Équations différentielles · Terminale STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Une équation différentielle décrit comment une grandeur évolue vers un équilibre. La condition initiale fixe la solution et Euler permet une approche numérique. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

Vérifier une équation différentielle.
Résoudre $y^{\prime}$ = ay.
Résoudre $y^{\prime}$ = ay + b.
Condition initiale et interprétation du modèle.
Approcher une solution différentielle par Euler.

L’idée avant la formule

Plus l’écart à la température ambiante est grand, plus le refroidissement est rapide dans ce modèle. L’équilibre est la valeur pour laquelle la dérivée devient nulle.

Le cours formel

Vérifier une équation différentielle

Intuition · Construire la notion pas à pas

L'inconnue est une fonction. Une équation ordinaire cherche un nombre. Une équation différentielle cherche une fonction dont les valeurs et les variations respectent une relation. Dans $y^{\prime}=ay+b$ , la pente à chaque instant dépend de la valeur actuelle de y.

Vérifier une proposition. On calcule d'un côté la dérivée de la fonction proposée, de l'autre l'expression $$ay+b$$ . Il faut retrouver la même expression pour toute valeur de la variable dans l'intervalle étudié. Une coïncidence à un seul instant ne suffit pas.

Ajouter une condition initiale. Une égalité comme $$y(0)=5$$ fixe une valeur de départ. Elle se vérifie séparément de l'équation différentielle. Une fonction peut satisfaire la condition initiale sans posséder la bonne évolution.

Chercher un équilibre. Une solution constante ne varie pas : sa dérivée est nulle. Pour $a\ne0$ , elle vérifie $$0=aL+b$$ , d'où $$L=-b/a$$ . Cet équilibre représente une valeur que le modèle peut maintenir sans évolution, par exemple une température ambiante.

Résoudre $y^{\prime}$ = ay

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une variation proportionnelle à la quantité présente. Dans $y^{\prime}=ay$ , la pente représente a fois la valeur actuelle. Pour une quantité positive et a positif, plus la quantité grandit, plus sa vitesse de croissance grandit. Pour a négatif, l'évolution se fait en sens décroissant.

Reconnaître l'exponentielle. La dérivée de $\mathrm e^{at}$ est $a\mathrm e^{at}$ . Multiplier cette fonction par une constante C conserve la relation : les solutions sont $y(t)=C\mathrm e^{at}$ .

Fixer la valeur initiale. À $$t=0$$ , l'exponentielle vaut 1, donc $$y(0)=C$$ . La condition initiale détermine directement C. Sans cette condition, C doit rester libre, y compris égal à zéro ou négatif.

Interpréter les signes. L'exponentielle est positive : la solution garde le signe de C. Si a est négatif, toute solution tend vers zéro lorsque t augmente, mais une solution négative s'en rapproche en croissant. Il faut donc tenir compte du signe initial avant d'annoncer une croissance ou une décroissance.

Si $$a=0$$ , la formule donne $C\mathrm e^0=C$ et retrouve les fonctions constantes.

Résoudre $y^{\prime}$ = ay + b

Intuition · Construire la notion pas à pas

Un apport ou un retrait constant modifie l'équilibre. Dans $y^{\prime}=ay+b$ , le terme b s'ajoute à la variation proportionnelle. La valeur vers laquelle une solution peut se rapprocher n'est donc plus nécessairement zéro.

Chercher d'abord une solution constante. Pour $a\ne0$ , l'équilibre L vérifie $$aL+b=0$$ , soit $$L=-b/a$$ . Cette valeur est imposée par l'équation ; elle n'est pas une constante arbitraire.

Étudier l'écart à l'équilibre. Posons $$z=y-L$$ . Sa dérivée est celle de y, et

\begin{aligned}z^{\prime} &= a(z+L)+b\\[.35em] &= az\end{aligned}

parce que $$aL+b=0$$ . L'écart suit donc une équation homogène. On obtient $z=C\mathrm e^{at}$ , puis $y=C\mathrm e^{at}+L$ .

Lire le comportement. Si a est négatif, l'écart tend vers zéro et la solution se rapproche de L. Le signe de C indique de quel côté elle se trouve. Si a est positif, un écart non nul s'amplifie.

Lorsque $$a=0$$ , on ne divise pas par a : l'équation devient $y^{\prime}=b$ , dont les solutions sont $$bt+C$$ .

Condition initiale et interprétation du modèle

Intuition · Construire la notion pas à pas

Choisir une trajectoire dans une famille. L'équation fixe une famille de solutions et la condition initiale choisit celle qui passe par le point donné. Pour $y^{\prime}=ay+b$ avec $a\ne0$ , on commence par l'équilibre $$L=-b/a$$ et la famille $C\mathrm e^{at}+L$ .

La constante est un écart. En zéro, $$y(0)=C+L$$ . Si la valeur initiale est $$y_0$$ , alors $$C=y_0-L$$ . C représente donc l'écart initial à l'équilibre, pas la valeur initiale elle-même.

Une origine de temps différente. Si la condition est donnée en $$t_0$$ , on peut écrire directement $y(t)=(y_0-L)\mathrm e^{a(t-t_0)}+L$ . En $$t=t_0$$ , l'exposant est nul, ce qui facilite le contrôle.

Vérifier qu'un seuil peut être atteint. Une solution qui décroît de 80 vers un équilibre 20 reste au-dessus de 20 à tout temps fini. Un seuil inférieur à l'équilibre est impossible. Avant de prendre un logarithme pour résoudre un seuil, vérifie donc que l'exponentielle isolée devrait être positive et que le temps obtenu appartient au domaine du modèle.

Approcher une solution différentielle par Euler

Intuition · Construire la notion pas à pas

Approcher une solution sans formule explicite. Dans $y^{\prime}=ay+b$ , la pente est calculable dès que l'on connaît une valeur actuelle de y. La méthode d'Euler utilise cette pente pour tracer un petit segment et estimer la valeur suivante.

Avec un pas h, on calcule $y_{n+1}=y_n+h(ay_n+b)$ et $t_{n+1}=t_n+h$ . Toute la pente utilise l'ancienne valeur $$y_n$$ . La nouvelle valeur ne doit pas être réinjectée au milieu du même calcul.

Distinguer le modèle et son approximation. Les valeurs produites par Euler ne sont généralement pas exactes. Même si les calculs arithmétiques sont justes, un pas trop grand peut donner un comportement contraire à celui de l'équation.

Comprendre un effet du pas. Pour $y^{\prime}=-ky$ , la mise à jour est $y_{n+1}=(1-kh)y_n$ . Si $$kh>1$$ , le coefficient devient négatif et fait alterner les signes, alors que la solution exponentielle exacte conserve son signe. Ce signal invite à réduire le pas.

Pour comparer la précision de deux pas, atteins le même temps final avec chacun, puis compare à la solution exacte si elle est connue.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une vérification simple ★☆☆

$y(t)=5e^{3t}$ satisfait-elle $y^{\prime}=3y$ ?

Exercice 2 : La famille complète ★☆☆

Résous $y^{\prime}=2y$ .

Exercice 3 : Un équilibre non nul ★☆☆

Résous $y^{\prime}=-y+5$ .

Exercice 4 : Fixer la constante ★☆☆

$y(t)=Ce^{-2t}+4$ et $$y(0)=10$$ . Détermine C.

Exercice 5 : Un premier pas ★☆☆

$y^{\prime}=2y$ , $$y(0)=3$$ , h = 0,1. Calcule $y_{1}$ .

Exercice 6 : Un équilibre ★★☆

Trouve la solution constante de $y^{\prime}=-4y+12$ .

Exercice 7 : Une décroissance ★★☆

Résous $y^{\prime}=-3y$ avec $$y(0)=4$$ .

Exercice 8 : Un signe à surveiller ★★☆

Résous $y^{\prime}=3y+6$ .

Exercice 9 : Un autre instant initial ★★☆

Résous $y^{\prime}=-y+3$ avec $$y(2)=7$$ .

Exercice 10 : Deux pas vers un équilibre ★★☆

$y^{\prime}=-2y+8$ , $$y(0)=1$$ , h = 0,25. Calcule $y_{1}$ et $y_{2}$ .

Exercice 11 : Une condition insuffisante ★★★

$$y(t)=2t+1$$ vérifie $$y(0)=1$$ . Est-elle solution de $y^{\prime}=2y$ ?

Exercice 12 : Un temps de demi-vie ★★★

$y(t)=10e^{-0{,}2t}$ . Trouve quand y atteint 5.

Exercice 13 : Le cas a = 0 ★★★

Résous $y^{\prime}=4$ avec $$y(0)=2$$ .

Exercice 14 : Un seuil de refroidissement ★★★

$T(t)=60e^{-0{,}1t}+20$ . Quand T atteint-elle 50 ? Peut-elle atteindre 10 pour t $\ge$ 0 ?

Exercice 15 : Un pas trop grand ★★★

Pour $y^{\prime}=-2y$ , $$y(0)=1$$ , compare le premier pas h = 1 à h = 0,25. Interprète le signe.

Problème : Pour aller plus loin

Refroidissement d’un dispositif

La température vérifie $T^{\prime}=-0{,}2T+4$ et T(0) = 80, avec t en minutes.

Trouve la température d’équilibre.
Résous l’équation avec la condition initiale et vérifie.
Étudie le sens de variation et la limite.
Trouve le temps pour atteindre 50 degrés.
Effectue deux pas d’Euler de longueur 1 et compare à la valeur exacte au temps 2.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le signe permet de détecter un effet artificiel du grand pas, mais la précision se compare au même temps.

Construire la réponse.

Avec $$h=1$$ ,
$\begin{aligned}y_1 &= 1+1(-2)\\[.35em] &= -1\end{aligned}$
au temps 1.
Avec $$h=0{,}25$$ , le multiplicateur est $$1-2h=0{,}5$$ : le premier pas donne 0,5 au temps 0,25.
Pour atteindre le temps 1 avec les petits pas, il faut quatre mises à jour :
$\begin{aligned}1 &\to 0{,}5\\[.35em] &\to 0{,}25\\[.35em] &\to 0{,}125\\[.35em] &\to 0{,}0625.\end{aligned}$
La solution exacte est $\mathrm e^{-2t}$ , positive, et vaut environ 0,1353 en 1.

Vérifier. Le grand pas produit un signe impossible pour la solution exacte. Au même temps 1, l’erreur du petit pas est environ 0,0728 contre 1,1353 pour le grand pas.

Conclure. Le pas 1 crée une alternance artificielle de signes ; le pas 0,25 reste positif et donne ici une meilleure approximation.

Corrigé du problème

Comprendre la question. Une température d’équilibre ne varie plus : sa dérivée est nulle.

Construire la réponse.
1. On impose $$0=-0{,}2L+4$$ .
2. Cela donne $$0{,}2L=4$$ , puis
  $\begin{aligned}L &= 4/0{,}2\\[.35em] &= 20.\end{aligned}$
Vérifier. En remplaçant T par 20, le membre droit vaut $$-4+4=0$$ .

Conclure. La température d’équilibre est 20 degrés.
Comprendre la question. L’écart à l’équilibre suit une décroissance exponentielle.

Construire la réponse.
1. La famille est $T(t)=C\mathrm e^{-0{,}2t}+20$ .
2. À l’origine, $$C+20=80$$ , donc $$C=60$$ .
3. La solution est $T(t)=60\mathrm e^{-0{,}2t}+20$ .
4. Sa dérivée vaut $-12\mathrm e^{-0{,}2t}$ . Le membre droit vaut $-0{,}2(60\mathrm e^{-0{,}2t}+20)+4=-12\mathrm e^{-0{,}2t}$ .
Vérifier. Les expressions de la dérivée et du membre droit sont identiques pour tout t ; en zéro, la température vaut 80.

Conclure. La solution est $60\mathrm e^{-0{,}2t}+20$ .
Comprendre la question. La positivité de l’exponentielle permet de lire le signe de la dérivée et la position par rapport à l’équilibre.

Construire la réponse.
1. $T^{\prime}(t)=-12\mathrm e^{-0{,}2t}<0$ : T est strictement décroissante.
2. Quand $t\to+\infty$ , l’exposant tend vers $-\infty$ et l’exponentielle vers zéro.
3. La limite est donc 20, et $T(t)-20=60\mathrm e^{-0{,}2t}>0$ à tout temps fini.
Vérifier. La solution part de 80 et reste au-dessus de 20 ; elle ne traverse pas l’équilibre.

Conclure. La température décroît vers 20 degrés, sans l’atteindre à un temps fini.
Comprendre la question. Le seuil 50 se situe entre la température initiale et l’équilibre : il est accessible.

Construire la réponse.
1. $60\mathrm e^{-0{,}2t}+20=50$ donne $60\mathrm e^{-0{,}2t}=30$ .
2. En divisant par 60, $\mathrm e^{-0{,}2t}=1/2$ .
3. On prend ln : $-0{,}2t=-\ln2$ , d’où
  $\begin{aligned}t &= 5\ln2\\[.35em] &\approx 3{,}466\end{aligned}$
  minutes.
Vérifier. À ce temps, le terme exponentiel vaut 1/2 : la température est bien $$60/2+20=50$$ .

Conclure. La température atteint 50 degrés après environ 3,466 minutes.
Comprendre la question. Euler utilise la température approchée précédente pour recalculer la pente à chaque minute.

Construire la réponse.
1. Au départ, la pente vaut $-0{,}2\times80+4=-12$ degrés par minute.
2. Le premier pas donne
  $\begin{aligned}T_1 &= 80+1(-12)\\[.35em] &= 68.\end{aligned}$
3. La pente suivante vaut $-0{,}2\times68+4=-9{,}6$ ; le second pas donne
  $\begin{aligned}T_2 &= 68-9{,}6\\[.35em] &= 58{,}4.\end{aligned}$
4. La valeur exacte au temps 2 est $20+60\mathrm e^{-0{,}4}\approx60{,}219$ . L’écart approché moins exact vaut environ $$-1{,}819$$ degré.
Vérifier. Les deux valeurs sont comparées au même temps. Le signe de l’écart indique qu’Euler refroidit trop vite avec ce pas.

Conclure. Après deux pas de longueur 1, Euler donne 58,4 degrés, contre environ 60,219 pour la solution exacte.

Variante autonome et bilan

Résous $y^{\prime}=-y+5$ avec y(0) = 2 et décris le mouvement vers l’équilibre.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La condition initiale est cette fois située sous l’équilibre.

Construire la réponse.

L’équilibre de $y^{\prime}=-y+5$ est 5 ; la famille est $C\mathrm e^{-t}+5$ .
La condition donne $$C+5=2$$ , donc $$C=-3$$ .
La solution est $y(t)=5-3\mathrm e^{-t}$ , de dérivée $3\mathrm e^{-t}>0$ .
Pour $t\ge0$ , elle croît depuis 2 et tend vers 5, tout en restant strictement inférieure à 5.

Vérifier. Le membre droit vaut $-y+5=3\mathrm e^{-t}$ , identique à la dérivée ; la valeur en zéro est 2.

Conclure. La solution $5-3\mathrm e^{-t}$ se rapproche de l’équilibre 5 par valeurs inférieures, sans l’atteindre en temps fini.

Je peux expliquer : vérifier une équation différentielle.
Je peux expliquer : résoudre $y^{\prime}$ = ay.
Je peux expliquer : résoudre $y^{\prime}$ = ay + b.
Je peux expliquer : condition initiale et interprétation du modèle.
Je peux expliquer : approcher une solution différentielle par euler.

Fiche-mémoire

Vérifier une équation différentielle.

Identifie l’équation et la fonction proposée.
Calcule sa dérivée.
Remplace séparément y dans le membre droit.
Compare les expressions sur tout l’intervalle.
Vérifie à part une condition initiale ou impose une dérivée nulle pour un équilibre.

Résoudre $y^{\prime}$ = ay.

Reconnais la forme $y^{\prime}=ay$ et lis le coefficient a.
Écris la famille $C\mathrm e^{at}$ .
Utilise la condition initiale pour calculer C si elle est donnée.
Contrôle la dérivée et la valeur initiale.
Interprète signe, variations et limite selon a et C.

Résoudre $y^{\prime}$ = ay + b.

Identifie a et b ; traite séparément le cas $$a=0$$ .
Pour $a\ne0$ , calcule l’équilibre $$L=-b/a$$ .
Écris $y(t)=C\mathrm e^{at}+L$ .
Utilise une condition pour déterminer C si nécessaire.
Vérifie l’équation et distingue l’équilibre fixé de la constante libre.

Condition initiale et interprétation du modèle.

Calcule l’équilibre et écris la famille des solutions.
Utilise le temps initial exact, qui n’est pas forcément zéro.
Détermine l’écart initial à l’équilibre.
Contrôle la dérivée et la valeur imposée.
Avant un seuil, vérifie sa compatibilité avec les variations et la limite.

Approcher une solution différentielle par Euler.

Initialise le temps et la valeur à partir de la condition donnée.
Calcule la pente $$ay_n+b$$ avec l’ancienne valeur.
Ajoute à $$y_n$$ le produit de cette pente par h.
Avance le temps et recommence avec la nouvelle valeur.
Contrôle le comportement et compare les pas au même temps final.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Vérifier une équation différentielle

Résoudre \(y^{\prime}\) = ay

Résoudre \(y^{\prime}\) = ay + b

Condition initiale et interprétation du modèle

Approcher une solution différentielle par Euler

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une vérification simple ★☆☆

Exercice 2 : La famille complète ★☆☆

Exercice 3 : Un équilibre non nul ★☆☆

Exercice 4 : Fixer la constante ★☆☆

Exercice 5 : Un premier pas ★☆☆

Exercice 6 : Un équilibre ★★☆

Exercice 7 : Une décroissance ★★☆

Exercice 8 : Un signe à surveiller ★★☆

Exercice 9 : Un autre instant initial ★★☆

Exercice 10 : Deux pas vers un équilibre ★★☆

Exercice 11 : Une condition insuffisante ★★★

Exercice 12 : Un temps de demi-vie ★★★

Exercice 13 : Le cas a = 0 ★★★

Exercice 14 : Un seuil de refroidissement ★★★

Exercice 15 : Un pas trop grand ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Refroidissement d’un dispositif

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions

Résoudre $y^{\prime}$ = ay

Résoudre $y^{\prime}$ = ay + b