Produit scalaire et applications · Première STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si A(1 ; 2) et B(4 ; 6), quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

(5 ; 8)(3 ; 4)(−3 ; −4)

2. Que vaut (2 ; −3) + (−5 ; 1) ?

(−10 ; −3)(−3 ; −2)(7 ; −4)

3. Dans un repère orthonormé, quel est le carré de la norme de u=(−2 ; 1) ?

−35√5

4. Dans un triangle rectangle, cos(α) correspond à quel quotient pour un angle aigu α ?

Hypoténuse / côté adjacentCôté opposé / hypoténuseCôté adjacent / hypoténuse

5. Quelle est la solution de 2x − 6 = 0 ?

−336

Pourquoi ce chapitre ?

Le produit scalaire relie coordonnées, angles et projections. Il permet de quantifier la part d’un effort dans une direction et de vérifier une perpendicularité. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan.
Produit scalaire en coordonnées.
Relier produit scalaire et angle.
Projeter un vecteur sur un axe.
Longueurs, angles et identité du parallélogramme.

L’idée avant la formule

Seule la composante d’un vecteur dans la direction du déplacement contribue au produit scalaire. Deux vecteurs perpendiculaires donnent une contribution nulle.

Le cours formel

Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comparer deux positions. Les coordonnées d'un point indiquent sa position dans un repère. Les coordonnées d'un vecteur indiquent les variations nécessaires pour aller du départ à l'arrivée. On calcule donc « arrivée moins départ » sur chaque axe.

Comprendre les signes. Une première composante positive indique un déplacement dans le sens positif du premier axe ; une seconde négative un déplacement dans le sens négatif du second. Soustraire une coordonnée négative peut produire une augmentation : $$3-(-1)=4$$ .

Retrouver le point d'arrivée. Si A est connu et si $\overrightarrow{AB}=(u;v)$ , on ajoute u à l'abscisse de A et v à son ordonnée. La soustraction inverse doit ensuite retrouver le vecteur donné.

Utiliser les égalités dans une figure. Dans un parallélogramme ABCD parcouru dans cet ordre, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ . L'ordre des lettres compte : $\overrightarrow{CD}$ serait l'opposé de $\overrightarrow{AB}$ .

Ces calculs de coordonnées sont valables dans tout repère. Les formules de longueurs, en revanche, demandent un repère orthonormé.

Schéma : Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan

Produit scalaire en coordonnées

Intuition · Construire la notion pas à pas

Transformer deux directions en un nombre. Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel. Il permet notamment de reconnaître des directions perpendiculaires sans mesurer un angle sur le dessin.

Calculer dans un repère orthonormé. Pour $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ , on multiplie les coordonnées de même position puis on additionne : $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ . Les conditions sur le repère sont essentielles : axes perpendiculaires et même unité sur les axes.

Comprendre le résultat nul. Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul exactement lorsque leurs directions sont perpendiculaires. Les deux produits peuvent être non nuls et se compenser. Il ne faut donc pas exiger que chaque produit soit nul séparément.

Passer des points aux vecteurs. Pour tester un angle en A, calcule les deux vecteurs qui partent de A. Chaque coordonnée est celle de l'arrivée moins celle du départ. Tester AB et BC étudierait une autre paire de directions.

Le produit scalaire est symétrique : changer l'ordre des vecteurs ne change pas le nombre obtenu. De plus,

\begin{aligned}\vec u\cdot\vec u &= x^2+y^2\\[.35em] &= \|\vec u\|^2,\end{aligned}

ce qui relie ce nouvel outil aux distances.

Relier produit scalaire et angle

Intuition · Construire la notion pas à pas

Relier directions et longueurs. Pour deux vecteurs non nuls faisant un angle $\theta$ compris entre 0 et $\pi$ , le produit scalaire vaut $\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$ . Le cosinus mesure la part de l'une des directions qui va dans le sens de l'autre.

Lire le signe avant de calculer l'angle. Les normes sont positives. Le signe du produit scalaire est donc celui du cosinus : positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus. Un produit négatif ne signifie pas une longueur négative.

Retrouver un angle. Si les normes et le produit sont connus, divise le produit scalaire par le produit des normes. Tu obtiens le cosinus, pas encore l'angle. Utilise ensuite la fonction inverse du cosinus, en vérifiant le mode degrés ou radians de la calculatrice.

Vérifier les conditions. Le quotient doit appartenir à $$[-1;1]$$ . Sinon, les données ou le calcul sont incohérents. Si l'un des vecteurs est nul, son produit scalaire est nul mais on ne peut pas lui attribuer une direction ni calculer cet angle par division.

Projeter un vecteur sur un axe

Intuition · Construire la notion pas à pas

Mesurer la part qui suit une direction. Un déplacement oblique peut se décomposer en une composante le long d'un axe et une composante perpendiculaire. La projection orthogonale conserve la première et retire la seconde.

Orienter l'axe. Un vecteur unitaire $\vec e$ fixe le sens positif et a une norme égale à 1. La composante algébrique de $\vec u$ sur cet axe est $a=\vec u\cdot\vec e$ . Elle peut être positive, nulle ou négative. Sa valeur absolue donne la longueur projetée, tandis que son signe indique le sens.

Distinguer un nombre d'un vecteur. La composante a est un nombre. Le vecteur projeté est $a\vec e$ , avec des coordonnées. Multiplier par $\vec e$ reconstitue une flèche dans la direction choisie.

Contrôler la projection. La différence $\vec u-a\vec e$ est perpendiculaire à l'axe. Son produit scalaire avec $\vec e$ doit donc être nul. Si le vecteur directeur donné n'est pas unitaire, normalise-le d'abord en le divisant par sa norme, ou utilise la formule adaptée avec le carré de sa norme au dénominateur.

Longueurs, angles et identité du parallélogramme

Intuition · Construire la notion pas à pas

Prolonger le théorème de Pythagore. Dans un triangle qui n'est pas nécessairement rectangle, les deux côtés connus et l'angle compris entre eux déterminent le troisième côté. La formule d'Al-Kashi ajoute un terme qui tient compte de cet angle.

Pour les côtés AB et AC entourant l'angle A, on a $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\,AC\cos A$ . Le côté isolé à gauche est celui qui fait face à l'angle utilisé.

Comprendre le terme croisé. Comme $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ , développer le carré de la norme donne les deux carrés des longueurs moins deux fois le produit scalaire. La formule du produit scalaire fait apparaître le cosinus. À $90^\circ$ , il s'annule et on retrouve Pythagore.

Lire la cohérence géométrique. À longueurs AB et AC fixées, ouvrir davantage l'angle augmente le côté opposé. Un angle aigu donne un carré inférieur à la somme des deux carrés ; un angle obtus donne un carré supérieur.

Dans un parallélogramme, les diagonales correspondent aux vecteurs $\vec u+\vec v$ et $\vec u-\vec v$ . La somme de leurs carrés vaut $2\|\vec u\|^2+2\|\vec v\|^2$ , car les termes croisés se compensent.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Un déplacement ★☆☆

$$A(1;4)$$ et $$B(6;2)$$ . Calcule $\overrightarrow{AB}$ .

Exercice 2 : Calcul direct ★☆☆

$\vec u=(3;2)$ , $\vec v=(4;-1)$ . Calcule leur produit scalaire.

Exercice 3 : À partir d’un angle ★☆☆

Deux vecteurs ont des normes 3 et 4 et un angle de $60^\circ$ . Calcule leur produit scalaire.

Exercice 4 : Projection horizontale ★☆☆

Le vecteur $$(4;-3)$$ est exprimé dans un repère orthonormé. Donne sa projection sur l’axe horizontal.

Exercice 5 : Retrouver Pythagore ★☆☆

Que devient Al-Kashi si l’angle entre AB et AC vaut $90^\circ$ ?

Exercice 6 : Retrouver une arrivée ★★☆

$$A(-2;3)$$ et $\overrightarrow{AB}=(4;-5)$ . Trouve B.

Exercice 7 : Une perpendicularité ★★☆

$$A(1;1)$$ , $$B(4;3)$$ , $$C(-1;4)$$ . Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

Exercice 8 : Retrouver un angle ★★☆

Deux vecteurs ont des normes 2 et 5 et un produit scalaire $$-5$$ . Trouve leur angle.

Exercice 9 : Composante signée ★★☆

Un vecteur de norme 8 fait un angle de $120^\circ$ avec un axe orienté. Calcule sa composante.

Exercice 10 : Une longueur oblique ★★☆

Deux côtés d’un triangle mesurent 4 et 7 cm, avec un angle compris de $60^\circ$ . Calcule le troisième côté.

Exercice 11 : Un parallélogramme ★★★

$$A(0;1)$$ , $$B(3;2)$$ , $$D(-1;4)$$ . Trouve C pour que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 12 : Déterminer une coordonnée ★★★

Pour quelle valeur de t les vecteurs $$(2;3)$$ et $$(t;-4)$$ sont-ils orthogonaux ?

Exercice 13 : Un travail de force ★★★

Une force de 40 N agit sur un déplacement de 3 m faisant un angle de $60^\circ$ avec elle. Calcule le travail $W=\vec F\cdot\vec d$ et compare au cas parallèle.

Exercice 14 : Projection sur une direction oblique ★★★

$\vec u=(3;1)$ et $\vec e=(1/\sqrt2;1/\sqrt2)$ . Vérifie que e est unitaire puis calcule la projection vectorielle de u sur sa direction.

Exercice 15 : Diagonales d’un parallélogramme ★★★

Un parallélogramme a des côtés de 3 et 5 cm. Une diagonale mesure 6 cm. Calcule l’autre avec l’identité du parallélogramme.

Problème : Pour aller plus loin

Orientation d’un effort

Dans un repère orthonormé, $\vec u=(3;4)$ et $\vec v=(4;0)$ . Les longueurs sont exprimées dans la même unité.

Calcule les normes et le produit scalaire.
Détermine le cosinus de l’angle entre les vecteurs et une valeur approchée en degrés.
Calcule la projection algébrique de u sur la direction de v.
Calcule la norme de u - v par coordonnées puis avec la formule utilisant le produit scalaire.
Un vecteur w = (-4;3) est-il orthogonal à u ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le repère orthonormé permet les formules de norme et de produit scalaire en coordonnées.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}\|\vec u\| &= \sqrt{3^2+4^2}\\[.35em] &= \sqrt{25}\\[.35em] &= 5.\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}\|\vec v\| &= \sqrt{4^2+0^2}\\[.35em] &= 4.\end{aligned}$
3. $\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= 3\times4+4\times0\\[.35em] &= 12.\end{aligned}$
Vérifier. Les normes sont positives et les deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.

Conclure. Les normes valent 5 et 4 ; le produit scalaire vaut 12.
Comprendre la question. L’angle s’obtient en normalisant le produit scalaire par les deux normes.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}\cos\theta &= (\vec u\cdot\vec v)/(\|\vec u\|\|\vec v\|)\\[.35em] &= 12/(5\times4)\\[.35em] &= 3/5\\[.35em] &= 0{,}6.\end{aligned}$
2. On utilise la fonction inverse du cosinus en mode degrés :
  $\begin{aligned}\theta &= \arccos(0{,}6)\\[.35em] &\approx 53{,}13^\circ.\end{aligned}$
Vérifier. Le quotient est entre -1 et 1. Le produit scalaire positif annonçait un angle aigu, comme le résultat obtenu.

Conclure. Le cosinus vaut $$3/5$$ et l’angle environ $53{,}13^\circ$ .
Comprendre la question. La projection algébrique exige une direction orientée par un vecteur unitaire.

Construire la réponse.
1. Le vecteur unitaire de la direction de v est
  $\begin{aligned}\vec e &= \vec v/\|\vec v\|\\[.35em] &= (1;0).\end{aligned}$
2. La composante de u vaut $\vec u\cdot\vec e=3$ . On retrouve aussi
  $\begin{aligned}(\vec u\cdot\vec v)/\|\vec v\| &= 12/4\\[.35em] &= 3.\end{aligned}$
3. Le vecteur projeté correspondant est $3\vec e=(3;0)$ .
Vérifier. La composante est la coordonnée horizontale de u, cohérente avec la direction horizontale positive de v.

Conclure. La projection algébrique vaut 3 unités ; elle est positive dans le sens de v.
Comprendre la question. Deux méthodes indépendantes doivent donner la même distance.

Construire la réponse.
1. Par coordonnées,
  $\begin{aligned}\vec u-\vec v &= (3-4;4-0)\\[.35em] &= (-1;4),\end{aligned}$
  donc sa norme vaut $\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}$ .
2. Par produit scalaire, $\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-2\vec u\cdot\vec v$ .
3. On remplace par $25+16-2\times12=17$ , puis prend la racine positive.
Vérifier. La formule avec l’angle donne aussi $25+16-2\times5\times4\times(3/5)=17$ : c’est la même relation d’Al-Kashi.

Conclure. La norme de la différence vaut $\sqrt{17}\approx4{,}12$ unités.
Comprendre la question. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Construire la réponse.
1. On calcule
  $\begin{aligned}\vec u\cdot\vec w &= 3(-4)+4\times3\\[.35em] &= -12+12\\[.35em] &= 0.\end{aligned}$
2. Les deux vecteurs sont non nuls, donc le critère d’orthogonalité s’applique.
Vérifier. Le vecteur (-4;3) s’obtient en effectuant un quart de tour de (3;4), ce qui confirme l’interprétation géométrique.

Conclure. Oui, u et w sont orthogonaux.

Variante autonome et bilan

Reprends avec $$u=(1;2)$$ et $$v=(2;1)$$ : produit scalaire, angle et norme de la différence.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On refait les trois calculs avec les nouvelles coordonnées, dans un repère orthonormé.

Construire la réponse.

Les normes valent toutes deux $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$ .
Le produit scalaire est $1\times2+2\times1=4$ .
Le cosinus vaut $4/(\sqrt5\sqrt5)=4/5$ , donc $\theta\approx36{,}87^\circ$ .
La différence est $$(1-2;2-1)=(-1;1)$$ , de norme $\sqrt2$ .

Vérifier. Le contrôle par produit scalaire donne

\begin{aligned}\|\vec u-\vec v\|^2 &= 5+5-2\times4\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

Conclure. Le produit vaut 4, l’angle environ $36{,}87^\circ$ et la norme de la différence $\sqrt2$ .

Je peux expliquer : calculer les coordonnées d’un vecteur du plan.
Je peux expliquer : produit scalaire en coordonnées.
Je peux expliquer : relier produit scalaire et angle.
Je peux expliquer : projeter un vecteur sur un axe.
Je peux expliquer : longueurs, angles et identité du parallélogramme.

Fiche-mémoire

Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan.

Identifie le point de départ et le point d’arrivée.
Soustrais les coordonnées du départ à celles de l’arrivée, avec des parenthèses pour les valeurs négatives.
Pour une arrivée inconnue, ajoute le déplacement aux coordonnées du départ.
Pour une figure, écris une égalité de vecteurs avec les bonnes orientations.
Contrôle en recalculant la différence ou l’autre paire de côtés.

Produit scalaire en coordonnées.

Vérifie que le repère est orthonormé.
Si tu pars de points, forme les vecteurs avec arrivée moins départ.
Multiplie les coordonnées correspondantes et additionne en gardant les signes.
Pour une perpendicularité, impose que la somme soit nulle.
Interprète un nombre réel, pas les coordonnées d’un nouveau vecteur.

Relier produit scalaire et angle.

Identifie les deux normes, le produit scalaire et l’angle recherché.
Écris $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$ .
Isole la grandeur inconnue sans supprimer le cosinus.
Pour un angle, contrôle le quotient dans $$[-1;1]$$ et le mode de la calculatrice.
Contrôle aigu, droit ou obtus avec le signe du produit.

Projeter un vecteur sur un axe.

Choisis le sens positif de l’axe.
Vérifie que son vecteur directeur $\vec e$ est unitaire.
Calcule la composante $a=\vec u\cdot\vec e$ .
Si un vecteur est demandé, calcule $a\vec e$ .
Contrôle que $\vec u-a\vec e$ est perpendiculaire à l’axe.

Longueurs, angles et identité du parallélogramme.

Identifie les deux côtés entourant l’angle connu.
Place le côté opposé seul au carré.
Calcule les deux carrés et le terme $2ab\cos\theta$ .
Prends la racine positive à la fin, puis arrondis.
Contrôle les inégalités triangulaires et le rôle aigu, droit ou obtus de l’angle.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Calculer les coordonnées d’un vecteur du plan

Produit scalaire en coordonnées

Relier produit scalaire et angle

Projeter un vecteur sur un axe

Longueurs, angles et identité du parallélogramme

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Un déplacement ★☆☆

Exercice 2 : Calcul direct ★☆☆

Exercice 3 : À partir d’un angle ★☆☆

Exercice 4 : Projection horizontale ★☆☆

Exercice 5 : Retrouver Pythagore ★☆☆

Exercice 6 : Retrouver une arrivée ★★☆

Exercice 7 : Une perpendicularité ★★☆

Exercice 8 : Retrouver un angle ★★☆

Exercice 9 : Composante signée ★★☆

Exercice 10 : Une longueur oblique ★★☆

Exercice 11 : Un parallélogramme ★★★

Exercice 12 : Déterminer une coordonnée ★★★

Exercice 13 : Un travail de force ★★★

Exercice 14 : Projection sur une direction oblique ★★★

Exercice 15 : Diagonales d’un parallélogramme ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Orientation d’un effort

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions