Suites arithmétiques et géométriques · Première STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

2. Pour x réel, que vaut x² × x³ ?

x⁵x⁶2x⁵

3. Si f(x) = x² − 1, quelle est l’image de 3 ?

852

4. Après « x = 3 », puis « x = x + 2 », quelle valeur contient x ?

Une égalité impossible35

5. Quel est le plus petit entier n tel que 3n > 10 ?

10/334

Pourquoi ce chapitre ?

Une augmentation fixe et une augmentation proportionnelle peuvent sembler proches au début et produire des résultats très différents. Les suites permettent de comparer ces stratégies à chaque étape. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Une suite décrit des étapes.
Ajouter toujours la même quantité.
Multiplier toujours par le même facteur.
Choisir le modèle d’évolution.
Calculer des termes et rechercher un seuil.

L’idée avant la formule

Ajouter toujours le même nombre donne des écarts constants ; multiplier toujours par le même nombre donne des rapports constants. Un tableau de quelques termes aide à reconnaître le bon modèle.

Le cours formel

Une suite décrit des étapes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Numéroter une évolution. Une suite associe une valeur à chaque rang entier. Le rang indique une position ou un nombre d'étapes ; le terme indique la quantité observée à cette position. Dans $$u_5=21$$ , 5 est le rang et 21 la valeur. L'indice n'est ni une multiplication ni une puissance.

Choisir le point de départ. Si l'état initial porte le rang 0, le rang 1 décrit l'état après une étape, et le rang 5 après cinq étapes. Il s'agit alors du sixième terme de la liste $u_0,u_1,\ldots,u_5$ . Avec un départ au rang 1, le même langage doit être adapté.

Deux façons de définir une suite. Une formule explicite calcule directement un terme à partir de son rang, par exemple $$u_n=4n+1$$ . Une relation de récurrence calcule le terme suivant à partir du terme courant. Il faut alors une valeur initiale ; la seule règle « doubler puis ajouter 1 » ne dit pas d'où l'on part.

Tenir une trace. Un petit tableau avec une colonne pour le rang et une pour la valeur évite de confondre les deux. Pour une récurrence, chaque nouvelle ligne utilise la valeur obtenue à la ligne précédente, et non le numéro de cette ligne à la place du terme.

Exemple · Exemple commenté

Comparons $$u_n=3n+2$$ et la suite définie par $$v_0=2$$ , $v_{n+1}=3v_n+2$ . Pour la première, le calcul de $$u_2$$ se fait directement :

\begin{aligned}u_2 &= 3\times2+2\\[.35em] &= 8.\end{aligned}

On n'a pas besoin de calculer $$u_1$$ .

Pour la seconde, on commence par

\begin{aligned}v_1 &= 3v_0+2\\[.35em] &= 3\times2+2\\[.35em] &= 8.\end{aligned}

Puis

\begin{aligned}v_2 &= 3v_1+2\\[.35em] &= 3\times8+2\\[.35em] &= 26.\end{aligned}

Les deux règles contiennent « trois fois quelque chose plus deux », mais ce quelque chose est le rang dans la première et la valeur précédente dans la seconde. Elles ne définissent donc pas la même suite.

La trace $$v_0=2$$ , $$v_1=8$$ , $$v_2=26$$ contrôle que deux mises à jour ont été faites pour atteindre le rang 2.

Ajouter toujours la même quantité

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître une différence constante. Une suite est arithmétique lorsqu'on ajoute le même nombre r à chaque étape : $u_{n+1}=u_n+r$ . Ce nombre r, appelé raison, peut être positif, nul ou négatif. Une diminution fixe de 3 correspond donc à une raison -3.

Passer des étapes à une formule. À partir de $$u_0$$ , une étape donne $$u_0+r$$ , deux étapes $$u_0+2r$$ et n étapes $$u_0+nr$$ . Plus généralement, entre les rangs p et n, on effectue $$n-p$$ étapes : $$u_n=u_p+(n-p)r$$ . La formule compte des écarts de rang, pas le nombre de termes écrits.

Retrouver la raison. Entre deux termes connus, la variation totale est partagée entre toutes les étapes. Si cinq étapes ajoutent 20 au total, chaque étape ajoute $$20/5=4$$ . On utilise donc la différence des valeurs divisée par la différence des rangs.

Savoir ce qu'une observation prouve. Trois ou quatre écarts égaux suggèrent un modèle arithmétique. Ils ne démontrent pas que la règle se poursuivra indéfiniment. La règle doit être donnée, justifiée par le contexte ou explicitement adoptée comme hypothèse.

Multiplier toujours par le même facteur

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître un facteur constant. Une suite est géométrique lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre q : $u_{n+1}=q u_n$ . Ce facteur est la raison. Pour des termes non nuls, on peut le retrouver en divisant un terme par celui qui le précède.

Comprendre l'exposant. Partir de $$u_0$$ et multiplier n fois par q donne $$u_n=u_0q^n$$ . Entre les rangs p et n, il y a $$n-p$$ multiplications : $u_n=u_pq^{n-p}$ . L'exposant compte les transitions.

Relier pourcentage et coefficient. Une hausse de t en écriture décimale donne le facteur $$1+t$$ , une baisse donne $$1-t$$ . Pour une baisse de 15 pour cent, on conserve 85 pour cent de la valeur : le facteur est 0,85. La diminution en euros change à chaque étape puisque la base change.

Interpréter les variations avec les hypothèses. Pour une suite de termes strictement positifs, $$q>1$$ produit une croissance, $$0<q<1$$ une décroissance, et $$q=1$$ une valeur constante. Ces conclusions utilisent la positivité ; une raison négative ferait alterner les signes et demande une autre analyse.

Exemple · Exemple commenté

Une quantité initiale de 200 diminue de 10 pour cent à chaque étape. Le facteur est

\begin{aligned}q &= 1-0{,}10\\[.35em] &= 0{,}90.\end{aligned}

La première étape donne $200\times0{,}9=180$ , puis la deuxième $180\times0{,}9=162$ , et la troisième $162\times0{,}9=145{,}8$ .

La formule directe retrouve ce résultat :

\begin{aligned}u_3 &= 200\times0{,}9^3\\[.35em] &= 200\times0{,}729\\[.35em] &= 145{,}8.\end{aligned}

Les diminutions absolues sont 20, puis 18, puis 16,2 ; elles ne sont pas constantes. Ce sont les quotients qui restent égaux à 0,9.

Après trois étapes, le coefficient global est 0,729 : la baisse totale est de 27,1 pour cent, et non de 30 pour cent. Additionner les trois taux ignorerait que chaque baisse porte sur la valeur restante.

Choisir le modèle d’évolution

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire les mots qui décrivent l'évolution. « Ajouter 40 chaque mois » décrit un écart constant ; « augmenter de 2 pour cent chaque mois » décrit un coefficient constant. Le premier modèle est arithmétique, le second géométrique. Le montant initial est nécessaire dans les deux cas pour obtenir des valeurs.

Tester une famille sur des données. On compare les différences successives pour chercher un modèle arithmétique et les quotients de termes non nuls pour chercher un modèle géométrique. Des données réelles peuvent être bruitées : un modèle approximatif doit être présenté comme tel.

Respecter l'ordre des opérations. « Augmenter puis ajouter » et « ajouter puis augmenter » ne donnent généralement pas le même résultat. Dans la seconde règle, la somme ajoutée bénéficie elle aussi du pourcentage. Écrire la règle avec des parenthèses rend cette différence visible.

Distinguer prévision et certitude. Une règle compatible avec trois observations peut fournir une estimation du terme suivant. Elle n'établit pas que la même évolution continuera. Une prévision doit préciser les hypothèses, la période visée et la manière d'arrondir si la quantité est un effectif.

Calculer des termes et rechercher un seuil

Intuition · Construire la notion pas à pas

Associer une variable à son rôle. Dans un algorithme de suite, u contient la valeur courante et n son rang. L'initialisation doit respecter cette association : si $$u_0=5$$ , on commence avec u égal à 5 et n égal à zéro.

Une affectation remplace la valeur. L'instruction « u reçoit $$2u$$ » utilise l'ancienne valeur de u pour calculer la nouvelle. Exécutée plusieurs fois, elle produit des doublements successifs. Elle ne représente pas une équation qu'il faudrait résoudre.

Choisir le type de boucle. Si le nombre d'étapes est connu, on répète ce nombre de fois. Si l'on cherche un seuil, on répète tant que l'objectif n'est pas atteint. Pour chercher le premier terme $$u>50$$ , on continue donc tant que $u\le50$ .

Garder rang et terme synchronisés. À chaque mise à jour du terme, le rang augmente de 1. Une trace avec les deux variables permet de repérer un décalage. Avant une boucle conditionnelle, on vérifie aussi que le seuil pourra être atteint, faute de quoi la boucle pourrait ne jamais se terminer.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Un rang dans une formule ★☆☆

$$u_n=4n+1$$ pour $n\ge0$ . Calcule $$u_0$$ et $$u_5$$ .

Exercice 2 : Lire une raison ★☆☆

La suite commence par 9, 14, 19, 24. Si elle est arithmétique, quelle est sa raison et quel est le terme suivant ?

Exercice 3 : Une multiplication répétée ★☆☆

$$u_0=5$$ et $$q=2$$ . Calcule $$u_1$$ , $$u_2$$ et $$u_5$$ .

Exercice 4 : Montant ou pourcentage ★☆☆

Un salaire augmente de 40 euros par mois ; un autre de $2\,\%$ par mois. Associe chaque évolution à une famille de suites.

Exercice 5 : Combien d’étapes ? ★☆☆

On initialise $$u=2$$ puis on exécute trois fois $$u=2u$$ . Quelle est la valeur finale ?

Exercice 6 : Avancer pas à pas ★★☆

$$v_0=3$$ et $v_{n+1}=2v_n+1$ . Calcule $$v_1$$ , $$v_2$$ et $$v_3$$ .

Exercice 7 : Un rang initial différent ★★☆

$$u_1=80$$ et la raison est $$-3$$ . Calcule $u_{12}$ .

Exercice 8 : Une baisse annuelle ★★☆

Une machine vaut 8 000 euros puis perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Donne sa valeur après deux ans.

Exercice 9 : L’ordre change le résultat ★★☆

À partir de 100, compare « augmenter de $10\,\%$ , puis ajouter 20 » et « ajouter 20, puis augmenter de $10\,\%$ ».

Exercice 10 : Le premier dépassement ★★☆

Pour $$u_0=5$$ et $u_{n+1}=u_n+4$ , trouve le premier rang tel que $$u_n>17$$ .

Exercice 11 : Quel rang pour quelle date ? ★★★

Un stock vaut 500 unités au début de janvier ; $$s_n$$ décrit le stock au début du mois situé $$n$$ mois après janvier. Que représentent $$s_0$$ , $$s_2$$ et le stock au début de décembre ?

Exercice 12 : Reconstruire la suite ★★★

Une suite arithmétique vérifie $$u_3=17$$ et $$u_8=37$$ . Trouve sa raison et $$u_0$$ .

Exercice 13 : Retrouver une raison positive ★★★

Une suite géométrique positive a $$u_2=18$$ et $$u_4=162$$ . Trouve $$q$$ puis $$u_0$$ .

Exercice 14 : Tester une annonce ★★★

Une fréquentation est 100, 120, 144 sur trois mois. Propose un modèle simple et prévois le quatrième. Cette prévision est-elle certaine ?

Exercice 15 : Une boucle qui ne finit pas ★★★

On part de $$u=100$$ et répète $$u=0{,}5u$$ tant que $$u<200$$ . Pourquoi le test est-il inadapté pour chercher le premier terme inférieur à 10 ?

Problème : Pour aller plus loin

Deux stratégies de progression

Deux ateliers commencent avec 100 participants. A gagne 20 participants par mois ; B augmente de 15 % par mois. Le rang 0 désigne le départ.

Écris les récurrences et identifie la nature des deux suites.
Donne les formules explicites et les valeurs au rang 3.
Compare les valeurs aux rangs 5 et 6. À quel rang parmi ces deux B passe-t-il devant A ?
Écris une boucle qui cherche le premier rang strictement positif où B dépasse A.
Explique pourquoi le modèle ne peut pas être prolongé sans limite dans une salle de capacité finie.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le rang compte les mois écoulés depuis janvier ; il ne désigne pas directement le numéro du mois dans l’année.

Construire la réponse.

Au début de janvier, aucun mois ne s’est écoulé : le rang est 0 et $$s_0=500$$ .
Février est un mois après janvier, donc il correspond à $$s_1$$ . Mars est deux mois après janvier : c’est $$s_2$$ .
De janvier à décembre, il y a onze changements de mois. Le stock de début décembre est donc $s_{11}$ .

Vérifier. Le rang 12 correspondrait au début de janvier de l’année suivante. Sans règle d’évolution, on ne peut pas calculer les valeurs numériques de $$s_2$$ ou $s_{11}$ .

Conclure. $$s_0$$ est le stock de janvier, $$s_2$$ celui de mars et $s_{11}$ celui de décembre.

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le test doit exprimer le fait que le terme n’est pas encore inférieur à 10.

Construire la réponse.

Avec u initialement égal à 100, le test $$u<200$$ est vrai.
Multiplier par 0,5 diminue la valeur positive : elle reste toujours inférieure à 200. Le test proposé ne devient donc jamais faux en arithmétique exacte.
Pour chercher $$u<10$$ , il faut continuer tant que $u\ge10$ .
La trace corrigée donne 100, 50, 25, 12,5, 6,25 aux rangs 0 à 4. La première valeur strictement inférieure à 10 apparaît au rang 4.

Vérifier. Au rang 3, 12,5 ne convient pas ; au rang 4, 6,25 convient. Même un éventuel arrondi informatique vers zéro ne rendrait pas le test erroné $$u<200$$ faux.

Conclure. Le bon test est « tant que $u\ge10$ » ; la boucle corrigée s’arrête au rang 4.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Les deux règles ne portent pas sur le même type d’accroissement.

Construire la réponse.
1. L’atelier A ajoute toujours 20 : $$a_0=100$$ et $a_{n+1}=a_n+20$ .
2. L’atelier B augmente de $15\,\%$ de sa valeur actuelle : $$b_0=100$$ et $b_{n+1}=1{,}15b_n$ .
Vérifier. La première règle conserve les différences ; la seconde conserve les quotients. Les deux partent bien du même effectif.

Conclure. A suit une suite arithmétique de raison 20 ; B une suite géométrique de raison 1,15.
Comprendre la question. Le rang zéro représente le départ : il y a n évolutions pour atteindre le rang n.

Construire la réponse.
1. Les formules sont $$a_n=100+20n$$ et $b_n=100\times1{,}15^n$ .
2. Au rang 3,
  $\begin{aligned}a_3 &= 100+60\\[.35em] &= 160.\end{aligned}$
3. $\begin{aligned}b_3 &= 100\times1{,}520875\\[.35em] &= 152{,}0875.\end{aligned}$
Vérifier. Au rang zéro, les deux formules redonnent 100. Les décimales du second modèle représentent une prévision, pas une fraction observée de participant.

Conclure. Au rang 3, A prévoit 160 participants et B environ 152.
Comprendre la question. Il faut calculer les deux valeurs au même rang pour comparer les stratégies.

Construire la réponse.
1. Au rang 5, $$a_5=200$$ et $b_5\approx201{,}136$ : B est déjà supérieur.
2. Au rang 6, $$a_6=220$$ et $b_6\approx231{,}306$ : B reste supérieur.
3. Pour contrôler les rangs précédents, A vaut 120, 140, 160 et 180 aux rangs 1 à 4 ; B vaut 115, 132,25, 152,0875 et 174,900625.
Vérifier. A reste devant sur chacun des quatre premiers rangs strictement positifs. Le contrôle ne se limite donc pas à une supposition sur le seul rang 4.

Conclure. B dépasse A pour la première fois au rang 5.
Comprendre la question. La boucle compare deux suites et s’arrête au premier dépassement strict.

Construire la réponse.
1. ```
n, a, b = 1, 120, 115
while b <= a:
    n += 1
    a += 20
    b *= 1.15
```
2. On initialise au rang 1 car on cherche un rang strictement positif. Les variables a et b doivent toujours correspondre au même rang n.
3. La condition b inférieure ou égale à a signifie que le dépassement strict n’a pas encore eu lieu. Après chaque tour, les deux valeurs avancent d’un rang.
Vérifier. La trace produit les comparaisons précédentes et s’arrête en n égal à 5, avec B supérieur à A.

Conclure. La boucle trouve le rang 5 ; elle doit être utilisée avec des hypothèses où le dépassement est effectivement possible.
Comprendre la question. Les suites prolongent une règle mathématique, tandis qu’une salle possède une capacité finie.

Construire la réponse.
1. Les formules font croître les effectifs sans intégrer automatiquement une limite de places.
2. Dès qu’une prévision dépasse la capacité, le modèle doit être modifié ou son utilisation arrêtée.
3. Même avant cette limite, le recrutement et la demande peuvent ne pas conserver les règles supposées.
Vérifier. Un bon calcul à partir d’une hypothèse ne constitue pas une validation de cette hypothèse pour une durée illimitée.

Conclure. La comparaison est valable dans la plage où les règles et les capacités restent réalistes.

Variante autonome et bilan

Compare sur trois périodes un départ de 80 avec un ajout de 12 ou une hausse de 10 % par période.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On compare une progression additive à une progression multiplicative sur trois périodes.

Construire la réponse.

Le départ au rang zéro vaut 80. Les modèles sont $$a_n=80+12n$$ et $b_n=80\times1{,}1^n$ .
Les trois premières valeurs après le départ sont 92, 104, 116 pour A et 88, 96,8, 106,48 pour B.
Au rang 3, l’écart vaut $$116-106{,}48=9{,}52$$ .

Vérifier. Les deux modèles redonnent 80 au départ. La comparaison des trois rangs ne démontre pas une supériorité pour tous les rangs futurs.

Conclure. Sur ces trois périodes, l’ajout fixe donne les valeurs les plus élevées ; au rang 3, les prévisions sont 116 et 106,48.

Je peux expliquer : une suite décrit des étapes.
Je peux expliquer : ajouter toujours la même quantité.
Je peux expliquer : multiplier toujours par le même facteur.
Je peux expliquer : choisir le modèle d’évolution.
Je peux expliquer : calculer des termes et rechercher un seuil.

Fiche-mémoire

Une suite décrit des étapes.

Détermine ce que représentent le rang, le terme et leurs unités éventuelles.
Repère le premier rang et la valeur initiale.
Pour une formule explicite, remplace seulement le rang ; pour une récurrence, calcule les termes successivement.
Contrôle le nombre de transitions et traduis le rang dans le contexte temporel.

Ajouter toujours la même quantité.

Calcule une différence « terme suivant moins terme précédent » pour identifier r.
Compte les étapes par une différence de rangs.
Applique $$u_n=u_p+(n-p)r$$ en conservant le signe de r.
Si r est inconnue, divise la différence des valeurs par la différence des rangs.
Contrôle le résultat avec un terme connu et les contraintes du contexte.

Multiplier toujours par le même facteur.

Identifie le facteur multiplicatif q, notamment à partir d’un pourcentage.
Compte le nombre de multiplications depuis le rang connu.
Applique $u_n=u_pq^{n-p}$ ; garde la précision jusqu’au dernier calcul.
Pour retrouver q, relie les termes connus et utilise les hypothèses de signe.
Contrôle un calcul par récurrence et vérifie que la tendance est cohérente.

Choisir le modèle d’évolution.

Traduis la phrase d’évolution en opération sur le terme courant.
Cherche une différence constante ou un quotient constant, sans confondre ces deux tests.
Écris la valeur initiale, la récurrence et, si possible, la formule explicite.
Calcule une ou deux étapes à la main pour contrôler l’ordre des opérations.
Présente une extrapolation comme une prévision conditionnelle et adapte l’arrondi au contexte.

Calculer des termes et rechercher un seuil.

Initialise le rang et le terme de façon cohérente avec l’énoncé.
Choisis une répétition comptée pour un rang fixé, ou une boucle conditionnelle pour un seuil.
Formule la condition de continuation comme le contraire de l’objectif.
Mets à jour le terme puis son rang à chaque passage, et trace quelques étapes.
Vérifie la terminaison et contrôle le dernier terme refusé ainsi que le premier accepté.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Une suite décrit des étapes

Ajouter toujours la même quantité

Multiplier toujours par le même facteur

Choisir le modèle d’évolution

Calculer des termes et rechercher un seuil

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Un rang dans une formule ★☆☆

Exercice 2 : Lire une raison ★☆☆

Exercice 3 : Une multiplication répétée ★☆☆

Exercice 4 : Montant ou pourcentage ★☆☆

Exercice 5 : Combien d’étapes ? ★☆☆

Exercice 6 : Avancer pas à pas ★★☆

Exercice 7 : Un rang initial différent ★★☆

Exercice 8 : Une baisse annuelle ★★☆

Exercice 9 : L’ordre change le résultat ★★☆

Exercice 10 : Le premier dépassement ★★☆

Exercice 11 : Quel rang pour quelle date ? ★★★

Exercice 12 : Reconstruire la suite ★★★

Exercice 13 : Retrouver une raison positive ★★★

Exercice 14 : Tester une annonce ★★★

Exercice 15 : Une boucle qui ne finit pas ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Deux stratégies de progression

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions