Vecteurs du plan · Première professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Où se trouve le point A(−2 ; 3) par rapport à l’origine ?

2 unités à droite et 3 vers le bas2 unités à gauche et 3 vers le haut3 unités à gauche et 2 vers le haut

2. Que vaut 2 − (−4) ?

−66−2

3. Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de longueurs 3 et 4. Son hypoténuse mesure…

5725

4. Sur une droite graduée, quel nombre est à mi-chemin entre −2 et 6 ?

42−4

5. Quel est le signe du produit (−3) × (−2) ?

NégatifNulPositif

Pourquoi ce chapitre ?

Les vecteurs décrivent un déplacement indépendamment du point de départ. Les coordonnées permettent d’additionner des mouvements et de vérifier un alignement. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Un vecteur représente un déplacement.
Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan.
Additionner et multiplier des vecteurs.
Reconnaître des directions parallèles.
Mesurer un vecteur du plan.

L’idée avant la formule

Un point est une position ; un vecteur relie deux positions. Pour aller de A à C en passant par B, on additionne les déplacements, pas les coordonnées des points sans distinction.

Le cours formel

Un vecteur représente un déplacement

Intuition · Construire la notion pas à pas

Décrire un déplacement plutôt qu'une position. Un point indique un endroit ; un vecteur indique comment aller d'un endroit à un autre. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ part de A et arrive en B. Inverser les lettres inverse le déplacement.

Identifier trois caractéristiques. Un vecteur non nul possède une direction, un sens dans cette direction et une norme, c'est-à-dire une longueur. Deux flèches placées à des endroits différents représentent le même vecteur si ces trois caractéristiques coïncident.

Composer les déplacements. Aller de A à B puis de B à C revient à aller directement de A à C. C'est la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Le point d'arrivée du premier déplacement devient le départ du suivant.

Comprendre opposé et vecteur nul. Le déplacement de B vers A annule celui de A vers B. Leur somme est le vecteur nul, qui correspond à rester au même endroit. Sa norme vaut zéro et il n'a pas de direction définie.

Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comparer deux positions. Les coordonnées d'un point indiquent sa position dans un repère. Les coordonnées d'un vecteur indiquent les variations nécessaires pour aller du départ à l'arrivée. On calcule donc « arrivée moins départ » sur chaque axe.

Comprendre les signes. Une première composante positive indique un déplacement dans le sens positif du premier axe ; une seconde négative un déplacement dans le sens négatif du second. Soustraire une coordonnée négative peut produire une augmentation : $$3-(-1)=4$$ .

Retrouver le point d'arrivée. Si A est connu et si $\overrightarrow{AB}=(u;v)$ , on ajoute u à l'abscisse de A et v à son ordonnée. La soustraction inverse doit ensuite retrouver le vecteur donné.

Utiliser les égalités dans une figure. Dans un parallélogramme ABCD parcouru dans cet ordre, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ . L'ordre des lettres compte : $\overrightarrow{CD}$ serait l'opposé de $\overrightarrow{AB}$ .

Ces calculs de coordonnées sont valables dans tout repère. Les formules de longueurs, en revanche, demandent un repère orthonormé.

Schéma : Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan

Additionner et multiplier des vecteurs

Intuition · Construire la notion pas à pas

Composer les composantes. Additionner deux vecteurs additionne leurs déplacements sur chaque axe. La première coordonnée se combine uniquement avec la première, et la seconde avec la seconde. Le résultat est encore un vecteur.

Multiplier un déplacement. Multiplier par k applique le même facteur à toutes les composantes. Si k est positif, le sens est conservé ; s'il est négatif, il est inversé. La longueur est multipliée par $$|k|$$ , car elle ne peut pas être négative.

Lire une différence comme une somme. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé. Pour $\vec u-\vec v$ , tous les signes des composantes de $\vec v$ changent, pas seulement le premier. Les parenthèses évitent cette erreur.

Chercher un équilibre. Pour annuler plusieurs déplacements ou forces modélisées, on calcule d'abord leur résultante, puis on prend son opposé. La vérification exige que chaque composante de la somme soit nulle. Annuler seulement une coordonnée laisse un déplacement dans l'autre direction.

Reconnaître des directions parallèles

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître un même axe de déplacement. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsque leurs directions sont parallèles. L'un peut être un agrandissement ou une réduction de l'autre, avec éventuellement un sens inversé.

Chercher un facteur unique. En coordonnées, on cherche k tel que $\vec v=k\vec u$ . Le même k doit fonctionner pour chaque composante. Une première coordonnée peut proposer k ; les autres doivent le confirmer.

Traiter les zéros sans division interdite. Si une composante de $\vec u$ est nulle, tous ses multiples gardent cette composante nulle. On vérifie donc d'abord la compatibilité des zéros, puis on utilise une composante non nulle pour calculer k.

Relier vecteurs et alignement. Pour trois points distincts A, B, C, on calcule les deux déplacements issus de A. S'ils sont colinéaires, les points sont alignés. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, mais il ne peut pas servir de direction à une droite.

Mesurer un vecteur du plan

Intuition · Construire la notion pas à pas

Calculer une longueur à partir d'un déplacement. Dans un repère orthonormé, les composantes x et y forment les côtés perpendiculaires d'un triangle rectangle. La norme est donc $\sqrt{x^2+y^2}$ par Pythagore.

Vérifier le repère. Les axes doivent être perpendiculaires et leurs unités de même longueur. Les règles d'addition des coordonnées ne demandent pas cette condition, mais la formule de norme l'utilise. Un dessin avec deux échelles différentes ne donne pas directement les longueurs réelles.

Commencer une distance par une différence. Pour une distance AB, on calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ puis leur norme. Utiliser les coordonnées de B seules donnerait la distance depuis l'origine.

Construire une direction unitaire. Pour un vecteur non nul, diviser toutes ses composantes par sa norme donne un vecteur de norme 1 et de même sens. Cette opération conserve la direction grâce à un facteur positif. On ne peut pas normaliser le vecteur nul par cette division.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Le vecteur opposé ★☆☆

Quel est l’opposé de $\overrightarrow{MN}$ ? Compare leurs normes.

Exercice 2 : Un déplacement ★☆☆

$$A(1;4)$$ et $$B(6;2)$$ . Calcule $\overrightarrow{AB}$ .

Exercice 3 : Une somme ★☆☆

$\vec u=(3;2)$ et $\vec v=(-1;5)$ . Calcule $\vec u+\vec v$ .

Exercice 4 : Un même facteur ★☆☆

$$(3;-2)$$ et $$(-6;4)$$ sont-ils colinéaires ?

Exercice 5 : Une norme ★☆☆

Calcule la norme de $$(-5;12)$$ dans un repère orthonormé.

Exercice 6 : Deux déplacements ★★☆

Simplifie $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$ .

Exercice 7 : Retrouver une arrivée ★★☆

$$A(-2;3)$$ et $\overrightarrow{AB}=(4;-5)$ . Trouve B.

Exercice 8 : Une combinaison ★★☆

$\vec u=(1;-2)$ , $\vec v=(4;3)$ . Calcule $3\vec u-2\vec v$ .

Exercice 9 : Coordonnée nulle ★★☆

Les vecteurs $$(0;4)$$ et $$(0;-7)$$ sont-ils colinéaires ? Et $$(0;4)$$ et $$(2;0)$$ ?

Exercice 10 : Une distance ★★☆

$$A(2;-1)$$ et $$B(-4;7)$$ . Calcule AB dans un repère orthonormé.

Exercice 11 : Même longueur, même vecteur ? ★★★

Deux flèches ont une longueur de 5 cm ; l’une pointe vers le nord, l’autre vers l’est. Représentent-elles le même vecteur ?

Exercice 12 : Un parallélogramme ★★★

$$A(0;1)$$ , $$B(3;2)$$ , $$D(-1;4)$$ . Trouve C pour que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 13 : Un équilibre vectoriel ★★★

Deux forces sont représentées par $$(6;2)$$ et $$(-1;3)$$ . Quel troisième vecteur rend leur somme nulle ?

Exercice 14 : Prouver un alignement ★★★

$$A(1;2)$$ , $$B(3;5)$$ , $$C(7;11)$$ . Sont-ils alignés ?

Exercice 15 : Une direction normalisée ★★★

$\vec u=(3;4)$ . Trouve un vecteur de norme 1 et de même sens.

Problème : Pour aller plus loin

Déplacements d’un outil dans le plan

Dans un repère orthonormé, A(1;2), B(4;6) et C(7;10) représentent des positions en cm.

Calcule AB, BC et AC en coordonnées vectorielles.
Vérifie la relation de Chasles.
Les trois points sont-ils alignés ?
Calcule les distances AB et AC.
Un déplacement u = (-2;3) est appliqué à B. Donne le point obtenu D et les coordonnées de AD.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Chaque vecteur déplacement se calcule avec arrivée moins départ, coordonnée par coordonnée.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (4-1;6-2)\\[.35em] &= (3;4).\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= (7-4;10-6)\\[.35em] &= (3;4).\end{aligned}$
3. $\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= (7-1;10-2)\\[.35em] &= (6;8).\end{aligned}$
Vérifier. En ajoutant les coordonnées de AB à celles de A, on retrouve bien le point B.

Conclure. Les vecteurs AB et BC valent (3;4), et AC vaut (6;8).
Comprendre la question. Un trajet passant par B doit avoir le même déplacement total que le trajet direct.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} &= (3+3;4+4)\\[.35em] &= (6;8).\end{aligned}$
2. Ce résultat est exactement $\overrightarrow{AC}$ .
Vérifier. Le point intermédiaire se simplifie aussi dans l’écriture des différences : (B moins A) plus (C moins B) donne C moins A.

Conclure. La relation de Chasles est vérifiée.
Comprendre la question. L’alignement se prouve par la colinéarité de deux vecteurs ayant la même origine.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= (6;8)\\[.35em] &= 2(3;4)\\[.35em] &= 2\overrightarrow{AB}.\end{aligned}$
2. Le même coefficient 2 convient aux deux coordonnées et AB est non nul.
Vérifier. Les points suivent donc une même direction ; B est même le milieu de A et C.

Conclure. Les points A, B et C sont alignés.
Comprendre la question. Le repère orthonormé permet la formule de distance avec la somme des carrés.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2+4^2}\\[.35em] &= \sqrt{25}\\[.35em] &= 5\end{aligned}$
  cm.
2. $\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+8^2}\\[.35em] &= \sqrt{100}\\[.35em] &= 10\end{aligned}$
  cm.
Vérifier. Le vecteur AC est le double de AB : sa norme doit donc être deux fois plus grande, ce qui est vérifié.

Conclure. Les distances sont AB égal à 5 cm et AC égal à 10 cm.
Comprendre la question. Le déplacement indiqué part de B, puis on calcule le nouveau déplacement depuis A.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}D &= B+\vec u\\[.35em] &= (4-2;6+3)\\[.35em] &= (2;9).\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= (2-1;9-2)\\[.35em] &= (1;7).\end{aligned}$
Vérifier. Chasles donne aussi

\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} &= (3;4)+(-2;3)\\[.35em] &= (1;7).\end{aligned}\]

Conclure. Le point obtenu est D(2;9) et le vecteur AD vaut (1;7).

Variante autonome et bilan

Avec A(0;1), B(2;5), C(3;7), vérifie l’alignement et calcule AB.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On compare les coordonnées des déplacements depuis A.

Construire la réponse.

$\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (2-0;5-1)\\[.35em] &= (2;4).\end{aligned}$
$\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= (3-0;7-1)\\[.35em] &= (3;6)\\[.35em] &= 1{,}5(2;4)\end{aligned}$
les vecteurs sont colinéaires.
La distance vaut
$\begin{aligned}AB &= \sqrt{2^2+4^2}\\[.35em] &= \sqrt{20}\\[.35em] &= 2\sqrt5.\end{aligned}$

Vérifier. Le coefficient 1,5 s’applique aux deux coordonnées ; l’alignement ne repose pas sur la seule apparence d’un dessin.

Conclure. Les points sont alignés et $AB=2\sqrt5$ unités.

Je peux expliquer : un vecteur représente un déplacement.
Je peux expliquer : calculer les coordonnées d’un vecteur du plan.
Je peux expliquer : additionner et multiplier des vecteurs.
Je peux expliquer : reconnaître des directions parallèles.
Je peux expliquer : mesurer un vecteur du plan.

Fiche-mémoire

Un vecteur représente un déplacement.

Lis les lettres dans l’ordre départ puis arrivée.
Compare direction, sens et norme pour reconnaître deux vecteurs égaux.
Enchaîne les déplacements avec la relation de Chasles.
Remplace un trajet inverse par le vecteur opposé.
Distingue déplacement résultant et longueur totale du trajet.

Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan.

Identifie le point de départ et le point d’arrivée.
Soustrais les coordonnées du départ à celles de l’arrivée, avec des parenthèses pour les valeurs négatives.
Pour une arrivée inconnue, ajoute le déplacement aux coordonnées du départ.
Pour une figure, écris une égalité de vecteurs avec les bonnes orientations.
Contrôle en recalculant la différence ou l’autre paire de côtés.

Additionner et multiplier des vecteurs.

Calcule d’abord les multiples de vecteurs demandés.
Additionne les composantes correspondantes.
Pour une soustraction, inverse toutes les composantes du vecteur soustrait.
Pour une compensation, prends l’opposé de la résultante.
Contrôle en recomposant l’expression ou en vérifiant la nullité de chaque coordonnée.

Reconnaître des directions parallèles.

Vérifie si un vecteur est nul et distingue ce cas d’une direction de droite.
Choisis une composante non nulle pour trouver un facteur candidat k.
Contrôle toutes les autres composantes, notamment les zéros.
Pour des points, calcule d’abord deux vecteurs de même origine.
Conclue sur la colinéarité ou l’alignement et interprète le signe du facteur.

Mesurer un vecteur du plan.

Vérifie que le repère est orthonormé.
Pour une distance, calcule les différences de coordonnées.
Additionne les carrés puis prends la racine positive.
Pour un vecteur unitaire, divise toutes les composantes par la norme non nulle.
Contrôle la longueur obtenue et distingue signe des composantes et positivité de la norme.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Un vecteur représente un déplacement

Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan

Additionner et multiplier des vecteurs

Reconnaître des directions parallèles

Mesurer un vecteur du plan

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Le vecteur opposé ★☆☆

Exercice 2 : Un déplacement ★☆☆

Exercice 3 : Une somme ★☆☆

Exercice 4 : Un même facteur ★☆☆

Exercice 5 : Une norme ★☆☆

Exercice 6 : Deux déplacements ★★☆

Exercice 7 : Retrouver une arrivée ★★☆

Exercice 8 : Une combinaison ★★☆

Exercice 9 : Coordonnée nulle ★★☆

Exercice 10 : Une distance ★★☆

Exercice 11 : Même longueur, même vecteur ? ★★★

Exercice 12 : Un parallélogramme ★★★

Exercice 13 : Un équilibre vectoriel ★★★

Exercice 14 : Prouver un alignement ★★★

Exercice 15 : Une direction normalisée ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Déplacements d’un outil dans le plan

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

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Pour relier les notions