Nombres complexes · Première STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quel est le développement de (x + 2)² ?

x² + 4x² + 4x + 4x² + 2x + 4

2. Quel est l’ensemble des solutions réelles de x² = 9 ?

{−3 ; 3}{9}{3}

3. Quel est le signe du produit (−3) × (−2) ?

NégatifNulPositif

4. Où se trouve le point A(−2 ; 3) par rapport à l’origine ?

2 unités à droite et 3 vers le bas2 unités à gauche et 3 vers le haut3 unités à gauche et 2 vers le haut

5. À combien de degrés correspond un angle de π radians ?

180°360°90°

Pourquoi ce chapitre ?

Les complexes donnent une écriture compacte aux positions et à certains calculs du plan. Les formes algébrique et trigonométrique décrivent le même nombre sous deux angles. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

Construire les nombres complexes.
Addition, multiplication et division.
Conjugaison et symétrie.
Module, distance et argument.
Passer à la forme trigonométrique.

L’idée avant la formule

La partie réelle donne l’abscisse, la partie imaginaire l’ordonnée. Le module mesure une distance et l’argument une direction, à un tour près.

Le cours formel

Construire les nombres complexes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Élargir les nombres pour résoudre de nouvelles équations. Aucun réel n'a un carré négatif. On introduit un nombre i vérifiant $$i^2=-1$$ et l'on construit des nombres de la forme $$a+ib$$ , avec a et b réels. Cela permet de travailler sur des équations comme $$z^2=-1$$ dans un ensemble plus large.

Lire deux composantes réelles. La partie réelle est a et la partie imaginaire est b. Le nombre ib est le terme imaginaire, mais le nom « partie imaginaire » désigne son coefficient réel b. Ainsi $$3-2i$$ a pour partie imaginaire -2.

Associer un point. Le complexe $$a+ib$$ correspond au point de coordonnées $$(a;b)$$ d'un plan orthonormé. Les réels sont sur l'axe horizontal, les imaginaires purs sur l'axe vertical. Le nombre zéro appartient aux deux catégories.

Utiliser l'unicité. Deux complexes sont égaux exactement lorsque leurs deux composantes sont égales. Une équation complexe portant sur des inconnues réelles peut donc fournir deux équations réelles. En revanche, on n'utilise pas un ordre global « plus grand que » comme sur la droite réelle.

Addition, multiplication et division

Intuition · Construire la notion pas à pas

Additionner comme des coordonnées. Dans une somme, on regroupe les termes réels et les coefficients de i. Cela correspond à additionner séparément les deux composantes du plan. Les règles de distributivité usuelles restent valables.

Multiplier puis réduire. Un produit de deux complexes se développe en quatre termes. Le terme contenant $$i^2$$ devient un réel grâce à $$i^2=-1$$ . Il faut effectuer cette substitution avant de regrouper les composantes ; un signe moins devant $$i^2$$ devient alors un plus.

Comprendre l'usage du conjugué dans une division. Le produit $$(c+id)(c-id)=c^2+d^2$$ est réel. Si le dénominateur est non nul, cette somme de carrés est strictement positive. Multiplier le numérateur et le dénominateur par $$c-id$$ conserve donc le quotient et rend son dénominateur réel.

Revenir à la forme demandée. Après division, on sépare la partie réelle et le coefficient de i. Une bonne vérification consiste à multiplier le quotient trouvé par le dénominateur initial pour retrouver le numérateur.

Conjugaison et symétrie

Intuition · Construire la notion pas à pas

Voir la symétrie. Le conjugué de $$a+ib$$ est $$a-ib$$ . Le point image garde son abscisse et change le signe de son ordonnée : c'est la symétrie par rapport à l'axe réel. Il ne faut donc pas changer les deux signes.

Extraire les composantes. Dans $z+\overline z$ , les termes imaginaires s'annulent et il reste deux fois la partie réelle. Dans $z-\overline z$ , les termes réels s'annulent et il reste deux fois le terme imaginaire. Ces identités permettent de retrouver une composante sans connaître l'autre.

Former un réel positif ou nul. Le produit

\begin{aligned}z\overline z &= (a+ib)(a-ib)\\[.35em] &= a^2+b^2\end{aligned}

est une somme de carrés réels. Il est donc positif ou nul et ne s'annule que si a et b sont tous deux nuls.

Reconnaître des axes. Si $z=\overline z$ , alors b vaut zéro : z est réel. Si $z=-\overline z$ , alors a vaut zéro : z est imaginaire pur. La conjugaison respecte aussi addition et multiplication, ce qui simplifie le contrôle d'expressions complexes.

Module, distance et argument

Intuition · Construire la notion pas à pas

Passer des coordonnées à une distance. Le module de $$z=a+ib$$ est la distance de son point image à l'origine. Le théorème de Pythagore donne $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ . On prend la racine positive, car une distance ne peut pas être négative.

Mesurer un déplacement entre deux points. Si A et B ont pour affixes $$z_A$$ et $$z_B$$ , le vecteur allant de A vers B a pour affixe $$z_B-z_A$$ . La distance AB est donc $$|z_B-z_A|$$ . Le module de $$z_B$$ seul mesurerait OB.

Décrire une direction avec un angle. Pour un complexe non nul, un argument est un angle du vecteur image par rapport à l'axe réel positif. Ajouter ou retirer un tour complet $2\pi$ ne change pas la direction ; les arguments ne sont donc pas uniques.

Contrôler le quadrant. Le quotient $$b/a$$ peut donner la tangente d'un angle quand $a\ne0$ , mais deux directions opposées ont la même tangente. Les signes de a et b sont nécessaires pour choisir le bon quadrant. Le complexe zéro n'a pas d'argument, car le vecteur nul n'a pas de direction.

Passer à la forme trigonométrique

Intuition · Construire la notion pas à pas

Décrire le même point autrement. La forme algébrique $$a+ib$$ indique un déplacement horizontal et un déplacement vertical. La forme trigonométrique indique une distance r à l'origine et une direction $\theta$ . Ce sont deux descriptions d'un même vecteur.

Normaliser les coordonnées. Pour un complexe non nul, on calcule $r=\sqrt{a^2+b^2}>0$ . En divisant les coordonnées par r, on obtient un point du cercle unité : $\cos\theta=a/r$ et $\sin\theta=b/r$ . Les deux relations doivent être satisfaites simultanément.

Reconstruire le complexe. La forme $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ possède les composantes $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ . Le facteur r multiplie les deux termes. Un angle remarquable permet souvent de conserver des valeurs exactes.

Choisir une direction cohérente. Les signes du cosinus et du sinus déterminent le quadrant. Le module r reste positif, même si une composante est négative. Le nombre zéro est traité à part : son module est nul et aucune direction ne lui est associée.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Parties réelle et imaginaire ★☆☆

Donne les parties réelle et imaginaire de $$z=-4+7i$$ .

Exercice 2 : Une somme ★☆☆

Calcule $$(3+2i)+(-5+4i)$$ .

Exercice 3 : Un conjugué ★☆☆

Donne le conjugué de $$-1-5i$$ .

Exercice 4 : Un module ★☆☆

Calcule $$|5-12i|$$ .

Exercice 5 : Revenir aux coordonnées ★☆☆

Écris $2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))$ sous forme algébrique.

Exercice 6 : Une égalité complexe ★★☆

Résous $$2x+1+i(y-3)=7+2i$$ avec x et y réels.

Exercice 7 : Un produit ★★☆

Calcule $$(2+i)(3-2i)$$ .

Exercice 8 : Retrouver une composante ★★☆

$z+\overline z=8$ . Que peut-on dire des parties de z ?

Exercice 9 : Distance entre affixes ★★☆

A a pour affixe $$1+i$$ et B $$4+5i$$ . Calcule AB.

Exercice 10 : Un imaginaire pur ★★☆

Donne une forme trigonométrique de $$-4i$$ .

Exercice 11 : Les puissances de i ★★★

Calcule $$i^3$$ , $$i^4$$ et $i^{10}$ .

Exercice 12 : Un quotient ★★★

Écris $$(3+i)/(1+2i)$$ sous forme algébrique.

Exercice 13 : Un réel positif ★★★

Explique pourquoi $z\overline z\ge0$ et détermine le cas d’égalité.

Exercice 14 : Un quadrant oublié ★★★

Pourquoi $\pi/4$ n’est-il pas un argument de $$-1-i$$ , malgré un quotient des composantes égal à 1 ?

Exercice 15 : Deuxième quadrant ★★★

Donne une forme trigonométrique de $-\sqrt3+i$ .

Problème : Pour aller plus loin

Coder une position dans le plan complexe

On considère $z=1+i\sqrt3$ et $w=1-i\sqrt3$ .

Place les points et explique le lien entre z et w.
Calcule leurs modules et donne un argument de chacun.
Écris leurs formes trigonométriques.
Calcule z + w, zw et z/w.
Résous (1 - i)a = 2 et vérifie la solution par multiplication.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La tangente ne distingue pas deux angles séparés d’un demi-tour.

Construire la réponse.

Pour $$-1-i$$ , les deux composantes sont négatives : le point est dans le troisième quadrant.
L’angle $\pi/4$ possède un cosinus et un sinus positifs ; il pointe donc dans le premier quadrant et ne convient pas.
Ajouter un demi-tour donne $\pi/4+\pi=5\pi/4$ , dont les deux composantes sont négatives.
On peut aussi retirer $2\pi$ et choisir $-3\pi/4$ comme argument principal dans $]-\pi;\pi]$ .

Vérifier. Les cosinus et sinus de $5\pi/4$ valent tous deux $-\sqrt2/2$ . Avec le module $\sqrt2$ , ils redonnent les composantes -1 et -1.

Conclure. Un argument est $5\pi/4$ , ou $-3\pi/4$ ; le quotient égal à 1 ne suffit pas à choisir $\pi/4$ .

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La partie réelle fournit l’abscisse, la partie imaginaire fournit l’ordonnée.

Construire la réponse.
1. Le point d’affixe z a pour coordonnées $(1;\sqrt3)$ .
2. Celui d’affixe w a pour coordonnées $(1;-\sqrt3)$ .
3. Ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées : ils sont symétriques par rapport à l’axe réel.
Vérifier. La conjugaison change uniquement le signe de la partie imaginaire, donc $w=\overline z$ .

Conclure. Les points sont symétriques par rapport à l’axe réel et les deux nombres sont conjugués.
Comprendre la question. Le module est une distance à l’origine ; l’argument indique la direction.

Construire la réponse.
1. Pour chacun, le module vaut
  $\begin{aligned}\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2} &= \sqrt4\\[.35em] &= 2.\end{aligned}$
2. Pour z, les coordonnées normalisées sont $$1/2$$ et $\sqrt3/2$ : elles correspondent au cosinus et au sinus de $\pi/3$ .
3. Pour w, le cosinus reste $$1/2$$ et le sinus devient $-\sqrt3/2$ : on peut choisir $-\pi/3$ .
Vérifier. z se situe dans le premier quadrant et w dans le quatrième. Les signes des arguments choisis sont cohérents ; on peut ajouter un multiple de deux pi.

Conclure. Les modules valent 2 ; des arguments sont $\pi/3$ pour z et $-\pi/3$ pour w.
Comprendre la question. La forme trigonométrique associe le module et un argument.

Construire la réponse.
1. On utilise $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ .
2. $z=2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)).$
3. $w=2(\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3)).$
Vérifier. En remplaçant les valeurs trigonométriques, on retrouve $2(1/2+i\sqrt3/2)=1+i\sqrt3$ et son conjugué.

Conclure. Les deux formes trigonométriques conservent le module 2 et des arguments opposés.
Comprendre la question. La somme et le produit exploitent la conjugaison ; le quotient demande un dénominateur réel.

Construire la réponse.
1. La somme vaut $(1+i\sqrt3)+(1-i\sqrt3)=2$ .
2. Le produit vaut
  $\begin{aligned}1-(i\sqrt3)^2 &= 1-(-3)\\[.35em] &= 4,\end{aligned}$
  égal au carré du module.
3. Comme w est non nul, on multiplie numérateur et dénominateur du quotient par son conjugué z :
  $\begin{aligned}z/w &= z^2/(wz)\\[.35em] &= z^2/4.\end{aligned}$
4. $\begin{aligned}z^2 &= 1+2i\sqrt3+(i\sqrt3)^2\\[.35em] &= -2+2i\sqrt3.\end{aligned}$
  Le quotient est donc $-1/2+i\sqrt3/2$ .
Vérifier. Le quotient doit avoir un module $$2/2=1$$ ; le carré du module de la réponse est $$1/4+3/4=1$$ .

Conclure. $$z+w=2$$ , $$zw=4$$ et $z/w=-1/2+i\sqrt3/2$ .
Comprendre la question. Le coefficient non nul 1 moins i peut être éliminé par division.

Construire la réponse.
1. $\[a=2/(1-i).\]$
2. On multiplie par le conjugué : $$a=2(1+i)/((1-i)(1+i))$$ .
3. Le dénominateur vaut $$1-i^2=2$$ , donc $$a=1+i$$ .
Vérifier. Le produit de contrôle est

\[\begin{aligned}(1-i)(1+i) &= 1-i^2\\[.35em] &= 2,\end{aligned}\]

comme demandé.

Conclure. L’unique solution est $$a=1+i$$ .

Variante autonome et bilan

Pour $$z=3+3i$$ , donne module, argument, conjugué et carré.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On traduit les coordonnées du nombre complexe en module et direction, puis on effectue le carré.

Construire la réponse.

$\begin{aligned}|z| &= \sqrt{3^2+3^2}\\[.35em] &= \sqrt{18}\\[.35em] &= 3\sqrt2.\end{aligned}$
Les deux coordonnées sont positives et égales : un argument est $\pi/4$ .
Le conjugué est $$3-3i$$ .
$\begin{aligned}z^2 &= (3+3i)^2\\[.35em] &= 9+18i+9i^2\\[.35em] &= 18i.\end{aligned}$

Vérifier. Le module du carré doit être $$|z|^2=18$$ et son argument le double, $\pi/2$ : le nombre $$18i$$ vérifie ces deux propriétés.

Conclure. Le module est $3\sqrt2$ , un argument $\pi/4$ , le conjugué $$3-3i$$ et le carré $$18i$$ .

Je peux expliquer : construire les nombres complexes.
Je peux expliquer : addition, multiplication et division.
Je peux expliquer : conjugaison et symétrie.
Je peux expliquer : module, distance et argument.
Je peux expliquer : passer à la forme trigonométrique.

Fiche-mémoire

Construire les nombres complexes.

Réécris le complexe sous la forme $$a+ib$$ avec a et b réels.
Lis séparément la partie réelle et le coefficient de i.
Pour une égalité, identifie les deux composantes pour former deux équations réelles.
Pour une puissance de i, utilise $$i^2=-1$$ et le cycle de longueur quatre.
Contrôle par substitution ou par les coordonnées du point image.

Addition, multiplication et division.

Pour une somme, regroupe séparément les parties réelles et imaginaires.
Pour un produit, développe tous les termes puis remplace chaque $$i^2$$ par -1.
Pour un quotient, vérifie le dénominateur non nul et multiplie par son conjugué en haut et en bas.
Sépare le résultat sous la forme $$a+ib$$ .
Contrôle un quotient en le remultipliant par le dénominateur initial.

Conjugaison et symétrie.

Conserve la partie réelle et inverse seulement le signe du coefficient de i.
Utilise somme et différence pour isoler les composantes.
Utilise $z\overline z=a^2+b^2$ pour obtenir un réel ou rendre un dénominateur réel.
Pour une égalité ou une positivité, reviens aux deux réels a et b.
Contrôle avec la symétrie des points images ou en conjuguant une deuxième fois.

Module, distance et argument.

Pour un module, identifie les deux composantes réelles et calcule la racine de la somme de leurs carrés.
Pour une distance entre points, forme d’abord la différence des affixes.
Pour un argument, vérifie que le complexe est non nul.
Utilise les signes des composantes et les valeurs de cosinus et sinus pour choisir le quadrant.
Annonce un argument modulo $2\pi$ et contrôle la cohérence géométrique.

Passer à la forme trigonométrique.

Vérifie que le complexe est non nul avant de rechercher une direction.
Calcule le module positif $r=\sqrt{a^2+b^2}$ .
Forme les deux rapports $$a/r$$ et $$b/r$$ .
Choisis un angle qui possède à la fois le bon cosinus, le bon sinus et le bon quadrant.
Reconstruis les coordonnées pour contrôler la forme trigonométrique.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

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Addition, multiplication et division

Conjugaison et symétrie

Module, distance et argument

Passer à la forme trigonométrique

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Parties réelle et imaginaire ★☆☆

Exercice 2 : Une somme ★☆☆

Exercice 3 : Un conjugué ★☆☆

Exercice 4 : Un module ★☆☆

Exercice 5 : Revenir aux coordonnées ★☆☆

Exercice 6 : Une égalité complexe ★★☆

Exercice 7 : Un produit ★★☆

Exercice 8 : Retrouver une composante ★★☆

Exercice 9 : Distance entre affixes ★★☆

Exercice 10 : Un imaginaire pur ★★☆

Exercice 11 : Les puissances de i ★★★

Exercice 12 : Un quotient ★★★

Exercice 13 : Un réel positif ★★★

Exercice 14 : Un quadrant oublié ★★★

Exercice 15 : Deuxième quadrant ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Coder une position dans le plan complexe

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions