Complexes, transformations et signaux · Terminale STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

La forme exponentielle d’un complexe simplifie les rotations et les produits. Elle donne aussi les formules qui permettent de recombiner des signaux de même fréquence. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

La notation exponentielle complexe.
Résoudre des équations simples.
Translations, rotations et homothéties.
Formules d’addition, duplication et linéarisation.
Réduire une combinaison sinus-cosinus.

L’idée avant la formule

Un module représente une longueur et un argument une direction. Multiplier ajoute les directions et multiplie les longueurs ; additionner demande de revenir aux coordonnées.

Le cours formel

La notation exponentielle complexe

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire une notation compacte. La notation $\mathrm e^{i\theta}$ désigne $\cos\theta+i\sin\theta$ . Son module vaut 1 et son argument est $\theta$ modulo $2\pi$ . Ainsi $r\mathrm e^{i\theta}$ rassemble module et direction dans une écriture courte.

Comprendre le produit. Les règles admises donnent $\mathrm e^{i\alpha}\mathrm e^{i\beta}=\mathrm e^{i(\alpha+\beta)}$ . Multiplier deux complexes multiplie donc leurs modules et additionne leurs arguments. Cette opération peut être vue comme un changement d'échelle accompagné d'une rotation.

Comprendre quotient et puissance. Diviser les complexes divise les modules et soustrait les arguments. Une puissance entière n multiplie l'argument par n, mais élève aussi le module à la puissance n : $(r\mathrm e^{i\theta})^n=r^n\mathrm e^{in\theta}$ .

Simplifier des angles sans changer le nombre. Retirer un multiple entier de $2\pi$ ne change ni cosinus ni sinus. On réduit donc les angles après les opérations pour reconnaître des directions simples et, si nécessaire, revenir à la forme algébrique.

Résoudre des équations simples

Intuition · Construire la notion pas à pas

Conserver les opérations réversibles. Au premier degré, on isole z comme dans les réels, en vérifiant que le coefficient par lequel on divise est non nul. Si ce coefficient est complexe, on peut utiliser son conjugué pour écrire le quotient sous forme algébrique.

Résoudre un carré réel négatif dans les complexes. Pour $$z^2=-a$$ avec $$a>0$$ , on utilise $$i^2=-1$$ . Les nombres $i\sqrt a$ et $-i\sqrt a$ ont tous deux pour carré -a. Il ne s'agit pas d'une racine carrée réelle d'un nombre négatif.

Justifier qu'il n'y a pas d'autre solution. Si r est une racine non nulle de l'équation $$z^2=c$$ , l'identité $$z^2-r^2=(z-r)(z+r)$$ transforme l'équation en produit nul. Les seules possibilités sont z égal à r ou à -r.

Vérifier chaque candidat. Une équation au carré non nul donne deux signes à contrôler. Pour un premier degré, on remplace le résultat dans l'expression initiale, en développant si le coefficient est complexe. Le cas $$z^2=0$$ se traite séparément et donne uniquement zéro.

Translations, rotations et homothéties

Intuition · Construire la notion pas à pas

Lire une addition comme un déplacement. La transformation $$w=z+b$$ ajoute le même vecteur à chaque point : c'est une translation de vecteur d'affixe b. Les différences entre deux affixes restent identiques, donc les distances entre points sont conservées.

Lire une multiplication réelle comme un changement d'échelle. Pour $$w=kz$$ , les coordonnées sont multipliées par k. Si k est négatif, le point passe aussi de l'autre côté de l'origine. Les distances sont multipliées par $$|k|$$ , car une distance reste positive.

Lire un facteur de module un comme une rotation. Multiplier par $\mathrm e^{i\theta}$ conserve le module et ajoute $\theta$ à la direction. La transformation est donc une rotation de centre O et d'angle $\theta$ . En particulier, multiplier par i tourne d'un quart de tour direct.

Déplacer le centre du raisonnement. Pour tourner autour d'un point d'affixe a, on considère d'abord le déplacement $$z-a$$ depuis ce centre, puis on le tourne et l'on revient au repère initial : $w=a+\mathrm e^{i\theta}(z-a)$ . Cette chronologie explique la formule.

Formules d’addition, duplication et linéarisation

Intuition · Construire la notion pas à pas

Construire les formules à partir d'un produit. Le produit $(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)$ se développe en quatre termes. Sa partie réelle vaut $\cos a\cos b-\sin a\sin b$ , car $$i^2=-1$$ . Sa partie imaginaire vaut $\sin a\cos b+\cos a\sin b$ .

Identifier le même produit autrement. Les facteurs sont $\mathrm e^{ia}$ et $\mathrm e^{ib}$ , donc leur produit est $\mathrm e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b)$ . Identifier les deux composantes fournit les formules d'addition.

Doubler un angle. En prenant b égal à a, on obtient $\sin(2a)=2\sin a\cos a$ et $\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a$ . Avec $\sin^2a+\cos^2a=1$ , on réécrit cette dernière identité sous deux formes adaptées.

Retirer les carrés trigonométriques. Isoler $\cos^2a$ ou $\sin^2a$ donne $(1+\cos2a)/2$ et $(1-\cos2a)/2$ . Cette linéarisation facilite notamment une primitive. Il faut doubler l'argument complet : si a vaut 3x, le cosinus obtenu porte sur 6x.

Réduire une combinaison sinus-cosinus

Intuition · Construire la notion pas à pas

Fixer la forme recherchée. On veut transformer $a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ en une seule expression $A\cos(\omega t+\varphi)$ avec amplitude A positive. Le choix de la convention cosinus détermine les signes des relations sur la phase.

Développer pour identifier. La formule d'addition donne $A\cos\varphi\cos(\omega t)-A\sin\varphi\sin(\omega t)$ . Il faut donc $A\cos\varphi=a$ et $-A\sin\varphi=b$ .

Retrouver l'amplitude. En élevant ces deux relations au carré puis en additionnant, on obtient $A^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=a^2+b^2$ . Ainsi $A=\sqrt{a^2+b^2}$ si les coefficients ne sont pas tous deux nuls.

Déterminer la phase avec les deux signes. Les relations sont $\cos\varphi=a/A$ et $\sin\varphi=-b/A$ . Le signe moins est indispensable. Une arctangente d'un quotient sans contrôle du quadrant peut donner la direction opposée. Si a et b sont nuls, le signal est nul et la phase n'a pas de valeur imposée.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Un réel négatif ★☆☆

Écris $$-3$$ sous forme exponentielle.

Exercice 2 : Premier degré ★☆☆

Résous $$2z+4-6i=0$$ .

Exercice 3 : Une translation ★☆☆

Par $$w=z+3-2i$$ , quelle est l’image de $$z=1+4i$$ ?

Exercice 4 : Une duplication ★☆☆

On a $\sin a=3/5$ et $\cos a=4/5$ . Calcule $\sin(2a)$ .

Exercice 5 : Une amplitude ★☆☆

Quelle est l’amplitude de $5\cos t+12\sin t$ ?

Exercice 6 : Un quotient exponentiel ★★☆

Calcule $(6\mathrm e^{i\pi/2})/(2\mathrm e^{i\pi/6})$ .

Exercice 7 : Un carré négatif ★★☆

Résous $$z^2=-16$$ .

Exercice 8 : Une homothétie négative ★★☆

Par $$w=-2z$$ , quelle est l’image de $$z=1-3i$$ ? Quel est le rapport des distances à O ?

Exercice 9 : Linéariser un carré ★★☆

Écris $\cos^2(3x)$ comme une somme sans carré trigonométrique.

Exercice 10 : Une forme exacte ★★☆

Écris $\cos t+\sin t$ sous la forme $A\cos(t+\varphi)$ .

Exercice 11 : Une puissance ★★★

Calcule $$(1+i)^4$$ avec la forme exponentielle.

Exercice 12 : Un coefficient complexe ★★★

Résous $$(1+i)z=2-i$$ .

Exercice 13 : Une rotation vérifiée ★★★

Applique une rotation de centre O et d’angle $\pi/2$ à $$z=3-2i$$ . Contrôle la distance à O.

Exercice 14 : Une primitive par linéarisation ★★★

Détermine une primitive de $\sin^2x$ .

Exercice 15 : Un quadrant à respecter ★★★

Pour $-3\cos t+4\sin t$ , indique l’amplitude et les signes du cosinus et du sinus de la phase dans la forme $A\cos(t+\varphi)$ .

Problème : Pour aller plus loin

Additionner et transformer des signaux

On considère $z_1=2e^{i\pi/3}$ et $z_2=2e^{-i\pi/3}$ .

Donne les formes algébriques, la somme et le produit.
Interprète la multiplication d’un point z par i.
Résous $z^{2}$ = -9 et exprime les solutions en forme exponentielle.
Déduis une forme simplifiée de cos( $\theta$ + $\pi$ /3) + cos( $\theta$ - $\pi$ /3).
Simplifie $sin^{2}$ $\theta$ à l’aide de cos(2 $\theta$ ).

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le coefficient du cosinus est négatif et celui du sinus positif ; la phase doit tenir compte du signe moins de la formule.

Construire la réponse.

L’amplitude est
$\begin{aligned}A &= \sqrt{(-3)^2+4^2}\\[.35em] &= 5.\end{aligned}$
La relation $A\cos\varphi=-3$ donne $\cos\varphi=-3/5$ .
La relation $-A\sin\varphi=4$ donne $\sin\varphi=-4/5$ .
Les deux valeurs négatives placent la phase dans le troisième quadrant, ou dans $]-\pi;-\pi/2[$ pour une mesure principale.

Vérifier. Le développement donne bien $5(-3/5)\cos t-5(-4/5)\sin t=-3\cos t+4\sin t$ . Choisir un angle du premier quadrant aurait inversé les deux coefficients.

Conclure. L’amplitude est 5 ; la phase vérifie $\cos\varphi=-3/5$ et $\sin\varphi=-4/5$ .

Corrigé du problème

Comprendre la question. La forme exponentielle donne directement les modules et arguments ; les valeurs trigonométriques permettent la forme algébrique.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}z_1 &= 2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))\\[.35em] &= 1+i\sqrt3.\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}z_2 &= 2(\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3))\\[.35em] &= 1-i\sqrt3.\end{aligned}$
3. La somme vaut 2, car les parties imaginaires s’annulent.
4. Le produit vaut
  $\begin{aligned}2\times2\,\mathrm e^{i(\pi/3-\pi/3)} &= 4\mathrm e^0\\[.35em] &= 4.\end{aligned}$
Vérifier. Les nombres sont conjugués. Le produit doit être le carré du module : $$|z_1|^2=4$$ .

Conclure. Les formes algébriques sont $1\pm i\sqrt3$ ; leur somme vaut 2 et leur produit 4.
Comprendre la question. Multiplier des complexes multiplie leurs modules et additionne leurs arguments.

Construire la réponse.
1. Le nombre i a pour module 1 et pour argument $\pi/2$ .
2. Pour un point non situé à l’origine, la multiplication par i conserve sa distance à l’origine et augmente son argument d’un quart de tour.
3. En coordonnées, $$i(x+iy)=-y+ix$$ : le point $$(x;y)$$ devient $$(-y;x)$$ .
Vérifier. Le point (1;0) devient (0;1), ce qui vérifie le sens positif du quart de tour. L’origine reste fixe.

Conclure. La transformation est une rotation de centre O et d’angle $\pi/2$ .
Comprendre la question. On cherche les complexes dont le carré vaut un réel négatif.

Construire la réponse.
1. Comme $$i^2=-1$$ , on reconnaît $$(3i)^2=-9$$ et $$(-3i)^2=-9$$ .
2. La factorisation $$z^2+9=(z-3i)(z+3i)$$ montre qu’il n’y a pas d’autre solution.
3. Les modules valent 3 ; les arguments peuvent être $\pi/2$ et $-\pi/2$ .
Vérifier. En forme exponentielle, le carré double l’argument et donne

\[\begin{aligned}9\mathrm e^{i\pi} &= 9\mathrm e^{-i\pi}\\[.35em] &= -9.\end{aligned}\]

Conclure. Les solutions sont $3i=3\mathrm e^{i\pi/2}$ et $-3i=3\mathrm e^{-i\pi/2}$ .
Comprendre la question. Les deux décalages opposés font se compenser les contributions en sinus.

Construire la réponse.
1. $\cos(\theta+\pi/3)=\cos\theta\cos(\pi/3)-\sin\theta\sin(\pi/3).$
2. $\cos(\theta-\pi/3)=\cos\theta\cos(\pi/3)+\sin\theta\sin(\pi/3).$
3. En additionnant, les termes en sinus disparaissent et il reste $2\cos\theta\cos(\pi/3)$ .
4. Comme $\cos(\pi/3)=1/2$ , le résultat est $\cos\theta$ .
Vérifier. En zéro, les deux cosinus valent chacun 1/2 et leur somme 1, comme $\cos0$ . Le développement établit l’identité pour tout angle.

Conclure. $\cos(\theta+\pi/3)+\cos(\theta-\pi/3)=\cos\theta$ .
Comprendre la question. La formule de l’angle double permet de remplacer le carré par un cosinus.

Construire la réponse.
1. On part de $\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ .
2. Comme $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ , on obtient $\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta$ .
3. On isole le carré : $2\sin^2\theta=1-\cos(2\theta)$ , puis on divise par 2.
Vérifier. En zéro, les deux membres valent 0 ; en $\pi/2$ , ils valent 1. La nouvelle expression fait apparaître un terme constant et une fréquence doublée.

Conclure. $\sin^2\theta=(1-\cos(2\theta))/2$ .

Variante autonome et bilan

Calcule $3e^{i\pi/4}\times2e^{i\pi/4}$ , puis interprète la multiplication par $2e^{i\pi/4}$ .

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On multiplie les modules et on additionne les arguments, puis on interprète le facteur appliqué.

Construire la réponse.

Le module du produit vaut $3\times2=6$ .
Son argument vaut $\pi/4+\pi/4=\pi/2$ , donc le produit est $6\mathrm e^{i\pi/2}=6i$ .
Multiplier un point z par $2\mathrm e^{i\pi/4}$ multiplie sa distance à l’origine par 2 et ajoute $\pi/4$ à son argument.

Vérifier. La transformation combine un agrandissement de rapport 2 et une rotation de centre O. L’origine reste fixe.

Conclure. Le produit vaut $$6i$$ ; la transformation double les longueurs et tourne de $\pi/4$ autour de l’origine.

Je peux expliquer : la notation exponentielle complexe.
Je peux expliquer : résoudre des équations simples.
Je peux expliquer : translations, rotations et homothéties.
Je peux expliquer : formules d’addition, duplication et linéarisation.
Je peux expliquer : réduire une combinaison sinus-cosinus.

Fiche-mémoire

La notation exponentielle complexe.

Écris chaque complexe non nul avec un module positif et un argument.
Pour un produit, multiplie les modules et additionne les arguments.
Pour un quotient, divise les modules et soustrais les arguments.
Pour une puissance, élève le module à cette puissance et multiplie l’angle.
Réduis l’angle modulo $2\pi$ puis contrôle avec une forme algébrique lorsque c’est simple.

Résoudre des équations simples.

Identifie le degré de l’équation et les coefficients non nuls.
Au premier degré, isole z puis effectue le quotient avec la forme adaptée.
Pour $$z^2=c$$ réel, distingue c positif, nul et négatif.
Garde les deux signes lorsque c est non nul et justifie l’exhaustivité par un produit nul.
Substitue chaque solution dans l’équation initiale.

Translations, rotations et homothéties.

Identifie si la formule ajoute une affixe, multiplie par un réel ou par un facteur de module un.
Calcule l’image en regroupant les composantes ou en utilisant modules et arguments.
Identifie le centre, le vecteur, le rapport ou l’angle de la transformation.
Pour un centre a, travaille sur le déplacement $$z-a$$ avant de revenir à w.
Contrôle la propriété attendue : distance conservée, rapport positif des distances ou déplacement constant.

Formules d’addition, duplication et linéarisation.

Identifie la structure : somme, différence, angle double ou carré.
Écris la formule symbolique avant de remplacer les angles.
Garde le signe moins dans l’addition du cosinus et contrôle les parités pour une différence.
Pour une linéarisation, double tout l’argument.
Pour une primitive obtenue, dérive le résultat afin de contrôler les facteurs.

Réduire une combinaison sinus-cosinus.

Annonce la convention choisie pour la sinusoïde résultante.
Développe cette forme et identifie les coefficients du sinus et du cosinus.
Calcule $A=\sqrt{a^2+b^2}$ puis traite le cas A égal à zéro.
Détermine la phase avec son cosinus, son sinus et le bon quadrant.
Contrôle en redéveloppant la forme obtenue, puis sur une ou deux valeurs simples de t.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

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L’idée avant la formule

Le cours formel

La notation exponentielle complexe

Résoudre des équations simples

Translations, rotations et homothéties

Formules d’addition, duplication et linéarisation

Réduire une combinaison sinus-cosinus

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Un réel négatif ★☆☆

Exercice 2 : Premier degré ★☆☆

Exercice 3 : Une translation ★☆☆

Exercice 4 : Une duplication ★☆☆

Exercice 5 : Une amplitude ★☆☆

Exercice 6 : Un quotient exponentiel ★★☆

Exercice 7 : Un carré négatif ★★☆

Exercice 8 : Une homothétie négative ★★☆

Exercice 9 : Linéariser un carré ★★☆

Exercice 10 : Une forme exacte ★★☆

Exercice 11 : Une puissance ★★★

Exercice 12 : Un coefficient complexe ★★★

Exercice 13 : Une rotation vérifiée ★★★

Exercice 14 : Une primitive par linéarisation ★★★

Exercice 15 : Un quadrant à respecter ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Additionner et transformer des signaux

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions