Vecteurs et repérage dans l’espace · Terminale professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si A(1 ; 2) et B(4 ; 6), quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

(5 ; 8)(3 ; 4)(−3 ; −4)

2. Que vaut (2 ; −3) + (−5 ; 1) ?

(−10 ; −3)(−3 ; −2)(7 ; −4)

3. Les vecteurs u=(2 ; −1) et v=(−6 ; 3) sont-ils colinéaires ?

Oui, v=3uNonOui, v=−3u

4. Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de longueurs 3 et 4. Son hypoténuse mesure…

5725

5. Que vaut 2 − (−4) ?

−66−2

Pourquoi ce chapitre ?

Les coordonnées spatiales permettent de calculer une distance, additionner des déplacements et vérifier l’alignement d’une trajectoire. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements B. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Se repérer avec trois coordonnées.
Décrire un déplacement dans l’espace.
Composer des déplacements dans l’espace.
Vérifier une direction dans les trois dimensions.
Calculer une distance dans l’espace.

L’idée avant la formule

Le troisième axe ajoute une altitude. La norme combine les trois composantes ; une vue de dessus seule peut masquer une différence de hauteur.

Le cours formel

Se repérer avec trois coordonnées

Intuition · Construire la notion pas à pas

Ajouter une troisième direction. Dans le plan, deux coordonnées suffisent pour repérer une position. Dans l'espace, une troisième direction indépendante permet aussi de monter ou descendre. On écrit les points dans l'ordre $$(x;y;z)$$ .

Lire les trois rôles. x est l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote ou altitude dans le repère choisi. Le signe de chaque coordonnée concerne uniquement son axe. Une cote négative signifie être sous le plan de référence, pas avoir une distance négative.

Projeter verticalement. Une projection verticale conserve les deux coordonnées horizontales et remplace la cote par celle du plan visé. Passer de $$(x;y;z)$$ au plan de cote h donne donc $$(x;y;h)$$ .

Exploiter les dimensions d'un pavé. Lorsque les trois arêtes issues d'un sommet suivent les axes positifs, le sommet opposé cumule les trois longueurs. Le centre se trouve à mi-chemin selon chaque direction, donc ses coordonnées sont les moitiés de ces longueurs.

Dans un repère orthonormé, les trois axes sont perpendiculaires deux à deux et utilisent la même unité ; une perspective dessinée sur une feuille ne conserve pas toutes ces propriétés visuellement.

Schéma : Se repérer avec trois coordonnées

Décrire un déplacement dans l’espace

Intuition · Construire la notion pas à pas

Étendre la différence de positions. Dans l'espace, le vecteur de A vers B décrit trois variations : selon x, selon y et selon z. On soustrait les coordonnées du départ à celles de l'arrivée sur chacun des trois axes.

Lire une composante verticale. Une troisième composante positive décrit une montée selon le repère ; une composante négative une descente. Une composante nulle signifie que l'altitude ne change pas, même si le point se déplace horizontalement.

Retrouver une arrivée. Si l'on connaît A et le déplacement $\vec u$ , l'arrivée s'obtient en ajoutant les trois composantes de $\vec u$ à celles de A. Le vecteur n'est pas lui-même une position absolue.

Comparer des déplacements de départs différents. Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs trois composantes sont égales. Ils peuvent être représentés à des endroits différents. Pour les opposer, on change les trois signes, pas seulement la cote.

Composer des déplacements dans l’espace

Intuition · Construire la notion pas à pas

Composer trois variations simultanément. L'addition de vecteurs dans l'espace suit la même règle que dans le plan, avec une troisième composante. On additionne les x ensemble, les y ensemble et les z ensemble.

Distribuer un coefficient partout. Multiplier par un réel k modifie les trois composantes. Une soustraction ajoute l'opposé et change donc les trois signes du vecteur soustrait. Une coordonnée déjà négative devient positive lorsqu'on prend son opposé.

Comprendre les compensations partielles. Une somme peut avoir une composante nulle sans être le vecteur nul. Deux déplacements peuvent annuler leurs effets verticaux tout en avançant horizontalement. Pour un équilibre complet, les trois composantes doivent être nulles.

Distinguer trajet et résultante. Le déplacement résultant dépend seulement du départ et de l'arrivée. Sa norme n'est pas en général la somme des longueurs de chaque étape. On additionne d'abord les vecteurs avant de mesurer la résultante si c'est cette distance qui est demandée.

Vérifier une direction dans les trois dimensions

Intuition · Construire la notion pas à pas

Chercher un même facteur dans trois directions. Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'un seul réel k transforme toutes les composantes de l'un en celles de l'autre. Dans l'espace, il faut donc trois égalités simultanées.

Utiliser une composante pour proposer, les autres pour vérifier. Une coordonnée non nulle permet de calculer un facteur candidat. Les deux autres doivent ensuite donner exactement les coordonnées attendues. Deux confirmations ne dispensent jamais du troisième contrôle.

Ne pas confondre projection et espace. Une vue de dessus supprime l'altitude. Deux déplacements peuvent alors paraître colinéaires dans cette projection, mais leurs variations verticales peuvent être incompatibles avec le même facteur. L'alignement observé à l'écran n'est donc pas une preuve spatiale.

Traiter les zéros et les points. Une composante nulle reste nulle sous multiplication ; on la contrôle sans quotient interdit. Pour l'alignement de points distincts, on compare deux vecteurs issus du même point et l'on vérifie leurs trois composantes.

Calculer une distance dans l’espace

Intuition · Construire la notion pas à pas

Appliquer Pythagore en deux étapes. Pour un déplacement $$(x;y;z)$$ dans un repère orthonormé, sa projection horizontale a pour longueur $\sqrt{x^2+y^2}$ . Cette projection et la variation verticale z forment un second triangle rectangle, d'où la norme $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Commencer par le bon déplacement. Une distance entre deux points utilise leurs différences de coordonnées. Les coordonnées d'un point seul mesurent un déplacement depuis l'origine, pas depuis un autre point.

Distinguer distance directe et trajet contraint. La racine de la somme des carrés donne la longueur du segment direct. Un trajet imposant successivement les axes additionne les longueurs de ses étapes et peut être plus long. Des obstacles peuvent rendre le segment direct impraticable sans changer sa longueur géométrique.

Contrôler les unités et le repère. Les trois axes doivent être perpendiculaires deux à deux avec la même unité. La distance est positive ou nulle et au moins égale à la valeur absolue de chacune de ses composantes.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Lire une altitude ★☆☆

Pour $$A(-2;5;3)$$ , donne l’abscisse, l’ordonnée et l’altitude.

Exercice 2 : Trois différences ★☆☆

$$A(2;-1;4)$$ et $$B(5;3;2)$$ . Calcule AB.

Exercice 3 : Une somme spatiale ★☆☆

Additionne $$(2;3;1)$$ et $$(-1;4;-5)$$ .

Exercice 4 : Un multiple spatial ★☆☆

$$(2;-1;3)$$ et $$(-6;3;-9)$$ sont-ils colinéaires ?

Exercice 5 : Norme spatiale ★☆☆

Calcule la norme de $$(2;3;6)$$ .

Exercice 6 : Projeter sur un plan horizontal ★★☆

Quelle est la projection verticale de $$M(4;-1;7)$$ sur le plan $$z=2$$ ?

Exercice 7 : L’arrivée d’un déplacement ★★☆

$$A(-1;2;0)$$ et $\overrightarrow{AB}=(4;-3;5)$ . Trouve B.

Exercice 8 : Une combinaison linéaire ★★☆

$\vec u=(1;-2;3)$ , $\vec v=(4;0;-1)$ . Calcule $2\vec u-\vec v$ .

Exercice 9 : Une troisième coordonnée à déterminer ★★☆

Pour quelle valeur de a les vecteurs $$(1;3;2)$$ et $$(2;6;a)$$ sont-ils colinéaires ?

Exercice 10 : Distance entre points ★★☆

$$A(1;2;-1)$$ et $$B(3;5;5)$$ . Calcule AB.

Exercice 11 : Un sommet de pavé ★★★

Un pavé a pour origine un sommet, et ses trois arêtes issues de ce sommet suivent les axes, de longueurs 6, 4, 3. Quelles sont les coordonnées du sommet opposé et du centre ?

Exercice 12 : Comparer deux trajectoires ★★★

$$A(0;1;2)$$ , $$B(2;4;6)$$ , $$C(5;0;-1)$$ et $$D(7;3;3)$$ . Compare AB et CD.

Exercice 13 : Fermer un trajet ★★★

Un robot effectue les déplacements $$(3;0;2)$$ puis $$(-1;4;1)$$ . Quel déplacement le ramène au départ ?

Exercice 14 : Alignement trompeur en projection ★★★

$$A(0;0;0)$$ , $$B(1;2;1)$$ , $$C(2;4;3)$$ . Leurs projections sur z = 0 sont alignées. Les points le sont-ils dans l’espace ?

Exercice 15 : Trajet direct ou par les axes ★★★

Un robot doit passer de $$(0;0;0)$$ à $$(6;8;0)$$ . Compare la distance directe et un trajet suivant successivement les axes x et y.

Problème : Pour aller plus loin

Déplacement d’un robot dans l’espace

Dans un repère orthonormé en mètres, A(1;2;0), B(3;3;2) et C(5;4;4).

Calcule AB, BC et AC en coordonnées vectorielles.
Vérifie Chasles et l’alignement des trois points.
Calcule les distances AB et AC.
Après B, un déplacement (-1;2;3) conduit à D. Donne D et AD.
Le segment AD a-t-il la même longueur que sa projection sur le plan horizontal ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Chaque déplacement possède trois coordonnées, calculées dans le même ordre.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= (3-1;3-2;2-0)\\[.35em] &= (2;1;2).\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= (5-3;4-3;4-2)\\[.35em] &= (2;1;2).\end{aligned}$
3. $\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= (5-1;4-2;4-0)\\[.35em] &= (4;2;4).\end{aligned}$
Vérifier. La troisième composante représente le déplacement vertical ; elle doit être traitée comme les deux autres dans la soustraction.

Conclure. AB et BC valent (2;1;2), et AC vaut (4;2;4).
Comprendre la question. Chasles compare le trajet en deux étapes au déplacement direct ; la colinéarité établit l’alignement.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}(2;1;2)+(2;1;2) &= (4;2;4)\\[.35em] &= \overrightarrow{AC}\end{aligned}$
  Chasles est vérifiée.
2. $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$ : les trois coordonnées utilisent le même coefficient.
3. Les points sont alignés et les deux déplacements AB et BC sont identiques.
Vérifier. Le milieu de A et C est

\[\begin{aligned}((1+5)/2;(2+4)/2;(0+4)/2) &= (3;3;2)\\[.35em] &= B.\end{aligned}\]

Conclure. A, B et C sont alignés, et B est le milieu de A et C.
Comprendre la question. Une norme en espace orthonormé utilise la somme de trois carrés.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}AB &= \sqrt{2^2+1^2+2^2}\\[.35em] &= \sqrt9\\[.35em] &= 3\end{aligned}$
  m.
2. $\begin{aligned}AC &= \sqrt{4^2+2^2+4^2}\\[.35em] &= \sqrt{36}\\[.35em] &= 6\end{aligned}$
  m.
Vérifier. Comme AC est le double du vecteur AB, sa norme doit être le double : 6 égale bien deux fois 3.

Conclure. Les distances sont 3 m et 6 m.
Comprendre la question. Le nouveau déplacement part de B, et non de l’origine ou de A.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}D &= (3-1;3+2;2+3)\\[.35em] &= (2;5;5).\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= (2-1;5-2;5-0)\\[.35em] &= (1;3;5).\end{aligned}$
Vérifier. Chasles donne également $$(2;1;2)+(-1;2;3)=(1;3;5)$$ .

Conclure. D a pour coordonnées (2;5;5) et AD vaut (1;3;5).
Comprendre la question. La projection horizontale supprime la composante verticale du déplacement.

Construire la réponse.
1. La longueur réelle est $\sqrt{1^2+3^2+5^2}=\sqrt{35}$ m.
2. Le déplacement projeté est (1;3;0), de longueur $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ m.
3. Comme $$35>10$$ , la longueur réelle est strictement supérieure.
Vérifier. Les carrés vérifient $$35=10+25$$ : Pythagore ajoute précisément la hauteur de 5 m au carré.

Conclure. Les longueurs ne sont pas égales : la projection horizontale est plus courte car elle ignore le déplacement vertical.

Variante autonome et bilan

Pour A(0;0;1), B(1;2;3), C(2;4;5), vérifie l’alignement et donne AB.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Les différences de coordonnées permettent de tester l’alignement puis de calculer la distance.

Construire la réponse.

$\overrightarrow{AB}=(1;2;2)$ $\text{et }\overrightarrow{AC}=(2;4;4).$
Le second vecteur vaut deux fois le premier, donc A, B et C sont alignés.
$\begin{aligned}AB &= \sqrt{1^2+2^2+2^2}\\[.35em] &= \sqrt9\\[.35em] &= 3.\end{aligned}$

Vérifier. Les trois coordonnées respectent le même coefficient 2 ; une concordance sur seulement deux coordonnées n’aurait pas suffi en espace.

Conclure. Les points sont alignés et la distance AB vaut 3 unités.

Je peux expliquer : se repérer avec trois coordonnées.
Je peux expliquer : décrire un déplacement dans l’espace.
Je peux expliquer : composer des déplacements dans l’espace.
Je peux expliquer : vérifier une direction dans les trois dimensions.
Je peux expliquer : calculer une distance dans l’espace.

Fiche-mémoire

Se repérer avec trois coordonnées.

Lis les coordonnées dans l’ordre x, y, z et repère les axes du dessin.
Interprète chaque signe sur son axe uniquement.
Pour une projection verticale, garde x et y puis remplace z par la cote du plan.
Pour un centre de pavé aligné sur les axes, prends les moitiés des dimensions.
Contrôle la position avec le plan ou les limites du solide.

Décrire un déplacement dans l’espace.

Identifie départ et arrivée.
Calcule les trois différences arrivée moins départ avec les parenthèses nécessaires.
Pour une arrivée inconnue, ajoute les composantes au départ.
Compare les trois coordonnées pour une égalité de vecteurs.
Contrôle par le déplacement inverse ou par reconstruction du point d’arrivée.

Composer des déplacements dans l’espace.

Écris chaque déplacement avec ses trois composantes.
Calcule les multiples avant les additions et soustractions.
Additionne axe par axe et traite soigneusement les signes.
Pour un retour ou un équilibre, prends l’opposé de la résultante.
Vérifie la nullité des trois coordonnées ou reconstruis l’expression initiale.

Vérifier une direction dans les trois dimensions.

Vérifie les vecteurs nuls et les composantes nulles avant de diviser.
Trouve un facteur candidat avec une composante non nulle.
Contrôle explicitement les deux autres composantes.
Pour des points, calcule deux déplacements de même origine.
Conclue dans l’espace complet, sans te limiter à une projection.

Calculer une distance dans l’espace.

Vérifie l’hypothèse de repère orthonormé.
Calcule le vecteur entre les points si nécessaire.
Additionne les carrés des trois composantes puis prends la racine positive.
Pour un trajet par étapes, additionne séparément les longueurs de ces étapes.
Compare les résultats en précisant les contraintes de déplacement.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Se repérer avec trois coordonnées

Décrire un déplacement dans l’espace

Composer des déplacements dans l’espace

Vérifier une direction dans les trois dimensions

Calculer une distance dans l’espace

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Lire une altitude ★☆☆

Exercice 2 : Trois différences ★☆☆

Exercice 3 : Une somme spatiale ★☆☆

Exercice 4 : Un multiple spatial ★☆☆

Exercice 5 : Norme spatiale ★☆☆

Exercice 6 : Projeter sur un plan horizontal ★★☆

Exercice 7 : L’arrivée d’un déplacement ★★☆

Exercice 8 : Une combinaison linéaire ★★☆

Exercice 9 : Une troisième coordonnée à déterminer ★★☆

Exercice 10 : Distance entre points ★★☆

Exercice 11 : Un sommet de pavé ★★★

Exercice 12 : Comparer deux trajectoires ★★★

Exercice 13 : Fermer un trajet ★★★

Exercice 14 : Alignement trompeur en projection ★★★

Exercice 15 : Trajet direct ou par les axes ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Déplacement d’un robot dans l’espace

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions