Le cours formel Un vecteur représente un déplacement
Intuition · Construire la notion pas à pas
Décrire un déplacement plutôt qu'une position. Un point indique un endroit ; un vecteur indique comment aller d'un endroit à un autre. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) part de A et arrive en B. Inverser les lettres inverse le déplacement.
Identifier trois caractéristiques. Un vecteur non nul possède une direction, un sens dans cette direction et une norme, c'est-à-dire une longueur. Deux flèches placées à des endroits différents représentent le même vecteur si ces trois caractéristiques coïncident.
Composer les déplacements. Aller de A à B puis de B à C revient à aller directement de A à C. C'est la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) . Le point d'arrivée du premier déplacement devient le départ du suivant.
Comprendre opposé et vecteur nul. Le déplacement de B vers A annule celui de A vers B. Leur somme est le vecteur nul, qui correspond à rester au même endroit. Sa norme vaut zéro et il n'a pas de direction définie.
Définition · Comprendre la notion
Un vecteur non nul possède une direction, un sens et une norme. Plusieurs flèches situées à des endroits différents peuvent représenter le même vecteur si ces trois caractéristiques sont identiques. \(\overrightarrow{AB}\) désigne le déplacement de A vers B. Son opposé est \(\overrightarrow{BA}\) . Le vecteur nul correspond à un déplacement sans mouvement ; sa norme vaut zéro et on ne lui attribue pas de direction. Pour additionner des déplacements, place-les bout à bout : la relation de Chasles donne \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) . L'ordre des lettres indique le départ et l'arrivée.
Exemple · Exemple commenté
Un trajet part de A, rejoint B, puis C, puis revient à A. Les deux premiers déplacements se simplifient en \(\overrightarrow{AC}\) . Le trajet total devient alors \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow0\) .
Cela signifie que le déplacement global est nul, mais pas que la distance parcourue est nulle. Le voyageur a bien suivi trois étapes et peut avoir parcouru une grande longueur. La somme vectorielle décrit seulement l'écart entre le point de départ et celui d'arrivée.
Deux flèches de même longueur pointant dans des directions différentes ne se compensent pas nécessairement et ne sont pas égales. Leur orientation compte autant que leur taille.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Un déplacement total nul ne signifie pas une distance parcourue nulle. Un aller-retour se compense vectoriellement tout en conservant une longueur de trajet positive.
À toi d’essayer
Pause 1 : Mets la notion à l’épreuve \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\)
\(\overrightarrow0\) \(2\overrightarrow{AB}\) \(\overrightarrow{AB}\) Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le second déplacement annule exactement le premier.
Indice 2 · Un pas de plus Le départ et l’arrivée du trajet complet sont tous deux A.
Voir l’explication \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow0.\]
Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan
Intuition · Construire la notion pas à pas
Comparer deux positions. Les coordonnées d'un point indiquent sa position dans un repère. Les coordonnées d'un vecteur indiquent les variations nécessaires pour aller du départ à l'arrivée. On calcule donc « arrivée moins départ » sur chaque axe.
Comprendre les signes. Une première composante positive indique un déplacement dans le sens positif du premier axe ; une seconde négative un déplacement dans le sens négatif du second. Soustraire une coordonnée négative peut produire une augmentation : \(3-(-1)=4\) .
Retrouver le point d'arrivée. Si A est connu et si \(\overrightarrow{AB}=(u;v)\) , on ajoute u à l'abscisse de A et v à son ordonnée. La soustraction inverse doit ensuite retrouver le vecteur donné.
Utiliser les égalités dans une figure. Dans un parallélogramme ABCD parcouru dans cet ordre, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) . L'ordre des lettres compte : \(\overrightarrow{CD}\) serait l'opposé de \(\overrightarrow{AB}\) .
Ces calculs de coordonnées sont valables dans tout repère. Les formules de longueurs, en revanche, demandent un repère orthonormé.
Définition · Comprendre la notion
Dans un repère, les coordonnées d'un point indiquent sa position ; celles d'un vecteur décrivent un déplacement. Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) ,
\[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).\]
On soustrait toujours départ à arrivée. Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées correspondantes sont égales. Pour construire l'arrivée B depuis A avec un déplacement \((u;v)\) , ajoute les coordonnées : \(B(x_A+u;y_A+v)\) . Ces règles ne demandent pas que le repère soit orthonormé ; les formules de longueur, elles, le demanderont.
Agrandir ↗ Exemple · Exemple commenté
Pour \(A(2;-1)\) et \(B(5;3)\) , on calcule
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (5-2;3-(-1))\\[.35em] &= (3;4).\end{aligned}\]
Il faut avancer de trois unités selon le premier axe et de quatre selon le second.
Le contrôle depuis le départ donne \((2+3;-1+4)=(5;3)\) , les coordonnées de B. En inversant le trajet,
\[\begin{aligned}\overrightarrow{BA} &= (2-5;-1-3)\\[.35em] &= (-3;-4)\end{aligned}\]
les deux composantes changent de signe.
La coordonnée verticale de B vaut 3, mais le déplacement vertical vaut 4 parce que l'on part de -1. Cela illustre la différence entre une position et une variation de position.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Pour un parallélogramme ABCD, compare AB avec DC, pas avec CD. Les côtés opposés de même vecteur doivent être orientés dans le même sens.
À toi d’essayer
Pause 2 : Mets la notion à l’épreuve Pour A(2;3), B(5;1), le vecteur AB vaut…
\((-3;2)\) \((3;-2)\) \((7;4)\) Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule B moins A composante par composante.
Indice 2 · Un pas de plus La première différence est \(5-2\) et la seconde \(1-3\) .
Voir l’explication \[\overrightarrow{AB}=(3;-2).\]
Additionner et multiplier des vecteurs
Intuition · Construire la notion pas à pas
Composer les composantes. Additionner deux vecteurs additionne leurs déplacements sur chaque axe. La première coordonnée se combine uniquement avec la première, et la seconde avec la seconde. Le résultat est encore un vecteur.
Multiplier un déplacement. Multiplier par k applique le même facteur à toutes les composantes. Si k est positif, le sens est conservé ; s'il est négatif, il est inversé. La longueur est multipliée par \(|k|\) , car elle ne peut pas être négative.
Lire une différence comme une somme. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé. Pour \(\vec u-\vec v\) , tous les signes des composantes de \(\vec v\) changent, pas seulement le premier. Les parenthèses évitent cette erreur.
Chercher un équilibre. Pour annuler plusieurs déplacements ou forces modélisées, on calcule d'abord leur résultante, puis on prend son opposé. La vérification exige que chaque composante de la somme soit nulle. Annuler seulement une coordonnée laisse un déplacement dans l'autre direction.
Définition · Comprendre la notion
Dans le plan, \((x;y)+(x';y')=(x+x';y+y')\) et \(k(x;y)=(kx;ky)\) . Géométriquement, la somme compose deux déplacements. Multiplier par un réel positif conserve le sens ; par un réel négatif, il l'inverse. La norme est multipliée par \(|k|\) . La différence \(\vec u-\vec v\) signifie \(\vec u+(-\vec v)\) . Elle ne correspond pas à une division de coordonnées. Ces règles servent notamment à composer des translations ou des forces modélisées par des vecteurs.
Exemple · Exemple commenté
Pour \(\vec u=(2;-1)\) et \(\vec v=(-3;4)\) , calculons \(2\vec u-\vec v\) . On commence par \(2\vec u=(4;-2)\) . Le vecteur opposé de \(\vec v\) est \((3;-4)\) .
La somme vaut donc \((4;-2)+(3;-4)=(7;-6)\) . En écriture directe, on obtient \((4-(-3);-2-4)\) , le même résultat.
Pour contrôler, on ajoute \(\vec v\) au résultat :
\[\begin{aligned}(7;-6)+(-3;4) &= (4;-2)\\[.35em] &= 2\vec u.\end{aligned}\]
Ce retour à l'expression initiale permet de détecter un signe oublié.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Un facteur ou un signe moins s'applique à toutes les coordonnées. Écrire les vecteurs entre parenthèses évite de ne modifier qu'une composante.
À toi d’essayer
Pause 3 : Mets la notion à l’épreuve \(-2(3;-1)=\)
\((-6;-2)\) \((6;2)\) \((-6;2)\) Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le facteur -2 multiplie les deux nombres.
Indice 2 · Un pas de plus Le produit de -2 par -1 est positif.
Voir l’explication
Reconnaître des directions parallèles
Intuition · Construire la notion pas à pas
Reconnaître un même axe de déplacement. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsque leurs directions sont parallèles. L'un peut être un agrandissement ou une réduction de l'autre, avec éventuellement un sens inversé.
Chercher un facteur unique. En coordonnées, on cherche k tel que \(\vec v=k\vec u\) . Le même k doit fonctionner pour chaque composante. Une première coordonnée peut proposer k ; les autres doivent le confirmer.
Traiter les zéros sans division interdite. Si une composante de \(\vec u\) est nulle, tous ses multiples gardent cette composante nulle. On vérifie donc d'abord la compatibilité des zéros, puis on utilise une composante non nulle pour calculer k.
Relier vecteurs et alignement. Pour trois points distincts A, B, C, on calcule les deux déplacements issus de A. S'ils sont colinéaires, les points sont alignés. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, mais il ne peut pas servir de direction à une droite.
Définition · Comprendre la notion
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Pour des vecteurs non nuls, ils ont des directions parallèles ; le sens peut être le même ou opposé. Avec des coordonnées, cherche un même coefficient k pour toutes les composantes. Les coordonnées nulles doivent être contrôlées séparément : on ne divise pas par zéro. Trois points distincts A, B, C sont alignés lorsque \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Deux droites dirigées par des vecteurs colinéaires sont parallèles ou confondues. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, mais ne définit pas une direction de droite.
Exemple · Exemple commenté
Les vecteurs \((2;3)\) et \((6;9)\) sont colinéaires : la première composante propose le facteur \(6/2=3\) et la seconde confirme \(3\times3=9\) . Le second vecteur est trois fois le premier, dans le même sens.
Pour \((2;3)\) et \((6;8)\) , la première composante impose encore 3, mais ce facteur produirait 9 au lieu de 8 sur la seconde. Aucun facteur unique ne convient, donc ils ne sont pas colinéaires.
Avec \((0;4)\) et \((0;-7)\) , on évite le quotient \(0/0\) . La seconde composante donne \(k=-7/4\) , et la première égalité \(0=k\times0\) est alors satisfaite. Le coefficient négatif décrit des sens opposés.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Deux quotients différents réfutent la colinéarité, mais une coordonnée nulle doit être contrôlée sans diviser par zéro. Un seul facteur doit fonctionner partout.
À toi d’essayer
Pause 4 : Mets la notion à l’épreuve \((2;5)\) et \((4;10)\) sont…
Égaux
Colinéaires
Opposés
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Compare les composantes avec un même multiplicateur.
Indice 2 · Un pas de plus \[4=2\times2\]
\[\text{et }10=2\times5.\]
Voir l’explication Les vecteurs sont colinéaires : le second est le double du premier, sans être son opposé ni lui être égal.
Mesurer un vecteur du plan
Intuition · Construire la notion pas à pas
Calculer une longueur à partir d'un déplacement. Dans un repère orthonormé, les composantes x et y forment les côtés perpendiculaires d'un triangle rectangle. La norme est donc \(\sqrt{x^2+y^2}\) par Pythagore.
Vérifier le repère. Les axes doivent être perpendiculaires et leurs unités de même longueur. Les règles d'addition des coordonnées ne demandent pas cette condition, mais la formule de norme l'utilise. Un dessin avec deux échelles différentes ne donne pas directement les longueurs réelles.
Commencer une distance par une différence. Pour une distance AB, on calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) puis leur norme. Utiliser les coordonnées de B seules donnerait la distance depuis l'origine.
Construire une direction unitaire. Pour un vecteur non nul, diviser toutes ses composantes par sa norme donne un vecteur de norme 1 et de même sens. Cette opération conserve la direction grâce à un facteur positif. On ne peut pas normaliser le vecteur nul par cette division.
Définition · Comprendre la notion
Dans un repère orthonormé, la norme de \(\vec u=(x;y)\) vaut \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\) . C'est la longueur d'un représentant, donc un nombre positif ou nul. La formule provient de Pythagore appliqué aux déplacements horizontal et vertical. Pour deux points, calcule d'abord les coordonnées de leur différence. Le repère doit avoir des axes perpendiculaires et des unités de même longueur. Sur un dessin dont les échelles diffèrent, la formule ne peut pas être appliquée directement aux longueurs visuelles. La norme de \(k\vec u\) vaut \(|k|\|\vec u\|\) .
Exemple · Exemple commenté
Pour \(A(-1;2)\) et \(B(2;6)\) , le déplacement est \(\overrightarrow{AB}=(3;4)\) . Sa norme vaut
\[\begin{aligned}\sqrt{3^2+4^2} &= \sqrt{25}\\[.35em] &= 5,\end{aligned}\]
donc AB mesure cinq unités.
Un vecteur unitaire de même sens est \((3/5;4/5)\) . Le carré de sa norme vaut \(9/25+16/25=1\) ; sa norme vaut donc 1. Le facteur \(1/5\) est positif, ce qui garde le sens initial.
Le vecteur opposé \((-3;-4)\) a lui aussi une norme 5. Le changement de signe des coordonnées modifie l'orientation, pas la longueur. Cela explique la formule \(\|k\vec u\|=|k|\|\vec u\|\) .
Attention · Comprendre une erreur fréquente
La norme d'une somme n'est pas généralement la somme des normes. Il faut additionner les vecteurs d'abord si l'on cherche la longueur du déplacement résultant.
À toi d’essayer
Pause 5 : Mets la notion à l’épreuve La norme de \((6;8)\) vaut…
14
10
100
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule les carrés 36 et 64.
Indice 2 · Un pas de plus Leur somme vaut 100, qui est le carré de la norme.
Voir l’explication La norme est \(\sqrt{100}=10\) .
Exercices progressifs Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.
Exercice 1 : Le vecteur opposé ★☆☆
Quel est l’opposé de \(\overrightarrow{MN}\) ? Compare leurs normes.
Exercice 2 : Un déplacement ★☆☆
\(A(1;4)\) et \(B(6;2)\) . Calcule \(\overrightarrow{AB}\) .
Exercice 3 : Une somme ★☆☆
\(\vec u=(3;2)\) et \(\vec v=(-1;5)\) . Calcule \(\vec u+\vec v\) .
Exercice 4 : Un même facteur ★☆☆
\((3;-2)\) et \((-6;4)\) sont-ils colinéaires ?
Exercice 5 : Une norme ★☆☆
Calcule la norme de \((-5;12)\) dans un repère orthonormé.
Exercice 6 : Deux déplacements ★★☆
Simplifie \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\) .
Exercice 7 : Retrouver une arrivée ★★☆
\(A(-2;3)\) et \(\overrightarrow{AB}=(4;-5)\) . Trouve B.
Exercice 8 : Une combinaison ★★☆
\(\vec u=(1;-2)\) , \(\vec v=(4;3)\) . Calcule \(3\vec u-2\vec v\) .
Exercice 9 : Coordonnée nulle ★★☆
Les vecteurs \((0;4)\) et \((0;-7)\) sont-ils colinéaires ? Et \((0;4)\) et \((2;0)\) ?
Exercice 10 : Une distance ★★☆
\(A(2;-1)\) et \(B(-4;7)\) . Calcule AB dans un repère orthonormé.
Exercice 11 : Même longueur, même vecteur ? ★★★
Deux flèches ont une longueur de 5 cm ; l’une pointe vers le nord, l’autre vers l’est. Représentent-elles le même vecteur ?
Exercice 12 : Un parallélogramme ★★★
\(A(0;1)\) , \(B(3;2)\) , \(D(-1;4)\) . Trouve C pour que ABCD soit un parallélogramme.
Exercice 13 : Un équilibre vectoriel ★★★
Deux forces sont représentées par \((6;2)\) et \((-1;3)\) . Quel troisième vecteur rend leur somme nulle ?
Exercice 14 : Prouver un alignement ★★★
\(A(1;2)\) , \(B(3;5)\) , \(C(7;11)\) . Sont-ils alignés ?
Exercice 15 : Une direction normalisée ★★★
\(\vec u=(3;4)\) . Trouve un vecteur de norme 1 et de même sens.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le déplacement opposé parcourt le même segment dans le sens inverse.
Construire la réponse.
L’opposé de \(\overrightarrow{MN}\) est \(\overrightarrow{NM}\) .
Les deux représentants ont la même direction et la même longueur MN, mais des sens contraires.
Vérifier. Leur somme correspond à aller de M à N puis revenir à M : elle vaut \(\overrightarrow0\) . Leurs normes sont donc égales, même si leurs vecteurs sont opposés.
Conclure. L’opposé est \(\overrightarrow{NM}\) et les deux normes valent MN.
Corrigé 2
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le déplacement va de A vers B ; on soustrait A à B.
Construire la réponse.
La composante horizontale vaut \(6-1=5\) .
La composante verticale vaut \(2-4=-2\) .
On obtient \(\overrightarrow{AB}=(5;-2)\) .
Vérifier. En ajoutant ce déplacement à A, on retrouve \((1+5;4-2)=(6;2)\) , soit B.
Conclure. \(\overrightarrow{AB}=(5;-2)\) .
Corrigé 3
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. On compose les deux déplacements en additionnant leurs composantes de même axe.
Construire la réponse.
La première composante vaut \(3+(-1)=2\) .
La seconde vaut \(2+5=7\) .
Vérifier. Le résultat moins \(\vec v\) donne \((2-(-1);7-5)=(3;2)\) , soit \(\vec u\) .
Conclure. \(\vec u+\vec v=(2;7)\) .
Corrigé 4
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. On cherche un même facteur transformant le premier vecteur en second.
Construire la réponse.
La première coordonnée impose
\[\begin{aligned}k &= -6/3\\[.35em] &= -2.\end{aligned}\]
La seconde vérifie \((-2)\times(-2)=4\) . Le même facteur convient.
Vérifier. \(-2(3;-2)=(-6;4)\) reproduit exactement les deux composantes. Le signe négatif inverse le sens sans changer la direction.
Conclure. Les vecteurs sont colinéaires, avec un facteur -2.
Corrigé 5
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. La norme est la racine de la somme des carrés des deux composantes.
Construire la réponse.
\[(-5)^2=25\]
\[\text{et }12^2=144.\]
La somme vaut 169, donc
\[\begin{aligned}\|\vec u\| &= \sqrt{169}\\[.35em] &= 13.\end{aligned}\]
Vérifier. La première composante négative n’entraîne pas une norme négative. Le résultat 13 est supérieur à chacune des valeurs absolues 5 et 12, comme une hypoténuse.
Conclure. La norme vaut 13.
Corrigé 6
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Les trois déplacements sont déjà écrits dans un ordre où les arrivées et départs s’enchaînent.
Construire la réponse.
Par Chasles, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) .
On poursuit : \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\) .
Vérifier. Le trajet global commence en A et se termine en D ; les points intermédiaires B et C disparaissent de la résultante.
Conclure. La somme vaut \(\overrightarrow{AD}\) .
Corrigé 7
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le départ et le déplacement sont connus ; on ajoute les deux composantes.
Construire la réponse.
L’abscisse d’arrivée est
\[\begin{aligned}x_B &= -2+4\\[.35em] &= 2.\end{aligned}\]
L’ordonnée d’arrivée est
\[\begin{aligned}y_B &= 3+(-5)\\[.35em] &= -2.\end{aligned}\]
Vérifier. La différence arrivée moins départ donne \((2-(-2);-2-3)=(4;-5)\) , exactement le vecteur imposé.
Conclure. \(B(2;-2)\) .
Corrigé 8
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Les multiplications doivent être effectuées avant la soustraction.
Construire la réponse.
\[\begin{aligned}3\vec u &= 3(1;-2)\\[.35em] &= (3;-6).\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}2\vec v &= 2(4;3)\\[.35em] &= (8;6).\end{aligned}\]
La différence est \((3-8;-6-6)=(-5;-12)\) .
Vérifier. Ajouter \(2\vec v\) au résultat donne
\[\begin{aligned}(-5+8;-12+6) &= (3;-6)\\[.35em] &= 3\vec u.\end{aligned}\]
Les deux composantes de la soustraction sont donc cohérentes.
Conclure. \(3\vec u-2\vec v=(-5;-12)\) .
Corrigé 9
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. La première coordonnée du vecteur \((0;4)\) interdit de calculer un quotient avec zéro ; on raisonne composante par composante.
Construire la réponse.
Pour \((0;-7)\) , on utilise la seconde coordonnée : \(k=-7/4\) . Alors \(k(0;4)=(0;-7)\) , donc colinéarité.
Pour \((2;0)\) , tout multiple de \((0;4)\) conserve une première coordonnée nulle. Il ne peut jamais produire 2.
Vérifier. Les deux premiers vecteurs sont verticaux. Le dernier est horizontal non nul, donc sa direction est différente, ce qui confirme le calcul.
Conclure. \((0;4)\) et \((0;-7)\) sont colinéaires ; \((0;4)\) et \((2;0)\) ne le sont pas.
Corrigé 10
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. On forme d’abord le déplacement de A vers B.
Construire la réponse.
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (-4-2;7-(-1))\\[.35em] &= (-6;8).\end{aligned}\]
La distance est
\[\begin{aligned}AB &= \sqrt{(-6)^2+8^2}\\[.35em] &= \sqrt{36+64}\\[.35em] &= 10.\end{aligned}\]
Vérifier. Le vecteur inverse \((6;-8)\) donne la même somme de carrés, donc la même distance. L’ordre des points ne change pas AB.
Conclure. \(AB=10\) unités.
Corrigé 11
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. La longueur n’est qu’une des trois caractéristiques d’un vecteur non nul.
Construire la réponse.
Les deux normes valent 5 cm : cette caractéristique est identique.
La première flèche suit la direction nord-sud et la seconde est-ouest : leurs directions diffèrent.
La condition d’égalité des vecteurs n’est donc pas satisfaite.
Vérifier. Déplacer la première flèche sans la tourner ne lui permettrait pas de coïncider avec la seconde. La position peut changer, mais pas l’orientation d’un représentant du même vecteur.
Conclure. Non : les normes sont égales, mais les vecteurs ne sont pas les mêmes.
Corrigé 12
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le parallélogramme est nommé dans l’ordre ABCD ; le déplacement de B à C doit reproduire celui de A à D.
Construire la réponse.
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= (-1-0;4-1)\\[.35em] &= (-1;3).\end{aligned}\]
On impose \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) et l’on ajoute ce vecteur à B :
\[\begin{aligned}C &= (3-1;2+3)\\[.35em] &= (2;5).\end{aligned}\]
Vérifier.
\[\begin{aligned}\overrightarrow{DC} &= (2-(-1);5-4)\\[.35em] &= (3;1)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\text{et }\overrightarrow{AB} &= (3-0;2-1)\\[.35em] &= (3;1).\end{aligned}\]
L’autre paire de côtés confirme le parallélogramme.
Conclure. Le point recherché est \(C(2;5)\) .
Corrigé 13
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le troisième vecteur doit compenser la résultante des deux premiers.
Construire la réponse.
La somme connue vaut \((6;2)+(-1;3)=(5;5)\) .
Son opposé est \((-5;-5)\) .
Vérifier. La somme des trois vecteurs vaut \((6-1-5;2+3-5)=(0;0)\) : les deux composantes sont annulées.
Conclure. Le vecteur recherché est \((-5;-5)\) .
Corrigé 14
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Pour tester l’alignement, on compare deux déplacements issus du même point A.
Construire la réponse.
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (3-1;5-2)\\[.35em] &= (2;3).\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= (7-1;11-2)\\[.35em] &= (6;9).\end{aligned}\]
On constate \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\) .
Vérifier. Le point C s’obtient depuis A en effectuant trois fois le déplacement vers B. Il appartient donc à la même droite, au-delà de B.
Conclure. A, B et C sont alignés.
Corrigé 15
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. On veut conserver la direction et le sens, mais réduire la longueur à 1.
Construire la réponse.
La norme de \((3;4)\) vaut
\[\begin{aligned}\sqrt{3^2+4^2} &= \sqrt{9+16}\\[.35em] &= 5.\end{aligned}\]
On multiplie le vecteur par \(1/5\) : \(\vec v=(3/5;4/5)\) .
Sa norme vaut
\[\begin{aligned}\sqrt{9/25+16/25} &= \sqrt1\\[.35em] &= 1.\end{aligned}\]
Vérifier. Le facteur \(1/5\) est positif, donc le sens est conservé. Multiplier par \(-1/5\) aurait donné une norme 1 mais le sens opposé.
Conclure. Un vecteur unitaire de même sens est \((3/5;4/5)\) .
