Intérêts simples, coûts et résultat · Première professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Une décision de production associe résultat, coût moyen, coût supplémentaire et financement. Chaque indicateur répond à une question précise. Ton parcours. Module destiné aux spécialités de baccalauréat professionnel ne comportant pas d’enseignement de physique-chimie. Vérifie cette condition dans le parcours de ta spécialité.

Les intérêts simples.
Taux proportionnels et durées.
Coût, recette et résultat.
Coût marginal et dérivée.
Coût moyen et choix de production.

L’idée avant la formule

Le coût moyen répartit toutes les dépenses. Le coût marginal mesure ce qu’ajoute une unité. Leur distinction évite de comparer des nombres qui ne décrivent pas la même chose.

Le cours formel

Les intérêts simples

Intuition · Construire la notion pas à pas

Conserver la même base. À intérêts simples, chaque période calcule les intérêts sur le capital initial C. Les intérêts déjà obtenus ne produisent pas eux-mêmes d'intérêts. Avec un taux annuel t, une année produit Ct ; deux années produisent 2Ct.

Rendre la durée compatible avec le taux. Pour un taux annuel, la durée d doit être exprimée en années. Six mois donnent

\begin{aligned}d &= 6/12\\[.35em] &= 0{,}5;\end{aligned}

huit mois donnent $$8/12$$ . On obtient alors $$I=Ctd$$ , où I désigne uniquement les intérêts.

Distinguer intérêts et valeur acquise. La somme finale contient aussi le capital de départ :

\begin{aligned}V &= C+I\\[.35em] &= C(1+td).\end{aligned}

Une question portant sur les intérêts ne demande pas cette somme totale, et inversement.

Lire la convention pour les jours. Une durée de 45 jours peut être convertie en $$45/360$$ ou $$45/365$$ année selon le modèle donné. On ne choisit pas cette convention arbitrairement. Les exercices précisent les taux et les hypothèses ; le calcul ne remplace pas les conditions d'un contrat.

Taux proportionnels et durées

Intuition · Construire la notion pas à pas

Partager une année sans capitalisation. Dans un modèle simple, l'intérêt est proportionnel à la durée. Un mois représente un douzième d'année, donc le taux mensuel proportionnel est le taux annuel divisé par 12. Un trimestre représente un quart d'année, donc on divise par 4.

Garder les unités des taux. Un taux de 0,75 pour cent par mois s'écrit 0,0075 en décimal. Le nombre 0,75 n'est pas ce taux décimal : il correspondrait à 75 pour cent. Écrire l'unité « par mois » ou « par an » évite aussi de mélanger les périodes.

Ne pas remplacer une équivalence composée par une proportion. Si les intérêts s'ajoutent au capital chaque mois, les douze coefficients se multiplient. Le taux annuel effectif n'est alors généralement pas douze fois le taux mensuel. La division simple concerne la convention proportionnelle annoncée.

Appliquer une convention de jours donnée. Avec une année de 360 jours, 90 jours représentent un quart d'année. Avec 365 jours, la fraction serait $$90/365$$ . Ces deux conventions produisent des calculs différents ; l'énoncé doit indiquer laquelle utiliser.

Coût, recette et résultat

Intuition · Construire la notion pas à pas

Séparer les trois grandeurs. Le coût C représente les charges retenues dans le modèle. La recette R représente les sommes issues des ventes. Le résultat B est ce qui reste après paiement de ces coûts : $$B=R-C$$ . Une recette élevée ne garantit donc pas un bénéfice.

Construire une recette. Si toutes les x unités sont vendues au même prix p, $$R(x)=px$$ . Cette formule suppose bien la vente de toute la production ; un stock invendu ou une variation du prix demanderait un autre modèle.

Lire le seuil. Le résultat est nul lorsque la recette compense exactement le coût. Résoudre $$B(x)=0$$ donne un seuil mathématique, puis l'étude du signe indique les zones de perte et de bénéfice. Pour des quantités entières, on adapte la frontière aux productions réalisables.

Respecter la capacité. Une activité peut posséder un seuil théorique mais ne pas pouvoir l'atteindre. On doit donc étudier le résultat seulement sur le domaine autorisé et contrôler le meilleur résultat accessible. Les bases HT et TTC et le périmètre des charges doivent rester cohérents.

Coût marginal et dérivée

Intuition · Construire la notion pas à pas

Mesurer le coût d'un ajout. Le coût exact de passer de x à $$x+1$$ unités est $$C(x+1)-C(x)$$ . Il faut soustraire le coût déjà engagé ; le seul montant $$C(x+1)$$ est le coût total de toute la nouvelle production.

Relier différence et dérivée. Dans un modèle continu dérivable, la dérivée décrit le taux de variation local. Pour un petit accroissement h, $C(x+h)-C(x)\approx hC'(x)$ . Prendre h égal à 1 donne une approximation du coût d'une unité supplémentaire, si cette unité est assez petite à l'échelle du modèle.

Distinguer coût marginal et coût moyen. Le coût moyen $$C(x)/x$$ répartit le total sur les unités existantes. Le coût marginal s'intéresse à l'augmentation du total. Ces deux questions ne donnent généralement pas le même nombre.

Passer au résultat. Avec un prix unitaire constant p, $$B'(x)=p-C'(x)$$ . Si cette dérivée est positive, une petite augmentation de production améliore le résultat. Un maximum exige une étude du changement de signe et du domaine, et sa valeur peut rester négative.

Coût moyen et choix de production

Intuition · Construire la notion pas à pas

Répartir un total. Produire x unités pour un coût total C revient en moyenne à un coût $$C/x$$ par unité. Cette définition exige $$x>0$$ : on ne répartit pas un coût sur zéro unité.

Comprendre l'effet d'un coût fixe. Si $$C(x)=F+vx$$ , la division donne $$C_m(x)=F/x+v$$ . Le coût fixe F se répartit sur davantage d'unités lorsque x augmente ; sa part unitaire diminue. Le coût variable unitaire v reste inchangé.

Ne pas confondre baisse unitaire et baisse totale. Le coût moyen peut diminuer alors que le coût total augmente. Produire davantage mobilise plus de dépenses, mais les répartit sur un nombre encore plus grand d'unités.

Rechercher un minimum sur le domaine. Avec une formule plus complexe, le coût moyen peut d'abord baisser puis remonter. On étudie sa dérivée sur les quantités strictement positives autorisées, puis on contrôle les bornes et les productions entières si nécessaire. Minimiser le coût moyen ne répond pas automatiquement à la question du bénéfice total maximal.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Un an ★☆☆

Calcule les intérêts de 1 500 euros à $4\,\%$ annuel pendant un an.

Exercice 2 : Taux mensuel ★☆☆

Calcule le taux mensuel proportionnel à $9\,\%$ annuel.

Exercice 3 : Construire la recette ★☆☆

Un produit se vend 12 euros l’unité. Écris R(x) et calcule R(80).

Exercice 4 : Une différence de coûts ★☆☆

$$C(x)=3x+50$$ . Calcule le coût exact d’une unité supplémentaire.

Exercice 5 : Un coût unitaire moyen ★☆☆

Le coût total de 50 unités vaut 800 euros. Calcule le coût moyen.

Exercice 6 : Une durée en mois ★★☆

Calcule les intérêts de 3 600 euros à $5\,\%$ annuel pendant 4 mois.

Exercice 7 : Durée trimestrielle ★★☆

Un capital de 4 000 euros est placé à $8\,\%$ annuel simple pendant deux trimestres. Calcule I.

Exercice 8 : Un seuil ★★☆

$$C(x)=300+6x$$ , $$R(x)=10x$$ . Trouve le seuil de rentabilité.

Exercice 9 : Comparer exact et approché ★★☆

$$C(x)=2x^2+5x+20$$ . Compare $$C(11)-C(10)$$ à $C^{\prime}(10)$ .

Exercice 10 : Coûts fixes répartis ★★☆

$$C(x)=120+3x$$ . Compare les coûts moyens à 20 et 60 unités.

Exercice 11 : Retrouver une durée ★★★

À intérêts simples de $6\,\%$ annuel, 2 000 euros rapportent 90 euros. Trouve la durée en mois.

Exercice 12 : Convention journalière ★★★

Calcule les intérêts de 7 200 euros à $5\,\%$ simple pendant 45 jours, avec une année conventionnelle de 360 jours.

Exercice 13 : Une capacité limitée ★★★

$$B(x)=5x-600$$ , avec une capacité de 100 unités. L’activité peut-elle être rentable dans ce modèle ?

Exercice 14 : Produire davantage ? ★★★

$$C(x)=x^2+4x+80$$ et le prix unitaire est 20. Étudie le signe de la dérivée du résultat pour x $\ge$ 0.

Exercice 15 : Un minimum ★★★

$$C_m(x)=x+100/x$$ pour $$x>0$$ . Détermine son minimum.

Problème : Pour aller plus loin

Financer une production et étudier ses coûts

Le coût total est $$C(x)=x^2+10x+100$$ euros pour 1 $\le$ x $\le$ 20 unités. Chaque unité est vendue 40 euros. Un financement de 600 euros est disponible à 6 % annuel simple pendant 4 mois.

Calcule recette et résultat pour x unités.
Étudie le maximum du résultat sur le domaine.
Compare le coût exact de la 11e unité à la dérivée $C^{\prime}$ (10).
Calcule le coût moyen en x = 10 et interprète.
Calcule les intérêts du financement et leur effet sur le résultat si cette charge n’est pas déjà incluse dans C.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On étudie d’abord les variations du résultat, puis son signe à la meilleure production.

Construire la réponse.

La recette est $$20x$$ et le résultat
$\begin{aligned}B(x) &= 20x-(x^2+4x+80)\\[.35em] &= -x^2+16x-80.\end{aligned}$
$B^{\prime}(x)=16-2x$ . Cette dérivée est positive pour $0\le x<8$ , nulle en 8 et négative pour $$x>8$$ .
B augmente donc jusqu’à 8 puis diminue : son maximum sur les réels positifs est atteint en 8.
La valeur maximale est
$\begin{aligned}B(8) &= -64+128-80\\[.35em] &= -16.\end{aligned}$

Vérifier. La forme $$B(x)=-(x-8)^2-16$$ confirme que le résultat ne dépasse jamais -16. Un maximum n’est donc pas nécessairement un bénéfice.

Conclure. Le meilleur résultat est atteint pour 8 unités, mais il reste une perte de 16 unités monétaires dans ce modèle.

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La recette est le prix unitaire multiplié par la quantité vendue ; le résultat retire ensuite tous les coûts du modèle.

Construire la réponse.
1. Si toutes les unités sont vendues au prix de 40 euros, $$R(x)=40x$$ .
2. Le résultat est
  $\begin{aligned}B(x) &= R(x)-C(x)\\[.35em] &= 40x-(x^2+10x+100).\end{aligned}$
3. En distribuant le signe moins, $$B(x)=-x^2+30x-100$$ .
Vérifier. Les trois termes du coût doivent être soustraits, y compris le coût fixe 100.

Conclure. $$R(x)=40x$$ et $$B(x)=-x^2+30x-100$$ euros sur [1;20].
Comprendre la question. On cherche le meilleur résultat dans le domaine de production autorisé.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}B^{\prime}(x) &= -2x+30\\[.35em] &= -2(x-15).\end{aligned}$
2. La dérivée est positive avant 15 puis négative après : B croît puis décroît.
3. $\begin{aligned}B(15) &= -225+450-100\\[.35em] &= 125\end{aligned}$
  euros.
4. Aux bornes, $$B(1)=-71$$ et $$B(20)=100$$ euros. La valeur 125 est la plus grande.
Vérifier. Le choix 15 est entier et appartient au domaine. Il reste donc réalisable même si la production doit être un nombre entier d’unités.

Conclure. Le résultat maximal est de 125 euros pour 15 unités.
Comprendre la question. Le coût exact d’une unité supplémentaire est une différence de coûts totaux ; la dérivée est une approximation locale.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}C(10) &= 100+100+100\\[.35em] &= 300\end{aligned}$
  euros.
2. $\begin{aligned}C(11) &= 121+110+100\\[.35em] &= 331\end{aligned}$
  euros, donc la onzième unité ajoute $$331-300=31$$ euros.
3. La dérivée est $C^{\prime}(x)=2x+10$ , d’où $C^{\prime}(10)=30$ .
Vérifier. Le passage de 10 à 11 a une amplitude 1 : l’approximation par la tangente ne tient pas compte du terme quadratique supplémentaire, ici égal à 1 euro.

Conclure. Le coût exact supplémentaire est 31 euros ; l’approximation par la dérivée est 30 euros.
Comprendre la question. Le coût moyen répartit le coût total sur toutes les unités produites.

Construire la réponse.
1. Pour dix unités, le coût total est 300 euros.
2. Le coût moyen vaut donc
  $\begin{aligned}C(10)/10 &= 300/10\\[.35em] &= 30\end{aligned}$
  euros par unité.
3. On peut aussi écrire $$C(x)/x=x+10+100/x$$ : la dernière fraction répartit le coût fixe.
Vérifier. Cette moyenne ne donne pas le coût exact de la dernière unité. Son égalité numérique avec la dérivée en 10 est particulière aux données choisies.

Conclure. À dix unités, le coût moyen est de 30 euros par unité.
Comprendre la question. Le taux est annuel et la durée quatre mois doit être convertie en années.

Construire la réponse.
1. La durée vaut $$4/12=1/3$$ année.
2. Les intérêts simples sont $600\times0{,}06\times(1/3)=12$ euros.
3. Si ces intérêts ne figurent pas déjà dans C, le résultat net devient B moins 12.
4. Cette charge constante ne change pas la quantité optimale 15, mais réduit le maximum à $$125-12=113$$ euros.
Vérifier. Le coût d’une année entière serait 36 euros ; quatre mois en représentent le tiers. Il faut éviter de soustraire deux fois une charge déjà incluse.

Conclure. Les intérêts sont 12 euros ; s’ils s’ajoutent aux coûts du modèle, le maximum net devient 113 euros.

Variante autonome et bilan

Pour $$C(x)=2x^2+50$$ et un prix de 20 euros, trouve le résultat maximal sur [1;10].

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante peut avoir un maximum sans produire un bénéfice positif.

Construire la réponse.

La recette est $$20x$$ et le résultat
$\begin{aligned}B(x) &= 20x-(2x^2+50)\\[.35em] &= -2x^2+20x-50.\end{aligned}$
La dérivée $$20-4x$$ s’annule en 5, est positive avant et négative après.
$\begin{aligned}B(5) &= -50+100-50\\[.35em] &= 0.\end{aligned}$
Aux bornes, $$B(1)=-32$$ et $$B(10)=-50$$ .

Vérifier. La forme $$B(x)=-2(x-5)^2$$ confirme que le résultat ne peut pas dépasser zéro.

Conclure. Le maximum est zéro euro pour cinq unités : le modèle atteint seulement l’équilibre financier.

Je peux expliquer : les intérêts simples.
Je peux expliquer : taux proportionnels et durées.
Je peux expliquer : coût, recette et résultat.
Je peux expliquer : coût marginal et dérivée.
Je peux expliquer : coût moyen et choix de production.

Fiche-mémoire

Les intérêts simples.

Repère le capital initial, le taux et sa période de référence.
Convertis le taux en décimal et la durée dans la même unité de temps.
Calcule $$I=Ctd$$ , ou résous cette relation si une donnée est inconnue.
Ajoute le capital seulement si la valeur acquise est demandée.
Contrôle les unités, la convention de durée et la proportionnalité du résultat.

Taux proportionnels et durées.

Identifie le modèle simple et la convention proportionnelle.
Compte le nombre de périodes dans l’année : 12 mois, 4 trimestres ou la base de jours donnée.
Divise le taux annuel par ce nombre pour obtenir un taux par période.
Utilise un taux décimal et un nombre de périodes compatibles.
Contrôle le calcul en revenant à une fraction d’année.

Coût, recette et résultat.

Définis x et son domaine : entier ou réel, capacité maximale et ventes possibles.
Écris coût et recette sur une même base monétaire.
Calcule $$B=R-C$$ en distribuant correctement le signe moins.
Résous $$B=0$$ puis étudie le signe sur le domaine autorisé.
Contrôle les quantités proches du seuil et précise nul, positif ou négatif.

Coût marginal et dérivée.

Distingue coût total, coût moyen et coût de l’unité supplémentaire.
Pour l’exact, calcule $$C(x+1)-C(x)$$ avec les parenthèses.
Pour l’approximation locale, calcule $C^{\prime}(x)$ et précise l’accroissement utilisé.
Pour un résultat, étudie le signe de $p-C^{\prime}(x)$ sur le domaine.
Calcule la valeur du résultat à l’optimum avant de parler de bénéfice.

Coût moyen et choix de production.

Vérifie que la quantité produite est strictement positive.
Écris $$C_m(x)=C(x)/x$$ et simplifie terme par terme.
Calcule les valeurs demandées ou étudie la dérivée sur le domaine autorisé.
Pour un minimum, contrôle le changement de signe et les bornes.
Exprime le résultat par unité et distingue cet objectif du coût total ou du bénéfice.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

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L’idée avant la formule

Le cours formel

Les intérêts simples

Taux proportionnels et durées

Coût, recette et résultat

Coût marginal et dérivée

Coût moyen et choix de production

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Un an ★☆☆

Exercice 2 : Taux mensuel ★☆☆

Exercice 3 : Construire la recette ★☆☆

Exercice 4 : Une différence de coûts ★☆☆

Exercice 5 : Un coût unitaire moyen ★☆☆

Exercice 6 : Une durée en mois ★★☆

Exercice 7 : Durée trimestrielle ★★☆

Exercice 8 : Un seuil ★★☆

Exercice 9 : Comparer exact et approché ★★☆

Exercice 10 : Coûts fixes répartis ★★☆

Exercice 11 : Retrouver une durée ★★★

Exercice 12 : Convention journalière ★★★

Exercice 13 : Une capacité limitée ★★★

Exercice 14 : Produire davantage ? ★★★

Exercice 15 : Un minimum ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Financer une production et étudier ses coûts

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions