Prolonger les puissances à des exposants réels · Modéliser une évolution exponentielle · Calculer un taux moyen d’évolution. Exemples guidés, exercices progressifs et problème corrigé.
Ce petit quiz t’aide à partir avec les bons outils. Une base mal comprise peut rendre la suite plus difficile, même si tu travailles sérieusement.
Ce n’est pas une note : en cas d’erreur, tu sauras précisément quoi revoir avant d’avancer.
Tu peux revoir les explications ci-dessus, puis ouvrir le chapitre à ton rythme.
Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases
Pourquoi ce chapitre ?
Une évolution proportionnelle répétée donne une exponentielle. Le logarithme retrouve ensuite le temps nécessaire pour atteindre un seuil. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.
Prolonger les puissances à des exposants réels.
Modéliser une évolution exponentielle.
Calculer un taux moyen d’évolution.
Le logarithme décimal.
Résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme.
L’idée avant la formule
Une même baisse en pourcentage retire une quantité de plus en plus petite lorsque la base diminue. Cela se distingue d’une perte fixe par période.
Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.
Exercice 1 : Un exposant négatif ★☆☆
Calcule \(5^{-2}\) et \(9^{1/2}\).
Exercice 2 : Une croissance ★☆☆
Une quantité vaut 300 puis augmente de \(5\,\%\) par période. Écris le modèle et calcule la valeur après deux périodes.
Exercice 3 : Deux périodes ★☆☆
Une quantité passe de 400 à 484 en deux ans. Calcule son taux annuel moyen.
Exercice 4 : Des puissances de 10 ★☆☆
Calcule \(\log(100)\) et \(\log(0{,}001)\).
Exercice 5 : Une équation de puissance ★☆☆
Résous \(2^x=16\).
Exercice 6 : Simplifier des puissances ★★☆
Simplifie \(3^{x+2}/3^x\) pour x réel.
Exercice 7 : Une décroissance ★★☆
Une masse vaut 80 g et conserve \(75\,\%\) de sa valeur à chaque heure. Donne le modèle et la masse après trois heures.
Exercice 8 : Une baisse moyenne ★★☆
Une valeur passe de 1 000 à 729 en trois périodes. Calcule le taux moyen.
Exercice 9 : Une équation logarithmique ★★☆
Résous \(\log x=1{,}5\).
Exercice 10 : Un premier dépassement ★★☆
\(u_n=200\times1{,}1^n\). Trouve le premier rang entier où \(u_n>300\).
Exercice 11 : Un temps fractionnaire ★★★
Un modèle multiplie une quantité par 1,44 en un an. Quel coefficient attribue-t-il à une demi-année si l’évolution exponentielle est constante ?
Exercice 12 : Changer d’unité de temps ★★★
\(f(t)=100\times1{,}21^t\) utilise t en années. Écris un modèle équivalent en semestres s.
Exercice 13 : Des taux opposés ★★★
Une valeur augmente de \(20\,\%\) puis diminue de \(20\,\%\). Donne le taux moyen sur ces deux périodes.
Exercice 14 : Une fausse propriété ★★★
Pourquoi \(\log(2+8)=\log2+\log8\) est-il faux ?
Exercice 15 : Un seuil de décroissance ★★★
\(v_n=1\,000\times0{,}9^n\). Trouve le premier rang où \(v_n\le500\).
Problème : Pour aller plus loin
Renouveler un stock
Un stock de consommables diminue chaque semaine. Le modèle est \(f(t)=800\times0{,}8^t\) pour \(t\ge0\).
Donne le taux par période et calcule f(0), f(1), f(2).
Justifie les variations et le coefficient global sur deux périodes.
Retrouve le taux moyen à partir de ce coefficient global.
Résous \(f(t)\le400\) avec un logarithme.
Trouve le premier rang entier adapté et contrôle ce rang et le précédent.
Corrigés détaillés
Corrigé 1
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Corrigé 6
Corrigé 7
Corrigé 8
Corrigé 9
Corrigé 10
Corrigé 11
Corrigé 12
Corrigé 13
Corrigé 14
Corrigé 15
Corrigé du problème
Comprendre la question. Le coefficient q décrit la part conservée par période ; le taux est q moins 1.
Construire la réponse.
Le taux vaut \(0{,}8-1=-0{,}2\), soit \(-20\,\%\).
Le taux moyen est \(k-1=-0{,}2\), soit \(-20\,\%\).
Vérifier. On retrouve logiquement le taux constant déjà utilisé par le modèle. Diviser simplement le taux global par deux ne donnerait pas ce résultat.
Conclure. Le taux moyen est \(-20\,\%\) par période.
Comprendre la question. L’inconnue est dans l’exposant ; le logarithme permet de l’isoler.
Construire la réponse.
On divise le seuil par 800, positif : \(0{,}8^t\le0{,}5\).
Le logarithme est croissant, donc \(t\log(0{,}8)\le\log(0{,}5)\).
Comme \(\log(0{,}8)<0\), la division inverse le sens : \(t\ge\log(0{,}5)/\log(0{,}8)\approx3{,}1063\).
Vérifier. Les deux logarithmes sont négatifs, donc leur quotient est positif, cohérent avec un seuil situé après le départ.
Conclure. Le seuil réel est atteint au temps \(\log(0{,}5)/\log(0{,}8)\), puis respecté pour tout temps ultérieur.
Comprendre la question. Le premier rang entier est le plus petit entier satisfaisant l’inégalité réelle.
Construire la réponse.
La borne réelle est environ 3{,}1063, donc le premier entier possible est 4.
Au rang précédent, \(f(3)\approx409{,}6\), supérieur à \(400\).
Au rang 4, \(f(4)\approx327{,}68\), inférieur à \(400\).
Vérifier. La décroissance montre que tous les rangs antérieurs au précédent sont encore au-dessus du seuil.
Conclure. Le premier rang entier adapté est 4.
Variante autonome et bilan
Une réserve de 500 conserve 80 % par période. Trouve le premier rang où elle est au plus égale à 200.
Je peux expliquer : prolonger les puissances à des exposants réels.
Je peux expliquer : modéliser une évolution exponentielle.
Je peux expliquer : calculer un taux moyen d’évolution.
Je peux expliquer : le logarithme décimal.
Je peux expliquer : résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme.
Fiche-mémoire
Prolonger les puissances à des exposants réels.
Vérifie que la base est strictement positive.
Interprète un exposant négatif comme un inverse.
Interprète un exposant fractionnaire comme une racine positive.
Choisis la règle adaptée à un produit, quotient ou puissance de puissance.
Contrôle le résultat en revenant à une puissance entière si possible.
Modéliser une évolution exponentielle.
Repère la valeur initiale et l’unité de temps.
Traduis le taux ou la proportion conservée en coefficient q.
Écris \(f(t)=Aq^t\) et contrôle \(f(0)=A\).
Calcule la puissance avant de multiplier par A.
Arrondis seulement à la fin et précise que le résultat dépend du modèle.
Calculer un taux moyen d’évolution.
Calcule le coefficient global final divisé par initial, ou le produit des coefficients.
Compte les périodes réellement écoulées.
Calcule \(q=C^{1/n}\) sans arrondir prématurément.
Passe au taux \(q-1\) puis au pourcentage.
Vérifie que la puissance du coefficient reconstitue C.
Le logarithme décimal.
Vérifie que chaque argument de logarithme est strictement positif.
Pour une puissance de 10, lis directement l’exposant.
Choisis uniquement une propriété de produit, quotient ou puissance.
Pour un exposant inconnu, prends le logarithme puis isole cet exposant.
Contrôle l’ordre de grandeur et le domaine de la solution.
Résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme.
Écris le seuil avec le bon signe strict ou large.
Divise par A puis prends le logarithme des membres positifs.
Fais descendre l’exposant et vérifie le signe de \(\log q\).
Isole la variable en inversant l’inégalité si nécessaire.
Choisis le premier entier admissible et vérifie ce rang avec son précédent.
Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
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