Exponentielles et logarithme décimal · Terminale STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Pour x réel, que vaut x² × x³ ?

x⁵x⁶2x⁵

2. Que vaut 3⁻² ?

1/6−91/9

3. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

4. Que devient −2x ≤ 6 après division par −2 ?

x ≤ −3x ≥ −3x ≥ 3

5. Dans une suite géométrique, on passe au terme suivant en…

Ajoutant toujours le même nombreMultipliant toujours par le même nombreÉlevant toujours au carré

Pourquoi ce chapitre ?

Une évolution proportionnelle répétée donne une exponentielle. Le logarithme retrouve ensuite le temps nécessaire pour atteindre un seuil. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Prolonger les puissances à des exposants réels.
Modéliser une évolution exponentielle.
Calculer un taux moyen d’évolution.
Le logarithme décimal.
Résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme.

L’idée avant la formule

Une même baisse en pourcentage retire une quantité de plus en plus petite lorsque la base diminue. Cela se distingue d’une perte fixe par période.

Le cours formel

Prolonger les puissances à des exposants réels

Intuition · Construire la notion pas à pas

Prolonger les puissances à des durées non entières. Une évolution multiplicative peut être observée après une demi-période, pas seulement après 1, 2 ou 3 périodes. Pour une base $$q>0$$ , la puissance $$q^x$$ est ainsi définie pour tout réel x en conservant les règles des puissances.

Comprendre les exposants particuliers. L'exposant zéro donne 1. Un exposant négatif signifie un inverse : $q^{-n}=1/q^n$ , et non un résultat négatif. L'exposant $$1/n$$ donne la racine n-ième positive, car $(q^{1/n})^n=q$ .

Manipuler les expressions. Multiplier deux puissances de même base additionne les exposants ; les diviser les soustrait. Élever une puissance à une autre puissance multiplie les exposants. Ces trois règles correspondent à trois opérations différentes.

Lire l'évolution. Si $$q>1$$ , les puissances augmentent avec x. Si $$0<q<1$$ , elles diminuent. Elles restent toujours positives. La condition $$q>0$$ évite les difficultés d'une base négative, dont certaines racines ne seraient pas réelles.

Schéma : Prolonger les puissances à des exposants réels

Modéliser une évolution exponentielle

Intuition · Construire la notion pas à pas

Un même pourcentage à chaque période. Une évolution exponentielle multiplie la valeur courante par un même coefficient q à chaque unité de temps. Les augmentations absolues ne sont donc pas constantes : un même pourcentage représente davantage sur une base plus grande.

Construire le modèle. Si la valeur initiale est A, la valeur après t périodes est $$Aq^t$$ . En zéro, $$q^0=1$$ , ce qui redonne A. Après une période, on obtient Aq ; après deux, $$Aq^2$$ .

Traduire les pourcentages. Une hausse de taux r, écrit en décimal, donne $$q=1+r$$ . Une baisse de taux r donne $$q=1-r$$ . « Conserver $75\,\%$ » signifie multiplier par 0,75, tandis que « perdre $75\,\%$ » signifie multiplier par 0,25.

Fixer l'unité de temps. Le coefficient q correspond exactement à l'unité utilisée pour t. Passer des années aux semestres change l'exposant ou le coefficient : on ne garde pas automatiquement le même q. Enfin, le modèle est une hypothèse d'évolution constante ; il ne garantit pas que le même taux restera réaliste indéfiniment.

Calculer un taux moyen d’évolution

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remplacer plusieurs évolutions par une évolution constante équivalente. Le taux moyen recherché doit produire exactement la même valeur finale s'il est répété pendant le même nombre de périodes. On ne cherche pas en général la moyenne arithmétique des pourcentages.

Commencer par le coefficient global. Si les valeurs initiale et finale sont connues et positives, le coefficient global est $$C=V_f/V_i$$ . Si les taux successifs sont donnés, on multiplie leurs coefficients : $C=(1+t_1)\cdots(1+t_n)$ .

Partager multiplicativement. Un coefficient constant q répété n fois donne $$q^n=C$$ . On prend donc la racine n-ième positive : $q=C^{1/n}$ . Le taux vaut ensuite $$q-1$$ , et non q. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie par 100.

Interpréter et contrôler. Un coefficient global inférieur à 1 doit donner un taux moyen négatif. Indique la période correspondant au taux. Conserve suffisamment de décimales : arrondir q trop tôt peut modifier la valeur finale reconstituée après de nombreuses périodes.

Le logarithme décimal

Intuition · Construire la notion pas à pas

Retrouver un exposant. Une puissance répond à la question « que vaut $$10^x$$ ? ». Le logarithme décimal répond à la question inverse : « à quelle puissance faut-il élever 10 pour obtenir a ? ». Cela exige $$a>0$$ , puisque toute puissance de 10 est positive.

Les valeurs repères sont $\log1=0$ , $\log10=1$ et $\log100=2$ . Un logarithme négatif est possible : il correspond à une puissance négative de 10, donc à un nombre situé entre 0 et 1. Ce n'est pas le logarithme d'un nombre négatif.

Comprendre les propriétés. Puisque multiplier des puissances additionne leurs exposants, le logarithme transforme un produit en somme. Il transforme aussi un quotient en différence et une puissance en multiplication : $\log(a^r)=r\log a$ . Ces règles exigent des arguments strictement positifs.

Utiliser la croissance. Le logarithme est strictement croissant. On peut donc appliquer le logarithme aux deux membres positifs d'une égalité ou d'une inégalité. Il permet notamment de faire descendre un exposant inconnu. Aucune propriété ne permet de séparer directement le logarithme d'une somme.

Résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme

Intuition · Construire la notion pas à pas

Trouver quand une quantité franchit un niveau. Dans $$Aq^n$$ , la variable n est dans l'exposant. Pour l'isoler, on commence par diviser par la valeur initiale positive A, puis on utilise le logarithme pour faire descendre l'exposant.

Le point délicat est le signe de $\log q$ . Le logarithme conserve le sens d'une inégalité entre nombres positifs. Ensuite, diviser par $\log q$ conserve le sens si $$q>1$$ , mais l'inverse si $$0<q<1$$ , car ce logarithme est alors négatif.

Passer d'une durée réelle à un rang entier. Une condition comme $$n>4{,}254$$ impose d'attendre le rang 5. Si la borne calculée était exactement 4, la distinction entre $$n>4$$ et $n\ge4$ deviendrait décisive. Un simple arrondi au plus proche ne convient pas.

Contrôler le premier rang. Calcule la valeur au rang proposé et au rang précédent dans la formule initiale. L'une doit satisfaire le seuil et l'autre échouer. Les variations du modèle garantissent alors qu'il s'agit du premier franchissement.

Le cas $$q=1$$ est constant et se traite directement : on ne divise pas par $\log1=0$ .

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Un exposant négatif ★☆☆

Calcule $5^{-2}$ et $9^{1/2}$ .

Exercice 2 : Une croissance ★☆☆

Une quantité vaut 300 puis augmente de $5\,\%$ par période. Écris le modèle et calcule la valeur après deux périodes.

Exercice 3 : Deux périodes ★☆☆

Une quantité passe de 400 à 484 en deux ans. Calcule son taux annuel moyen.

Exercice 4 : Des puissances de 10 ★☆☆

Calcule $\log(100)$ et $\log(0{,}001)$ .

Exercice 5 : Une équation de puissance ★☆☆

Résous $$2^x=16$$ .

Exercice 6 : Simplifier des puissances ★★☆

Simplifie $3^{x+2}/3^x$ pour x réel.

Exercice 7 : Une décroissance ★★☆

Une masse vaut 80 g et conserve $75\,\%$ de sa valeur à chaque heure. Donne le modèle et la masse après trois heures.

Exercice 8 : Une baisse moyenne ★★☆

Une valeur passe de 1 000 à 729 en trois périodes. Calcule le taux moyen.

Exercice 9 : Une équation logarithmique ★★☆

Résous $\log x=1{,}5$ .

Exercice 10 : Un premier dépassement ★★☆

$u_n=200\times1{,}1^n$ . Trouve le premier rang entier où $$u_n>300$$ .

Exercice 11 : Un temps fractionnaire ★★★

Un modèle multiplie une quantité par 1,44 en un an. Quel coefficient attribue-t-il à une demi-année si l’évolution exponentielle est constante ?

Exercice 12 : Changer d’unité de temps ★★★

$f(t)=100\times1{,}21^t$ utilise t en années. Écris un modèle équivalent en semestres s.

Exercice 13 : Des taux opposés ★★★

Une valeur augmente de $20\,\%$ puis diminue de $20\,\%$ . Donne le taux moyen sur ces deux périodes.

Exercice 14 : Une fausse propriété ★★★

Pourquoi $\log(2+8)=\log2+\log8$ est-il faux ?

Exercice 15 : Un seuil de décroissance ★★★

$v_n=1\,000\times0{,}9^n$ . Trouve le premier rang où $v_n\le500$ .

Problème : Pour aller plus loin

Consommation résiduelle

Une réserve énergétique diminue proportionnellement. Le modèle est $f(t)=1000\times0{,}9^t$ pour $t\ge0$ .

Donne le taux par période et calcule f(0), f(1), f(2).
Justifie les variations et le coefficient global sur deux périodes.
Retrouve le taux moyen à partir de ce coefficient global.
Résous $f(t)\le500$ avec un logarithme.
Trouve le premier rang entier adapté et contrôle ce rang et le précédent.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le coefficient q décrit la part conservée par période ; le taux est q moins 1.

Construire la réponse.
1. Le taux vaut $$0{,}9-1=-0{,}1$$ , soit $-10\,\%$ .
2. Au départ,
  $\begin{aligned}f(0) &= 1000\times0{,}9^0\\[.35em] &= 1000.\end{aligned}$
3. Après une période,
  $\begin{aligned}f(1) &= 1000\times0{,}9\\[.35em] &= 900;\end{aligned}$
  après deux,
  $\begin{aligned}f(2) &= 1000\times0{,}81\\[.35em] &= 810.\end{aligned}$
Vérifier. Les valeurs successives diminuent, mais la perte absolue n’est pas constante puisque la base change.

Conclure. Le modèle décrit une baisse de $10\,\%$ par période.
Comprendre la question. Les variations d’une exponentielle positive dépendent de sa base.

Construire la réponse.
1. Le coefficient $$0{,}9$$ est compris entre 0 et 1 : f décroît en restant positive.
2. Deux périodes multiplient successivement par q puis q, donc le coefficient global vaut $q^2=0{,}81$ .
Vérifier. Le quotient

\[\begin{aligned}f(2)/f(0) &= 810/1000\\[.35em] &= 0{,}81\end{aligned}\]

confirme le coefficient global.

Conclure. f est décroissante et le coefficient sur deux périodes est $$0{,}81$$ .
Comprendre la question. Le taux moyen doit reconstituer le coefficient global après deux applications.

Construire la réponse.
1. Notons k le coefficient moyen positif. On impose $k^2=0{,}81$ .
2. On obtient
  $\begin{aligned}k &= \sqrt{0{,}81}\\[.35em] &= 0{,}9.\end{aligned}$
3. Le taux moyen est $$k-1=-0{,}1$$ , soit $-10\,\%$ .
Vérifier. On retrouve logiquement le taux constant déjà utilisé par le modèle. Diviser simplement le taux global par deux ne donnerait pas ce résultat.

Conclure. Le taux moyen est $-10\,\%$ par période.
Comprendre la question. L’inconnue est dans l’exposant ; le logarithme permet de l’isoler.

Construire la réponse.
1. On divise le seuil par 1000, positif : $0{,}9^t\le0{,}5$ .
2. Le logarithme est croissant, donc $t\log(0{,}9)\le\log(0{,}5)$ .
3. Comme $\log(0{,}9)<0$ , la division inverse le sens : $t\ge\log(0{,}5)/\log(0{,}9)\approx6{,}5788$ .
Vérifier. Les deux logarithmes sont négatifs, donc leur quotient est positif, cohérent avec un seuil situé après le départ.

Conclure. Le seuil réel est atteint au temps $\log(0{,}5)/\log(0{,}9)$ , puis respecté pour tout temps ultérieur.
Comprendre la question. Le premier rang entier est le plus petit entier satisfaisant l’inégalité réelle.

Construire la réponse.
1. La borne réelle est environ 6{,}5788, donc le premier entier possible est 7.
2. Au rang précédent, $f(6)\approx531{,}441$ , supérieur à $$500$$ .
3. Au rang 7, $f(7)\approx478{,}297$ , inférieur à $$500$$ .
Vérifier. La décroissance montre que tous les rangs antérieurs au précédent sont encore au-dessus du seuil.

Conclure. Le premier rang entier adapté est 7.

Variante autonome et bilan

Une réserve de 500 conserve 80 % par période. Trouve le premier rang où elle est au plus égale à 200.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La réserve est multipliée par 0,8 à chaque période et doit devenir au plus égale à 200.

Construire la réponse.

Le modèle est $u_n=500\times0{,}8^n$ . Le seuil donne $0{,}8^n\le200/500=0{,}4$ .
Après logarithme, $n\log0{,}8\le\log0{,}4$ . La division par le nombre négatif $\log0{,}8$ donne $n\ge\log0{,}4/\log0{,}8\approx4{,}106$ .
Le premier entier est 5. Au rang 4, $u_4=204{,}8>200$ ; au rang 5, $u_5=163{,}84\le200$ .

Vérifier. La suite est décroissante, donc ce contrôle du rang et de son précédent établit bien le premier franchissement.

Conclure. La réserve est au plus égale à 200 pour la première fois au rang 5.

Je peux expliquer : prolonger les puissances à des exposants réels.
Je peux expliquer : modéliser une évolution exponentielle.
Je peux expliquer : calculer un taux moyen d’évolution.
Je peux expliquer : le logarithme décimal.
Je peux expliquer : résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme.

Fiche-mémoire

Prolonger les puissances à des exposants réels.

Vérifie que la base est strictement positive.
Interprète un exposant négatif comme un inverse.
Interprète un exposant fractionnaire comme une racine positive.
Choisis la règle adaptée à un produit, quotient ou puissance de puissance.
Contrôle le résultat en revenant à une puissance entière si possible.

Modéliser une évolution exponentielle.

Repère la valeur initiale et l’unité de temps.
Traduis le taux ou la proportion conservée en coefficient q.
Écris $$f(t)=Aq^t$$ et contrôle $$f(0)=A$$ .
Calcule la puissance avant de multiplier par A.
Arrondis seulement à la fin et précise que le résultat dépend du modèle.

Calculer un taux moyen d’évolution.

Calcule le coefficient global final divisé par initial, ou le produit des coefficients.
Compte les périodes réellement écoulées.
Calcule $q=C^{1/n}$ sans arrondir prématurément.
Passe au taux $$q-1$$ puis au pourcentage.
Vérifie que la puissance du coefficient reconstitue C.

Le logarithme décimal.

Vérifie que chaque argument de logarithme est strictement positif.
Pour une puissance de 10, lis directement l’exposant.
Choisis uniquement une propriété de produit, quotient ou puissance.
Pour un exposant inconnu, prends le logarithme puis isole cet exposant.
Contrôle l’ordre de grandeur et le domaine de la solution.

Résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme.

Écris le seuil avec le bon signe strict ou large.
Divise par A puis prends le logarithme des membres positifs.
Fais descendre l’exposant et vérifie le signe de $\log q$ .
Isole la variable en inversant l’inégalité si nécessaire.
Choisis le premier entier admissible et vérifie ce rang avec son précédent.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Prolonger les puissances à des exposants réels

Modéliser une évolution exponentielle

Calculer un taux moyen d’évolution

Le logarithme décimal

Résoudre un seuil exponentiel avec un logarithme

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Un exposant négatif ★☆☆

Exercice 2 : Une croissance ★☆☆

Exercice 3 : Deux périodes ★☆☆

Exercice 4 : Des puissances de 10 ★☆☆

Exercice 5 : Une équation de puissance ★☆☆

Exercice 6 : Simplifier des puissances ★★☆

Exercice 7 : Une décroissance ★★☆

Exercice 8 : Une baisse moyenne ★★☆

Exercice 9 : Une équation logarithmique ★★☆

Exercice 10 : Un premier dépassement ★★☆

Exercice 11 : Un temps fractionnaire ★★★

Exercice 12 : Changer d’unité de temps ★★★

Exercice 13 : Des taux opposés ★★★

Exercice 14 : Une fausse propriété ★★★

Exercice 15 : Un seuil de décroissance ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Consommation résiduelle

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions