Cercle trigonométrique et sinusoïdes · Première professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Un quart de tour représente quel angle ?

90°180°45°

2. Dans un triangle rectangle, cos(α) correspond à quel quotient pour un angle aigu α ?

Hypoténuse / côté adjacentCôté opposé / hypoténuseCôté adjacent / hypoténuse

3. Que vaut 1/2 + 1/3 ?

2/55/61/6

4. Un tableau donne x : −1, 0, 2 et f(x) : 4, 1, −3. Quelle est l’image de 2 ?

−304

5. Où se trouve le point A(−2 ; 3) par rapport à l’origine ?

2 unités à droite et 3 vers le bas2 unités à gauche et 3 vers le haut3 unités à gauche et 2 vers le haut

Pourquoi ce chapitre ?

Une sinusoïde traduit les caractéristiques d’un mouvement périodique : amplitude, période et position moyenne. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Mesurer les angles en radians.
Lire sinus et cosinus sur le cercle.
Angles associés et symétries.
Comprendre les courbes sinus et cosinus.
Amplitude, période et phase d’un signal.

L’idée avant la formule

La projection d’un point qui tourne sur un cercle oscille. Augmenter la vitesse raccourcit la période sans changer l’amplitude.

Le cours formel

Mesurer les angles en radians

Intuition · Construire la notion pas à pas

Mesurer un angle par un arc. Sur un cercle de rayon r, un angle au centre qui intercepte un arc de longueur r mesure un radian. Plus généralement, la mesure en radians est le rapport longueur de l'arc sur rayon. Ce rapport ne dépend pas de la taille du cercle.

Retrouver le tour complet. La circonférence vaut $2\pi r$ . Un tour mesure donc $2\pi r/r=2\pi$ radians. Le demi-tour vaut $\pi$ radians, ce qui donne la correspondance $180^\circ=\pi$ .

Convertir par proportionnalité. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\pi/180$ . Dans l'autre sens, on multiplie par $180/\pi$ . On conserve les fractions de $\pi$ exactes lorsque c'est possible ; remplacer trop tôt $\pi$ par 3,14 perd de la précision.

Distinguer mesure et position. Un angle orienté positif tourne dans le sens direct ; un angle négatif dans l'autre sens. Ajouter un tour complet modifie la mesure parcourue mais pas la position finale. Pour la mesure principale dans $]-\pi;\pi]$ , on retire ou ajoute des multiples de $2\pi$ jusqu'à entrer dans cet intervalle.

Lire sinus et cosinus sur le cercle

Intuition · Construire la notion pas à pas

Relier un angle à un point. Sur le cercle de rayon 1, on part du point $$(1;0)$$ et l'on tourne de l'angle x. Le point atteint possède par définition les coordonnées $(\cos x;\sin x)$ . Le cosinus est horizontal, le sinus vertical.

Comprendre les bornes. Un point du cercle unité a ses deux coordonnées entre -1 et 1. Cela explique pourquoi sinus et cosinus ne peuvent dépasser ces limites. Les points extrêmes des axes donnent immédiatement les valeurs en 0, $\pi/2$ , $\pi$ et $3\pi/2$ .

Retrouver une identité par Pythagore. La distance à l'origine vaut 1. Le carré de cette distance est la somme des carrés des coordonnées, donc $\cos^2x+\sin^2x=1$ . Cette relation permet de retrouver la valeur absolue d'une coordonnée à partir de l'autre.

Choisir le signe avec la position. Résoudre une équation au carré donne souvent deux signes. Le quadrant de l'angle décide lequel convient. Sans indication de quadrant, une même abscisse peut correspondre à un point au-dessus et à un point au-dessous de l'axe.

Schéma : Lire sinus et cosinus sur le cercle

Angles associés et symétries

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconstruire les signes avec les symétries. Le point d'angle -x est le reflet de celui d'angle x dans l'axe horizontal. L'abscisse reste identique et l'ordonnée change de signe : le cosinus est pair et le sinus impair.

Passer à l'autre côté du cercle. L'angle $\pi-x$ reflète le point par rapport à l'axe vertical : le cosinus change de signe, pas le sinus. Ajouter $\pi$ effectue un demi-tour : les deux coordonnées changent de signe.

Échanger sinus et cosinus. Dans le premier quadrant, les angles x et $\pi/2-x$ sont complémentaires. La symétrie par rapport à la droite $$y=x$$ échange les coordonnées : le cosinus du premier devient le sinus du second, et réciproquement.

Choisir un angle de référence simple. Pour calculer une valeur comme $\cos(5\pi/6)$ , on repère l'angle remarquable $\pi/6$ et la symétrie qui mène au bon quadrant. On conserve la valeur absolue correspondante puis on vérifie le signe avec la position, plutôt que d'apprendre une formule isolée sans image.

Comprendre les courbes sinus et cosinus

Intuition · Construire la notion pas à pas

Transformer le mouvement du cercle en courbe. Quand l'angle x augmente, le point tourne sur le cercle. Sa hauteur donne $\sin x$ et son abscisse $\cos x$ . En reportant ces valeurs en fonction de x, on obtient des courbes qui montent et descendent régulièrement.

Comprendre la période. Après un tour complet, le point retrouve ses coordonnées. On a donc $\sin(x+2\pi)=\sin x$ et $\cos(x+2\pi)=\cos x$ . La période usuelle $2\pi$ permet de prolonger la courbe par répétition d'un motif.

Lire les variations sur des intervalles. Sur $[0;\pi]$ , le point va de la droite vers la gauche et son abscisse diminue : le cosinus décroît de 1 à -1. Sur $[-\pi/2;\pi/2]$ , l'ordonnée passe du bas vers le haut : le sinus croît de -1 à 1.

Éviter une généralisation locale. Une portion croissante ne rend pas la fonction croissante sur tous les réels. Le retour périodique oblige à alterner montées et descentes. Avant de comparer des valeurs avec les variations, on vérifie que les deux angles sont dans un même intervalle où le sens est connu.

Amplitude, période et phase d’un signal

Intuition · Construire la notion pas à pas

Séparer hauteur et rythme. Dans $s(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$ avec $$A>0$$ et $\omega>0$ , A fixe l'écart maximal à zéro. La pulsation $\omega$ règle la vitesse à laquelle l'angle avance ; elle ne donne pas directement le nombre de cycles par seconde.

Construire la période. Un motif se répète lorsque l'angle a augmenté de $2\pi$ . Pendant une durée T, l'angle augmente de $\omega T$ . On impose donc $\omega T=2\pi$ , d'où $T=2\pi/\omega$ . Si t est en secondes, T est en secondes et la fréquence $$f=1/T$$ en hertz.

Lire la phase initiale. À t égal à zéro, l'angle vaut $\varphi$ . Le signal commence donc à $A\sin\varphi$ , pas forcément à zéro. Modifier $\varphi$ déplace le motif dans le temps sans changer son amplitude ni sa période.

Distinguer décalage horizontal et vertical. Ajouter une constante à l'extérieur du sinus déplacerait la valeur moyenne. Une phase ajoutée à l'intérieur change seulement l'instant des mêmes états. L'identification de la formule doit donc précéder la lecture des extrema.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Convertir en radians ★☆☆

Convertis $45^\circ$ et $120^\circ$ en radians.

Exercice 2 : Les axes du cercle ★☆☆

Donne $(\cos0;\sin0)$ et $(\cos(\pi/2);\sin(\pi/2))$ .

Exercice 3 : Un angle opposé ★☆☆

Calcule $\cos(-\pi/3)$ et $\sin(-\pi/3)$ .

Exercice 4 : Utiliser une période ★☆☆

Calcule $\sin(2\pi+\pi/6)$ .

Exercice 5 : Lire une amplitude ★☆☆

Pour $u(t)=5\cos(2\pi t)$ , donne amplitude, minimum et maximum.

Exercice 6 : Convertir en degrés ★★☆

Convertis $5\pi/6$ en degrés.

Exercice 7 : Une valeur manquante ★★☆

$x\in[0;\pi/2]$ et $\cos x=3/5$ . Calcule $\sin x$ .

Exercice 8 : Un demi-tour ★★☆

Calcule $\cos(7\pi/6)$ et $\sin(7\pi/6)$ .

Exercice 9 : Une variation connue ★★☆

Compare $\cos(\pi/4)$ et $\cos(3\pi/4)$ sans calculatrice.

Exercice 10 : Période et fréquence ★★☆

$u(t)=12\sin(100\pi t)$ , t en secondes. Calcule T et f.

Exercice 11 : Une mesure principale ★★★

Détermine la mesure principale de $17\pi/4$ dans $]-\pi;\pi]$ .

Exercice 12 : Deux points possibles ★★★

Un point du cercle a pour abscisse $$1/2$$ . Quelles sont ses ordonnées et les angles associés dans $]-\pi;\pi]$ ?

Exercice 13 : Retrouver une relation ★★★

Explique avec les coordonnées pourquoi $\sin(\pi/2-x)=\cos x$ pour un angle du premier quadrant.

Exercice 14 : Une croissance mal prolongée ★★★

Un élève affirme que le sinus est croissant sur $\R$ car il croît entre 0 et $\pi/2$ . Donne un contre-exemple.

Exercice 15 : Une phase initiale ★★★

Compare $a(t)=2\sin(2\pi t)$ et $b(t)=2\sin(2\pi t+\pi/2)$ : amplitude, période et valeurs initiales.

Problème : Pour aller plus loin

Régler un mouvement périodique

Le déplacement en cm est $s(t)=7+3\sin(2\pi t/12)$ , t en secondes.

Identifie valeur moyenne, amplitude, période et pulsation.
Calcule s aux temps 0, $$3$$ , $$6$$ et $$9$$ .
Donne les extrêmes et trace une période avec ces repères.
Convertis un quart de tour en degrés et explique le réglage de la calculatrice.
Double la vitesse : écris une formule de même centre et de même amplitude.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les deux formules ont les mêmes facteurs d’amplitude et de temps, mais des phases initiales différentes.

Construire la réponse.

Les deux amplitudes valent 2. La pulsation commune $2\pi$ donne une période de 1 seconde.
$\begin{aligned}a(0) &= 2\sin0\\[.35em] &= 0,\end{aligned}$
tandis que
$\begin{aligned}b(0) &= 2\sin(\pi/2)\\[.35em] &= 2.\end{aligned}$
On factorise $2\pi t+\pi/2=2\pi(t+1/4)$ , donc $$b(t)=a(t+1/4)$$ .

Vérifier. Le signal b réalise à l’instant t l’état que a réalisera un quart de seconde plus tard : b est donc en avance d’un quart de seconde. Le facteur de t n’a pas changé, donc la période non plus.

Conclure. Même amplitude 2 et période 1 s ; valeurs initiales 0 et 2 ; b est avancé de 0,25 s par rapport à a.

Corrigé du problème

Comprendre la question. On compare la formule donnée à la forme centre plus amplitude fois sinus.

Construire la réponse.
1. Dans $s(t)=7+3\sin(2\pi t/12)$ , le terme constant 7 fixe la position moyenne, en cm.
2. Le coefficient positif 3 donne l’amplitude en cm.
3. L’argument est $\omega t$ avec $\omega=2\pi/12$ rad/s. La période vaut $2\pi/\omega=12$ secondes.
Vérifier. Sur une période complète, l’argument augmente de deux pi radians et le sinus retrouve les mêmes valeurs.

Conclure. Centre : 7 cm ; amplitude : 3 cm ; période : 12 s ; pulsation : deux pi divisés par 12 rad/s.
Comprendre la question. Les quarts de période correspondent aux angles repères du cercle trigonométrique.

Construire la réponse.
1. En zéro, l’argument vaut 0 et le sinus 0 : $$s(0)=7$$ .
2. En $$t=3$$ , l’argument vaut $\pi/2$ et le sinus 1 : $$s=10$$ .
3. En $$t=6$$ , l’argument vaut $\pi$ et le sinus 0 : $$s=7$$ .
4. En $$t=9$$ , l’argument vaut $3\pi/2$ et le sinus -1 : $$s=4$$ .
Vérifier. Les valeurs alternent entre le centre, le maximum, le centre et le minimum, comme attendu pour un sinus sans décalage de phase.

Conclure. Les quatre déplacements sont 7, 10, 7 et 4 cm.
Comprendre la question. Le sinus reste entre -1 et 1 : on transforme cet encadrement.

Construire la réponse.
1. Multiplier par 3, positif, donne $-3\le 3\sin(2\pi t/12)\le3$ .
2. Ajouter 7 donne $4\le s(t)\le10$ .
3. Pour tracer une période, place les quatre points calculés, puis $$(12;7)$$ . Relie-les par une courbe sinusoïdale lisse, avec des tangentes horizontales aux extrêmes.
Vérifier. Le milieu des extrêmes est 7 et leur demi-différence 3 : on retrouve le centre et l’amplitude.

Conclure. Le minimum est 4 cm et le maximum 10 cm. La période tracée va de 0 à 12 s.
Comprendre la question. Une même rotation possède deux mesures selon l’unité angulaire.

Construire la réponse.
1. Un tour vaut $2\pi$ radians ou $360^\circ$ .
2. Un quart de tour vaut donc $2\pi/4=\pi/2$ radians, soit $360^\circ/4=90^\circ$ .
3. La formule contient pi et exprime son argument en radians : la calculatrice doit être réglée en radians pour être utilisée directement.
Vérifier. En mode radians, $\sin(\pi/2)=1$ . En mode degrés, la même saisie serait interprétée comme environ 1,57 degré et ne donnerait pas le maximum.

Conclure. Un quart de tour vaut $90^\circ=\pi/2$ radians ; le calcul de la formule se fait en radians.
Comprendre la question. Doubler la vitesse de répétition double la pulsation et divise la période par deux.

Construire la réponse.
1. La nouvelle pulsation est $2\omega=4\pi/12$ .
2. La nouvelle période vaut $$12/2=6$$ secondes.
3. On conserve le centre 7 et l’amplitude 3, donc $s_2(t)=7+3\sin(4\pi t/12)$ .
Vérifier. Seul le coefficient du temps dans l’argument a changé. L’encadrement du sinus, donc les deux extrêmes, reste identique.

Conclure. Une formule adaptée est $s_2(t)=7+3\sin(4\pi t/12)$ .

Variante autonome et bilan

Pour $g(t)=3+2\cos(\pi t)$ , donne période, amplitude, extrêmes et valeur en t = 1.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On identifie les paramètres de ce cosinus puis on évalue son argument au temps demandé.

Construire la réponse.

Dans $g(t)=3+2\cos(\pi t)$ , le centre est 3 et l’amplitude 2.
La pulsation vaut pi, donc la période est $2\pi/\pi=2$ unités de temps.
Comme le cosinus varie de -1 à 1, g varie de $$3-2=1$$ à $$3+2=5$$ .
En t égal à 1, l’argument vaut pi et son cosinus vaut -1 :
$\begin{aligned}g(1) &= 3+2(-1)\\[.35em] &= 1.\end{aligned}$

Vérifier. En zéro, $$g(0)=5$$ ; une demi-période plus tard, en 1, on atteint le minimum 1, puis en 2 on retrouve 5.

Conclure. La période est 2, l’amplitude 2, les extrêmes 1 et 5, et la valeur en 1 est 1.

Je peux expliquer : mesurer les angles en radians.
Je peux expliquer : lire sinus et cosinus sur le cercle.
Je peux expliquer : angles associés et symétries.
Je peux expliquer : comprendre les courbes sinus et cosinus.
Je peux expliquer : amplitude, période et phase d’un signal.

Fiche-mémoire

Mesurer les angles en radians.

Identifie l’unité donnée et celle demandée.
Utilise $\pi/180$ pour degrés vers radians et $180/\pi$ dans l’autre sens.
Simplifie les fractions avant toute approximation.
Pour une mesure principale, ajoute ou retire des tours entiers de $2\pi$ .
Vérifie l’appartenance à l’intervalle et le mode angulaire de la calculatrice.

Lire sinus et cosinus sur le cercle.

Place mentalement l’angle sur le cercle et identifie son quadrant.
Lis le cosinus horizontalement et le sinus verticalement.
Utilise les valeurs remarquables ou l’identité $\cos^2x+\sin^2x=1$ .
Si un carré donne deux signes, sélectionne avec le quadrant ou conserve les deux si rien ne les départage.
Contrôle les bornes entre -1 et 1 et le mode radian de l’outil.

Angles associés et symétries.

Exprime l’angle à partir d’un angle remarquable et d’un tour, demi-tour ou quart de tour.
Identifie la symétrie et son effet sur les coordonnées.
Utilise les valeurs exactes de l’angle de référence.
Contrôle séparément le signe du sinus et celui du cosinus dans le quadrant.
Pour une justification, décris les coordonnées conservées ou échangées.

Comprendre les courbes sinus et cosinus.

Repère les valeurs remarquables et les bornes -1 et 1.
Utilise la période pour ramener un angle à un motif connu.
Vérifie l’intervalle de monotonie avant de comparer deux images.
Utilise parité ou symétrie pour compléter les valeurs.
Pour réfuter une croissance globale, cherche deux angles ordonnés dont les images sont dans l’ordre inverse.

Amplitude, période et phase d’un signal.

Identifie A, la pulsation et la phase dans l’argument du sinus ou cosinus.
Déduis les bornes du signal en l’absence de décalage vertical.
Calcule $T=2\pi/\omega$ puis $$f=1/T$$ avec les unités.
Calcule la valeur initiale en remplaçant t par zéro.
Pour un décalage temporel, factorise la pulsation et vérifie le sens de l’avance ou du retard.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Mesurer les angles en radians

Lire sinus et cosinus sur le cercle

Angles associés et symétries

Comprendre les courbes sinus et cosinus

Amplitude, période et phase d’un signal

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Convertir en radians ★☆☆

Exercice 2 : Les axes du cercle ★☆☆

Exercice 3 : Un angle opposé ★☆☆

Exercice 4 : Utiliser une période ★☆☆

Exercice 5 : Lire une amplitude ★☆☆

Exercice 6 : Convertir en degrés ★★☆

Exercice 7 : Une valeur manquante ★★☆

Exercice 8 : Un demi-tour ★★☆

Exercice 9 : Une variation connue ★★☆

Exercice 10 : Période et fréquence ★★☆

Exercice 11 : Une mesure principale ★★★

Exercice 12 : Deux points possibles ★★★

Exercice 13 : Retrouver une relation ★★★

Exercice 14 : Une croissance mal prolongée ★★★

Exercice 15 : Une phase initiale ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Régler un mouvement périodique

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions