotient, puis on utilise un tableau de signes. Par exemple,
\[\begin{aligned}&\frac1x\leq2\\[.35em]&\ssi \frac{1-2x}{x}\leq0.\end{aligned}\]
Les nombres critiques sont \(0\) (interdit) et \(1/2\) (zéro). Le tableau de signes donne
\[x\in]-\infty;0[\cup\left[\frac12;+\infty\right[.\]
À toi d’essayer
Ne pas multiplier une inégalité à l'aveugle Résous \(1/x\geq1\) sur son domaine. Une tentative donne « \(1\geq x\) , donc \(x\leq1\) ». Teste cette tentative avec \(x=-1\) , puis répare-la.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste L'entrée zéro est interdite. Pour \(x<0\) , le quotient \(1/x\) est négatif et ne peut pas être supérieur à \(1\) .
Indice 2 · Un pas de plus Sur \(x>0\) , tu peux multiplier par \(x\) sans inverser l'inégalité. Combine ensuite avec \(x>0\) .
Voir l’explication Pour \(x=-1\) , la tentative annonce une solution, alors que \(1/(-1)=-1<1\) : elle ne conserve pas les solutions. Sur \(x<0\) , il n'y en a aucune car la sortie est négative. Sur \(x>0\) , les étapes sont équivalentes :
\[\begin{aligned}\frac1x&\geq1\\[.35em]1&\geq x.\end{aligned}\]
En gardant la condition \(x>0\) , on obtient \(S=]0;1]\) . La multiplication initiale aurait été valide après cette restriction, mais pas avant de connaître le signe de \(x\) . Réessaie : résous \(1/x\geq2\) . Vérification : \(S=]0;1/2]\) . Le signe positif de la sortie permet d'abord de choisir la bonne branche.
La fonction racine carrée Domaine et courbe
Définition · Fonction racine carrée
La fonction racine carrée est définie par
\[r(x)=\sqrt{x}\]
sur \([0;+\infty[\) . Par définition, \(\sqrt{x}\) est l'unique nombre positif ou nul dont le carré vaut \(x\) .
La racine carrée est toujours positive ou nulle et \(\sqrt{x}=0\ssi x=0\) .
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Théorème · La racine carrée est croissante
La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0;+\infty[\) .
Démonstration · Rationaliser la différence
Prenons \(0\leq a<b\) . Comme \(\sqrt a+\sqrt b>0\) ,
\[\begin{aligned}&\sqrt b -\sqrt a\\&= \frac{(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)}{\sqrt b+\sqrt a}\\&= \frac{b-a}{\sqrt b+\sqrt a}\\&> 0.\end{aligned}\]
Donc \(\sqrt a<\sqrt b\) .
Résoudre
L'équation \(\sqrt{x}=k\) impose d'abord \(k\geq0\) . Si \(k\geq0\) ,
\[\begin{aligned}&\sqrt{x}=k\\[.35em]&\ssi x=k^2.\end{aligned}\]
Pour \(k\geq0\) , la croissance de la fonction donne
\[\begin{aligned}&\sqrt{x}\leq k\\[.35em]&\ssi 0\leq x\leq k^2.\end{aligned}\]
Attention · Vérifier le signe avant d'élever au carré
L'équation \(\sqrt{x}=-2\) n'a aucune solution, même si \(x=4\) apparaît après une élévation au carré. Une racine carrée n'est jamais négative.
Lien avec la fonction carré
Sur \([0;+\infty[\) , les fonctions carré et racine carrée annulent leurs effets :
\[(\sqrt{x})^2=x
\qquad\text{et}\qquad
\sqrt{x^2}=x\quad\text{si }x\geq0.\]
Démonstration · Symétrie par rapport à \(y=x\)
Dans un repère orthonormé, la réflexion par rapport à \(y=x\) échange les deux coordonnées. Un point \((a;a^2)\) de la parabole avec \(a\geq0\) devient le point \((a^2;a)\) lorsqu'on échange ses coordonnées. Or \(a=\sqrt{a^2}\) : ce nouveau point appartient à la courbe de la racine carrée. Échanger les coordonnées réalise une symétrie par rapport à la droite \(y=x\) .
À toi d’essayer
Le carré peut créer un faux candidat Résous \(\sqrt{x+2}=-2\) . Une méthode élève au carré et trouve \(x=2\) . Détermine le domaine, puis explique pourquoi ce candidat ne convient pas. Résous ensuite \(\sqrt{x+2}=2\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La racine carrée désigne toujours le nombre positif ou nul dont le carré vaut le radicand.
Indice 2 · Un pas de plus Élever au carré transforme \(2\) et \(-2\) en la même valeur. Cela peut effacer une information de signe.
Voir l’explication Le domaine est \([-2;+\infty[\) car \(x+2\geq0\) . Sur ce domaine, \(\sqrt{x+2}\geq0\) , donc elle ne peut pas valoir \(-2\) : la première équation n'a aucune solution. Le calcul au carré produit bien \(x+2=4\) , puis \(x=2\) , mais la vérification donne \(\sqrt4=2\) , différent de \(-2\) . Pour la seconde équation, les deux membres sont positifs ou nuls ; l'élévation au carré est alors réversible, et \(x=2\) est bien l'unique solution. Réessaie : compare les solutions de \(\sqrt{3x-1}=4\) et de \(\sqrt{3x-1}=-4\) . Attendus : \(\{17/3\}\) et \(\varnothing\) , avec le domaine \([1/3;+\infty[\) .
La fonction cube Définition, signe et symétrie
Définition · Fonction cube
La fonction cube est définie sur \(\R\) par
\[c(x)=x^3.\]
Le cube conserve le signe : \(x^3<0\) si \(x<0\) , \(x^3=0\) si \(x=0\) , et \(x^3>0\) si \(x>0\) . De plus,
\[\begin{aligned}c(-x) &= (-x)^3\\[.35em]&= -x^3\\[.35em]&= -c(x),\end{aligned}\]
donc la fonction cube est impaire.
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Théorème · La fonction cube est croissante
La fonction cube est strictement croissante sur \(\R\) .
Démonstration · Factoriser une différence de cubes
Prenons \(a<b\) . Alors
\[b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2).\]
Le premier facteur est positif. Le second vérifie
\[a^2+ab+b^2=\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34b^2\geq0.\]
Il ne peut être nul que si
\[\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= 0,\end{aligned}\]
ce qui contredit \(a<b\) . Il est donc strictement positif, et \(b^3>a^3\) .
Pour tout réel \(k\) , l'équation \(x^3=k\) possède une unique solution, notée \(\sqrt[3]{k}\) . La croissance donne aussi
\[\begin{aligned}&x^3\leq k\\[.35em]&\ssi x\leq\sqrt[3]{k}.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
Le cube conserve le signe, même à gauche de zéro Sans calculatrice, compare \((-2)^3\) et \((-1)^3\) , puis résous \(x^3\leq-8\) . Pourquoi la réponse ne ressemble-t-elle pas à celle de \(x^2\leq4\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La fonction cube est strictement croissante sur tout \(\R\) et \((-2)^3=-8\) .
Indice 2 · Un pas de plus Cherche les entrées situées à gauche de \(-2\) sur la courbe du cube. La fonction carré possède deux branches symétriques, le cube conserve le signe de l'entrée.
Voir l’explication On a \((-2)^3=-8\) et \((-1)^3=-1\) , donc \(-8<-1\) : l'ordre des entrées est conservé. Par croissance stricte,
\[\begin{aligned}&x^3\leq(-2)^3\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad x\leq-2.\end{aligned}\]
La solution est \(]-\infty;-2]\) . Pour le carré, les entrées opposées produisent la même sortie et l'inéquation \(x^2\leq4\) donne l'intervalle \([-2;2]\) . La forme de la courbe explique pourquoi il faut deux types de raisonnement. Réessaie : résous \(x^3>27\) et \(x^2>9\) . Attendus : \(]3;+\infty[\) , puis \(]-\infty;-3[\cup]3;+\infty[\) .
Le répertoire des courbes Une vue d'ensemble
Fonction Formule Domaine Symétrie Signe Affine \(mx+p\) \(\R\) cas particulier dépend de \(m,p\) Carré \(x^2\) \(\R\) paire positif ou nul Valeur absolue \(|x|\) \(\R\) paire positif ou nul Inverse \(1/x\) \(\R\setminus\{0\}\) impaire signe de \(x\) Racine carrée \(\sqrt{x}\) \([0;+\infty[\) aucune parité positif ou nul Cube \(x^3\) \(\R\) impaire signe de \(x\)
Comparer \(x^2\) , \(x\) et \(\sqrt{x}\) sur \(\R_+\)
Théorème · Position relative des trois courbes
Pour \(0\leq x\leq1\) ,
\[x^2\leq x\leq\sqrt{x}.\]
Pour \(x\geq1\) ,
\[\sqrt{x}\leq x\leq x^2.\]
Les trois courbes se rencontrent en \((0;0)\) et \((1;1)\) .
Une preuve à construire
Pourquoi les courbes se croisent à zéro et à un Pour \(x\geq0\) , démontre \(x^2\leq x\leq\sqrt{x}\) si \(0\leq x\leq1\) , puis \(\sqrt{x}\leq x\leq x^2\) si \(x\geq1\) . Identifie les égalités.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Compare d'abord \(x\) et \(x^2\) en factorisant \(x-x^2\) . Pour la racine, écris \(x=(\sqrt{x})^2\) .
Indice 2 · Un pas de plus Si \(0\leq x\leq1\) , alors \(0\leq\sqrt{x}\leq1\) par croissance de la racine. Les facteurs \(1-x\) et \(1-\sqrt{x}\) sont donc positifs ou nuls.
Voir la preuve expliquée Les différences utiles sont
\[\begin{aligned}x-x^2&=x(1-x),\\[.35em]\sqrt{x}-x&=\sqrt{x}(1-\sqrt{x}).\end{aligned}\]
Pour \(x\in[0;1]\) , tous les facteurs sont positifs ou nuls, donc \(x^2\leq x\) et \(x\leq\sqrt{x}\) . Pour \(x\geq1\) , les facteurs \(1-x\) et \(1-\sqrt{x}\) sont négatifs ou nuls, tandis que \(x\) et \(\sqrt{x}\) sont positifs ; les deux différences sont alors négatives ou nulles. On obtient l'ordre inverse. À \(x=0\) et \(x=1\) , les trois sorties sont égales. Dans les intervalles ouverts \(]0;1[\) et \(]1;+\infty[\) , les facteurs concernés ne s'annulent pas : les comparaisons sont strictes. À reconstruire : justifie sans valeurs décimales l'ordre entre \((2/3)^2\) , \(2/3\) et \(\sqrt{2/3}\) , puis entre \(\sqrt3\) , \(3\) et \(9\) .
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À toi d’essayer
Élever au carré ne rend pas toujours plus grand Range \(0{,}36\) , \(0{,}6\) et \(\sqrt{0{,}6}\) sans calculer la racine. Puis range \(2{,}25\) , \(1{,}5\) et \(\sqrt{1{,}5}\) . Explique le rôle du nombre \(1\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Reconnais \(0{,}36=(0{,}6)^2\) et \(2{,}25=(1{,}5)^2\) .
Indice 2 · Un pas de plus Le premier nombre de départ appartient à \(]0;1[\) ; le second dépasse \(1\) . Utilise les positions relatives démontrées.
Voir l’explication Puisque \(0<0{,}6<1\) , on a \(0{,}36<0{,}6<\sqrt{0{,}6}\) . Puisque \(1{,}5>1\) , on obtient \(\sqrt{1{,}5}<1{,}5<2{,}25\) . Multiplier un nombre positif par un facteur plus petit que \(1\) le diminue ; le multiplier par un facteur plus grand que \(1\) l'augmente. Le carré utilise le nombre lui-même comme facteur : c'est pourquoi \(1\) est la frontière. Réessaie : place dans l'ordre \(1/16\) , \(1/4\) et \(1/2\) , puis relie-les à la fonction carré et à la fonction racine.
Résoudre avec une fonction de référence Le protocole fiable
Méthode · Domaine, forme, résolution, contrôle
Écris le domaine avant de transformer l'égalité ou l'inégalité.
Isole la fonction de référence : carré, valeur absolue, inverse, racine ou cube.
Utilise sa propriété exacte.
Intersecte avec le domaine et vérifie les bornes.
Exemple · Isoler un carré
Résolvons \(2x^2-3=5\) :
\[\begin{aligned}&2x^2-3=5\\[.35em]&\ssi x^2=4\\[.35em]&\ssi x=-2\ \text{ou}\ x=2.\end{aligned}\]
Exemple · Isoler une valeur absolue
\[\begin{aligned}&3|x-1|+2\leq8\\[.35em]&\ssi |x-1|\leq2\\[.35em]&\ssi x\in[-1;3].\end{aligned}\]
Exemple · Une racine carrée
Résolvons \(\sqrt{2x-1}=3\) . Le domaine impose \(2x-1\geq0\) . Comme \(3\geq0\) ,
\[\begin{aligned}&\sqrt{2x-1}=3\\[.35em]&\ssi 2x-1=9\\[.35em]&\ssi x=5.\end{aligned}\]
La valeur \(5\) appartient au domaine et vérifie l'équation.
Comparer sans calculatrice
Pour comparer deux images, on utilise le domaine où l'on se trouve et le sens de variation. Par exemple, \(3<5\) et la fonction inverse est décroissante sur \(]0;+\infty[\) , donc
\[\frac13>\frac15.\]
De même, \(-4<-2\leq0\) et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty;0]\) , donc
\[(-4)^2>(-2)^2.\]
Fonctions de référence en Python Définir les fonctions
from math import sqrt
def carre(x):
return x**2
def inverse(x):
return 1/x
def racine(x):
return sqrt(x)Attention · Le programme doit aussi respecter le domaine
inverse(0) provoque une division par zéro et racine(-1) n'est pas un réel. Le code n'efface pas les restrictions mathématiques.
Construire une table de comparaison
from math import sqrt
for k in range(0, 9):
x = k/4
print(x, x**2, x, sqrt(x))Ce programme observe les positions relatives pour \(x=0,0{,}25,\ldots,2\) . Il fournit des exemples, mais la démonstration algébrique prouve le résultat pour une infinité de réels.
Pour aller plus loin - guidé et facultatif Cette section prolonge explicitement le programme officiel. Elle est accessible à tous : elle n'utilise que les fonctions de référence et les transformations déjà comprises dans la fiche précédente.
Partons d'une courbe \(y=f(x)\) et considérons
\[g(x)=a\,f(x-h)+k.\]
\(x-h\) déplace horizontalement la courbe de \(h\) unités ;
multiplier par \(a\) multiplie toutes les ordonnées par \(a\) ; si \(a<0\) , la courbe est aussi retournée ;
ajouter \(k\) déplace verticalement la courbe de \(k\) unités.
Démonstration · Suivre un point sans magie
Si \((u;f(u))\) appartient à \(\mathcal C_f\) , choisissons \(x=u+h\) . Alors \(x-h=u\) et
\[g(u+h)=a\,f(u)+k.\]
Le point correspondant de \(\mathcal C_g\) est donc \((u+h;a\,f(u)+k)\) .
Pour
\[g(x)=2(x-1)^2-3,\]
on part de \(x^2\) , on déplace la courbe d'une unité vers la droite, on double les ordonnées puis on descend de \(3\) . Le sommet devient \(S(1;-3)\) et l'axe de symétrie est \(x=1\) .
Agrandir ↗ Intuition · L'approfondissement appartient à tout le monde
Une transformation compliquée devient une suite de gestes simples. Tu peux toujours repartir d'un point connu de la courbe de référence et suivre ses coordonnées étape par étape.
Boîte à outils et erreurs à éviter Méthode · Carré
\(x^2=k\) : regarde d'abord le signe de \(k\) , puis pense aux deux signes lorsque \(k>0\) .
Méthode · Inverse
Écris un seul quotient et construis son signe. Ne multiplie jamais par une inconnue de signe inconnu.
Attention · Carré d'une racine
Pour \(x\geq0\) , \((\sqrt{x})^2=x\) . Mais pour tout réel \(x\) ,
\[\sqrt{x^2}=|x|,\]
et non toujours \(x\) .
Attention · Comparer les entrées
Le sens de variation n'est utilisable que sur un même intervalle de monotonie.
Exercices Pour chaque exercice, commence par identifier le domaine et la fonction de référence. Les étoiles indiquent une progression : elles ne ferment la porte à personne.
Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître la famille
Pour chaque fonction, donne son domaine, son nom de référence et une propriété essentielle :
\[\begin{aligned}a(x) &=x^2,\\b(x) &=\frac1x,\\c(x) &=|x|,\\d(x) &=\sqrt{x},\\e(x) &=x^3,\\f(x) &=-2x+5.\end{aligned}\]
Exercice 2 ★☆☆ : Calculer des images
Calcule exactement :
\[q(-3),\ q\left(\frac12\right),\quad v(-7),\quad i(-4),\quad r(49),\quad c(-2).\]
On utilise respectivement \(q(x)=x^2\) , \(v(x)=|x|\) , \(i(x)=1/x\) , \(r(x)=\sqrt{x}\) et \(c(x)=x^3\) .
Exercice 3 ★☆☆ : Une fonction affine
Soit \(f(x)=-3x+6\) .
Donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Calcule \(f(-1)\) et \(f(4)\) .
Détermine la racine de \(f\) .
Donne son sens de variation et son signe.
Exercice 4 ★☆☆ : Carrés et distances
Résous \(x^2=25\) , puis \(x^2=-4\) .
Résous \(x^2\leq16\) .
Résous \(x^2>9\) .
Explique graphiquement le nombre de solutions de \(x^2=k\) selon \(k\) .
Exercice 5 ★☆☆ : Valeur absolue
Résous \(|x|=6\) .
Résous \(|x-2|\leq3\) .
Résous \(|2x+1|>5\) .
Traduis \(|x+4|\leq1{,}5\) par une phrase de distance.
Exercice 6 ★★☆ : La fonction inverse
Compare sans décimales \(1/3\) et \(1/5\) , puis \(-1/4\) et \(-1/7\) .
Résous \(1/x=-2\) .
Résous \(1/x\geq1\) à l'aide d'un tableau de signes.
Pourquoi l'équation \(1/x=0\) n'a-t-elle aucune solution ?
Exercice 7 ★★☆ : La racine carrée
Donne le domaine de \(x\mapsto\sqrt{3x-6}\) .
Résous \(\sqrt{x+5}=4\) .
Résous \(\sqrt{2x-1}\leq3\) .
Explique pourquoi \(\sqrt{x^2}=|x|\) .
Exercice 8 ★★☆ : La fonction cube
Compare \((-3)^3\) et \((-2)^3\) sans tout développer.
Résous \(x^3=-27\) .
Résous \(2x^3+1\leq17\) .
Montre que \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\) et donne son signe.
Exercice 9 ★★☆ : Comparer trois fonctions
Range dans l'ordre croissant \(0{,}4^2\) , \(0{,}4\) et \(\sqrt{0{,}4}\) sans calculatrice.
Range dans l'ordre croissant \(3^2\) , \(3\) et \(\sqrt3\) .
Résous sur \([0;+\infty[\) l'inéquation \(x^2\leq x\) .
Résous sur \([0;+\infty[\) l'inéquation \(\sqrt{x}\leq x\) .
Exercice 10 ★★☆ : Équations mélangées
Résous dans \(\R\) :
\[\begin{aligned}\text{a) }3x^2-12 &=0,\\\text{b) }2|x+1|-6 &=0,\\\text{c) }\frac{4}{x} &=5,\\\text{d) }\sqrt{5x-1} &=2.\end{aligned}\]
Exercice 11 ★★★ : Inéquations mélangées
Résous :
\[\begin{aligned}\text{a) }2x^2-8 &\leq0,\\\text{b) }|3x-2| &\geq4,\\\text{c) }\frac{1}{x} &<-\frac12,\\\text{d) }\sqrt{x+1} &>2.\end{aligned}\]
Exercice 12 ★★☆ : Distance de freinage
À la vitesse \(v\) en km/h, une estimation de la distance de freinage sur route sèche est
\[d(v)=\frac{v^2}{200},
\qquad v\in[0;130].\]
Calcule \(d(50)\) et \(d(90)\) .
À partir de quelle vitesse cette distance atteint-elle \(50\) m ?
Montre que doubler la vitesse multiplie la distance de freinage par \(4\) .
Explique pourquoi le domaine du modèle n'est pas \(\R\) .
Exercice 13 ★★☆ : Table de valeurs en Python
Complète le programme afin d'afficher \(x\) , \(x^2\) , \(\sqrt{x}\) et \(1/x\) pour \(x\in\{0{,}25;0{,}5;1;2;4\}\) .
from math import sqrt
valeurs = [0.25, 0.5, 1, 2, 4]
for x in valeurs:
print(...)Explique pourquoi cette expérience numérique ne remplace pas une démonstration.
On pose \(g(x)=-2(x+1)^2+4\) .
Décris les transformations qui font passer de \(y=x^2\) à \(\mathcal C_g\) .
Donne le sommet et l'axe de symétrie.
Résous \(g(x)=2\) .
Résous \(g(x)\geq0\) .
Exercice 15 ★★★ : Synthèse sans calculatrice
Soit
\[F(x)=|x-2|+\frac{4}{|x-2|+1}.\]
Justifie que \(F\) est définie sur \(\R\) et que \(F(2-t)=F(2+t)\) .
Calcule \(F(0)\) , \(F(1)\) , \(F(2)\) , \(F(3)\) et \(F(4)\) .
En posant \(u=|x-2|+1\) , montre que
\[F(x)-3=\frac{(u-2)^2}{u}.\]
Détermine les solutions de \(F(x)=3\) .
Problème : Le relais de secours ★★★ Intuition · Le défi
Une route de \(8\) km traverse une zone isolée. Il faut choisir l'emplacement d'un relais de secours. Le modèle combine une distance, représentée par une valeur absolue, et un coût de transmission, représenté par une fonction inverse. Le problème est difficile, mais chaque étape utilise une brique déjà démontrée.
On repère la route par l'intervalle \([0;8]\) . Son centre a pour abscisse \(4\) . Pour un relais placé à l'abscisse \(x\) , on pose
\[d(x)=|x-4|\]
et
\[C(x)=d(x)+1+\frac{9}{d(x)+1}.\]
Le nombre \(C(x)\) est un indice de coût : plus il est petit, meilleur est le compromis.
Partie A - Comprendre la distance
Donne le domaine physique de \(x\) et l'ensemble des valeurs possibles de \(d(x)\) .
Calcule \(d(0)\) , \(d(2)\) , \(d(4)\) , \(d(6)\) et \(d(8)\) .
Montre que, pour tout \(t\in[0;4]\) , \(d(4-t)=d(4+t)\) .
Déduis-en que \(C(4-t)=C(4+t)\) . Interprète cette égalité.
On pose
\[u=d(x)+1.\]
Montre que \(u\in[1;5]\) et que
\[C(x)=u+\frac9u.\]
Vérifie l'identité
\[u+\frac9u-6=\frac{(u-3)^2}{u}.\]
Pourquoi le membre de droite est-il toujours positif ou nul ?
Déduis la valeur minimale de \(C(x)\) et tous les emplacements où elle est atteinte.
Partie C - Une exigence de coût
Le service impose \(C(x)\leq6{,}5\) .
Montre que cette inéquation équivaut à
\[2u^2-13u+18\leq0.\]
Factorise \(2u^2-13u+18\) .
Résous l'inéquation en \(u\) , en tenant compte de \(u\in[1;5]\) .
Reviens à \(d(x)\) puis à \(x\) . Donne l'ensemble exact des emplacements acceptables.
Partie D - Comparer deux modèles
Un second bureau propose l'indice affine par morceaux
\[A(x)=6+\frac12|x-4|.\]
En fonction de \(u\) , montre que
\[C(x)-A(x)=\frac{(u-2)(u-9)}{2u}.\]
Détermine les emplacements où les deux modèles donnent le même indice.
Sur quelles parties de la route le modèle \(C\) est-il plus avantageux que le modèle \(A\) ?
Partie E - Vérification numérique
def cout(x):
d = abs(x - 4)
return d + 1 + 9/(d + 1)
meilleur_x = 0
meilleur_cout = cout(0)
for k in range(81):
x = k/10
if cout(x) < meilleur_cout:
meilleur_x = x
meilleur_cout = cout(x)
print(meilleur_x, meilleur_cout)Explique le rôle de chaque variable et ce que cherche la boucle.
Quel emplacement le programme affiche-t-il en premier ? Pourquoi ne montre-t-il pas, à lui seul, qu'il existe un second emplacement optimal ?
Explique pourquoi la preuve de la partie B est plus forte que le balayage numérique.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Corrigé 2
Démonstration · Respecter les parenthèses et les signes
\[\begin{aligned}q(-3) &= (-3)^2\\[.35em]&= 9\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}q\left(\frac12\right) &= \left(\frac12\right)^2\\[.35em]&= \frac14.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}v(-7) &= |-7|\\[.35em]&= 7\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}i(-4) &= \frac1{-4}\\[.35em]&= -\frac14.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}r(49) &= \sqrt{49}\\[.35em]&= 7\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}c(-2) &= (-2)^3\\[.35em]&= -8.\end{aligned}\]
Le carré efface le signe, tandis que le cube le conserve.
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Corrigé 6
Corrigé 7
Corrigé 8
Corrigé 9
Corrigé 10
Corrigé 11
Corrigé 12
Corrigé 13
Démonstration · Écrire les quatre sorties
from math import sqrt
valeurs = [0.25, 0.5, 1, 2, 4]
for x in valeurs:
print(x, x**2, sqrt(x), 1/x)Les cinq lignes suggèrent les positions relatives, mais elles ne testent qu'un nombre fini de valeurs. Une démonstration algébrique établit le résultat pour tous les réels d'un intervalle.
Corrigé 14
Corrigé 15
Corrigé du problème : Le relais de secours
Intuition · Ce que le problème nous a appris
Une valeur absolue transforme une position en distance, puis la substitution \(u=d+1\) simplifie toute l'étude. Une identité avec un carré prouve un minimum exact ; un tableau de signes résout un seuil et compare deux modèles. Les fonctions de référence ne sont pas des dessins isolés : elles coopèrent dans un raisonnement complet.
Carte mémoire de la fiche Méthode · Carré et valeur absolue
\(x^2\) et \(|x|\) sont paires, positives ou nulles. Pour \(a\geq0\) :
\[\begin{gathered}
x^2\leq a^2\ssi |x|\leq a,\\
|x|\leq a\ssi x\in[-a;a].
\end{gathered}\]
Méthode · Inverse
\(D=\R\setminus\{0\}\) . La fonction est impaire et décroissante sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) .
Méthode · Cube
\(D=\R\) . La fonction est impaire, conserve le signe et est strictement croissante.
Attention · Le contrôle universel
Domaine, intervalle de variation, signe des multiplicateurs et bornes incluses : quatre contrôles empêchent la majorité des erreurs.
Intuition · Comparer sur \(\R_+\)
\[0\leq x\leq1:\quad x^2\leq x\leq\sqrt{x},\]
\[x\geq1:\quad \sqrt{x}\leq x\leq x^2.\]
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Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.
Parcours de maîtrise
Entraînement libre
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