Le cours formel Vérifier une équation différentielle
Intuition · Construire la notion pas à pas
L'inconnue est une fonction. Une équation ordinaire cherche un nombre. Une équation différentielle cherche une fonction dont les valeurs et les variations respectent une relation. Dans \(y^{\prime}=ay+b\) , la pente à chaque instant dépend de la valeur actuelle de y.
Vérifier une proposition. On calcule d'un côté la dérivée de la fonction proposée, de l'autre l'expression \(ay+b\) . Il faut retrouver la même expression pour toute valeur de la variable dans l'intervalle étudié. Une coïncidence à un seul instant ne suffit pas.
Ajouter une condition initiale. Une égalité comme \(y(0)=5\) fixe une valeur de départ. Elle se vérifie séparément de l'équation différentielle. Une fonction peut satisfaire la condition initiale sans posséder la bonne évolution.
Chercher un équilibre. Une solution constante ne varie pas : sa dérivée est nulle. Pour \(a\ne0\) , elle vérifie \(0=aL+b\) , d'où \(L=-b/a\) . Cet équilibre représente une valeur que le modèle peut maintenir sans évolution, par exemple une température ambiante.
Définition · Comprendre la notion
Une équation différentielle relie une fonction inconnue et sa dérivée. Dans \(y^{\prime}=ay+b\) , a et b sont des constantes, mais y est une fonction du temps ou de la variable. Pour vérifier qu'une fonction est solution, calcule sa dérivée puis calcule séparément \(ay+b\) . Les deux expressions doivent être égales pour tout point de l'intervalle, pas seulement à une valeur. Une condition initiale comme \(y(0)=y_0\) ajoute une contrainte de valeur. Une solution d'équilibre est constante : sa dérivée est nulle. Si \(a\ne0\) , l'équilibre vaut \(-b/a\) . Ce vocabulaire relie l'équation à des modèles de refroidissement, de charge ou de croissance.
Exemple · Exemple commenté
Considérons \(y(t)=4\mathrm e^{-2t}+3\) et l'équation \(y^{\prime}=-2y+6\) . La dérivée est \(y^{\prime}(t)=-8\mathrm e^{-2t}\) , car la constante 3 disparaît.
Calculons séparément le membre droit :
\[\begin{aligned}-2(4\mathrm e^{-2t}+3)+6 &= -8\mathrm e^{-2t}-6+6\\[.35em] &= -8\mathrm e^{-2t}.\end{aligned}\]
Les expressions coïncident pour tout t : la fonction est solution.
Sa valeur initiale est
\[\begin{aligned}y(0) &= 4+3\\[.35em] &= 7.\end{aligned}\]
La constante 3 est l'équilibre de l'équation ; elle ne désigne pas la valeur initiale de cette solution particulière.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Tester une équation différentielle à un seul instant ne la vérifie pas. Les deux expressions doivent être égales pour tout point de l'intervalle.
À toi d’essayer
Pause 1 : Mets la notion à l’épreuve Dans une équation différentielle, l’inconnue est…
Une fonction
Un nombre seulement
Une probabilité
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste L’équation comporte y et sa dérivée.
Indice 2 · Un pas de plus Un nombre seul n’a pas de variations à décrire sur un intervalle.
Voir l’explication L’inconnue est une fonction. Une solution doit satisfaire la relation entre ses valeurs et sa dérivée en tout point de l’intervalle. Une condition initiale peut ensuite fixer l’une de ces valeurs.
Résoudre \(y^{\prime}\) = ay
Intuition · Construire la notion pas à pas
Une variation proportionnelle à la quantité présente. Dans \(y^{\prime}=ay\) , la pente représente a fois la valeur actuelle. Pour une quantité positive et a positif, plus la quantité grandit, plus sa vitesse de croissance grandit. Pour a négatif, l'évolution se fait en sens décroissant.
Reconnaître l'exponentielle. La dérivée de \(\mathrm e^{at}\) est \(a\mathrm e^{at}\) . Multiplier cette fonction par une constante C conserve la relation : les solutions sont \(y(t)=C\mathrm e^{at}\) .
Fixer la valeur initiale. À \(t=0\) , l'exponentielle vaut 1, donc \(y(0)=C\) . La condition initiale détermine directement C. Sans cette condition, C doit rester libre, y compris égal à zéro ou négatif.
Interpréter les signes. L'exponentielle est positive : la solution garde le signe de C. Si a est négatif, toute solution tend vers zéro lorsque t augmente, mais une solution négative s'en rapproche en croissant. Il faut donc tenir compte du signe initial avant d'annoncer une croissance ou une décroissance.
Si \(a=0\) , la formule donne \(C\mathrm e^0=C\) et retrouve les fonctions constantes.
Définition · Comprendre la notion
Les solutions de \(y^{\prime}=ay\) , avec a constant, sont \(y(t)=Ce^{at}\) , où C est une constante réelle. La dérivation redonne \(aCe^{at}=ay\) . Si a = 0, les solutions sont constantes, ce que la formule retrouve avec \(e^0=1\) . Si \(y(0)=y_0\) , alors \(C=y_0\) . Pour a < 0, toute solution tend vers zéro en temps positif ; pour a > 0, une solution de valeur initiale positive croît exponentiellement. Une valeur initiale négative conserve son signe et ne décrit pas une population positive. L'équation signifie que le taux de variation est proportionnel à la quantité présente. Vérifie que cette hypothèse correspond au contexte du modèle.
Exemple · Exemple commenté
Pour \(y^{\prime}=-0{,}5y\) et \(y(0)=8\) , la famille est \(C\mathrm e^{-0{,}5t}\) . La condition en zéro donne \(C=8\) .
Ainsi \(y(t)=8\mathrm e^{-0{,}5t}\) . Sa dérivée est \(-4\mathrm e^{-0{,}5t}\) , qui égale bien \(-0{,}5y(t)\) et reste négative. La fonction est positive, décroissante et tend vers zéro.
Le coefficient -0,5 caractérise une variation instantanée proportionnelle. Sur une unité de temps, le coefficient multiplicateur exact est \(\mathrm e^{-0{,}5}\) ; il ne faut pas le remplacer par 0,5 comme dans une baisse discrète de \(50\,\%\) .
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Le coefficient a d'une équation différentielle n'est pas directement un taux discret par période. Le multiplicateur sur une durée h est \(\mathrm e^{ah}\) .
À toi d’essayer
Pause 2 : Mets la notion à l’épreuve Les solutions de \(y^{\prime}=ay\) sont…
\(Ce^{t/a}\) \(Ce^{at}\) \(at+C\) Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Cherche une fonction dont la dérivée fait apparaître le facteur a.
Indice 2 · Un pas de plus La dérivée de \(\mathrm e^{at}\) vaut \(a\mathrm e^{at}\) .
Voir l’explication Les solutions sont \(y(t)=C\mathrm e^{at}\) , avec C réel. En dérivant, on obtient \(aC\mathrm e^{at}=ay(t)\) . Sans condition initiale, la constante C reste libre.
Résoudre \(y^{\prime}\) = ay + b
Intuition · Construire la notion pas à pas
Un apport ou un retrait constant modifie l'équilibre. Dans \(y^{\prime}=ay+b\) , le terme b s'ajoute à la variation proportionnelle. La valeur vers laquelle une solution peut se rapprocher n'est donc plus nécessairement zéro.
Chercher d'abord une solution constante. Pour \(a\ne0\) , l'équilibre L vérifie \(aL+b=0\) , soit \(L=-b/a\) . Cette valeur est imposée par l'équation ; elle n'est pas une constante arbitraire.
Étudier l'écart à l'équilibre. Posons \(z=y-L\) . Sa dérivée est celle de y, et
\[\begin{aligned}z^{\prime} &= a(z+L)+b\\[.35em] &= az\end{aligned}\]
parce que \(aL+b=0\) . L'écart suit donc une équation homogène. On obtient \(z=C\mathrm e^{at}\) , puis \(y=C\mathrm e^{at}+L\) .
Lire le comportement. Si a est négatif, l'écart tend vers zéro et la solution se rapproche de L. Le signe de C indique de quel côté elle se trouve. Si a est positif, un écart non nul s'amplifie.
Lorsque \(a=0\) , on ne divise pas par a : l'équation devient \(y^{\prime}=b\) , dont les solutions sont \(bt+C\) .
Définition · Comprendre la notion
Si \(a\ne0\) , pose l'équilibre \(L=-b/a\) . La fonction \(z=y-L\) vérifie \(z^{\prime}=az\) . Toutes les solutions sont donc
\[\begin{aligned}y(t) &= Ce^{at}+L\\[.35em] &= Ce^{at}-b/a.\end{aligned}\]
La constante L n'est pas une constante arbitraire : elle est fixée par l'équation. C reste à déterminer avec une condition initiale. Si a < 0, l'exponentielle tend vers zéro et y tend vers l'équilibre L. La solution s'en rapproche par au-dessus si C > 0 et par en-dessous si C < 0. Si a = 0, l'équation devient \(y^{\prime}=b\) et les solutions sont \(bt+C\) : la formule avec division par a ne doit pas être utilisée.
Exemple · Exemple commenté
Pour \(y^{\prime}=-2y+6\) , on cherche d'abord \(0=-2L+6\) , d'où \(L=3\) . L'écart \(z=y-3\) vérifie \(z^{\prime}=-2z\) .
Les solutions sont donc \(y(t)=C\mathrm e^{-2t}+3\) . En dérivant, on obtient \(-2C\mathrm e^{-2t}\) ; en calculant \(-2y+6\) , les constantes -6 et +6 se compensent et donnent le même résultat.
Si C est positif, la solution est au-dessus de 3 et décroît vers 3. Si C est négatif, elle est en dessous et croît vers 3. Pour C nul, elle reste exactement à l'équilibre.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
L'équilibre L et la constante C n'ont pas le même rôle. L est fixé par a et b ; C dépend de la condition initiale.
À toi d’essayer
Pause 3 : Mets la notion à l’épreuve L’équilibre de \(y^{\prime}=ay+b\) , a non nul, vaut…
\(-b/a\) \(b/a\) \(a/b\) Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste À l’équilibre, y est constante et sa dérivée vaut zéro.
Indice 2 · Un pas de plus Résous \(aL+b=0\) , avec a non nul.
Voir l’explication \(aL=-b\) donne \(L=-b/a\) . Cette constante est fixée par l’équation, à la différence de la constante libre qui apparaîtra dans la famille des solutions.
Condition initiale et interprétation du modèle
Intuition · Construire la notion pas à pas
Choisir une trajectoire dans une famille. L'équation fixe une famille de solutions et la condition initiale choisit celle qui passe par le point donné. Pour \(y^{\prime}=ay+b\) avec \(a\ne0\) , on commence par l'équilibre \(L=-b/a\) et la famille \(C\mathrm e^{at}+L\) .
La constante est un écart. En zéro, \(y(0)=C+L\) . Si la valeur initiale est \(y_0\) , alors \(C=y_0-L\) . C représente donc l'écart initial à l'équilibre, pas la valeur initiale elle-même.
Une origine de temps différente. Si la condition est donnée en \(t_0\) , on peut écrire directement \(y(t)=(y_0-L)\mathrm e^{a(t-t_0)}+L\) . En \(t=t_0\) , l'exposant est nul, ce qui facilite le contrôle.
Vérifier qu'un seuil peut être atteint. Une solution qui décroît de 80 vers un équilibre 20 reste au-dessus de 20 à tout temps fini. Un seuil inférieur à l'équilibre est impossible. Avant de prendre un logarithme pour résoudre un seuil, vérifie donc que l'exponentielle isolée devrait être positive et que le temps obtenu appartient au domaine du modèle.
Définition · Comprendre la notion
Pour \(y^{\prime}=ay+b\) , \(a\ne0\) , avec \(y(0)=y_0\) , la solution est \(y(t)=(y_0-L)e^{at}+L\) , où \(L=-b/a\) . Si la condition est donnée à \(t_0\) au lieu de zéro, écris plus directement \(y(t)=(y_0-L)e^{a(t-t_0)}+L\) . L'exponentielle vaut alors 1 au temps initial choisi. Une fois la constante calculée, interprète le signe de la dérivée, la limite et les unités. Un seuil doit être compatible avec la valeur initiale et l'équilibre. Une température qui décroît de 80 vers 20 n'atteint pas 10 dans ce modèle.
Exemple · Exemple commenté
Pour \(T^{\prime}=-0{,}1T+2\) avec \(T(0)=80\) , l'équilibre vaut
\[\begin{aligned}L &= -2/(-0{,}1)\\[.35em] &= 20.\end{aligned}\]
La famille est \(C\mathrm e^{-0{,}1t}+20\) .
La condition initiale donne \(C+20=80\) , donc \(C=60\) . La solution est \(T(t)=60\mathrm e^{-0{,}1t}+20\) . Le nombre 60 représente l'écart initial à l'équilibre.
Sa dérivée \(-6\mathrm e^{-0{,}1t}\) est négative. La température décroît de 80 vers 20 en restant strictement au-dessus de 20. Ce comportement permet déjà de déterminer quels seuils sont plausibles avant tout calcul logarithmique.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Ne prends jamais le logarithme d'une quantité négative pour forcer la résolution d'un seuil impossible. La positivité de l'exponentielle doit être contrôlée avant cette étape.
À toi d’essayer
Pause 4 : Mets la notion à l’épreuve Pour \(y(t)=Ce^{-t}+8\) et y(0) = 11, C vaut…
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Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Au temps zéro, \(\mathrm e^{-t}\) vaut 1.
Indice 2 · Un pas de plus La condition initiale devient \(C+8=11\) .
Voir l’explication On soustrait 8 : \(C=3\) . La solution \(3\mathrm e^{-t}+8\) vaut bien 11 en zéro. Le nombre 8 reste l’équilibre et ne doit pas être remplacé par la valeur initiale.
Approcher une solution différentielle par Euler
Intuition · Construire la notion pas à pas
Approcher une solution sans formule explicite. Dans \(y^{\prime}=ay+b\) , la pente est calculable dès que l'on connaît une valeur actuelle de y. La méthode d'Euler utilise cette pente pour tracer un petit segment et estimer la valeur suivante.
Avec un pas h, on calcule \(y_{n+1}=y_n+h(ay_n+b)\) et \(t_{n+1}=t_n+h\) . Toute la pente utilise l'ancienne valeur \(y_n\) . La nouvelle valeur ne doit pas être réinjectée au milieu du même calcul.
Distinguer le modèle et son approximation. Les valeurs produites par Euler ne sont généralement pas exactes. Même si les calculs arithmétiques sont justes, un pas trop grand peut donner un comportement contraire à celui de l'équation.
Comprendre un effet du pas. Pour \(y^{\prime}=-ky\) , la mise à jour est \(y_{n+1}=(1-kh)y_n\) . Si \(kh>1\) , le coefficient devient négatif et fait alterner les signes, alors que la solution exponentielle exacte conserve son signe. Ce signal invite à réduire le pas.
Pour comparer la précision de deux pas, atteins le même temps final avec chacun, puis compare à la solution exacte si elle est connue.
Définition · Comprendre la notion
Pour \(y^{\prime}=ay+b\) , la pente dépend de la valeur actuelle y. Au pas h, Euler donne \(t_{n+1}=t_n+h\) et \(y_{n+1}=y_n+h(ay_n+b)\) . La formule utilise l'ancienne valeur \(y_n\) dans tout le membre droit. Dans un tableur, chaque ligne dépend de la précédente. En Python, calcule la nouvelle valeur après avoir évalué la pente courante. La suite approchée n'est pas la solution exacte. Un pas trop grand peut créer des oscillations artificielles : pour \(y^{\prime}=-ky\) , la mise à jour multiplie par \(1-kh\) , qui devient négatif si \(kh>1\) . Compare plusieurs pas et le comportement attendu du modèle ; si la formule exacte est connue, elle sert de référence.
Exemple · Exemple commenté
Pour \(y^{\prime}=-y+2\) , \(y(0)=0\) et \(h=0{,}5\) , la première pente vaut 2. On obtient
\[\begin{aligned}y_1 &= 0+0{,}5\times2\\[.35em] &= 1\end{aligned}\]
au temps 0,5.
La pente suivante est \(-1+2=1\) . Le second pas donne
\[\begin{aligned}y_2 &= 1+0{,}5\times1\\[.35em] &= 1{,}5\end{aligned}\]
au temps 1. La pente a changé : il ne faut pas réutiliser 2 au deuxième pas.
La solution exacte est \(2-2\mathrm e^{-t}\) et vaut environ 1,264 en 1. L'approximation 1,5 est trop grande d'environ 0,236. Elle reste ici cohérente avec une évolution vers l'équilibre 2, mais n'est pas la valeur exacte.
Attention · Comprendre une erreur fréquente
Deux premiers pas de tailles différentes n'atteignent pas le même instant. Compare les valeurs au même temps final avant de comparer leurs erreurs.
À toi d’essayer
Pause 5 : Mets la notion à l’épreuve Pour \(y^{\prime}=ay+b\) , Euler utilise…
\(y_{n+1}=y_n+h(ay_n+b)\) \(y_{n+1}=y_n+ah+b\) \(y_{n+1}=ay_n+b\) Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La pente au début du pas se calcule avec la valeur actuelle \(y_n\) .
Indice 2 · Un pas de plus Multiplie toute la pente \(ay_n+b\) par h, puis ajoute le résultat à \(y_n\) .
Voir l’explication Euler donne \(y_{n+1}=y_n+h(ay_n+b)\) . Les parenthèses sont essentielles : le pas multiplie les deux termes de la pente, et toute cette pente utilise l’ancienne valeur.
Exercices progressifs Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.
Exercice 1 : Une vérification simple ★☆☆
\(y(t)=5e^{3t}\) satisfait-elle \(y^{\prime}=3y\) ?
Exercice 2 : La famille complète ★☆☆
Résous \(y^{\prime}=2y\) .
Exercice 3 : Un équilibre non nul ★☆☆
Résous \(y^{\prime}=-y+5\) .
Exercice 4 : Fixer la constante ★☆☆
\(y(t)=Ce^{-2t}+4\) et \(y(0)=10\) . Détermine C.
Exercice 5 : Un premier pas ★☆☆
\(y^{\prime}=2y\) , \(y(0)=3\) , h = 0,1. Calcule \(y_{1}\) .
Exercice 6 : Un équilibre ★★☆
Trouve la solution constante de \(y^{\prime}=-4y+12\) .
Exercice 7 : Une décroissance ★★☆
Résous \(y^{\prime}=-3y\) avec \(y(0)=4\) .
Exercice 8 : Un signe à surveiller ★★☆
Résous \(y^{\prime}=3y+6\) .
Exercice 9 : Un autre instant initial ★★☆
Résous \(y^{\prime}=-y+3\) avec \(y(2)=7\) .
Exercice 10 : Deux pas vers un équilibre ★★☆
\(y^{\prime}=-2y+8\) , \(y(0)=1\) , h = 0,25. Calcule \(y_{1}\) et \(y_{2}\) .
Exercice 11 : Une condition insuffisante ★★★
\(y(t)=2t+1\) vérifie \(y(0)=1\) . Est-elle solution de \(y^{\prime}=2y\) ?
Exercice 12 : Un temps de demi-vie ★★★
\(y(t)=10e^{-0{,}2t}\) . Trouve quand y atteint 5.
Exercice 13 : Le cas a = 0 ★★★
Résous \(y^{\prime}=4\) avec \(y(0)=2\) .
Exercice 14 : Un seuil de refroidissement ★★★
\(T(t)=60e^{-0{,}1t}+20\) . Quand T atteint-elle 50 ? Peut-elle atteindre 10 pour t \(\ge\) 0 ?
Exercice 15 : Un pas trop grand ★★★
Pour \(y^{\prime}=-2y\) , \(y(0)=1\) , compare le premier pas h = 1 à h = 0,25. Interprète le signe.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. La fonction doit avoir une dérivée égale à trois fois sa propre valeur.
Construire la réponse.
La dérivée de \(5\mathrm e^{3t}\) est \(15\mathrm e^{3t}\) .
Le membre droit \(3y\) vaut \(3\times5\mathrm e^{3t}=15\mathrm e^{3t}\) .
Les deux expressions sont identiques pour tout t.
Vérifier. La valeur initiale associée est \(y(0)=5\) ; elle n’a pas été nécessaire pour vérifier l’équation.
Conclure. Oui, la fonction est solution de \(y^{\prime}=3y\) .
Corrigé 2
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Aucune condition initiale n’est donnée, donc une constante reste libre.
Construire la réponse.
Le coefficient a est 2.
La famille des solutions est \(y(t)=C\mathrm e^{2t}\) , pour tout réel C.
Vérifier. La dérivée vaut \(2C\mathrm e^{2t}=2y(t)\) , y compris lorsque C vaut zéro.
Conclure. Toutes les solutions sont \(C\mathrm e^{2t}\) avec \(C\in\mathbb R\) .
Corrigé 3
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le coefficient a est non nul, donc on peut calculer un équilibre.
Construire la réponse.
Ici \(a=-1\) et \(b=5\) .
\[\begin{aligned}L &= -5/(-1)\\[.35em] &= 5.\end{aligned}\]
La famille est \(y(t)=C\mathrm e^{-t}+5\) .
Vérifier. La dérivée vaut \(-C\mathrm e^{-t}\) , et \(-y+5=-C\mathrm e^{-t}-5+5\) donne la même expression.
Conclure. Toutes les solutions sont \(C\mathrm e^{-t}+5\) , avec C réel.
Corrigé 4
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. À l’origine du temps, l’exponentielle vaut 1.
Construire la réponse.
\[\begin{aligned}y(0) &= C\mathrm e^0+4\\[.35em] &= C+4.\end{aligned}\]
La condition donne \(C+4=10\) , donc \(C=6\) .
La solution est \(y(t)=6\mathrm e^{-2t}+4\) .
Vérifier. En zéro, \(6+4=10\) . L’équilibre reste 4 : il ne change pas lorsque l’on détermine C.
Conclure. \(C=6\) .
Corrigé 5
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Un pas utilise la pente calculée avec la valeur initiale 3.
Construire la réponse.
La pente initiale vaut \(2\times3=6\) .
La variation approchée est \(0{,}1\times6=0{,}6\) .
On obtient
\[\begin{aligned}y_1 &= 3+0{,}6\\[.35em] &= 3{,}6\end{aligned}\]
au temps 0,1.
Vérifier. La solution exacte \(3\mathrm e^{2t}\) vaut environ 3,664 au même temps : Euler fournit ici une estimation inférieure.
Conclure. \(y_1=3{,}6\) à \(t_1=0{,}1\) .
Corrigé 6
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Une solution constante a une dérivée nulle.
Construire la réponse.
On note L sa valeur et impose \(0=-4L+12\) .
On obtient \(4L=12\) , donc \(L=3\) .
Vérifier. La dérivée de la fonction constante 3 vaut 0, et \(-4\times3+12=0\) .
Conclure. La solution constante est \(y(t)=3\) .
Corrigé 7
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. On détermine la constante dans la famille de coefficient -3.
Construire la réponse.
La famille est \(y(t)=C\mathrm e^{-3t}\) .
En zéro,
\[\begin{aligned}y(0) &= C\mathrm e^0\\[.35em] &= C.\end{aligned}\]
La condition impose \(C=4\) .
Vérifier. La dérivée vaut \(-12\mathrm e^{-3t}=-3y(t)\) et la valeur en zéro est 4.
Conclure. \(y(t)=4\mathrm e^{-3t}\) .
Corrigé 8
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le signe de l’équilibre vient de \(-b/a\) .
Construire la réponse.
Ici \(a=3\) et \(b=6\) .
\[\begin{aligned}L &= -6/3\\[.35em] &= -2.\end{aligned}\]
La famille est \(y(t)=C\mathrm e^{3t}-2\) .
Vérifier. Le membre droit vaut \(3C\mathrm e^{3t}-6+6=3C\mathrm e^{3t}\) , identique à la dérivée.
Conclure. Toutes les solutions sont \(C\mathrm e^{3t}-2\) .
Corrigé 9
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. La valeur imposée se situe au temps 2 et doit être utilisée à cet instant.
Construire la réponse.
L’équilibre de \(y^{\prime}=-y+3\) est 3.
Au temps 2, l’écart à l’équilibre est \(7-3=4\) .
On écrit donc \(y(t)=4\mathrm e^{-(t-2)}+3\) .
Vérifier. En 2, la valeur vaut \(4+3=7\) . La dérivée est \(-4\mathrm e^{-(t-2)}\) , égale à \(-y+3\) .
Conclure. La solution est \(y(t)=4\mathrm e^{-(t-2)}+3\) .
Corrigé 10
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Il faut recalculer la pente après chaque mise à jour.
Construire la réponse.
Au départ,
\[\begin{aligned}-2y_0+8 &= -2+8\\[.35em] &= 6.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}y_1 &= 1+0{,}25\times6\\[.35em] &= 2{,}5,\end{aligned}\]
au temps 0,25.
La nouvelle pente est \(-2\times2{,}5+8=3\) .
\[\begin{aligned}y_2 &= 2{,}5+0{,}25\times3\\[.35em] &= 3{,}25,\end{aligned}\]
au temps 0,5.
Vérifier. L’équilibre vaut 4. Les valeurs 1, 2,5 et 3,25 s’en rapprochent, avec une pente qui diminue.
Conclure. \(y_1=2{,}5\) et \(y_2=3{,}25\) .
Corrigé 11
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. La condition en zéro doit être distinguée de l’équation sur un intervalle.
Construire la réponse.
La fonction \(2t+1\) donne bien \(y(0)=1\) .
Sa dérivée vaut constamment 2.
Le membre droit \(2y\) vaut \(4t+2\) , égal à 2 seulement pour \(t=0\) .
Vérifier. En \(t=1\) , la dérivée vaut 2 et le membre droit vaut 6 : l’équation échoue.
Conclure. Non, satisfaire la condition initiale ne suffit pas à être solution.
Corrigé 12
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. La quantité doit atteindre la moitié de sa valeur initiale.
Construire la réponse.
\(10\mathrm e^{-0{,}2t}=5\) donne \(\mathrm e^{-0{,}2t}=1/2\) .
En prenant ln,
\[\begin{aligned}-0{,}2t &= \ln(1/2)\\[.35em] &= -\ln2.\end{aligned}\]
On divise par -0,2 :
\[\begin{aligned}t &= 5\ln2\\[.35em] &\approx 3{,}466.\end{aligned}\]
Vérifier. Ce temps est positif et
\[\begin{aligned}\mathrm e^{-0{,}2(5\ln2)} &= \mathrm e^{-\ln2}\\[.35em] &= 1/2.\end{aligned}\]
Conclure. La valeur 5 est atteinte au temps \(5\ln2\) , soit environ 3,466 unités de temps.
Corrigé 13
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le coefficient de y est nul : il s’agit directement d’une recherche de primitive.
Construire la réponse.
Les fonctions de dérivée 4 sont \(y(t)=4t+C\) .
En zéro, la valeur est C. La condition impose \(C=2\) .
Vérifier. La dérivée de \(4t+2\) vaut 4 et sa valeur initiale vaut 2.
Conclure. La solution est \(y(t)=4t+2\) .
Corrigé 14
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. On traite séparément le seuil accessible 50 et le seuil situé sous l’équilibre.
Construire la réponse.
Pour 50, \(60\mathrm e^{-0{,}1t}+20=50\) donne \(\mathrm e^{-0{,}1t}=1/2\) .
En prenant ln, \(-0{,}1t=-\ln2\) , donc
\[\begin{aligned}t &= 10\ln2\\[.35em] &\approx 6{,}931.\end{aligned}\]
Pour 10, l’équation imposerait \(60\mathrm e^{-0{,}1t}=-10\) , impossible car le membre gauche est positif.
Vérifier. Le temps du premier seuil est positif. La température reste strictement supérieure à 20, ce qui confirme l’impossibilité du second.
Conclure. La température atteint 50 au temps \(10\ln2\) et n’atteint jamais 10 dans ce modèle pour \(t\ge0\) .
Corrigé 15
Démonstration · Solution expliquée
Comprendre la question. Le signe permet de détecter un effet artificiel du grand pas, mais la précision se compare au même temps.
Construire la réponse.
Avec \(h=1\) ,
\[\begin{aligned}y_1 &= 1+1(-2)\\[.35em] &= -1\end{aligned}\]
au temps 1.
Avec \(h=0{,}25\) , le multiplicateur est \(1-2h=0{,}5\) : le premier pas donne 0,5 au temps 0,25.
Pour atteindre le temps 1 avec les petits pas, il faut quatre mises à jour :
\[\begin{aligned}1 &\to 0{,}5\\[.35em] &\to 0{,}25\\[.35em] &\to 0{,}125\\[.35em] &\to 0{,}0625.\end{aligned}\]
La solution exacte est \(\mathrm e^{-2t}\) , positive, et vaut environ 0,1353 en 1.
Vérifier. Le grand pas produit un signe impossible pour la solution exacte. Au même temps 1, l’erreur du petit pas est environ 0,0728 contre 1,1353 pour le grand pas.
Conclure. Le pas 1 crée une alternance artificielle de signes ; le pas 0,25 reste positif et donne ici une meilleure approximation.