Exponentielle et logarithme népérien · Terminale STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Pour a et b réels, exp(a + b) vaut…

exp(a) + exp(b)exp(a) × exp(b)exp(ab)

2. Quelle est la dérivée de f(x) = x² ?

x2x2

3. Si u et v sont dérivables, quelle formule donne la dérivée de uv ?

u′v′u′v + uv′u′ + v′

4. Quand n devient très grand, 1/n se rapproche de…

10L’infini

5. Pour x réel, que vaut x² × x³ ?

x⁵x⁶2x⁵

Pourquoi ce chapitre ?

Exponentielle, logarithme et dérivée permettent de décrire un signal qui monte puis décroît et de justifier son comportement à long terme. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

La fonction exponentielle de base e.
Limites et modèles exponentiels.
Le logarithme népérien.
Dériver et étudier le logarithme.
Comparer exponentielle et puissances à l’infini.

L’idée avant la formule

Un facteur t augmente tandis qu’un facteur exponentiel décroît. Leur produit peut d’abord monter, puis redescendre : le signe de la dérivée décide.

Le cours formel

La fonction exponentielle de base e

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une exponentielle dont la pente égale la hauteur. La base particulière $\mathrm e\approx2{,}71828$ définit la fonction $\mathrm e^x$ . Sa propriété essentielle est que sa dérivée est elle-même : à chaque abscisse, la pente de la tangente est égale à la valeur de la fonction.

Positivité et croissance. Une exponentielle est toujours strictement positive, même lorsque son exposant est négatif. Comme la dérivée de $\mathrm e^x$ est positive, cette fonction est strictement croissante sur les réels. Elle ne possède aucune racine.

Conserver les règles des puissances. Le produit de deux exponentielles additionne leurs exposants, un quotient les soustrait, et $\mathrm e^0=1$ . L'exponentielle d'une somme devient un produit ; une somme d'exponentielles ne se réunit pas de cette manière.

Dériver une expression composée. Dans $\mathrm e^{kx}$ , l'exponentielle reste présente mais la dérivée de l'exposant apporte un facteur k. Ainsi $(A\mathrm e^{kx})^{\prime}=Ak\mathrm e^{kx}$ . Pour une fonction multipliée par une exponentielle, il faut appliquer la règle du produit : la positivité de l'exponentielle aide ensuite à étudier le signe.

Schéma : La fonction exponentielle de base e

Limites et modèles exponentiels

Intuition · Construire la notion pas à pas

Étudier d'abord ce qui est dans l'exposant. Pour connaître la limite de $\mathrm e^{u(x)}$ , commence par la limite de u. Un exposant qui tend vers $+\infty$ produit une exponentielle qui grandit sans borne ; un exposant qui tend vers $-\infty$ produit une exponentielle qui se rapproche de zéro.

Zéro est une limite, pas une valeur atteinte. L'exponentielle reste positive pour tout argument réel. Dire qu'elle tend vers zéro signifie qu'elle peut devenir aussi petite que l'on veut, sans s'annuler à un instant fini.

Conserver les termes constants. Dans $L+A\mathrm e^{-kt}$ avec $$k>0$$ , le terme exponentiel s'efface à long terme et la limite est L. Cette constante peut représenter une température ambiante ou un équilibre. Elle ne disparaît pas dans un calcul de limite.

Reconnaître une forme indéterminée. Si deux termes tendent vers l'infini et sont soustraits, leurs limites séparées ne donnent pas la limite de la différence. On transforme l'expression, par exemple en factorisant une exponentielle commune, pour comparer leur croissance.

Le logarithme népérien

Intuition · Construire la notion pas à pas

L'opération inverse de l'exponentielle. Le logarithme népérien de a est l'exposant qu'il faut donner à la base e pour obtenir a. Il est donc défini uniquement pour $$a>0$$ . Les identités $\ln(\mathrm e^x)=x$ et $\mathrm e^{\ln a}=a$ traduisent ce lien inverse sur les domaines adaptés.

Connaître les repères. Puisque $\mathrm e^0=1$ et $\mathrm e^1=\mathrm e$ , on a $\ln1=0$ et $\ln\mathrm e=1$ . Un argument entre 0 et 1 possède un logarithme négatif. La fonction ln est croissante, mais pas nécessairement positive.

Transformer une équation. Si l'inconnue est dans un exposant, ln permet de retrouver cet exposant. Si l'inconnue est dans un logarithme, l'exponentielle permet de retrouver l'argument. On doit vérifier au préalable les conditions de domaine, notamment pour un argument comme $$x-2$$ .

Manipuler une inégalité. Les deux fonctions étant croissantes, leur application conserve le sens. Une division ultérieure par un nombre négatif peut cependant le retourner. Les propriétés de produit, quotient et puissance ressemblent à celles du logarithme décimal, mais les valeurs numériques des deux logarithmes diffèrent.

Dériver et étudier le logarithme

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une pente qui dépend de la position. Sur $]0;+\infty[$ , la dérivée de ln est $$1/x$$ . Cette pente est toujours positive, ce qui explique la croissance de ln. Elle diminue lorsque x augmente : la courbe continue de monter, mais de moins en moins vite.

Respecter le domaine avant de dériver. Toute expression contenant $\ln x$ exige $$x>0$$ . Une simplification ultérieure ne réintroduit pas zéro. À cette borne exclue, on peut étudier une limite, mais on ne calcule pas une image inexistante.

Combiner les règles. Pour une somme, dérive terme par terme. Pour un produit comme $x\ln x$ , les deux facteurs varient : $1\cdot\ln x+x\cdot(1/x)=\ln x+1$ . Oublier l'une des contributions donne une dérivée incorrecte.

Passer aux variations. Une dérivée contenant ln se traite avec sa croissance. Résoudre $\ln x+c=0$ revient à chercher $x=\mathrm e^{-c}$ ; la dérivée est négative avant ce point et positive après. On calcule ensuite la valeur de la fonction initiale pour connaître l'extremum.

Comparer exponentielle et puissances à l’infini

Intuition · Construire la notion pas à pas

Deux croissances infinies ne sont pas équivalentes. Un polynôme et une exponentielle peuvent tous deux grandir sans borne. Leur quotient permet de comparer la rapidité de cette croissance. À $+\infty$ , l'exponentielle $\mathrm e^x$ finit par dépasser toute puissance fixée $$x^n$$ .

Les résultats utiles sont $x^n/\mathrm e^x\to0$ et $\mathrm e^x/x^n\to+\infty$ pour tout entier $$n>0$$ . Écrire $x^n\mathrm e^{-x}$ revient au premier quotient. Le produit d'un terme qui tend vers l'infini par un terme qui tend vers zéro est ici résolu grâce à ce théorème, pas par les seules limites séparées.

Adapter un coefficient dans l'exposant. Pour $\mathrm e^{-kx}$ avec $$k>0$$ , pose $$t=kx$$ . Une puissance de x devient une puissance de t multipliée par une constante. On retrouve ainsi la forme connue.

Respecter la portée du résultat. « Domine à l'infini » ne signifie pas « est plus grand pour toutes les valeurs ». Sur une plage limitée, les coefficients et le degré du polynôme peuvent retarder fortement cette domination.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Simplifier un produit ★☆☆

Simplifie $\mathrm e^{2x}\mathrm e^{3-x}$ .

Exercice 2 : Une décroissance exponentielle ★☆☆

Donne la limite de $\mathrm e^{-3x}$ quand x tend vers $+\infty$ .

Exercice 3 : Deux fonctions inverses ★☆☆

Calcule $\ln(\mathrm e^3)$ et $\mathrm e^{\ln7}$ .

Exercice 4 : Une somme simple ★☆☆

Dérive $f(x)=3\ln x+x^2$ et donne son domaine.

Exercice 5 : Une puissance face à une exponentielle ★☆☆

Donne la limite de $x^5\mathrm e^{-x}$ quand x tend vers $+\infty$ .

Exercice 6 : Une dérivée composée ★★☆

Dérive $f(x)=5\mathrm e^{3x}$ .

Exercice 7 : Un équilibre ★★☆

Quelle est la limite de $5+2\mathrm e^{-x}$ quand x tend vers $+\infty$ ?

Exercice 8 : Une équation ★★☆

Résous $\ln x=-2$ .

Exercice 9 : Un produit logarithmique ★★☆

Dérive $g(x)=x\ln x$ sur $$x>0$$ .

Exercice 10 : Une exponentielle plus rapide ★★☆

Quelle est la limite de $\mathrm e^{3x}/x^2$ en $+\infty$ ?

Exercice 11 : Étudier un produit ★★★

Étudie les variations de $f(x)=x\mathrm e^{-x}$ sur $[0;+\infty[$ .

Exercice 12 : Une forme à factoriser ★★★

Étudie la limite de $\mathrm e^{2x}-3\mathrm e^x$ quand x tend vers $+\infty$ .

Exercice 13 : Une inéquation avec coefficient négatif ★★★

Résous $\mathrm e^{-2x}\ge3$ .

Exercice 14 : Un minimum ★★★

Étudie $g(x)=x\ln x$ sur $$x>0$$ et trouve son minimum.

Exercice 15 : Une somme à simplifier ★★★

Étudie la limite de $(x^2+3x+1)\mathrm e^{-x}$ en $+\infty$ .

Problème : Pour aller plus loin

Durée utile d’un signal exponentiel

On étudie $f(t)=te^{-t}$ pour t $\ge$ 0.

Calcule f(0) et la dérivée.
Étudie les variations et le maximum.
Justifie la limite quand t tend vers l’infini.
Pour t > 0, exprime ln(f(t)) et retrouve le signe de sa dérivée.
Une enveloppe $g(t)=e^{-t}$ doit descendre sous 0,1. Trouve le seuil réel.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La fonction est un produit de t et d’une exponentielle composée.

Construire la réponse.
1. Au départ,
  $\begin{aligned}f(0) &= 0\times\mathrm e^0\\[.35em] &= 0.\end{aligned}$
2. La dérivée de t vaut 1, celle de $\mathrm e^{-t}$ vaut $-\mathrm e^{-t}$ .
3. Par produit,
  $\begin{aligned}f^{\prime}(t) &= \mathrm e^{-t}-t\mathrm e^{-t}\\[.35em] &= (1-t)\mathrm e^{-t}.\end{aligned}$
Vérifier. Le facteur exponentiel est commun aux deux contributions et peut être mis en facteur pour l’étude du signe.

Conclure. $$f(0)=0$$ et $f^{\prime}(t)=(1-t)\mathrm e^{-t}$ .
Comprendre la question. L’exponentielle est strictement positive : seul le facteur 1 moins t fixe le signe de la dérivée.

Construire la réponse.
1. Pour $0\le t<1$ , $$1-t>0$$ ; en 1, il est nul ; pour $$t>1$$ , il est négatif.
2. f croît donc sur [0;1] puis décroît sur $[1;+\infty[$ .
3. Le maximum vaut
  $\begin{aligned}f(1) &= \mathrm e^{-1}\\[.35em] &= 1/\mathrm e\\[.35em] &\approx 0{,}3679.\end{aligned}$
Vérifier. Le point 1 appartient au domaine et le changement de signe positif puis négatif garantit un maximum global sur ce domaine.

Conclure. Le maximum est $1/\mathrm e$ , atteint au temps 1.
Comprendre la question. Les limites séparées du produit donnent une forme indéterminée qu’il faut résoudre.

Construire la réponse.
1. Quand $t\to+\infty$ , le premier facteur tend vers l’infini et le second vers zéro.
2. On écrit $t\mathrm e^{-t}=t/\mathrm e^t$ .
3. La croissance comparée affirme que l’exponentielle domine cette puissance de degré 1 : le quotient tend vers zéro.
Vérifier. Le signal reste positif après zéro tout en se rapprochant de zéro à long terme, cohérent avec sa phase décroissante après le maximum.

Conclure. $\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$ .
Comprendre la question. Le logarithme n’est autorisé que lorsque f est strictement positive, donc ici pour t positif.

Construire la réponse.
1. Pour $$t>0$$ ,
  $\begin{aligned}\ln(f(t)) &= \ln t+\ln(\mathrm e^{-t})\\[.35em] &= \ln t-t.\end{aligned}$
2. Sa dérivée vaut $$1/t-1=(1-t)/t$$ .
3. Le dénominateur est positif : on retrouve le signe de $$1-t$$ et donc celui de $f^{\prime}$ .
Vérifier. La formule générale $(\ln f)^{\prime}=f^{\prime}/f$ confirme cette concordance puisque f est positive. En zéro, $\ln f(0)$ n’existe pas.

Conclure. Le logarithme croît puis décroît sur le domaine positif, avec le même point critique 1.
Comprendre la question. Le seuil demandé est strict : l’égalité à 0,1 ne suffit pas.

Construire la réponse.
1. $\mathrm e^{-t}<0{,}1$ donne, par croissance de ln, $-t<\ln0{,}1=-\ln10$ .
2. En multipliant par -1, on inverse l’inégalité : $t>\ln10$ .
3. La borne vaut environ 2,303 unités de temps.
Vérifier. Au temps exact $\ln10$ , l’enveloppe vaut

\[\begin{aligned}\mathrm e^{-\ln10} &= 1/10\\[.35em] &= 0{,}1.\end{aligned}\]

Il faut donc un temps strictement supérieur.

Conclure. L’enveloppe est sous 0,1 exactement pour $t>\ln10$ .

Variante autonome et bilan

Étudie $h(t)=te^{-2t}$ pour t $\ge$ 0.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante change la vitesse de décroissance exponentielle, donc le temps du maximum.

Construire la réponse.

$$h(0)=0$$ et, par produit,
$\begin{aligned}h^{\prime}(t) &= \mathrm e^{-2t}-2t\mathrm e^{-2t}\\[.35em] &= (1-2t)\mathrm e^{-2t}.\end{aligned}$
L’exponentielle est positive. La dérivée est positive avant $$1/2$$ et négative après.
h croît sur $$[0;1/2]$$ puis décroît. Le maximum vaut
$\begin{aligned}h(1/2) &= (1/2)\mathrm e^{-1}\\[.35em] &= 1/(2\mathrm e).\end{aligned}$
Pour la limite, poser $$u=2t$$ donne
$\begin{aligned}t\mathrm e^{-2t} &= (u/2)\mathrm e^{-u}\\[.35em] &\to 0\end{aligned}$
par croissance comparée.

Vérifier. Doubler le coefficient de décroissance avance ici le maximum de 1 à 1/2 et diminue sa hauteur.

Conclure. Le maximum est $1/(2\mathrm e)$ en $$t=1/2$$ ; la limite à l’infini est zéro.

Je peux expliquer : la fonction exponentielle de base e.
Je peux expliquer : limites et modèles exponentiels.
Je peux expliquer : le logarithme népérien.
Je peux expliquer : dériver et étudier le logarithme.
Je peux expliquer : comparer exponentielle et puissances à l’infini.

Fiche-mémoire

La fonction exponentielle de base e.

Identifie les exponentielles et leurs exposants.
Utilise les règles des puissances pour les produits et quotients.
Pour dériver, multiplie par la dérivée de l’exposant.
Applique aussi la règle du produit si un autre facteur dépend de x.
Utilise la positivité de l’exponentielle pour étudier les signes.

Limites et modèles exponentiels.

Détermine la limite de l’exposant.
Applique la limite correspondante de l’exponentielle.
Traite les facteurs et constantes qui entourent ce terme.
Si une forme indéterminée apparaît, transforme avant de conclure.
Interprète une limite comme un comportement à long terme.

Le logarithme népérien.

Impose la positivité de tout argument de ln.
Utilise ln pour retirer une exponentielle, ou l’exponentielle pour retirer ln.
Conserve le sens d’une inégalité à cette étape.
Résous l’équation restante en surveillant les divisions négatives.
Vérifie la solution dans le domaine et dans la relation initiale.

Dériver et étudier le logarithme.

Écris le domaine positif imposé par ln.
Choisis les règles de somme, produit ou quotient nécessaires.
Remplace la dérivée de ln par $$1/x$$ .
Pour les variations, simplifie puis résous le signe de la dérivée.
Calcule l’image du point critique avec la fonction initiale.

Comparer exponentielle et puissances à l’infini.

Identifie une puissance et une exponentielle en concurrence.
Réécris une exponentielle négative comme un inverse si cela aide.
Pour un exposant $$kx$$ , pose $$t=kx$$ en vérifiant $$k>0$$ .
Applique une limite de croissance comparée reconnue.
Traite ensuite les constantes et les sommes finies.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

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L’idée avant la formule

Le cours formel

La fonction exponentielle de base e

Limites et modèles exponentiels

Le logarithme népérien

Dériver et étudier le logarithme

Comparer exponentielle et puissances à l’infini

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Simplifier un produit ★☆☆

Exercice 2 : Une décroissance exponentielle ★☆☆

Exercice 3 : Deux fonctions inverses ★☆☆

Exercice 4 : Une somme simple ★☆☆

Exercice 5 : Une puissance face à une exponentielle ★☆☆

Exercice 6 : Une dérivée composée ★★☆

Exercice 7 : Un équilibre ★★☆

Exercice 8 : Une équation ★★☆

Exercice 9 : Un produit logarithmique ★★☆

Exercice 10 : Une exponentielle plus rapide ★★☆

Exercice 11 : Étudier un produit ★★★

Exercice 12 : Une forme à factoriser ★★★

Exercice 13 : Une inéquation avec coefficient négatif ★★★

Exercice 14 : Un minimum ★★★

Exercice 15 : Une somme à simplifier ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Durée utile d’un signal exponentiel

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

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Pour relier les notions