Suites, sommes et évolutions · Terminale STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ, combien vaut u₂ ?

61218

2. Dans une suite géométrique, on passe au terme suivant en…

Ajoutant toujours le même nombreMultipliant toujours par le même nombreÉlevant toujours au carré

3. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

4. Pour x réel, que vaut x² × x³ ?

x⁵x⁶2x⁵

5. S part de 0. Une boucle ajoute successivement 1, puis 2, puis 3 à S. Que vaut S à la fin ?

736

Pourquoi ce chapitre ?

Une campagne demande de prévoir chaque période mais aussi le total accumulé. Il faut compter exactement les termes avant de choisir une formule de somme. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Ajouter toujours la même quantité.
Multiplier toujours par le même facteur.
Additionner une suite arithmétique.
Additionner une suite géométrique.
Déterminer la première étape qui satisfait une condition.

L’idée avant la formule

Le montant du dernier mois n’est pas le total annuel. Additionner une suite arithmétique utilise la moyenne des extrêmes ; additionner une suite géométrique utilise son coefficient multiplicatif.

Le cours formel

Ajouter toujours la même quantité

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître une différence constante. Une suite est arithmétique lorsqu'on ajoute le même nombre r à chaque étape : $u_{n+1}=u_n+r$ . Ce nombre r, appelé raison, peut être positif, nul ou négatif. Une diminution fixe de 3 correspond donc à une raison -3.

Passer des étapes à une formule. À partir de $$u_0$$ , une étape donne $$u_0+r$$ , deux étapes $$u_0+2r$$ et n étapes $$u_0+nr$$ . Plus généralement, entre les rangs p et n, on effectue $$n-p$$ étapes : $$u_n=u_p+(n-p)r$$ . La formule compte des écarts de rang, pas le nombre de termes écrits.

Retrouver la raison. Entre deux termes connus, la variation totale est partagée entre toutes les étapes. Si cinq étapes ajoutent 20 au total, chaque étape ajoute $$20/5=4$$ . On utilise donc la différence des valeurs divisée par la différence des rangs.

Savoir ce qu'une observation prouve. Trois ou quatre écarts égaux suggèrent un modèle arithmétique. Ils ne démontrent pas que la règle se poursuivra indéfiniment. La règle doit être donnée, justifiée par le contexte ou explicitement adoptée comme hypothèse.

Multiplier toujours par le même facteur

Intuition · Construire la notion pas à pas

Reconnaître un facteur constant. Une suite est géométrique lorsque chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre q : $u_{n+1}=q u_n$ . Ce facteur est la raison. Pour des termes non nuls, on peut le retrouver en divisant un terme par celui qui le précède.

Comprendre l'exposant. Partir de $$u_0$$ et multiplier n fois par q donne $$u_n=u_0q^n$$ . Entre les rangs p et n, il y a $$n-p$$ multiplications : $u_n=u_pq^{n-p}$ . L'exposant compte les transitions.

Relier pourcentage et coefficient. Une hausse de t en écriture décimale donne le facteur $$1+t$$ , une baisse donne $$1-t$$ . Pour une baisse de 15 pour cent, on conserve 85 pour cent de la valeur : le facteur est 0,85. La diminution en euros change à chaque étape puisque la base change.

Interpréter les variations avec les hypothèses. Pour une suite de termes strictement positifs, $$q>1$$ produit une croissance, $$0<q<1$$ une décroissance, et $$q=1$$ une valeur constante. Ces conclusions utilisent la positivité ; une raison négative ferait alterner les signes et demande une autre analyse.

Exemple · Exemple commenté

Une quantité initiale de 200 diminue de 10 pour cent à chaque étape. Le facteur est

\begin{aligned}q &= 1-0{,}10\\[.35em] &= 0{,}90.\end{aligned}

La première étape donne $200\times0{,}9=180$ , puis la deuxième $180\times0{,}9=162$ , et la troisième $162\times0{,}9=145{,}8$ .

La formule directe retrouve ce résultat :

\begin{aligned}u_3 &= 200\times0{,}9^3\\[.35em] &= 200\times0{,}729\\[.35em] &= 145{,}8.\end{aligned}

Les diminutions absolues sont 20, puis 18, puis 16,2 ; elles ne sont pas constantes. Ce sont les quotients qui restent égaux à 0,9.

Après trois étapes, le coefficient global est 0,729 : la baisse totale est de 27,1 pour cent, et non de 30 pour cent. Additionner les trois taux ignorerait que chaque baisse porte sur la valeur restante.

Additionner une suite arithmétique

Intuition · Construire la notion pas à pas

Distinguer le dernier terme du total. Une production qui augmente chaque jour possède une valeur quotidienne et une valeur cumulée. Le dernier terme donne la production du dernier jour ; la somme additionne les productions de tous les jours. Multiplier la dernière production par le nombre de jours surestime le total lorsque la production augmente.

Pourquoi la moyenne des extrêmes suffit. Dans une suite arithmétique, le premier terme plus le dernier vaut autant que le deuxième plus l'avant-dernier : l'un gagne r pendant que l'autre perd r. Toutes les paires symétriques ont donc la même somme.

Établir la formule sans cas particulier. Écris une somme S dans l'ordre normal, puis la même somme dans l'ordre inverse. En additionnant colonne par colonne, tu obtiens N fois « premier plus dernier ». Ainsi $$2S=N(u_p+u_n)$$ , donc $$S=N(u_p+u_n)/2$$ . Ce raisonnement fonctionne même si N est impair.

Compter correctement. Entre les rangs p et n inclus, le nombre de termes est $$N=n-p+1$$ . Le nombre de transitions est $$n-p$$ . Cette différence d'une unité explique de nombreuses erreurs dans les sommes.

Additionner une suite géométrique

Intuition · Construire la notion pas à pas

Additionner des termes qui se multiplient. Une somme géométrique a la forme $S=a+aq+\cdots+aq^{N-1}$ . Elle contient N termes : le dernier exposant est $$N-1$$ , car le premier terme correspond à l'exposant zéro.

Comprendre la formule par décalage. Multiplier S par q donne $qS=aq+aq^2+\cdots+aq^N$ . Quand on soustrait cette nouvelle ligne de la première, les termes intermédiaires s'annulent. Il reste $$S-qS=a-aq^N$$ , soit $$(1-q)S=a(1-q^N)$$ .

Traiter le cas particulier avant de diviser. Si $q\ne1$ , on peut diviser par $$1-q$$ : $$S=a(1-q^N)/(1-q)$$ . Si $$q=1$$ , cette division serait interdite ; tous les termes valent a, donc la somme vaut simplement Na.

Contrôler les signes et les arrondis. Pour $$q>1$$ , le numérateur et le dénominateur de la formule sont tous deux négatifs ; leur quotient est positif. Pour un effectif modélisé, on conserve les décimales jusqu'au total et l'on précise si des arrondis à chaque période changeraient le modèle.

Déterminer la première étape qui satisfait une condition

Intuition · Construire la notion pas à pas

Comprendre « le premier rang ». Trouver un terme qui dépasse un seuil ne suffit pas : il faut prouver que les termes précédents ne le dépassent pas. Pour une suite croissante, vérifier le terme retenu et celui qui le précède suffit une fois la croissance établie.

Traduire le caractère strict. « Au moins 60 » signifie $\ge60$ , tandis que « plus de 60 » signifie $$>60$$ . Si un terme vaut exactement 60, il convient dans le premier cas et pas dans le second. Le même soin est nécessaire pour « inférieur » et « inférieur ou égal ».

Le rang est entier. La résolution algébrique peut donner $n\ge5{,}714\ldots$ ; les rangs possibles sont pourtant 0, 1, 2, etc. Le premier rang admissible est alors 6. Si l'on obtient $$n>6$$ , il faut passer à 7 : un simple arrondi usuel n'est pas adapté.

Vérifier que l'objectif peut être atteint. Une suite croissante qui commence au-dessus de 50 ne deviendra pas inférieure à 30. Cette vérification précède une boucle de recherche ; sinon, le programme peut attendre indéfiniment un événement impossible.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Lire une raison ★☆☆

La suite commence par 9, 14, 19, 24. Si elle est arithmétique, quelle est sa raison et quel est le terme suivant ?

Exercice 2 : Une multiplication répétée ★☆☆

$$u_0=5$$ et $$q=2$$ . Calcule $$u_1$$ , $$u_2$$ et $$u_5$$ .

Exercice 3 : Une somme connue ★☆☆

Calcule $1+2+\cdots+20$ .

Exercice 4 : Quatre termes ★☆☆

Calcule $$3+6+12+24$$ .

Exercice 5 : Un seuil arithmétique ★☆☆

$$u_n=20+7n$$ . Quel est le premier rang tel que $u_n\ge60$ ?

Exercice 6 : Un rang initial différent ★★☆

$$u_1=80$$ et la raison est $$-3$$ . Calcule $u_{12}$ .

Exercice 7 : Une baisse annuelle ★★☆

Une machine vaut 8 000 euros puis perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Donne sa valeur après deux ans.

Exercice 8 : Des rangs décalés ★★☆

$$u_n=5+3n$$ . Calcule $u_2+u_3+\cdots+u_7$ .

Exercice 9 : Une somme décroissante ★★☆

Calcule $$100+50+25+12{,}5+6{,}25$$ .

Exercice 10 : Passer sous un seuil ★★☆

$v_n=80\times0{,}5^n$ . Trouve le premier rang tel que $$v_n<10$$ .

Exercice 11 : Reconstruire la suite ★★★

Une suite arithmétique vérifie $$u_3=17$$ et $$u_8=37$$ . Trouve sa raison et $$u_0$$ .

Exercice 12 : Retrouver une raison positive ★★★

Une suite géométrique positive a $$u_2=18$$ et $$u_4=162$$ . Trouve $$q$$ puis $$u_0$$ .

Exercice 13 : Un entraînement progressif ★★★

Une personne fait 12 minutes d’entraînement le premier jour puis 3 minutes de plus chaque jour pendant 10 jours. Calcule la durée du dixième jour et le total.

Exercice 14 : Une production cumulée ★★★

Une production est de 200 pièces la première semaine puis augmente de $10\,\%$ par semaine selon un modèle non arrondi. Quel total prévoit-il sur quatre semaines ?

Exercice 15 : Un seuil impossible ★★★

$$u_n=50+2n$$ pour $n\ge0$ . Peut-on chercher avec une boucle le premier rang où $$u_n<30$$ ?

Problème : Pour aller plus loin

Planifier une campagne sur douze mois

Au mois 1, A prévoit 100 actions, puis 10 de plus chaque mois. B prévoit 100 actions puis une hausse de 5 % mensuelle. On étudie les 12 premiers mois.

Écris les termes généraux en commençant au rang 1.
Calcule le douzième terme de chaque modèle.
Calcule les deux totaux annuels, sans arrondir les termes intermédiaires.
Pour A, trouve le premier mois où le nombre dépasse strictement 200.
Pour B, écris une boucle qui cherche ce même seuil et explique comment vérifier son résultat.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On cherche deux quantités différentes : la durée du dixième jour et la durée cumulée de dix jours.

Construire la réponse.

Du premier au dixième jour, il y a neuf augmentations de 3 minutes. La dernière durée vaut $12+9\times3=39$ minutes.
Les dix durées forment une suite arithmétique de premier terme 12 et de dernier terme 39.
Le total est
$\begin{aligned}S &= 10(12+39)/2\\[.35em] &= 5\times51\\[.35em] &= 255\end{aligned}$
minutes.
Comme $255=4\times60+15$ , cela représente 4 heures et 15 minutes.

Vérifier. La durée moyenne est $$(12+39)/2=25{,}5$$ minutes ; dix fois cette moyenne redonne 255 minutes. Le total est compris entre 120 et 390 minutes, comme attendu.

Conclure. Le dixième jour dure 39 minutes ; le total des dix jours est 255 minutes, soit 4 h 15 min.

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On additionne quatre productions hebdomadaires d’un modèle qui conserve les décimales.

Construire la réponse.

La hausse de 10 pour cent donne la raison $$q=1{,}10$$ . Les productions sont 200, 220, 242 et $242\times1{,}1=266{,}2$ .
Le total peut se calculer directement : $$200+220+242+266{,}2=928{,}2$$ .
La formule vérifie $S=200(1-1{,}1^4)/(1-1{,}1)$ . Comme $1{,}1^4=1{,}4641$ , on obtient $200\times(-0{,}4641)/(-0{,}1)=928{,}2$ .

Vérifier. Le résultat décimal est cohérent avec un modèle non arrondi, mais une production réelle compte des pièces entières. Une règle d’arrondi appliquée chaque semaine constituerait un modèle légèrement différent.

Conclure. Le modèle prévoit 928,2 pièces au total, soit environ 928 pièces après arrondi final.

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le premier mois est le rang 1, donc le rang n est atteint après n moins 1 évolutions.

Construire la réponse.
1. Le modèle additif est $$a_n=100+10(n-1)$$ .
2. Le modèle multiplicatif est $b_n=100\times1{,}05^{n-1}$ .
Vérifier. En n égal à 1, le supplément est zéro et la puissance vaut 1 : les deux termes initiaux valent 100.

Conclure. Les deux formules utilisent le décalage n moins 1.
Comprendre la question. Le douzième terme décrit le seul mois 12, pas le cumul annuel.

Construire la réponse.
1. Entre les mois 1 et 12, il y a 11 augmentations.
2. $\begin{aligned}a_{12} &= 100+10\times11\\[.35em] &= 210.\end{aligned}$
3. $\begin{aligned}b_{12} &= 100\times1{,}05^{11}\\[.35em] &\approx 171{,}034.\end{aligned}$
Vérifier. Le coefficient 1,05 est appliqué onze fois, et non douze ; le premier mois contient déjà les 100 actions initiales.

Conclure. Au mois 12, A prévoit 210 actions et B environ 171,034 actions dans le modèle.
Comprendre la question. Le total annuel additionne douze termes, du premier au douzième inclus.

Construire la réponse.
1. Pour A, la moyenne des extrêmes est $$(100+210)/2=155$$ . La somme vaut $12\times155=1860$ .
2. Pour B, la somme géométrique est $100(1{,}05^{12}-1)/(1{,}05-1)$ .
3. Le dénominateur vaut 0,05, et le calcul donne environ 1591,713 actions.
Vérifier. La somme géométrique utilise l’exposant 12 car il y a douze termes, alors que le dernier terme seul utilisait l’exposant 11.

Conclure. Les totaux prévus sont 1860 pour A et environ 1591,713 pour B. On arrondit seulement après la somme si une présentation entière est nécessaire.
Comprendre la question. Le seuil est strict : atteindre 200 ne suffit pas.

Construire la réponse.
1. $$100+10(n-1)>200$$ donne $$10(n-1)>100$$ .
2. En divisant par 10 puis ajoutant 1, on obtient $$n>11$$ .
3. Le premier entier est 12.
Vérifier. Au mois 11, $a_{11}=200$ ; au mois 12, $a_{12}=210>200$ .

Conclure. A dépasse strictement 200 pour la première fois au mois 12.
Comprendre la question. La boucle utilise une condition de continuation large pour chercher un dépassement strict.

Construire la réponse.
1. ```
n, b = 1, 100
while b <= 200:
    b *= 1.05
    n += 1
```
2. L’initialisation correspond au mois 1. Chaque multiplication calcule le mois suivant, et le compteur avance une fois.
3. La boucle donne n égal à 16. On contrôle ensuite les deux mois qui encadrent ce résultat.
Vérifier. $b_{15}=100\times1{,}05^{14}\approx197{,}99\le200$ et $b_{16}\approx207{,}89>200$ . La suite croissante garantit le premier dépassement.

Conclure. B dépasse 200 au mois 16, au-delà des douze mois étudiés pour le cumul annuel.

Variante autonome et bilan

Calcule les sommes des six premiers termes de 50, 60, 70, … et de 50, 100, 200, …

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. Les deux listes comportent six termes, mais utilisent des règles de somme différentes.

Construire la réponse.

La suite 50, 60, 70, … est arithmétique de raison 10. Son sixième terme vaut $50+5\times10=100$ .
Sa somme est $$6(50+100)/2=450$$ .
La suite 50, 100, 200, … est géométrique de raison 2. Son sixième terme vaut $50\times2^5=1600$ .
Sa somme vaut
$\begin{aligned}50(2^6-1)/(2-1) &= 50\times63\\[.35em] &= 3150.\end{aligned}$

Vérifier. L’addition directe des six termes géométriques $$50+100+200+400+800+1600$$ donne également 3150.

Conclure. Les deux sommes sont 450 et 3150. Les derniers termes 100 et 1600 ne sont pas les totaux.

Je peux expliquer : ajouter toujours la même quantité.
Je peux expliquer : multiplier toujours par le même facteur.
Je peux expliquer : additionner une suite arithmétique.
Je peux expliquer : additionner une suite géométrique.
Je peux expliquer : déterminer la première étape qui satisfait une condition.

Fiche-mémoire

Ajouter toujours la même quantité.

Calcule une différence « terme suivant moins terme précédent » pour identifier r.
Compte les étapes par une différence de rangs.
Applique $$u_n=u_p+(n-p)r$$ en conservant le signe de r.
Si r est inconnue, divise la différence des valeurs par la différence des rangs.
Contrôle le résultat avec un terme connu et les contraintes du contexte.

Multiplier toujours par le même facteur.

Identifie le facteur multiplicatif q, notamment à partir d’un pourcentage.
Compte le nombre de multiplications depuis le rang connu.
Applique $u_n=u_pq^{n-p}$ ; garde la précision jusqu’au dernier calcul.
Pour retrouver q, relie les termes connus et utilise les hypothèses de signe.
Contrôle un calcul par récurrence et vérifie que la tendance est cohérente.

Additionner une suite arithmétique.

Identifie le premier et le dernier rang de la somme, bornes incluses.
Calcule les deux termes extrêmes avec la formule de la suite.
Compte $$N=n-p+1$$ termes, puis applique $$S=N(u_p+u_n)/2$$ .
Contrôle l’ordre de grandeur : pour des termes positifs, le total est entre N fois le plus petit et N fois le plus grand.
Traduis le total dans l’unité demandée, sans le confondre avec le dernier terme.

Additionner une suite géométrique.

Identifie le premier terme a, la raison q et le nombre N de termes.
Si $$q=1$$ , calcule Na ; sinon, utilise $$a(1-q^N)/(1-q)$$ .
Respecte les parenthèses et calcule la puissance avant les soustractions.
Conserve les décimales utiles et annonce la règle d’arrondi.
Contrôle par une addition courte ou par un encadrement cohérent du total.

Déterminer la première étape qui satisfait une condition.

Écris précisément l’inégalité demandée et le domaine des rangs.
Contrôle les variations et la possibilité d’atteindre le seuil.
Résous l’inégalité ou calcule les termes jusqu’au franchissement.
Choisis le premier entier autorisé, en respectant le signe strict ou large.
Vérifie le rang retenu et le précédent, puis traduis le rang en date ou en nombre d’étapes.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Ajouter toujours la même quantité

Multiplier toujours par le même facteur

Additionner une suite arithmétique

Additionner une suite géométrique

Déterminer la première étape qui satisfait une condition

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Lire une raison ★☆☆

Exercice 2 : Une multiplication répétée ★☆☆

Exercice 3 : Une somme connue ★☆☆

Exercice 4 : Quatre termes ★☆☆

Exercice 5 : Un seuil arithmétique ★☆☆

Exercice 6 : Un rang initial différent ★★☆

Exercice 7 : Une baisse annuelle ★★☆

Exercice 8 : Des rangs décalés ★★☆

Exercice 9 : Une somme décroissante ★★☆

Exercice 10 : Passer sous un seuil ★★☆

Exercice 11 : Reconstruire la suite ★★★

Exercice 12 : Retrouver une raison positive ★★★

Exercice 13 : Un entraînement progressif ★★★

Exercice 14 : Une production cumulée ★★★

Exercice 15 : Un seuil impossible ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Planifier une campagne sur douze mois

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions