Équations différentielles

Pourquoi étudier les équations différentielles ?

De quoi parle-t-on ?

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction \(y(t)\) et où interviennent \(y\) et ses dérivées \(y'\), \(y''\), etc. Elle permet de modéliser de nombreuses évolutions continues, lorsque les hypothèses du modèle relient une grandeur à ses variations.

En Terminale, on étudie notamment \(y'=ay+b\), avec \(a\) et \(b\) constants, et \(y'=ay+f(t)\) à partir d'une solution particulière.

Les applications concrètes

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Ces lois sont des modèles sous hypothèses : taux constants, milieu stable et grandeurs suffisamment régulières. Une croissance exponentielle de population peut être pertinente sur une durée limitée ; elle ne garantit pas des ressources illimitées. Les paramètres se mesurent et le modèle doit être comparé aux observations.

En physique nucléaire : dans un modèle de décroissance radioactive, le nombre moyen \(N(t)\) de noyaux non désintégrés vérifie \(N'(t)=-\lambda N(t)\), avec \(\lambda>0\). La solution est \(N(t)=N_0\e^{-\lambda t}\). Le nombre réel de noyaux évolue par désintégrations individuelles ; la fonction continue décrit ici une moyenne.

En biologie : une population de bactéries se multiplie proportionnellement à sa taille : \(P'(t)=kP(t)\). Solution : \(P(t)=P_0\e^{kt}\) (croissance exponentielle). C'est le modèle de Malthus.

En thermodynamique : un objet chaud refroidit vers la température ambiante \(T_a\) avec \(T'(t)=-k(T(t)-T_a)\). C'est la loi de refroidissement de Newton, une équation \(y'=ay+b\).

En électricité : le circuit RC obéit à \(u'(t)+\frac{1}{RC}u(t)=\frac{E}{RC}\), où \(u\) est la tension aux bornes du condensateur. C'est une équation \(y'=ay+b\).

L'idée directrice

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L'idée avant la formule

Chercher une fonction à partir de sa dérivée

Un faisceau de courbes

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Chaque petit segment indique une pente égale à sa hauteur \(y\). À hauteur égale, la pente est la même, quelle que soit l'abscisse. Les courbes doivent suivre ces directions ; le point de départ les distingue.

L'équation \(y'=ay+b\) : évolution vers un équilibre

Le cours formel

Construire une approximation : la méthode d'Euler

Observer l'effet du pas. Avant d'ouvrir le laboratoire, prévois si le premier pas dépasse l'équilibre 1 quand \(h=0{,}5\), puis quand \(h=1{,}5\). Change ensuite le rang : la trajectoire exacte oscille-t-elle, ou est-ce la simulation ?

Changer le pas : comprendre la méthode d’Euler

On cherche y′ = 1 − y avec y(0) = 0. La solution exacte se rapproche de 1. Prévois le premier résultat d’Euler avec un pas de 0,5, puis de 1,5 : la simulation reste-t-elle sous 1 ?

Bleu : solution exacte y(t) = 1 − exp(−t). Corail : points et segments d’Euler. Pointillés : équilibre y = 1. L’axe du temps s’adapte au dernier instant ; l’axe vertical reste de −2 à 4. Les valeurs hors fenêtre figurent dans le tableau.

Euler donne yₙ₊₁ = yₙ + h(1 − yₙ), à l’instant tₙ = nh. Avec h = 0,5, les premières valeurs sont 0 ; 0,5 ; 0,75 ; 0,875. Avec h = 1,5, elles sont 0 ; 1,5 ; 0,75 ; 1,125. La solution exacte reste pourtant strictement sous 1 à tout instant fini.

Lire les valeurs et les coordonnées

Euler donne yₙ₊₁ = yₙ + h(1 − yₙ), à l’instant tₙ = nh. Avec h = 0,5, les premières valeurs sont 0 ; 0,5 ; 0,75 ; 0,875. Avec h = 1,5, elles sont 0 ; 1,5 ; 0,75 ; 1,125. La solution exacte reste pourtant strictement sous 1 à tout instant fini.

Soustrais 1 dans la relation d’Euler : yₙ₊₁ − 1 = (1 − h)(yₙ − 1). Relie le signe et la valeur absolue de 1 − h aux dépassements et à leur amplitude. Changer le pas change l’approximation, pas l’équation ni sa solution exacte.

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Le polygone d'Euler joint les points calculés par des segments. Dans le second cas, il traverse l'équilibre ; la vraie solution reste strictement entre 0 et 1 pour \(t>0\), et vaut 0 en \(t=0\). La figure n'autorise aucune modification de la loi exacte.

from math import isfinite

def euler(F, t0, y0, T, n):
    if type(n) is not int or n < 1:
        raise ValueError("n doit etre un entier positif")
    if not all(isfinite(v) for v in (t0, y0, T)) or T <= t0:
        raise ValueError("donnees finies et T > t0 attendus")
    h = (T-t0)/n
    if not isfinite(h) or h <= 0:
        raise ValueError("pas non representable")
    y = y0
    points = [(t0, y)]
    for k in range(n):
        t = t0+k*h
        suivant = T if k == n-1 else t0+(k+1)*h
        if not t < suivant:
            raise ValueError("dates confondues par arrondi")
        pente = F(t, y)
        if not isfinite(pente):
            raise ValueError("pente non finie")
        y = y + (suivant-t)*pente
        if not isfinite(y):
            raise ValueError("valeur non finie")
        points.append((suivant, y))
    return points

Le code avance jusqu'à \(T\) en \(n\) pas, avec les écarts effectifs des dates flottantes. Ses contrôles d'entrées ne prouvent ni l'existence d'une solution ni la précision de l'approximation.

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Dans les deux tableaux qui suivent, les écritures de l'équilibre supposent \(a\neq0\). Pour la demi-vie, \(a<0\) et \(y_0>0\) ; pour une relaxation affine, on applique la demi-vie à la distance à l'équilibre.

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Solution générale de \(y'=ay\)

Résoudre sur \(\R\) :

1. \(y'=5y\)
2. \(y'=-3y\)
3. \(y'=\frac{y}{2}\)
4. \(y'=-0{,}1y\)
5. \(y'=-\frac{y}{7}\)
6. \(2y'=6y\)

Exercice 2 ★☆☆ : Problèmes de Cauchy pour \(y'=ay\)

Résoudre :

1. \[y'=2y,\]
   \[y(0)=3.\]
2. \[y'=-4y,\]
   \[y(0)=10.\]
3. \[y'=y,\]
   \[y(0)=-2.\]
4. \[y'=-y,\]
   \[y(1)=5.\]

Exercice 3 ★☆☆ : Vérification de solution

1. Vérifier que \(y(t)=3\e^{-2t}+4\) est solution de \(y'=-2y+8\).

2. Vérifier que \(y(t)=5\e^{t}-1\) est solution de \(y'=y+1\).

3. Vérifier que \(y(t)=\e^{-t}+2t-1\) n'est pas solution de \(y'=-y+2\).

Exercice 4 ★★☆ : Solution générale de \(y'=ay+b\)

Résoudre sur \(\R\) et préciser la solution d'équilibre :

1. \(y'=-2y+6\)
2. \(y'=3y-12\)
3. \(y'=-y+5\)
4. \(y'+4y=8\)
5. \(2y'-y=10\)
6. \(y'=-0{,}5y+3\)

Exercice 5 ★★☆ : Problèmes de Cauchy pour \(y'=ay+b\)

Résoudre :

1. \[y'=-2y+6,\]
   \[y(0)=1.\]
2. \[y'=3y-9,\]
   \[y(0)=5.\]
3. \[y'=-y+4,\]
   \[y(0)=0.\]
4. \[y'+3y=15,\]
   \[y(0)=2.\]
5. \[y'=-0{,}1y+2,\]
   \[y(0)=0.\]

Exercice 6 ★★☆ : Limites et comportement asymptotique

Pour chaque solution de l'exercice 5 :

1. Calculer \(\lim_{t\to+\infty}y(t)\).

2. Dresser le tableau de variations de \(y\).

3. Interpréter graphiquement.

Exercice 7 ★★☆ : Décroissance radioactive

Le carbone 14 se désintègre avec une demi-vie de \(t_{1/2}=5730\) ans. Un échantillon contient initialement \(N_0=10^{12}\) atomes de \({}^{14}\)C.

1. Écrire l'équation différentielle vérifiée par \(N(t)\).

2. Calculer la constante de désintégration \(\lambda\).

3. Exprimer \(N(t)\).

4. Combien d'atomes restent après 11460 ans ?

5. Un objet a perdu \(40\%\) de son \({}^{14}\)C. Quel est son âge ?

Exercice 8 ★★☆ : Refroidissement de Newton

Le temps \(t\) est mesuré en minutes. Un café à \(90\)° C est posé dans une pièce à \(20\)° C. Sa température \(T(t)\) vérifie \(T'=-0{,}05(T-20)\).

1. Mettre sous forme \(T'=aT+b\) et identifier \(a\), \(b\), \(T_\infty\).

2. Résoudre avec \(T(0)=90\).

3. Au bout de combien de temps le café est-il à \(50\)° C ?

4. Tracer l'allure de la courbe.

Exercice 9 ★★☆ : Circuit RC (physique)

On suppose \(R>0\), \(C>0\), \(E>0\) constants, avec des unités cohérentes et \(t\) en secondes. Un condensateur de capacité \(C\) se charge à travers une résistance \(R\) sous une tension \(E\). La tension \(u(t)\) aux bornes du condensateur vérifie :

1. Mettre sous forme \(u'=au+b\). Identifier \(a\), \(b\), \(u_\infty\).

2. Résoudre avec \(u(0)=0\) (condensateur initialement déchargé).

3. Montrer que

   \[\begin{aligned}u(\tau) &= E(1-\e^{-1})\\[.35em]&\approx 0{,}63\,E\end{aligned}\]

   où \(\tau=RC\).

4. Au bout de \(5\tau\), quelle fraction de \(E\) a-t-on atteinte ?

Exercice 10 ★★☆ : Concentration dans une cuve

Dans une cuve de volume constant, le mélange est supposé homogène. Une alimentation apporte une variation de concentration de \(5\) mg/(L\(\cdot\)h), et une sortie retire une proportion \(0{,}2\) h\(^{-1}\) de la concentration. Avec \(t\) en heures et \(C\) en mg/L, le modèle est \(C'(t)=-0{,}2C(t)+5\). Une quantité entrante en mg/h devrait d'abord être divisée par le volume en L pour obtenir le terme 5.

1. Déterminer la concentration d'équilibre \(C_\infty\).

2. Résoudre avec \(C(0)=0\).

3. Au bout de combien de temps atteint-on \(90\%\) de \(C_\infty\) ?

4. Tracer l'allure de \(C(t)\).

Exercice 11 ★★☆ : Démonstrations de cours

1. Démontrer que les solutions de \(y'=ay\) sont \(y=C\e^{at}\) (méthode de \(z=y\e^{-at}\)).

2. Pour \(a\neq0\), démontrer que les solutions de \(y'=ay+b\) sont \(y=C\e^{at}-\frac{b}{a}\).

3. Pour \(a<0\) et \(y_0>0\), démontrer la formule de la demi-vie \(t_{1/2}=\frac{\ln 2}{|a|}\).

Exercice 12 ★★☆ : Étude complète

On considère \(f(t)=3\e^{-2t}+1\) pour \(t\geqslant 0\).

1. Montrer que \(f\) est solution d'une équation différentielle \(y'=ay+b\) que l'on précisera.

2. Calculer \(f(0)\) et \(\lim_{t\to+\infty}f(t)\).

3. Étudier les variations de \(f\).

4. Calculer l'aire sous la courbe de \(f\) entre \(t=0\) et \(t=T\), puis la limite quand \(T\to+\infty\).

Exercice 13 ★★★ : Équation avec second membre non constant

On considère \(y'=-y+\e^{-2t}\).

1. Vérifier que \(y_p(t)=-\e^{-2t}\) est une solution particulière.

2. En posant \(z=y-y_p\), montrer que \(z'=-z\).

3. En déduire la solution générale.

4. Résoudre avec \(y(0)=0\).

Exercice 14 ★★★ : Méthode d'Euler

On approche la solution de \(y'=-y+1\), \(y(0)=0\) par la méthode d'Euler avec un pas \(h=0{,}5\) :

1. Calculer \(y_0,y_1,y_2,y_3,y_4\) (i.e. les valeurs approchées en \(t=0,\,0{,}5,\,1,\,1{,}5,\,2\)).

2. Calculer la solution exacte et comparer.

3. À temps final fixé \(T=2\), comparer les pas \(h=0{,}5\) et \(h=0{,}25\). Justifier la convergence vers la solution exacte lorsque \(h=T/n\) et \(n\to+\infty\).

4. (Bonus) Pour \(h>0\) et \(n\geqslant1\), montrer \(y_n=1+(y_0-1)(1-h)^n\). Pour \(y_0=0\), discuter la limite selon \(h\), en traitant \(h=1\) et \(h=2\). Le terme initial est donné séparément.

Exercice 15 ★★☆ : Structure des solutions et superposition

On considère \((E)\) : \(y'=-2y+4\) et \((E_H)\) : \(y'=-2y\).

1. Déterminer la solution générale de \((E_H)\).

2. Vérifier que \(y_p(t)=2\) est solution particulière de \((E)\).

3. En déduire la solution générale de \((E)\).

4. Soient \(y_1(t)=3\e^{-2t}+2\) et \(y_2(t)=-\e^{-2t}+2\) deux solutions de \((E)\). Calculer \(y_1-y_2\). Vérifier que c'est une solution de \((E_H)\).

5. Vérifier que \(y_1+y_2\) n'est pas solution de \((E)\).

6. Montrer que \(\frac{y_1+y_2}{2}\) est solution de \((E)\). Pourquoi ? (Penser à \(\alpha+\beta=1\).)

Exercice 16 ★★☆ : Signe et variations

Soit \(f\) la solution de \(y'=-3y+9\), \(y(0)=5\).

1. Déterminer \(f(t)\).

2. Calculer \(y_{\mathrm{eq}}\). La solution part-elle au-dessus ou en dessous de \(y_{\mathrm{eq}}\) ?

3. En déduire le signe de \(f'(t)\) pour tout \(t\geqslant 0\), puis les variations de \(f\).

4. Dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \([0,+\infty[\).

5. Montrer que \(f(t)>3\) pour tout \(t\geqslant 0\). La courbe croise-t-elle la droite \(y=3\) ?

Exercice 17 ★★☆ : Retrouver l'équation différentielle

1. On donne \(f(t)=4\e^{-t}+1\). Déterminer \(a\) et \(b\) tels que \(f\) soit solution de \(y'=ay+b\).

2. On donne \(g(t)=7\e^{2t}-3\). Déterminer l'ED vérifiée par \(g\).

3. On donne \(h(t)=A\e^{-5t}+B\). Sachant que \(h(0)=10\) et \(\lim_{t\to+\infty}h(t)=2\), déterminer \(A\), \(B\), et l'ED vérifiée par \(h\).

4. On sait que \(f\) est solution de \(y'=ay+b\) avec \(f(0)=6\) et \(\lim_{t\to+\infty}f(t)=4\), et que \(f\) est décroissante. Que peut-on dire sur \(a\) et \(y_{\mathrm{eq}}\) ? Exprimer \(b\) en fonction de \(a\). Les données déterminent-elles un couple unique ?

Exercice 18 ★★☆ : Somme de solutions et équations différentes

1. \(y_1\) est solution de \(y'=-y\) et \(y_2\) est solution de \(y'=-y\). Montrer que \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y\).

2. \(y_1\) est solution de \(y'=-y+3\) et \(y_2\) est solution de \(y'=-y+5\). Montrer que \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y+8\). Généraliser.

3. \(y_1\) est solution de \(y'=2y+1\) et \(y_2\) est solution de \(y'=3y\). Existe-t-il des constantes \(a,b\) telles que \(y_1+y_2\) satisfasse \(y'=ay+b\) pour tous les choix de solutions ? Donner un contre-exemple et préciser les cas particuliers qui peuvent fonctionner.

Problème : Modèle logistique et équation de Verhulst ★★★

On considère l'équation différentielle logistique :

où \(r>0\) est le taux de croissance intrinsèque et \(K>0\) la capacité limite du milieu. On pose \(P(0)=P_0\) avec \(0<P_0<K\).

Approfondissement guidé. On cherche des solutions positives sur un intervalle contenant 0. Le changement \(u=1/P\) s'effectue seulement là où \(P>0\). La formule obtenue sera ensuite vérifiée directement et définira une solution sur tout \(\R\). La partie qualitative est conditionnelle à \(0<P<K\) ; la formule justifiera ce domaine. On n'invoque pas sans preuve le théorème général d'existence des équations non linéaires.

Partie A : Étude qualitative

1. Montrer que les solutions constantes sont \(P=0\) et \(P=K\).

2. Pour \(0<P<K\), étudier le signe de \(P'\). La population croît-elle ?

3. Montrer que \(P''(t)=rP'(t)\bigl(1-\frac{2P(t)}{K}\bigr)\). Étudier le signe de \(P''\) selon \(P\). En déduire la vitesse maximale lorsque le niveau \(K/2\) est traversé ; expliquer pourquoi cette traversée peut avoir eu lieu avant 0.

4. Distinguer l'allure sur \(\R\) et celle observée pour \(t\geqslant0\), selon que \(P_0<K/2\), \(P_0=K/2\) ou \(P_0>K/2\).

Partie B : Résolution explicite par changement de variable

1. On pose \(u(t)=\frac{1}{P(t)}\). Montrer que \(u\) vérifie l'équation différentielle linéaire :

   \[u'(t)=-ru(t)+\frac{r}{K}\]

   Indication : calculer \(u'=-\frac{P'}{P^2}\).

2. Résoudre cette équation (c'est un \(y'=ay+b\) !). En déduire \(u(t)\).

3. En déduire que :

   \[\boxed{P(t)=\frac{K}{1+\Bigl(\frac{K}{P_0}-1\Bigr)\e^{-rt}}}\]

4. Vérifier que le dénominateur est positif, que la formule satisfait l'équation et \(P(0)=P_0\), et que \(\lim_{t\to+\infty}P(t)=K\).

Partie C : Application numérique

1. On modélise une population de bactéries avec \(K=10\,000\), \(r=0{,}5\) h\(^{-1}\), \(P_0=100\).

   1. Calculer \(P(t)\).

   2. À quel instant la population atteint-elle \(5000\) (la moitié de \(K\)) ?

   3. Vérifier que c'est le point d'inflexion.

2. (Bonus) Pour \(t\geqslant0\), comparer la formule exacte à \(M(t)=P_0\e^{rt}\). Montrer que \((M-P)/P=(P_0/K)(\e^{rt}-1)\) et donner une condition assurant une erreur relative au plus 5%.

Corrigés détaillés

Exercice 1

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Exercice 2

a) \(y(t)=C\e^{2t}\),

\(\boxed{y(t)=3\e^{2t}}\).

b)

\(\boxed{y(t)=10\e^{-4t}}\).

c)

\(\boxed{y(t)=-2\e^t}\).

d) \(y(t)=C\e^{-t}\),

\(C=5\e\). \(\boxed{y(t)=5\e^{1-t}=5\e^{-(t-1)}}\).

Exercice 3

a)

Solution.

b)

Solution.

c)

Or \(y'=-\e^{-t}+2\neq -\e^{-t}-2t+3\). Pas solution (sauf si \(t=\frac{1}{2}\), mais il faut que ce soit vrai pour tout \(t\)).

Exercice 4

a)

\(\boxed{y(t)=C\e^{-2t}+3}\).

b)

\(\boxed{y(t)=C\e^{3t}+4}\).

c)

\(\boxed{y(t)=C\e^{-t}+5}\).

d)

\(\boxed{y(t)=C\e^{-4t}+2}\).

e)

\(\boxed{y(t)=C\e^{t/2}-10}\).

f)

\(\boxed{y(t)=C\e^{-0{,}5t}+6}\).

Exercice 5

a)

\(C=-2\). \(\boxed{y(t)=-2\e^{-2t}+3}\).

b)

\(C=2\). \(\boxed{y(t)=2\e^{3t}+3}\).

c)

\(C=-4\). \(\boxed{y(t)=4(1-\e^{-t})}\).

d)

\(C=-3\). \(\boxed{y(t)=-3\e^{-3t}+5}\).

e)

\(C=-20\). \(\boxed{y(t)=20(1-\e^{-0{,}1t})}\).

Exercice 6

Toutes les variations ci-dessous concernent \(t\geqslant0\). L'exponentielle est positive : le signe de chaque dérivée se lit sur son coefficient.

Dans 5a, 5c, 5d et 5e, la courbe a une asymptote horizontale au niveau de la limite ; elle s'en approche par-dessous sans l'atteindre. Dans 5b, elle monte sans borne et n'a pas d'asymptote horizontale. Ce tableau répond aux trois questions ; le signe positif seul ne donnait pas encore la valeur de la limite.

Exercice 7

a) \(N'(t)=-\lambda N(t)\) (décroissance proportionnelle à la quantité présente).

b)

donc

an\(^{-1}\).

c) \(N(t)=10^{12}\e^{-(\ln2/5730)t}\). Remplacer \(\lambda\) par une valeur arrondie donne seulement une approximation ; on garde la valeur exacte pour les calculs.

d)

Après 2 demi-vies :

e) Reste \(60\%\) : \(\e^{-\lambda t}=0{,}6\),

ans, soit environ 4223 ans. On arrondit à la fin, après le logarithme.

Exercice 8

a)

b) \(T(t)=C\e^{-0{,}05t}+20\),

\(C=70\). \(\boxed{T(t)=70\e^{-0{,}05t}+20}\).

c)

minutes.

d) Courbe décroissante partant de \(90\), tendant vers \(20\) (asymptote horizontale).

Exercice 9

a)

b) \(u(t)=A\e^{-t/(RC)}+E\),

\(A=-E\). \(\boxed{u(t)=E(1-\e^{-t/(RC)})}\).

c)

soit environ 63% de \(E\).

d)

soit environ 99{,}3% de \(E\). Le modèle ne donne jamais exactement \(E\) en un temps fini.

Exercice 10

a) Équilibre : \(-0{,}2C_\infty+5=0\),

mg/L.

b) \(C(t)=K\e^{-0{,}2t}+25\),

\(K=-25\). \(\boxed{C(t)=25(1-\e^{-0{,}2t})}\).

c) \(90\%\) de \(C_\infty=22{,}5\).

h.

d) Courbe croissante partant de \(0\), tendant vers \(25\), sans point d'inflexion : \(C''(t)=-\e^{-0{,}2t}<0\) sur tout \(\R\). Être au début du domaine d'observation ne crée pas un changement de convexité.

Exercice 11

a) On pose \(z(t)=y(t)\e^{-at}\).

Si \(y'=ay\) : \(z'=0\), donc \(z=C\) constante. \(y\e^{-at}=C\), i.e. \(y=C\e^{at}\). Réciproquement, \(y=C\e^{at}\Rightarrow y'=Ca\e^{at}=ay\).

b) On cherche \(y_p\) constante : \(0=ay_p+b\), \(y_p=-\frac{b}{a}\). On pose \(z=y-y_p\) :

Donc \(z=C\e^{at}\).

c)

avec \(a<0\), \(y_0>0\).

Exercice 12

a) \(f(t)=3\e^{-2t}+1\), \(f'(t)=-6\e^{-2t}\). Calculons

Donc \(f\) est solution de \(y'=-2y+2\) (\(a=-2\), \(b=2\)).

b)

Cohérent.

c) \(f'(t)=-6\e^{-2t}<0\) pour tout \(t\geqslant 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \([0,+\infty[\), de \(4\) vers \(1\).

d)

Quand \(T\to+\infty\) : \(\int_0^T f\to+\infty\) (la partie \(T\) domine). L'aire n'est pas finie car \(f\to 1\neq 0\).

Mais l'aire entre la courbe et l'asymptote \(y=1\) est :

Exercice 13

a)

Solution.

b) Posons

La dérivée de l'exponentielle ajoutée est négative :

Réciproquement, si \(z'=-z\), alors \(y=z-\e^{-2t}\) vérifie \(y'=-y+\e^{-2t}\). On n'a donc perdu aucune solution.

c) \(z(t)=C\e^{-t}\),

Solution générale : \(\boxed{y(t)=C\e^{-t}-\e^{-2t}}\).

d)

\(C=1\). \(\boxed{y(t)=\e^{-t}-\e^{-2t}}\).

Exercice 14

a)

b) Solution exacte : \(y'=-y+1\), \(y(0)=0\), \(y_{\mathrm{eq}}=1\). \(y(t)=1-\e^{-t}\).

\(y(0)=0\), \(y(0{,}5)\approx 0{,}393\), \(y(1)\approx 0{,}632\), \(y(1{,}5)\approx 0{,}777\), \(y(2)\approx 0{,}865\).

Comparaison : Euler surestime (\(0{,}5>0{,}393\), etc.) car la méthode utilise la pente au début de l'intervalle, alors que la pente diminue.

c) À \(T=2\), quatre pas de 0,5 donnent

Huit pas de 0,25 donnent

La valeur exacte est \(1-\e^{-2}\simeq0{,}864665\). Les erreurs valent respectivement 0,072835 et 0,035222 : le second calcul est plus précis. La preuve « Raffiner à date fixée » justifie la convergence pour \(h=T/n\) ; Euler construit des segments de pente \(F(t_n,Y_n)\) aux points approchés. Pour \(0<h<1\) et \(n\geqslant1\), l'inégalité \(\ln(1-h)<-h\) implique \((1-h)^n<\e^{-nh}\), donc \(Y_n>y(nh)\) : la surestimation est ici démontrée. Au rang 0, les valeurs sont égales.

d) En soustrayant le point fixe 1,

La formule géométrique donne \(Y_n=1+(Y_0-1)(1-h)^n\). Si \(Y_0=0\), elle tend vers 1 pour \(0<h<2\). Pour \(h=1\), les valeurs sont 0 puis 1 ; pour \(h=2\), elles alternent entre 0 et 2 ; pour \(h>2\), elles oscillent avec une amplitude croissante. La restriction sur le pas est indispensable. Si \(Y_0=1\), la suite est constante quel que soit \(h\).

Exercice 15

a) \((E_H)\) : \(y'=-2y\). Solution générale : \(y_H(t)=C\e^{-2t}\).

b) \(y_p(t)=2\) : \(y_p'=0\) et \(-2\times 2+4=0\). Donc \(y_p'=-2y_p+4\). ✓

c) Par le principe de superposition :

d)

Vérifions :

C'est bien solution de \((E_H)\). ✓

e)

\(-2(y_1+y_2)+4=-2(2\e^{-2t}+4)+4=-4\e^{-2t}-4\neq -4\e^{-2t}\). Pas solution de \((E)\). ✗

f)

✓

C'est parce que \(\frac{1}{2}y_1+\frac{1}{2}y_2\) avec \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\) : quand les coefficients somment à 1, la combinaison barycentrique de solutions de \((E)\) est encore solution de \((E)\) (car

).

Exercice 16

a)

Solution : \(y(t)=C\e^{-3t}+3\).

\(\boxed{f(t)=2\e^{-3t}+3}\).

b) \(y_{\mathrm{eq}}=3\). \(f(0)=5>3\). La solution part au-dessus de \(y_{\mathrm{eq}}\).

c) \(f'(t)=-6\e^{-3t}<0\) pour tout \(t\geqslant 0\). Donc \(f\) est strictement décroissante.

Autre méthode : \(f'(t)=-3(f(t)-3)=-3\times 2\e^{-3t}<0\) car \(f(t)>3\).

d) Tableau :

e) \(f(t)-3=2\e^{-3t}>0\) pour tout \(t\) car l'exponentielle est toujours strictement positive. Donc \(f(t)>3\) pour tout \(t\geqslant 0\). La courbe ne croise jamais la droite \(y=3\) : elle s'en approche asymptotiquement par au-dessus.

Exercice 17

a) \(f(t)=4\e^{-t}+1\). Forme \(C\e^{at}+y_{\mathrm{eq}}\) : \(a=-1\),

d'où \(b=1\). ED : \(\boxed{y'=-y+1}\).

Vérification : \(f'=-4\e^{-t}\) et

OK.

b)

\(b=6\). ED : \(\boxed{y'=2y+6}\).

Vérification : \(g'=14\e^{2t}\) et

OK.

c)

(car \(a=-5<0\)). Donc \(A=8\).

ED :

\(b=10\). \(\boxed{y'=-5y+10}\).

d) \(f\) décroissante et \(\lim f=4\) : nécessairement \(a<0\) (convergence) et

d'où \(b=-4a\). De plus \(f(0)=6>4=y_{\mathrm{eq}}\) (part au-dessus). Pas assez d'info pour trouver \(a\) seul, mais \(b=-4a>0\).

Exercice 18

a)

Donc \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y\). C'est la stabilité par addition de l'équation homogène.

b)

Donc \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=-y+8\). On peut généraliser : si \(y_1\) est solution de \(y'=ay+b_1\) et \(y_2\) de \(y'=ay+b_2\), alors \(y_1+y_2\) est solution de \(y'=ay+(b_1+b_2)\). Le coefficient \(a\) doit être le même.

c) Choisissons \(y_1=\e^{2t}-1/2\) et \(y_2=\e^{3t}\). Pour \(S=y_1+y_2\), l'hypothèse \(S'=aS+b\) imposerait

pour tout \(t\). Divisons par \(\e^{3t}\) et faisons tendre \(t\) vers \(+\infty\) : on obtient \(a=3\). L'identité devient alors \(-\e^{2t}+3/2-b=0\), impossible pour tout \(t\). C'est un contre-exemple. Il existe néanmoins des cas particuliers : si \(y_2=0\), la somme est \(y_1\) et vérifie \(S'=2S+1\) ; si \(y_1=-1/2\), elle vérifie \(S'=3S+3/2\). La différence des coefficients empêche une règle générale, pas toute exception.

Corrigé du problème : Modèle logistique de Verhulst

Partie A : Étude qualitative

1. Pour une solution constante de valeur \(c\), l'équation impose \(0=rc(1-c/K)\). Comme \(r>0\) et \(K>0\), le produit est nul si et seulement si \(c=0\) ou \(c=K\). Chaque constante vérifie bien l'équation.

Les deux solutions constantes sont \(\boxed{P=0}\) et \(\boxed{P=K}\).

2. Pour \(0<P<K\) : \(r>0\), \(P>0\) et \(1-\frac{P}{K}>0\) (car \(P<K\)). Donc \(P'=rP(1-\frac{P}{K})>0\) : la population croît.

3. \(P'=rP-\frac{r}{K}P^2\). Dérivons :

\(P''=0\iff P'=0\) (exclu si \(0<P<K\)) ou \(1-\frac{2P}{K}=0\iff P=\frac{K}{2}\).

Signe de \(P''\) : \(P'>0\), donc \(P''\) a le signe de \(1-\frac{2P}{K}\).

\(P<\frac{K}{2}\) : \(P''>0\) (croissance accélérée, concavité vers le haut).

\(P>\frac{K}{2}\) : \(P''<0\) (croissance ralentie, concavité vers le bas).

Lors d'une traversée du niveau \(K/2\), \(P''\) passe du positif au négatif : il y a un point d'inflexion, et \(P'\) atteint son maximum \(rK/4\). L'égalité \(P''=0\) seule n'aurait pas suffi. On peut aussi compléter le carré : \(rP(1-P/K)=rK/4-(r/K)(P-K/2)^2\).

4. Sur \(\R\), la solution considérée est sigmoïde. Sur \(t\geqslant0\), si \(P_0<K/2\), elle commence convexe puis devient concave. Si \(P_0=K/2\), l'inflexion est en 0 et la partie observée ensuite est concave. Si \(P_0>K/2\), la partie observée est entièrement concave : l'inflexion a eu lieu avant 0. Le dessin suivant illustre seulement le premier cas.

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Partie B : Résolution explicite

5. \(u=\frac{1}{P}\), donc \(u'=-\frac{P'}{P^2}\). Or

Donc \(\boxed{u'=-ru+\frac{r}{K}}\) : c'est bien \(y'=ay+b\) avec \(a=-r\), \(b=\frac{r}{K}\).

6.

Solution générale : \(u(t)=A\e^{-rt}+\frac{1}{K}\).

Condition initiale :

7.

On multiplie numérateur et dénominateur par \(\frac{1}{P_0}\) :

8.

Correct.

car \(\e^{-rt}\to 0\). La population tend bien vers la capacité limite.

Posons \(A=K/P_0-1>0\). Le dénominateur \(1+A\e^{-rt}>1\) sur \(\R\), donc \(0<P<K\) et la formule ne présente aucun pôle. Enfin,

ce qui vérifie l'équation. Toute solution positive sur un intervalle contenant 0 doit donner la même fonction \(u\) par le théorème affine : la formule est donc unique parmi ces solutions. La construction donne directement son prolongement positif sur tout \(\R\) ; les solutions constantes 0 et \(K\) ont été traitées séparément.

Partie C : Application numérique

9a.

9b.

heures.

9c.

correspond bien au point d'inflexion (question 3).

Avant \(t^*\), \(P<5000\) et \(P''>0\) ; après \(t^*\), \(P>5000\) et \(P''<0\). Ce changement de signe, et pas seulement l'annulation de \(P''\), justifie l'inflexion.

10. Multiplions haut et bas par \(\e^{rt}\) puis par \(P_0/K\) :

Pour \(t\geqslant0\), \(\delta\geqslant0\) et \(M\geqslant P\). L'erreur relative rapportée à la valeur exacte est

Elle est au plus 5% si

Pour les données de 9, cela donne \(t\leqslant2\ln6\simeq3{,}58\) heures. « Petite population, temps courts » est donc remplacé par un critère chiffré ; à mesure que le temps augmente, l'approximation exponentielle cesse d'être précise.

Bilan à vérifier par une variante

Peux-tu expliquer ce qu'est une solution, justifier que tu les as toutes, puis contrôler une condition initiale ? Distingue le niveau d'une fonction, sa pente et son écart à un équilibre. Pour Euler, indique toujours le pas et la date comparée.

Variante sans corrigé : résous \(y'=-2y+8\), \(y(1)=1\) ; étudie signe, variations et limite sur \([1,+\infty[\). À quelle date la moitié du changement vers l'équilibre est-elle accomplie ? Puis vérifie que \(p(t)=t-1\) est une solution particulière de \(y'=-y+t\), et résous avec \(y(0)=2\). Pour la première équation, écris deux pas d'Euler à partir de \(t=1\) et compare avec la solution exacte.

Si une étape reste incertaine, reprends la pause correspondante puis une autre valeur initiale. L'objectif est de pouvoir justifier le choix d'une méthode sans avoir son corrigé sous les yeux.