Ce petit quiz t’aide à partir avec les bons outils. Une base mal comprise peut rendre la suite plus difficile, même si tu travailles sérieusement.
Ce n’est pas une note : en cas d’erreur, tu sauras précisément quoi revoir avant d’avancer.
Tu peux revoir les explications ci-dessus, puis ouvrir le chapitre à ton rythme.
Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases
Pourquoi étudier l'exponentielle ?
Le problème fondamental
Quelle fonction vérifie \(f'=f\) ? Plus précisément : existe-t-il une fonction égale à sa propre dérivée ? Cette question apparaît notamment dans les modèles où le taux de variation est proportionnel à la quantité présente.
Une hypothèse de modèle : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. Pour une quantité positive \(N\), l'équation \(N'=kN\) signifie \(N'/N=k\) constant. Elle ne dit pas que l'on ajoute la même quantité chaque minute.
Exemples de modèles : une population supposée doubler toutes les vingt minutes, une décroissance radioactive moyenne, des intérêts composés à taux constant ou un écart de température soumis à une loi de refroidissement. Ces hypothèses ont un domaine de validité : une population réelle ne double pas indéfiniment dans un milieu limité.
Pour la population hypothétique, \(N(t)=N_0\,2^{t/20}\). La loi relie aussi les instants non entiers ; elle exprime un modèle continu, pas le comptage exact d'individus à chaque instant.
Garde k = 1, puis compare la hauteur du point et la pente de sa tangente. Change ensuite k : la même relation reste-t-elle vraie ?
Courbe bleue : f(x) = exp(kx). Droite corail : tangente au point A d’abscisse x. La fenêtre reste fixe pour comparer les réglages.
Pour k = 1 et x = 0, la hauteur et la pente valent toutes deux 1. Pour k = −1 au même point, la hauteur vaut encore 1 et la pente vaut −1. Pour k = 0, la fonction est constante égale à 1.
Lire les valeurs et les coordonnées
Pour k = 1 et x = 0, la hauteur et la pente valent toutes deux 1. Pour k = −1 au même point, la hauteur vaut encore 1 et la pente vaut −1. Pour k = 0, la fonction est constante égale à 1.
Pour k négatif, les valeurs de la fonction restent positives. Explique pourquoi la fonction peut pourtant être décroissante.
Démontrer que les solutions de \(y'=ay\) sont \(y=C\e^{ax}\).
Exercice 13 ★★★ : Suite et exponentielle
\[u_0=1,\]
\[u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\e^{-u_n}).\]
Montrer que \(u_n>0\) pour tout \(n\).
Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.
Exercice 14 ★★★ : Tangentes passant par l'origine
Déterminer toutes les tangentes à la courbe \(y=\e^x\) passant par l'origine.
Approfondissement : l'exponentielle par les séries
Pour \(x\in\R\), on définit \(S_0(x)=1\) et, pour \(n\geqslant1\),
\[S_n(x)=1+\sum_{k=1}^n\frac{x^k}{k!}.\]
On note aussi \(a_0(x)=1\) et \(a_k(x)=x^k/k!\) pour \(k\geqslant1\). Cela fixe le terme constant sans recourir à \(0^0\). Une série désigne ici la limite de ses sommes partielles, lorsqu'elle existe. Une convergence absolue signifie que \(\sum_{k=0}^n|a_k(x)|\) possède une limite finie.
Partie A : Convergence
Pour \(x\in\R\), pose \(N=\max(1,\lceil2|x|\rceil)\) et \(C=|x|^N/N!\). Prouve que, pour tout entier \(k\geqslant N\),
\[|a_k(x)|\leqslant C\,2^{-(k-N)}.\]
Indication : conserve les \(N\) premiers facteurs puis majore chacun des facteurs \(|x|/j\) pour \(j\geqslant N+1\). Traite \(x=0\) sans division par \(|x|\).
En déduire que la série \(\sum\frac{x^k}{k!}\) converge absolument pour tout \(x\in\R\).
Calculer \(E(0)\) et écrire la série définissant \(E(1)\), sans encore l'identifier à \(\e\).
Partie B : \(E\) vérifie \(E'=E\)
Pour \(n\geqslant1\), calculer \(S_n'(x)\) et montrer que \(S_n'(x)=S_{n-1}(x)\).
Théorème supplémentaire admis : sur tout segment, si des fonctions sont continûment dérivables, convergent en un point, et si leurs dérivées convergent uniformément, alors leur limite est dérivable et sa dérivée est la limite des dérivées. « Uniformément » signifie que le même rang convient à tous les points du segment. Reprendre la question 1 avec \(|x|\leqslant R\) pour vérifier cette hypothèse sur \([-R,R]\), puis en déduire \(E'=E\).
Vérifier que \(E(0)=1\). Conclure que \(E=\exp\).
Partie C : Relation fonctionnelle par les séries
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que
Compare la somme triangulaire précédente au produit fini \(S_n(a)S_n(b)\). Pour les termes supplémentaires, \(i+j>n\) implique \(i>\lfloor n/2\rfloor\) ou \(j>\lfloor n/2\rfloor\). Utilise la convergence absolue pour montrer que leur somme tend vers 0 et en déduire \(E(a+b)=E(a)E(b)\).
Partie D : Irrationalité de \(\e\)
Montrer que pour tout \(n\geqslant 1\) : \(0<\e-S_n(1)<\frac{1}{n!\cdot n}\).
Indication : majorer \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\) par une série géométrique.
Supposons \(\e=\frac{p}{q}\) avec \(p,q\in\N^*\). Montrer que \(q!\,\e-q!\,S_q(1)\) est un entier.
En déduire une contradiction en utilisant la question 9, et conclure que \(\e\) est irrationnel.
d)\(f(x)=k\). D'après le tableau, \(f\) atteint le maximum \(\frac{1}{\e}\).
Si \(k>\frac{1}{\e}\) : aucune solution (\(k\) au-dessus du max).
Si \(k=\frac{1}{\e}\) : exactement une solution (\(x=1\)).
Si \(0<k<\frac{1}{\e}\) : la droite \(y=k\) coupe la courbe une fois sur \(]-\infty,1[\) (croissante de \(-\infty\) à \(\frac{1}{\e}\)) et une fois sur \(]1,+\infty[\) (décroissante de \(\frac{1}{\e}\) à \(0\)). Total : exactement 2 solutions.
Si \(k=0\) : unique solution \(x=0\).
Si \(k<0\) : une solution unique sur \(]-\infty,0[\) par continuité et stricte croissance de \(f\) de \(-\infty\) vers 0 ; aucune sur \([0,+\infty[\) où \(f\geqslant0\).
Exercice 8
\[f(x)=(1-x)\e^x.\]
a)\(\lim_{x\to+\infty}(1-x)\e^x\). On écrit \(f(x)=\e^x-x\e^x\). Or \(\e^x\to+\infty\) et \(x\e^x\to+\infty\) : forme \(+\infty-\infty\). Factorisons :
Plus rigoureusement : pour \(x\geqslant 2\), \(1-x\leqslant -1\) donc \(f(x)\leqslant-\e^x\to-\infty\).
\(\lim_{x\to-\infty}(1-x)\e^x\). \((1-x)\to+\infty\), \(\e^x\to 0\). Forme \(+\infty\cdot 0\). Écrivons \(f(x)=\e^x-x\e^x\), et \(x\e^x\to 0\) (variante 2 des croissances comparées). Donc
Comme \(f''\) est positive sur \(]-\infty,-1[\) et négative sur \(]-1,+\infty[\), la convexité change en \(-1\). Il y a donc un point d'inflexion \((-1,2\e^{-1})\) ; l'annulation de \(f''\) seule n'aurait pas suffi.
a)\(f(x)=\e^x-x-1\). \(f'(x)=\e^x-1\). \(f'(x)=0\iff x=0\). \(f'<0\) sur \(]-\infty,0[\), \(f'>0\) sur \(]0,+\infty[\).
Minimum \(f(0)=0\). Donc \(f(x)\geqslant 0\) : \(\e^x\geqslant x+1\) pour tout \(x\).
b)
\[g(x)=\e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\]
pour \(x\geqslant 0\).
\[g'(x)=\e^x-1-x.\]
Par a), \(\e^x\geqslant x+1\), donc \(g'(x)=\e^x-1-x\geqslant(x+1)-1-x=0\) pour tout \(x\).
Ainsi \(g'\geqslant 0\) sur \([0,+\infty[\) : \(g\) est croissante. Comme \(g(0)=0\), on a \(g(x)\geqslant 0\) pour \(x\geqslant 0\).
D'où \(\e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}\) pour tout \(x\geqslant 0\).
c)\(x=1\) : \(\e\geqslant 1+1+\frac{1}{2}=2{,}5\). On sait aussi \(\e<3\).
On peut aller plus loin par le même raisonnement : en posant \(h(x)=\e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\), on montre \(h'(x)=g(x)\geqslant 0\), etc. Pour \(x=1\) : \(\e\geqslant 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\approx 2{,}667\).
Avec un terme de plus : \(\e\geqslant 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{65}{24}\approx 2{,}708\). Ceci converge vers \(\e\approx 2{,}718\).
Exercice 10
a)\(y'=-3y\), \(y(0)=5\). Solutions de \(y'=-3y\) : \(y(x)=C\e^{-3x}\).
Pour \(x=b\) : \(\e^{a+b}\cdot\e^{-b}=\e^a\), d'où \(\e^{a+b}=\e^a\cdot\e^b\).
b) De \(\e^x\geqslant x+1\), pour \(t\geqslant 0\) : \(\e^{t/2}\geqslant 1+\frac{t}{2}\geqslant\frac{t}{2}\), donc \(\e^t=(\e^{t/2})^2\geqslant\frac{t^2}{4}\).
Ainsi \(\frac{\e^x}{x}\geqslant\frac{x}{4}\) pour \(x>0\), et \(\frac{x}{4}\to+\infty\). D'où \(\frac{\e^x}{x}\to+\infty\).
c) Soit \(y\) solution de \(y'=ay\). Posons \(g(x)=y(x)\e^{-ax}\).
Posons \(\varphi(x)=\e^{-x}-x\). \(\varphi'(x)=-\e^{-x}-1<0\) : \(\varphi\) strictement décroissante. \(\varphi(0)=1>0\), \(\varphi(1)=\e^{-1}-1\approx -0{,}63<0\). Par le TVI : \(\varphi\) s'annule en un unique \(\alpha\in]0,1[\).
Pour \(x>\alpha\) : \(\varphi(x)<0\), donc \(\e^{-x}<x\).
Sur \([\alpha,1]\), on a \(x>0\), donc
\[f'(x)=\frac{1-\e^{-x}}2>0.\]
Ainsi \(f\) est strictement croissante sur tout cet intervalle. De plus \(f(\alpha)=\alpha\) et \(f(1)=(1+\e^{-1})/2<1\). Si \(\alpha<u_n\leqslant1\), on obtient \(\alpha=f(\alpha)<f(u_n)\leqslant f(1)<1\). L'initialisation \(u_0=1>\alpha\) et cette hérédité prouvent \(\alpha<u_n\leqslant1\) pour tout \(n\). Enfin \(\varphi(u_n)<0\), donc \(u_{n+1}-u_n<0\). La croissance de \(f\) dans un simple voisinage de \(\alpha\) n'aurait pas justifié tous les rangs.
c)\((u_n)\) décroissante et minorée par \(\alpha>0\), donc converge vers \(\ell\geqslant\alpha\). Par continuité de \(f\) :
Passage par \(O\) : \(0=\e^a(0-a+1)\). Comme \(\e^a\neq 0\) : \(-a+1=0\), soit \(a=1\).
Unique tangente :
\[\begin{aligned}y &= \e(x-1+1)\\[.35em]&= \e x
.\end{aligned}\]
Vérification : la droite \(y=\e x\) est bien tangente en \((1,\e)\) avec pente \(\e^1=\e\).
Corrigé du problème
Partie A : Convergence.
1. Si \(x=0\), tous les termes d'indice \(k\geqslant1\) sont nuls et la majoration est vérifiée avec \(N=1\), \(C=0\). Sinon, pour \(j\geqslant N+1\) on a \(j>2|x|\), donc \(|x|/j\leqslant1/2\). Pour \(k\geqslant N\),
Pour \(k=N\), le produit vide vaut 1. Le facteur \(C\) dépend de \(x\) ; on ne peut pas le supprimer. Par exemple, \(10^{20}/20!\) est supérieur à 1, donc ne peut pas être majoré par \(2^{-10}\). Les premiers facteurs comptent aussi.
2. Les sommes partielles des valeurs absolues sont croissantes. Leurs premiers \(N\) termes forment une somme finie, et le reste est majoré par
\[C\sum_{j=0}^{+\infty}2^{-j}=2C.\]
Elles sont donc majorées et convergent par le théorème des suites monotones. Les sommes des parties positives et des parties négatives des \(a_k(x)\) sont elles aussi croissantes et majorées par ces sommes absolues ; leur différence \(S_n(x)\) converge. Le fait que \(a_k(x)\to0\) n'aurait pas, à lui seul, suffi.
3. On a \(S_n(0)=1\) pour tout \(n\), donc \(E(0)=1\). Par définition,
\[E(1)=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots.\]
L'identification de ce nombre à \(\e\) attend la partie B.
Partie B : Dérivée de la limite.
4. Pour \(n\geqslant1\), dériver la somme finie donne
C'est la convergence uniforme sur ce segment. Ainsi \(S_n'=S_{n-1}\) converge uniformément vers \(E\) ; les \(S_n\) sont des polynômes, donc continûment dérivables, et \(S_n(0)=1\) converge. Le théorème admis de l'énoncé s'applique et donne \(E'=E\) sur \(]-R,R[\). Tout réel appartient à un tel intervalle : la relation vaut sur \(\R\). La simple convergence point par point n'aurait pas autorisé à échanger limite et dérivée.
6. Les deux propriétés \(E'=E\) et \(E(0)=1\) identifient \(E\) à l'exponentielle par le théorème d'unicité admis dans le cours. En particulier, \(E(1)=\e\).
Partie C : Du triangle au carré de termes.
7. Pour chaque entier \(j\geqslant0\), le binôme de Newton donne
Le terme \(j=0\) est le constant 1 ; les puissances nulles dans cette écriture polynomiale désignent ce terme constant. En sommant les égalités finies, on obtient la formule demandée. Les couples d'indices correspondent à \(i\geqslant0\), \(m\geqslant0\), \(i+m\leqslant n\) : un triangle d'indices.
8. Le produit \(S_n(a)S_n(b)\) somme les mêmes termes sur le carré \(0\leqslant i,m\leqslant n\). Son écart à la somme triangulaire porte donc sur \(i+m>n\). Notons
et \(R_a(p)=\sum_{i>p}|a_i(a)|\), \(R_b(p)=\sum_{m>p}|a_m(b)|\). Les deux sommes \(A,B\) sont finies et les deux restes tendent vers 0, par la convergence absolue. Si \(p=\lfloor n/2\rfloor\), alors \(i+m>n\) implique \(i>p\) ou \(m>p\). L'inégalité triangulaire permet donc de majorer l'écart par
Certains termes sont comptés deux fois dans le majorant, ce qui est autorisé pour une borne supérieure de quantités positives. Le produit des limites des deux sommes finies vaut \(E(a)E(b)\) ; la différence tendant vers 0 prouve \(E(a+b)=E(a)E(b)\). Aucun échange non justifié de deux sommes infinies n'était nécessaire.
Partie D : Un reste trop petit pour être un entier.
9. Pour \(n\geqslant1\), le reste est strictement positif et
Chaque produit de \(j\geqslant1\) dénominateurs est strictement supérieur à \((n+1)^j\). Le terme \(j=0\) est égal à 1. Au moins un terme est strictement majoré, donc
La stricte inégalité, y compris pour \(n=1\), servira à la contradiction.
10. Supposons \(\e=p/q\) avec \(p,q\in\N^*\). Alors \(q!\e=(q-1)!p\) est entier. De plus \(q!S_q(1)\) est une somme finie d'entiers, car \(q!/k!\) est entier pour \(0\leqslant k\leqslant q\). Donc \(M=q!(\e-S_q(1))\) est entier.
11. La question 9 avec \(n=q\) donne
\[0<M<\frac1q\leqslant1.\]
Aucun entier n'est strictement compris entre 0 et 1. L'hypothèse rationnelle est donc impossible : \(\e\) est irrationnel.
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